(共42张PPT)
培优课 等差数列
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用等差数列前 n 项和求解项的比值问题
【例1】 已知两个等差数列{ an }，{ bn }的前 n 项和分别为 Sn ， Tn ，
若 ＝ ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
解析： 利用等差数列前 n 项和的性质得 ＝ ＝ ＝ .
通性通法
若{ an }，{ bn }为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn ， Tn ，则 ＝
， ＝ · .
【跟踪训练】
（2024·济宁月考）已知 Sn ， Tn 分别是等差数列{ an }，{ bn }的前 n
项和，且 ＝ ，则 ＝ .
解析： ＝ × ，即 ＝ × ，所以 ＝ × ＝ .
题型二 两等差数列公共项问题
【例2】 已知两个等差数列4，7，10，…和8，12，16，…都有100
项，则它们共同的项有（ ）
A. 12个 B. 24个
C. 11个 D. 36个
解析： 数列4，7，10，…的首项 a1＝4，公差 d1＝3，通项公式为
an ＝3 n ＋1.数列8，12，16，…的首项 b1＝8，公差 d2＝4，通项公式
为 bm ＝4 m ＋4.它们的末项分别为 a100＝301， b100＝404，它们相同的
项为 an ＝ bm ，3 n ＋1＝4 m ＋4， n ＝ ＋1，其中 n ， m ∈N*，所以 m
＝3 k （ k ∈N*），即 n ＝4 k ＋1. a4 k＋1＝3（4 k ＋1）＋1＝12 k ＋
4≤301，解得 k ≤24 ，取 k ＝24.
通性通法
有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先
利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的
最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二
是从通项公式入手，建立 am ＝ bn 这样的方程，利用 n ＝ f （ m ），借
助 n ， m 均为正整数，得到 n （或 m ）可取的整数形式，再求一定范
围内的整数解，从而解决问题.
【跟踪训练】
已知两个等差数列{ an }：5，8，11，…，与{ bn }：3，7，11，…，
它们的公共项组成数列{ cn }，则数列{ cn }的通项公式 cn ＝
；若数列{ an }和{ bn }的项数均为100，则{ cn }的项数是 .
解析：由于数列{ an }和{ bn }都是等差数列，所以{ cn }也是等差数列，
且公差为3×4＝12，又 c1＝11，故 cn ＝11＋12（ n －1）＝12 n －1.又
a100＝302， b100＝399.所以解得1≤ n
≤25.25，故{ cn }的项数为25.
12 n －
1
25
题型三 构造等差数列的应用
【例3】 已知数列{ an }满足 an＋1＝ ，且 a1＝3（ n ∈N*）.
（1）求证：数列{ }是等差数列；
解：证明：由题意得 ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ＋ ，
所以 － ＝ ，故数列{ }是等差数列.
（2）求数列{ an }的通项公式.
解： 由（1）知 ＝ ＋（ n －1）× ＝ ，所以 an
＝ .
通性通法
当已知数列{ an }不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差
数列，利用等差数列的通项公式，求出含 an 的式子与 n 的关系式，进
而求出 an .由递推公式转化为等差数列的常见形式如下：
（1）转化为（ an＋2－ an＋1）－（ an＋1－ an ）＝常数，则数列{ an＋1－
an }是等差数列；
（2）转化为 － ＝常数，则数列 是等差数列；
（3）转化为 － ＝常数，则数列 是等差数列；
（4）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列；
（5）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列.
【跟踪训练】
在数列{ an }中，若 a1＝1，3 anan－1＋ an － an－1＝0（ n ≥2， n
∈N*），求数列{ an }的通项公式.
解：由已知3 anan－1＋ an － an－1＝0，
在等式两侧同除以 anan－1，得3＋ － ＝0 － ＝3，
即数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列，
故有 ＝1＋3（ n －1） an ＝ .
题型四 求数列{｜ an ｜}的前 n 项和
【例4】 （2023·全国乙卷18题）记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和，
已知 a2＝11， S10＝40.
（1）求{ an }的通项公式；
解：设等差数列{ an }的公差为 d ，则即解得∴ an ＝13＋（ n －1）×（－2）＝－2 n ＋15.∴数列{ an }的通项公式为 an ＝－2 n ＋15.
（2）求数列{｜ an ｜}的前 n 项和 Tn .
解：令 an ＝－2 n ＋15＞0， n ∈N*，解得 n ≤7， n ∈N*.
∴｜ an ｜＝
当 n ≤7时， Tn ＝ Sn ＝13 n ＋ ×（－2）＝－ n2＋14 n ；
当 n ≥8时， Tn ＝｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ a7｜＋｜ a8｜＋｜
a9｜＋…＋｜ an ｜＝7×13＋ ×（－2）＋（ n －7）
×1＋ ×2＝ n2－14 n ＋98.
∴ Tn ＝
通性通法
求数列{｜ an ｜}的前 n 项和的步骤
（1）解不等式 an ≥0（或 an ≤0）寻找{ an }的正负项分界点；
（2）求和：①若{ an }各项均为正数（或均为负数），则{｜ an ｜}各
项的和等于{ an }的各项的和（或其相反数）；②若 a1＞0， d ＜0
（或 a1＜0， d ＞0），这时数列{ an }只有前面有限项为正数（或
负数），可分段求和再相加.
【跟踪训练】
已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ n2－5 n ＋2，则数列{｜ an ｜}的前10
项和为（ ）
A. 56 B. 58
C. 62 D. 60
解析： 因为 Sn ＝ n2－5 n ＋2，所以当 n ≥2时， Sn－1＝（ n －1）2－
5 n ＋7，则 an ＝ Sn － Sn－1＝2 n －6（ n ≥2），当 n ＝1时， a1＝ S1＝－
2，不满足上式，故 an ＝则数列{ an }从第2项开始成
等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列
{｜ an ｜}的前10项和为－ a1－ a2＋ a3＋…＋ a10＝4＋ ＝60.
1. 等差数列{ an }和{ bn }的前 n 项和分别为 Sn ， Tn ，对一切自然数 n ，
都有 ＝ ，则 ＝（ ）
A. B.
解析： ∵ S13＝ ＝13 a7， T13＝ ＝13
b7，∴ ＝ ＝ .故选D.
C. D.
2. （2024·郑州月考）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，
14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成
一个新数列，则这个新数列的项数为（ ）
A. 15 B. 16
C. 17 D. 18
解析： 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其
公差为12，首项为2，所以通项公式为 an ＝12 n －10，所以12 n －
10≤190，解得 n ≤ ，而 n ∈N*，所以 n 的最大值为16.
3. 在等差数列{ an }中， a1＝8， a4＝2.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： 设等差数列{ an }的公差为 d ，
则有解得 d ＝－2，
所以 an ＝8－2（ n －1）＝－2 n ＋10.
（2）设 Tn ＝｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ an ｜，求 T10.
解： 因为 n ≤5时， an ≥0； n ≥6时， an ＜0，
所以 T10＝｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ a10｜＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋
a5－（ a6＋ a7＋…＋ a10）＝8＋6＋4＋2＋0＋（2＋4＋6＋8＋
10）＝50.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知数列{ an }满足 an＋1－ an ＝2， a1＝－5，则｜ a1｜＋｜ a2｜＋…
＋｜ a6｜＝（ ）
A. 9 B. 15
C. 18 D. 30
解析： 由 an＋1－ an ＝2可得数列{ an }是等差数列，公差 d ＝2，
又 a1＝－5，所以 an ＝2 n －7，所以｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋｜
a4｜＋｜ a5｜＋｜ a6｜＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 将数列{2 n －1}与{3 n －2}的公共项从小到大排列得到数列{ an }，
则{ an }的前 n 项和为（ ）
A. n2＋2 n B. n2－2 n
C. 3 n2－2 n D. 3 n2＋2 n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 法一（观察归纳法） 数列{2 n －1}的各项为1，3，5，
7，9，11，13，…；数列{3 n －2}的各项为1，4，7，10，13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，
公差为6的等差数列，则 an ＝1＋6（ n －1）＝6 n －5.故前 n 项和为
Sn ＝ ＝ ＝3 n2－2 n .
法二（引入参变量法） 令 bn ＝2 n －1， cm ＝3 m －2， bn ＝ cm ，
则2 n －1＝3 m －2，即3 m ＝2 n ＋1， m 必为奇数.令 m ＝2 t －1，则
n ＝3 t －2（ t ＝1，2，3，…）. at ＝ b3 t－2＝ c2 t－1＝6 t －5，即 an ＝
6 n －5.以下同法一.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ n2－4 n ，则｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜
a10｜＝（ ）
A. 68 B. 67
C. 65 D. 56
解析： 当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝ n2－4 n －[（ n －1）2－4
（ n －1）]＝2 n －5；当 n ＝1时， a1＝ S1＝－3符合上式，所以 an
＝2 n －5.所以 ｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ a10｜＝｜－3｜＋｜－1｜
＋1＋3＋5＋…＋15＝68.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 已知数列{ an }的首项 a1＝0， an＋1＝ an ＋2 ＋1，则 a20＝
（ ）
A. 99 B. 101
C. 399 D. 401
解析： 由 an＋1＝ an ＋2 ＋1，可得 an＋1＋1＝（
＋1）2，故 － ＝1，所以{ }是以1为首
项，1为公差的等差数列，所以 ＝ n ，即 an ＝ n2－1，故 a20
＝202－1＝399，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2024·丽水月考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载有一道
数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二.问
物几何？”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正
整数 N ，使 N 除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小
到大排列的所有正整数数列{ an }，{ bn }，{ an }满足被3除余2， a1
＝2，{ bn }满足被5除余2， b1＝2，把数列{ an }与{ bn }相同的项从
小到大组成一个新数列，记为{ cn }，则下列说法正确的是（ ）
A. c2＝ a1＋ b1 B. c6＝ a2 b3
C. c10＝ a46 D. a1＋2 b2＝ c4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 由条件可知 an ＝2＋3（ n －1）＝3 n －1， bn ＝2＋5（ n
－1）＝5 n －3， cn ＝2＋15（ n －1）＝15 n －13.对于A， c2＝17，
a1＋ b1＝4，所以A错误；对于B， c6＝77， a2 b3＝60，所以B错
误；对于C， c10＝137， a46＝137，所以C正确；对于D， a1＋2 b2＝
16， c4＝47，所以D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （多选）等差数列{ an }，{ bn }的前 n 项和分别为 Sn ， Tn ， ＝
， n ∈N*，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列 是递增数列 B. ＝
C. ＝ D. ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： ＝ ＝ ＝2－ ，所以 是递增数
列，A选项正确； ＝ ＝ ＝ ＝
，所以 ＝ ＝ ，B选项正确； ＝ ＝ ，C选项错
误；当 n ＝1时， ＝ ＝ ≠ ，D选项错误.故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （多选）已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ n2－4 n ＋1，则（ ）
A. an ＝2 n －5
B. { an }不是等差数列
C. 数列{ an }中 a2最小
D. ｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ a10｜＝67
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 因为 Sn ＝ n2－4 n ＋1，当 n ＝1时 a1＝ S1＝12－4×1＋1
＝－2，当 n ≥2时 Sn－1＝（ n －1）2－4（ n －1）＋1，所以 an ＝ Sn
－ Sn－1＝ n2－4 n ＋1－[（ n －1）2－4（ n －1）＋1]＝2 n －5，显
然当 n ＝1时 an ＝2 n －5不成立，所以 an ＝所以
{ an }是从第二项起以2为公差的等差数列，故数列{ an }不是等差数
列，即A错误，B正确；从第二项起{ an }为递增的等差数列，又 a1
＜ a2，所以 a1为数列的最小项，故C错误；因为 a1＜ a2＜0＜ a3
＜…，所以｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ a10｜＝－ a1－ a2＋ a3＋…＋
a10＝ S10－2（ a1＋ a2）＝102－4×10＋1－2（－2－1）＝67，故D
正确.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝｜19－2 n ｜， n ∈N*，则其前20
项的和为 .
解析：由 an ＝｜19－2 n ｜，当 n ≤9时， an ＝19－2 n ，当 n ≥10
时， an ＝2 n －19，所以 S20＝ a1＋ a2＋…＋ a9＋ a10＋ a11＋…＋ a20
＝17＋15＋…＋1＋1＋3＋…＋21＝ ＋ ＝
202.
202
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 已知数列{ an }满足 a1＝1， a2＝4，且 ＝ ＋ （ n ≥2， n
∈N*），则当 取得最大值时， n 的值为 .
2
解析：因为 ＝ ＋ （ n ≥2， n ∈N*），所以2 nan
＝（ n －1） an－1＋（ n ＋1） an＋1（ n ≥2， n ∈N*），所以数
列{ nan }是等差数列，又 a1＝1， a2＝4，所以数列{ nan }是以1
为首项，2× a2－1× a1＝7为公差的等差数列，所以 nan ＝7 n
－6，所以 ＝ ＝ － ＝－6（ － ）2＋ ，因为 n
∈N*，1＜ ＜2，且 ＝ － ＝1， ＝ － ＝2，2＞1，
所以当 n ＝2时， 取得最大值2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 若等差数列{ an }的前 m 项和为 Sm ，前 n 项和为 Sn ，且 Sm ∶ Sn ＝
m2∶ n2，求 am ∶ an 的比值.
解：∵ S2 n－1＝ ＝ ，∴ an ＝
， am ＝ ，∴ ＝ ＝ · ＝
· ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 Sn ＝ n2－15 n .
（1）求{ an }的通项公式；
解： 由 Sn ＝ n2－15 n ，
当 n ≥2时，可得 an ＝ Sn － Sn－1＝ n2－15 n －[（ n －1）2－
15（ n －1）]＝2 n －16，
当 n ＝1时， a1＝ S1＝1－15＝－14，适合上式，
所以数列{ an }的通项公式为 an ＝2 n －16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）若 cn ＝｜ an ｜，求{ cn }的前 n 项和 Tn .
解： 由 an ＝2 n －16，可得 cn ＝｜ an ｜＝｜2 n －
16｜，则 Tn ＝｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ an ｜，
令 an ≤0，可得 n ≤8，
当 n ≤8时，可得 Tn ＝｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ an ｜＝－ a1
－ a2－…－ an ＝15 n － n2，
当 n ＞8时，可得 Tn ＝｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ an ｜＝－ a1
－ a2－…－ a8＋ a9＋ a10＋…＋ an
＝－（ a1＋ a2＋…＋ a8）＋（ a9＋ a10＋…＋ an ）＝－ S8＋
Sn － S8＝ Sn －2 S8，因为 S8＝－56，所以 Tn ＝ n2－15 n ＋112，
所以 Tn ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 已知正项数列{ an }满足 a1＝1， ＋ ＝2 ，且 a4－ a2＝
.
（1）求数列{ }的通项公式；
解：由已知得， － ＝ － ，
所以数列{ }是等差数列，设其公差为 d .
由 a4－ a2＝ ，得 － ＝2.
所以2 d ＝2，即 d ＝1，所以 ＝ ＋（ n －1） d ＝ n .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）求满足不等式 an＋5＋1＜2 an 的正整数 n 的最小值.
解：由 an ＞0，得 an ＝ ，
所以原不等式可化为 ＋1＜2 ，
两边平方可得 n ＋6＋2 ＜4 n ，即2 ＜3 n －6，
所以4（ n ＋5）＜（3 n －6）2，整理得（ n －4）（9 n －4）
＞0，解得 n ＞4或 n ＜ .
因为 n ∈N*，故 n 的最小值为5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
谢 谢 观 看！培优课 等差数列
1.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝（ ）
A.9 B.15 C.18 D.30
2.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为（ ）
A.n2＋2n B.n2－2n C.3n2－2n D.3n2＋2n
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝（ ）
A.68 B.67 C.65 D.56
4.已知数列{an}的首项a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a20＝（ ）
A.99 B.101 C.399 D.401
5.（2024·丽水月考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二.问物几何？”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列{an}，{bn}，{an}满足被3除余2，a1＝2，{bn}满足被5除余2，b1＝2，把数列{an}与{bn}相同的项从小到大组成一个新数列，记为{cn}，则下列说法正确的是（ ）
A.c2＝a1＋b1 B.c6＝a2b3 C.c10＝a46 D.a1＋2b2＝c4
6.（多选）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，n∈N*，则下列说法正确的有（ ）
A.数列是递增数列 B.＝
C.＝ D.＝
7.（多选）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则（ ）
A.an＝2n－5 B.{an}不是等差数列
C.数列{an}中a2最小 D.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝67
8.已知数列{an}的通项公式为an＝｜19－2n｜，n∈N*，则其前20项的和为 .
9.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且＝＋（n≥2，n∈N*），则当取得最大值时，n的值为 .
10.若等差数列{an}的前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm∶Sn＝m2∶n2，求am∶an的比值.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－15n.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若cn＝｜an｜，求{cn}的前n项和Tn.
12.已知正项数列{an}满足a1＝1，＋＝2，且a4－a2＝.
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求满足不等式an＋5＋1＜2an的正整数n的最小值.
培优课 等差数列
1.C 由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＋｜a6｜＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
2.C 法一（观察归纳法） 数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6（n－1）＝6n－5.故前n项和为Sn＝＝＝3n2－2n.
法二（引入参变量法） 令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2（t＝1，2，3，…）.at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同法一.
3.A 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[（n－1）2－4（n－1）]＝2n－5；当n＝1时，a1＝S1＝－3符合上式，所以an＝2n－5.所以 ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝｜－3｜＋｜－1｜＋1＋3＋5＋…＋15＝68.
4.C 由an＋1＝an＋2＋1，可得an＋1＋1＝（＋1）2，故－＝1，所以{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，即an＝n2－1，故a20＝202－1＝399，故选C.
5.C 由条件可知an＝2＋3（n－1）＝3n－1，bn＝2＋5（n－1）＝5n－3，cn＝2＋15（n－1）＝15n－13.对于A，c2＝17，a1＋b1＝4，所以A错误；对于B，c6＝77，a2b3＝60，所以B错误；对于C，c10＝137，a46＝137，所以C正确；对于D，a1＋2b2＝16，c4＝47，所以D错误.
6.AB ＝＝＝2－，所以是递增数列，A选项正确；＝＝＝＝，所以＝＝，B选项正确；＝＝，C选项错误；当n＝1时，＝＝≠，D选项错误.故选A、B.
7.BD 因为Sn＝n2－4n＋1，当n＝1时a1＝S1＝12－4×1＋1＝－2，当n≥2时Sn－1＝（n－1）2－4（n－1）＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[（n－1）2－4（n－1）＋1]＝2n－5，显然当n＝1时an＝2n－5不成立，所以an＝所以{an}是从第二项起以2为公差的等差数列，故数列{an}不是等差数列，即A错误，B正确；从第二项起{an}为递增的等差数列，又a1＜a2，所以a1为数列的最小项，故C错误；因为a1＜a2＜0＜a3＜…，所以｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝－a1－a2＋a3＋…＋a10＝S10－2（a1＋a2）＝102－4×10＋1－2（－2－1）＝67，故D正确.故选B、D.
8.202 解析：由an＝｜19－2n｜，当n≤9时，an＝19－2n，当n≥10时，an＝2n－19，所以S20＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＋a11＋…＋a20＝17＋15＋…＋1＋1＋3＋…＋21＝＋＝202.
9.2 解析：因为＝＋（n≥2，n∈N*），所以2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1（n≥2，n∈N*），所以数列{nan}是等差数列，又a1＝1，a2＝4，所以数列{nan}是以1为首项，2×a2－1×a1＝7为公差的等差数列，所以nan＝7n－6，所以＝＝－＝－6（－）2＋，因为n∈N*，1＜＜2，且＝－＝1，＝－＝2，2＞1，所以当n＝2时，取得最大值2.
10.解：∵S2n－1＝＝，∴an＝，am＝，∴＝＝·＝·＝.
11.解：（1）由Sn＝n2－15n，
当n≥2时，可得an＝Sn－Sn－1＝n2－15n－[（n－1）2－15（n－1）]＝2n－16，
当n＝1时，a1＝S1＝1－15＝－14，适合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－16.
（2）由an＝2n－16，可得cn＝｜an｜＝｜2n－16｜，则Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，
令an≤0，可得n≤8，
当n≤8时，
可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝－a1－a2－…－an＝15n－n2，
当n＞8时，
可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝－a1－a2－…－a8＋a9＋a10＋…＋an
＝－（a1＋a2＋…＋a8）＋（a9＋a10＋…＋an）＝－S8＋Sn－S8＝Sn－2S8，
因为S8＝－56，所以Tn＝n2－15n＋112，
所以Tn＝
12.解：（1）由已知得，－＝－，
所以数列{}是等差数列，设其公差为d.
由a4－a2＝，得－＝2.
所以2d＝2，即d＝1，
所以＝＋（n－1）d＝n.
（2）由an＞0，得an＝，
所以原不等式可化为＋1＜2，
两边平方可得n＋6＋2＜4n，即2＜3n－6，
所以4（n＋5）＜（3n－6）2，整理得（n－4）（9n－4）＞0，
解得n＞4或n＜.
因为n∈N*，故n的最小值为5.
1 / 1培优课 等差数列
题型一 利用等差数列前n项和求解项的比值问题
【例1】 已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（ ）
A. B.
C. D.
通性通法
若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
【跟踪训练】
（2024·济宁月考）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝ .
题型二 两等差数列公共项问题
【例2】 已知两个等差数列4，7，10，…和8，12，16，…都有100项，则它们共同的项有（ ）
A.12个 B.24个
C.11个 D.36个
通性通法
有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f（m），借助n，m均为正整数，得到n（或m）可取的整数形式，再求一定范围内的整数解，从而解决问题.
【跟踪训练】
已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝ ；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是 .
题型三 构造等差数列的应用
【例3】 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N*）.
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
通性通法
当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由递推公式转化为等差数列的常见形式如下：
（1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列；
（2）转化为－＝常数，则数列是等差数列；
（3）转化为－＝常数，则数列是等差数列；
（4）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列；
（5）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列.
【跟踪训练】
在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式.
题型四 求数列{｜an｜}的前n项和
【例4】 （2023·全国乙卷18题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn.
通性通法
求数列{｜an｜}的前n项和的步骤
（1）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点；
（2）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再相加.
【跟踪训练】
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{｜an｜}的前10项和为（ ）
A.56 B.58
C.62 D.60
1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有＝，则＝（ ）
A. B.
C. D.
2.（2024·郑州月考）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ）
A.15 B.16
C.17 D.18
3.在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求T10.
培优课 等差数列
【典型例题·精研析】
【例1】 B 利用等差数列前n项和的性质得＝＝＝.
跟踪训练
解析：＝×，即＝×，所以＝×＝.
【例2】 B 数列4，7，10，…的首项a1＝4，公差d1＝3，通项公式为an＝3n＋1.数列8，12，16，…的首项b1＝8，公差d2＝4，通项公式为bm＝4m＋4.它们的末项分别为a100＝301，b100＝404，它们相同的项为an＝bm，3n＋1＝4m＋4，n＝＋1，其中n，m∈N*，所以m＝3k（k∈N*），即n＝4k＋1.a4k＋1＝3（4k＋1）＋1＝12k＋4≤301，解得k≤24，取k＝24.
跟踪训练
12n－1 25 解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399.所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.
【例3】 解：（1）证明：由题意得＝＝＝＝＝＋，
所以－＝，故数列是等差数列.
（2）由（1）知＝＋（n－1）×＝，所以an＝.
跟踪训练
解：由已知3anan－1＋an－an－1＝0，
在等式两侧同除以anan－1，得3＋－＝0 －＝3，
即数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，
故有＝1＋3（n－1） an＝.
【例4】 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则即
解得∴an＝13＋（n－1）×（－2）＝－2n＋15.
∴数列{an}的通项公式为an＝－2n＋15.
（2）令an＝－2n＋15＞0，n∈N*，
解得n≤7，n∈N*.
∴｜an｜＝
当n≤7时，Tn＝Sn＝13n＋×（－2）＝－n2＋14n；
当n≥8时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＋｜a8｜＋｜a9｜＋…＋｜an｜＝7×13＋×（－2）＋（n－7）×1＋×2＝n2－14n＋98.
∴Tn＝
跟踪训练
D 因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2－5n＋7，则an＝Sn－Sn－1＝2n－6（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满足上式，故an＝则数列{an}从第2项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{｜an｜}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60.
随堂检测
1.D ∵S13＝＝13a7，T13＝＝13b7，∴＝＝.故选D.
2.B 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16.
3.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则有解得d＝－2，
所以an＝8－2（n－1）＝－2n＋10.
（2）因为n≤5时，an≥0；n≥6时，an＜0，
所以T10＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－（a6＋a7＋…＋a10）＝8＋6＋4＋2＋0＋（2＋4＋6＋8＋10）＝50.
2 / 2
