(共37张PPT)
培优课 数列的函数特征
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 数列的周期性
【例1】 数列{ an }满足 an＋1＝1－ ，且 a1＝2，则 a20＝（ ）
A. B. －1
C. 2 D. 1
解析： 由 an＋1＝1－ 及 a1＝2，得 a2＝ ， a3＝－1， a4＝2，至
此可发现数列{ an }是周期为3的周期数列：2， ，－1，2， ，－
1，….而20＝6×3＋2，故 a20＝ a2＝ .
通性通法
利用数列的周期性求数列中某一项的步骤
（1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项
之间的关系直至出现重复的项；
（2）确定该数列的周期；
（3）利用周期性求出要求的项.
【跟踪训练】
（2024·临沂质检）数列{ an }满足 a1＝3， a2＝6， an＋2＝ an＋1－ an ，
则 ＝ .
解析：由 a1＝3， a2＝6， an＋2＝ an＋1－ an ，得 a3＝ a2－ a1＝3， a4＝ a3
－ a2＝－3， a5＝ a4－ a3＝－6， a6＝ a5－ a4＝－3， a7＝ a6－ a5＝3，
a8＝ a7－ a6＝6，…，所以数列{ an }是以6为周期的周期数列，所以
＝ a6×337＋3＝ a3＝3.
3
题型二 数列的单调性及其应用
角度1 数列单调性的判断
【例2】 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝3 n2－ n （ n ∈N*），判断
该数列的单调性.
解：法一 an ＝3 n2－ n ， an＋1＝3（ n ＋1）2－（ n ＋1），
则 an＋1－ an ＝3（ n ＋1）2－（ n ＋1）－（3 n2－ n ）＝6 n ＋2＞0，
即 an＋1＞ an ，故数列{ an }是递增数列.
法二 an ＝3 n2－ n ， an＋1＝3（ n ＋1）2－（ n ＋1），
则 ＝ ＝ · ＞1.
又易知 an ＞0，故 an＋1＞ an ，即数列{ an }是递增数列.
通性通法
解决数列的单调性问题的两种方法
（1）作差比较法：根据 an＋1－ an 的符号判断数列{ an }是递增数列、
递减数列或是常数列；
（2）作商比较法：根据 （ an ＞0或 an ＜0）与1的大小关系进
行判断.
角度2 数列单调性的应用
【例3】 （2024·福州质检）已知数列{ an }的通项公式为 an ＝（ n ＋
1）·（ ） n （ n ∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大
项和最大项的项数；若没有，说明理由.
解：法一 ∵ an＋1－ an ＝（ n ＋2）（ ） n＋1－（ n ＋1）·（ ） n ＝
（ ） n · .
∴当 n ＜8时， an＋1－ an ＞0，即 an＋1＞ an ；
当 n ＝8时， a9－ a8＝0，即 a9＝ a8；
当 n ＞8时， an＋1－ an ＜0，即 an＋1＜ an ；
故 a1＜ a2＜…＜ a8＝ a9＞ a10＞ a11＞…，
∴数列{ an }中最大项为 a8或 a9，
其值为9·（ ）8，其项数为8或9.
法二 根据题意，令
即
解得8≤ n ≤9.
又 n ∈N*，则 n ＝8或 n ＝9.
故数列{ an }有最大项，为第8项和第9项，
且 a8＝ a9＝9·（ ）8.
通性通法
求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调
性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）利用（ n ≥2）确定最大项，利用（ n
≥2）确定最小项.
【跟踪训练】
1. 若数列{ an }的通项公式为 an ＝ ，则此数列是（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 以上都不是
解析： 因为 an ＝ ＝2－ ，所以当 n ≥2时， an － an－1＝
（2－ ）－（2－ ）＝ － ＝ ＞0，所以数列{ an }
是递增数列.
2. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ n －7，则数列{ nan }的最小项为
第 项.
解析： nan ＝ n （ n －7）＝ n2－7 n ＝（ n － ）2－ .因为 n ∈N*，
所以当 n ＝3或 n ＝4时，数列{ nan }的项最小.
3或4
1. 已知数列{ an }满足 an ＞0，且 an＋1＝ an ，则数列{ an }是（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 以上都不是
解析： 因为 ＝ ＜1， an ＞0，所以 an＋1＜ an ，故数列{ an }
为递减数列.
2. 已知数列{ an }满足 an＋1＝ ，若 a1＝ ，则 a2 025＝（ ）
A. －1 B.
C. 1 D. 2
解析： 由 a1＝ ， an＋1＝ 得 a2＝2， a3＝－1， a4＝ ， a5＝
2，…，可知数列{ an }是以3为周期的周期数列，因此 a2 025＝ a3×675
＝ a3＝－1.
3. 数列{－2 n2＋29 n ＋3}中最大的项是（ ）
A. 107 B. 108
C. 108 D. 109
解析： 因为－2 n2＋29 n ＋3＝－2（ n2－ n ）＋3＝－2（ n －
）2＋ ，所以当 n ＝7时，－2 n2＋29 n ＋3取得最大值108，故
选B.
4. （2024·新乡质检）已知数列{ an }中， an ＝ k · ，若{ an }是递增
数列，试求实数 k 的取值范围.
解：因为 an ＝ k · ， { an }是递增数列，所以 an＋1－ an ＝
k · － k · ＝ · ＝－ k · ＞0对任意的 n
∈N*恒成立，所以－ k ＞0，解得 k ＜0，
所以实数 k 的取值范围是 .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ ，按项的变化趋势，该数列
是（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 摆动数列 D. 常数列
解析： 因为 an ＝ ＝ ，显然随着 n 的增大，2－ 是递增
的，故 an 是递减的，则数列{ an }是递减数列，故选B.
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2. 已知数列{ an }中， a1＝ b （ b 为任意常数）， an＋1＝－ （ n ＝
1，2，3，…），则能使 an ＝ b 的 n 的值是（ ）
A. 14 B. 15
C. 16 D. 17
解析： a2＝－ ＝－ ， a3＝－ ＝－ ＝－1－ ，
a4＝－ ＝－ ＝ b .可见{ an }是以前三项为一个周期的周
期数列，所以 a1＝ a4＝ a7＝ a10＝ a13＝ a16＝…＝ b .
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3. （2024·湖州月考）对任意的 a1∈（0，1），由关系式 an＋1＝ f
（ an ）得到的数列{ an }满足 an＋1＞ an （ n ∈N*），则函数 y ＝ f
（ x ）的图象可能是（ ）
解析： 根据题意，由关系式 an＋1＝ f （ an ）得到的数列{ an }满
足 an＋1＞ an ，即函数 y ＝ f （ x ）的图象上任一点（ x ， y ）都满足 y
＞ x .结合图象，可知只有A满足，故选A.
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4. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ ，其最大项和最小项的值分
别为（ ）
A. 1，－ B. 0，－
C. ，－ D. 1，－
解析： 因为 n ∈N*，所以当1≤ n ≤3时， an ＝ ＜0，且单
调递减；当 n ≥4时， an ＝ ＞0，且单调递减，所以最小项为
a3＝ ＝－ ，最大项为 a4＝ ＝1.故选A.
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5. 设数列{ an }的通项公式为 an ＝ n2＋ bn ，若数列{ an }是递增数列，
则实数 b 的取值范围为（ ）
A. [1，＋∞） B. [－2，＋∞）
C. （－3，＋∞） D. （－ ，＋∞）
解析： 因为函数 f （ n ）＝ n2＋ bn 图象的对称轴方程为 n ＝－
，结合二次函数的图象可知当－ ＜ ，即 b ＞－3时，单调递增.
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6. （多选）若数列{ an }满足 a1＝1， a2＝2， anan－2＝ an－1（ n ≥3），
记数列{ an }的前 n 项积为 Tn ，则下列说法正确的是（ ）
A. Tn 无最大值 B. an 有最大值
C. T2 024＝1 D. a2 024＝2
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解析： ∵ a1＝1， a2＝2， anan－2＝ an－1（ n ≥3），∴ a3＝2，
a4＝1， a5＝ ， a6＝ ， a7＝1， a8＝2，…，因此数列{ an }是周期
为6的周期数列， an＋6＝ an ，∴ an 有最大值2， a2 024＝ a2＝2，
又∵ T1＝1， T2＝2， T3＝4， T4＝4， T5＝2， T6＝1， T7＝1， T8＝
2，…，∴{ Tn }是周期为6的周期数列， Tn＋6＝ Tn ，∴ Tn 有最大值
4， T2 024＝ T2＝2.故选B、D.
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7. 数列{（ n － a ）2}是递增数列，则实数 a 的取值范围是
.
解析：因为{（ n － a ）2}是递增数列，记 an ＝（ n － a ）2，则 an＋1
－ an ＝（ n ＋1－ a ）2－（ n － a ）2＝2 n ＋1－2 a ＞0，所以 a ＜
对任意的 n ∈N*恒成立，所以 a ＜ .
（－∞，
）
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8. （2024·泉州月考）请写出一个符合下列要求的数列{ an }的通项公
式：①{ an }为无穷数列；②{ an }为单调递增数列；③0＜ an ＜2.这
个数列的通项公式可以是 .
解析：因为函数 an ＝2－ 的定义域为N*，且 an ＝2－ 在N*上单调
递增，0＜2－ ＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是 an
＝2－ .
an ＝2－ （答案不唯一）
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9. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝｜ n － ｜，则 an 的最小项为
，此时 n 的值为 .
解析：因为 an ＝｜ n － ｜，所以当 n ＝1，2，3时， an ＝ －
n ，此时 an 的最小项为 ，对应的 n ＝3；当 n ＞3， n ∈N*时， an ＝
n － ，此时 an 的最小项为 ，对应的 n ＝4.综上所述， an 的最小
项为 ，此时 n ＝3.
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10. 在数列{ an }中，已知 an ＝－ （ n ≥2， n ∈N*）.
（1）求证 an＋2＝ an ；
解： 证明：当 n ≥1时，因为 an＋2＝ an＋1＋1＝－ ＝
－ ＝ an ，所以 an＋2＝ an 成立.
（2）若 a4＝4，求 a20的值；
解： 由（1）知数列{ an }是以2为周期的周期数列，所
以 a20＝ a4＝4.
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（3）若 a1＝1，求 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7的值.
解： 因为 a1＝1，所以 a2＝－1，因为数列的周期为2，
所以（ a1＋ a2）＋（ a3＋ a4）＋（ a5＋ a6）＋ a7＝ a1＝1.
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11. 已知函数 f （ x ）＝2 x －2－ x ，数列{ an }满足 f （log2 an ）＝－2 n .
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： ∵ f （ x ）＝2 x －2－ x ， f （log2 an ）＝－2 n （ an ＞
0），∴ － ＝－2 n ，∴ an － ＝－2 n .
∴ ＋2 nan －1＝0，解得 an ＝－ n ± .∵ an ＞0，∴
an ＝ － n .
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（2）讨论数列{ an }的单调性，并证明你的结论.
解： ∵ ＝ ＝
＜1， an ＞0，∴ an＋1＜ an ，∴数列
{ an }是递减数列.
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12. 已知数列{ an }中， an ＝1＋ （ n ∈N*， a ∈R且 a≠0）.
（1）若 a ＝－7，求数列{ an }中的最大项和最小项的值；
解：当 a ＝－7时， an ＝1＋ （ n ∈N*）.
结合函数 f （ x ）＝1＋ 的单调性，
可知1＞ a1＞ a2＞ a3＞ a4， a5＞ a6＞ a7＞…＞ an ＞1（ n
∈N*）.
∴数列{ an }中的最大项为 a5＝2，最小项为 a4＝0.
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（2）若对任意的 n ∈N*，都有 an ≤ a6成立，求 a 的取值范围.
解： an ＝1＋ ＝1＋ ，
已知对任意的 n ∈N*，都有 an ≤ a6成立，
结合函数 f （ x ）＝1＋ 的单调性，
可知5＜ ＜6，即－10＜ a ＜－8，
即 a 的取值范围是（－10，－8）.
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谢 谢 观 看！培优课 数列的函数特征
1.已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
2.已知数列{an}中，a1＝b（b为任意常数），an＋1＝－（n＝1，2，3，…），则能使an＝b的n的值是（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
3.（2024·湖州月考）对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
4.已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为（ ）
A.1，－ B.0，－ C.，－ D.1，－
5.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－3，＋∞） D.（－，＋∞）
6.（多选）若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（ ）
A.Tn无最大值 B.an有最大值 C.T2 024＝1 D.a2 024＝2
7.数列{（n－a）2}是递增数列，则实数a的取值范围是 .
8.（2024·泉州月考）请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是 .
9.已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－｜，则an的最小项为 ，此时n的值为 .
10.在数列{an}中，已知an＝－（n≥2，n∈N*）.
（1）求证an＋2＝an；
（2）若a4＝4，求a20的值；
（3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值.
11.已知函数f（x）＝2x－2－x，数列{an}满足f（log2an）＝－2n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论.
12.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）.
（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
培优课 数列的函数特征
1.B 因为an＝＝，显然随着n的增大，2－是递增的，故an是递减的，则数列{an}是递减数列，故选B.
2.C a2＝－＝－，a3＝－＝－＝－1－，a4＝－＝－＝b.可见{an}是以前三项为一个周期的周期数列，所以a1＝a4＝a7＝a10＝a13＝a16＝…＝b.
3.A 根据题意，由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an，即函数y＝f（x）的图象上任一点（x，y）都满足y＞x.结合图象，可知只有A满足，故选A.
4.A 因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝＜0，且单调递减；当n≥4时，an＝＞0，且单调递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.故选A.
5.C 因为函数f（n）＝n2＋bn图象的对称轴方程为n＝－，结合二次函数的图象可知当－＜，即b＞－3时，单调递增.
6.BD ∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），∴a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an，∴an有最大值2，a2 024＝a2＝2，又∵T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，∴{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn，∴Tn有最大值4，T2 024＝T2＝2.故选B、D.
7.（－∞，） 解析：因为{（n－a）2}是递增数列，记an＝（n－a）2，则an＋1－an＝（n＋1－a）2－（n－a）2＝2n＋1－2a＞0，所以a＜对任意的n∈N*恒成立，所以a＜.
8.an＝2－（答案不唯一） 解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0＜2－＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－.
9. 3 解析：因为an＝｜n－｜，所以当n＝1，2，3时，an＝－n，此时an的最小项为，对应的n＝3；当n＞3，n∈N*时，an＝n－，此时an的最小项为，对应的n＝4.综上所述，an的最小项为，此时n＝3.
10.解：（1）证明：当n≥1时，因为an＋2＝an＋1＋1＝－＝－＝an，所以an＋2＝an成立.
（2）由（1）知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a20＝a4＝4.
（3）因为a1＝1，所以a2＝－1，因为数列的周期为2，所以（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋a7＝a1＝1.
11.解：（1）∵f（x）＝2x－2－x，f（log2an）＝－2n（an＞0），∴－＝－2n，∴an－＝－2n.∴＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.∵an＞0，∴an＝－n.
（2）∵＝＝＜1，an＞0，∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列.
12.解：（1）当a＝－7时，an＝1＋（n∈N*）.
结合函数f（x）＝1＋的单调性，
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N*）.
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
（2）an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f（x）＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，即－10＜a＜－8，
即a的取值范围是（－10，－8）.
1 / 1培优课 数列的函数特征
题型一 数列的周期性
【例1】 数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a20＝（ ）
A. B.－1
C.2 D.1
通性通法
利用数列的周期性求数列中某一项的步骤
（1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项；
（2）确定该数列的周期；
（3）利用周期性求出要求的项.
【跟踪训练】
（2024·临沂质检）数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则＝ .
题型二 数列的单调性及其应用
角度1 数列单调性的判断
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n（n∈N*），判断该数列的单调性.
通性通法
解决数列的单调性问题的两种方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列；
（2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断.
角度2 数列单调性的应用
【例3】 （2024·福州质检）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）·（）n（n∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.
通性通法
求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项.
【跟踪训练】
1.若数列{an}的通项公式为an＝，则此数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.以上都不是
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第 项.
1.已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.以上都不是
2.已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 025＝（ ）
A.－1 B.
C.1 D.2
3.数列{－2n2＋29n＋3}中最大的项是（ ）
A.107 B.108
C.108 D.109
4.（2024·新乡质检）已知数列{an}中， an＝k·，若{an}是递增数列，试求实数k的取值范围.
培优课 数列的函数特征
【典型例题·精研析】
【例1】 A 由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，….而20＝6×3＋2，故a20＝a2＝.
跟踪训练
3 解析：由a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，得a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，所以数列{an}是以6为周期的周期数列，所以＝a6×337＋3＝a3＝3.
【例2】 解：法一 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），
则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，
即an＋1＞an，故数列{an}是递增数列.
法二 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），
则＝＝·＞1.
又易知an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列.
【例3】 解：法一 ∵an＋1－an＝（n＋2）·（）n＋1－（n＋1）·（）n＝（）n·.
∴当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝8时，a9－a8＝0，即a9＝a8；
当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；
故a1＜a2＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，
∴数列{an}中最大项为a8或a9，
其值为9·（）8，其项数为8或9.
法二 根据题意，令
即
解得8≤n≤9.
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，
且a8＝a9＝9·（）8.
跟踪训练
1.A 因为an＝＝2－，所以当n≥2时，an－an－1＝（2－）－（2－）＝－＝＞0，所以数列{an}是递增数列.
2.3或4 解析：nan＝n（n－7）＝n2－7n＝（n－）2－.因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，数列{nan}的项最小.
随堂检测
1.B 因为＝＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减数列.
2.A 由a1＝，an＋1＝得a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 025＝a3×675＝a3＝－1.
3.B 因为－2n2＋29n＋3＝－2（n2－n）＋3＝－2（n－）2＋，所以当n＝7时，－2n2＋29n＋3取得最大值108，故选B.
4.解：因为an＝k·， {an}是递增数列，所以an＋1－an＝k·－k·＝·＝－k·＞0对任意的n∈N*恒成立，
所以－k＞0，解得k＜0，
所以实数k的取值范围是.
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