(共52张PPT)
第2课时
等差数列的判定及性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】 （1）每隔一层的球数有什么规律？
（2）每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点 等差数列项的运算性质
设等差数列{ an }的首项为 a1，公差为 d ，则
（1） an ＝ am ＋ d ， d ＝ （ m ， n ∈N*，且 m ≠
n ）；
（2）若 m ＋ n ＝ s ＋ t ，则 am ＋ an ＝ ；
特别地，若 m ＋ n ＝2 p ，则 am ＋ an ＝2 ap （ m ， n ， s ， t ， p
∈N*）；
（ n － m ）
as ＋ at
（3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末
两项的 ，即 a1＋ an ＝ a2＋ an－1＝…＝ ak ＋ an－ k＋1＝…；
（4）下标成等差数列的项 ak ， ak＋ m ， ak＋2 m ，…组成以 为公
差的等差数列.
和
md
【想一想】
1. 若{ an }为等差数列，且 m ＋ n ＝ p （ m ， n ， p ∈N*），则 am ＋ an
＝ ap 一定成立吗？
提示：不一定.如数列1，2，3，4，…，满足 a1＋ a2＝ a3；而数列
1，1，1，1，…，则不满足 a1＋ a2＝ a3.
2. 在等差数列{ an }中，若 m ， n ， p ， q ，…成等差数列，那么 am ，
an ， ap ， aq ，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？
提示：成等差数列，若{ an }的公差为 d ，则 am ， an ， ap ， aq ，…
的公差为（ n － m ） d .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若数列 a1， a2， a3， a4，…是等差数列，则数列 a1， a3，
a5，…也是等差数列. （ √ ）
（2）若 a ， b ， c 成等差数列，则 a ＋ k ， b ＋ k ， c ＋ k 也成等差数
列. （ √ ）
（3）若{ an }是等差数列，则{｜ an ｜}也是等差数列. （ × ）
√
√
×
2. 等差数列{ an }中， a1＋ a11＝10， a8＝6，则公差 d ＝（ ）
A. B. C. 2 D. －
解析： 由 a1＋ a11＝2 a6＝10，得 a6＝5，所以2 d ＝ a8－ a6＝1，
解得 d ＝ .
3. 在等差数列{ an }中， a1＝2， a3＋ a5＝10，则 a7＝（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 14
解析： 由等差数列的性质可得 a1＋ a7＝ a3＋ a5＝10，又因为 a1
＝2，所以 a7＝8.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列的判定与证明
【例1】 在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝ ，设 bn ＝ ， n ∈N*.
求证：数列{ bn }是等差数列.
解：法一 由条件知， ＝ ＝ ＋1，
所以 － ＝1，所以 bn＋1－ bn ＝1.
又 b1＝ ＝1，所以数列{ bn }是首项为1，公差为1的等差数列.
法二 由条件，得 bn＋1－ bn ＝ － ＝ － ＝ ＝1.又 b1＝
＝1，所以数列{ bn }是首项为1，公差为1的等差数列.
通性通法
判断一个数列是否为等差数列的方法
（1）定义法： an＋1－ an ＝ d （ n ∈N*）或 an － an－1＝ d （ n ≥2， n
∈N*） 数列{ an }为等差数列；
（2）等差中项法：2 an＋1＝ an ＋ an＋2（ n ∈N*） 数列{ an }为等
差数列；
（3）通项公式法：数列{ an }的通项公式形如 an ＝ pn ＋ q （ p ， q 为常
数） 数列{ an }为等差数列.
提醒 要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不
成等差数列即可.
【跟踪训练】
已知数列{ an }满足 a1＝2， an＋1＝（λ－3） an ＋2 n （ n ∈N*）.是
否存在λ，使数列{ an }为等差数列？若存在，求出其通项公式；若不
存在，说明理由.
解：不存在.∵ a1＝2， an＋1＝（λ－3） an ＋2 n ，
∴ a2＝（λ－3） a1＋2＝2λ－4， a3＝（λ－3） a2＋4＝2λ2－10λ
＋16.
若数列{ an }为等差数列，得 a1＋ a3＝2 a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2
（2λ－4），∴λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解，∴λ不存在，
即不存在λ使数列{ an }为等差数列.
题型二 等差数列的性质
角度1 an ＝ am ＋（ n － m ） d 的应用
【例2】 在等差数列{ an }中，已知 a2＝5， a8＝17，求数列的公差及
通项公式.
解：设等差数列{ an }的公差为 d ，
因为 a8＝ a2＋（8－2） d ，
所以17＝5＋6 d ，解得 d ＝2.
又因为 an ＝ a2＋（ n －2） d ，
所以 an ＝5＋（ n －2）×2＝2 n ＋1， n ∈N*.
通性通法
灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令 m ＝1， an
＝ am ＋（ n － m ） d 即变为 an ＝ a1＋（ n －1） d ，可以减少记忆负担.
角度2 等差数列性质的应用
【例3】 （1）在等差数列{ an }中，若 a1＋ a2＋ a3＝32， a11＋ a12＋
a13＝118，则 a4＋ a10＝（ ）
A. 45 B. 50 C. 75 D. 60
解析：因为在等差数列{ an }中， a1＋ a2＋ a3＝32， a11＋
a12＋ a13＝118，所以 a2＝ ， a12＝ ，所以 a4＋ a10＝ a2＋ a12
＝50.
（2）已知等差数列{ an }的公差为 d （ d ≠0），且 a3＋ a6＋ a10＋ a13＝
32，若 am ＝8，则 m ＝（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
解析： 由等差数列性质得， a3＋ a6＋ a10＋ a13＝（ a3＋ a13）
＋（ a6＋ a10）＝2 a8＋2 a8＝4 a8＝32，∴ a8＝8，又 d ≠0，
∴ m ＝8.
通性通法
等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于 a1， d 的方程（组），确定
a1， d ，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足 m ＋ n ＝ p ＋ q
＝2 r （ m ， n ， p ， q ， r ∈N*），则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq ＝2 ar .
【跟踪训练】
1. 已知数列{ an }是等差数列，若 a1－ a9＋ a17＝7，则 a3＋ a15＝
（ ）
A. 7 B. 14
C. 21 D. 7（ n －1）
解析： 因为 a1－ a9＋ a17＝（ a1＋ a17）－ a9＝2 a9－ a9＝ a9＝7，
所以 a3＋ a15＝2 a9＝2×7＝14.
2. （2024·汕头月考）已知{ bn }为等差数列，若 b3＝－2， b10＝12，
则 b8＝ .
解析：法一 ∵{ bn }为等差数列，∴可设其公差为 d ，则 d ＝
＝ ＝2，∴ bn ＝ b3＋（ n －3） d ＝2 n －8.∴ b8＝
2×8－8＝8.
8
法二 由 ＝ ＝ d ，得 b8＝ ×5＋ b3＝2×5＋（－2）
＝8.
题型三 由等差数列衍生的新数列
【例4】 （1）若数列{ an }是公差为 d 的等差数列，则数列{ dan }是
（ C ）
A. 公差为 d 的等差数列 B. 公差为2 d 的等差数列
C. 公差为 d2的等差数列 D. 公差为4 d 的等差数列
解析：由于数列{ an }是公差为 d 的等差数列，因此，当 n ∈N*时， an＋1－ an ＝ d ，所以当 n ∈N*时， dan＋1－ dan ＝ d （ an＋1－ an ）＝ d2.
C
（2）若等差数列{ an }的公差为 d ，则 a1＋ a2＋ a3， a4＋ a5＋ a6， a7＋
a8＋ a9的公差为 .
解析： 由等差数列的性质可知， a1＋ a2＋ a3＝3 a2， a4＋ a5
＋ a6＝3 a5， a7＋ a8＋ a9＝3 a8，由3 a5－3 a2＝3 a8－3 a5＝9 d 可
知， a1＋ a2＋ a3， a4＋ a5＋ a6， a7＋ a8＋ a9的公差为9 d .
9 d
通性通法
由等差数列衍生的新数列
若{ an }，{ bn }分别是公差为 d ，d'的等差数列，则有
数列 结论
{ c ＋ an } 公差为 d 的等差数列（ c 为任一常数）
{ c · an } 公差为 cd 的等差数列（ c 为任一常数）
{ an ＋ an＋ k } 公差为 kd 的等差数列（ k 为常数， k ∈N*）
{ pan ＋ qbn } 公差为 pd ＋qd'的等差数列（ p ， q 为常数）
【跟踪训练】
（2024·江门月考）设数列{ an }，{ bn }都是等差数列.若 a1＋ b1＝
7， a3＋ b3＝21，则 a5＋ b5＝ .
解析：设数列{ an }，{ bn }的公差分别为 d1， d2.因为 a3＋ b3＝（ a1＋2
d1）＋（ b1＋2 d2）＝（ a1＋ b1）＋2（ d1＋ d2）＝7＋2（ d1＋ d2）＝
21，所以 d1＋ d2＝7.所以 a5＋ b5＝（ a3＋ b3）＋2（ d1＋ d2）＝21＋
2×7＝35.
35
1. 在等差数列{ an }中，已知 a2＝3， a5＝15，则此数列的通项公式 an
＝（ ）
A. n －5 B. n ＋5
C. 4 n －5 D. 4 n ＋5
解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，因为 a5＝ a2＋（5－2）
d ，所以15＝3＋3 d ，解得 d ＝4.又因为 an ＝ a2＋（ n －2） d ，所
以 an ＝3＋（ n －2）×4＝4 n －5.
2. 由公差 d ≠0的等差数列{ an }组成一个新的数列 a1＋ a3， a2＋ a4，
a3＋ a5，…，下列说法正确的是（ ）
A. 新数列不是等差数列
B. 新数列是公差为 d 的等差数列
C. 新数列是公差为2 d 的等差数列
D. 新数列是公差为3 d 的等差数列
解析： 因为（ an＋1＋ an＋3）－（ an ＋ an＋2）＝（ an＋1－ an ）＋
（ an＋3－ an＋2）＝2 d ，所以数列 a1＋ a3， a2＋ a4， a3＋ a5，…是公
差为2 d 的等差数列.
3. 已知数列{ an }，满足 a1＝1， a2＝2，2 an＋1＝2 an ＋3（ n ≥2， n
∈N*），试判断数列{ an }是否是等差数列.
解：当 n ≥2时，由2 an＋1＝2 an ＋3，得 an＋1－ an ＝ ，但 a2－ a1＝2
－1＝1≠ ，故数列{ an }不是等差数列.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 数列{ an }为等差数列，若 a3＋ a5＋ a7＝15，且 a4＋ a6＋ a8＝21，则
数列{ an }的公差 d ＝（ ）
A. 2 B. 3
C. －2 D. －3
解析： 因为 a3＋ a5＋ a7＝3 a5＝15， a5＝5， a4＋ a6＋ a8＝3 a6＝
21， a6＝7，所以 d ＝ a6－ a5＝2.
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2. （2024·烟台月考）在等差数列{ an }中，若 a4＋ a6＋ a8＋ a10＋ a12＝
120，则 a9－ a11＝（ ）
A. 14 B. 15
C. 16 D. 17
解析： 由题意，得5 a8＝120，所以 a8＝24，所以 a9－ a11＝
（ a8＋ d ）－ （ a8＋3 d ）＝ a8＝16.
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3. 在等差数列{ an }中， a15＝33， a25＝66，则 a45＝（ ）
A. 99 B. 123
C. 132 D. 145
解析： 在等差数列{ an }中， a15， a25， a35， a45成等差数列，公
差是 a25－ a15＝33.所以 a45＝33＋3×33＝132.
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4. 已知数列{ an }，{ bn }为等差数列，且公差分别为 d1＝2， d2＝1，
则数列{2 an －3 bn }的公差为（ ）
A. 7 B. 5
C. 3 D. 1
解析： 由于{ an }，{ bn }为等差数列，故数列{2 an －3 bn }的公差
d ＝（2 an＋1－3 bn＋1）－（2 an －3 bn ）＝2（ an＋1－ an ）－3（ bn＋1
－ bn ）＝2 d1－3 d2＝1.
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5. （多选）下列命题中，与命题“{ an }为等差数列”等价的是
（ ）
A. an＋1＝ an ＋ d （ d 为常数）
B. 数列{－ an }是等差数列
C. 数列{ }是等差数列
D. an＋1是 an 与 an＋2的等差中项
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解析： 对于A，即 an＋1－ an ＝ d ，故A正确.对于B，数列{－
an }是等差数列，则－ an＋1＝－ an ＋ d ， d 为常数.故 an＋1－ an ＝－
d ，－ d 为常数，故B正确.对于C，数列 是等差数列，则
－ ＝ d ， d 为常数.不能推导出{ an }为等差数列，故C错误.易知
D正确.
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6. （多选）已知等差数列{ an }满足 a1＞0，且 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝
0，则（ ）
A. a1＋ a101＞0 B. a1＋ a101＜0
C. a3＋ a99＝0 D. a51＜ a50
解析： 根据等差数列的性质，得 a1＋ a101＝ a2＋ a100＝…＝ a50
＋ a52＝2 a51，因为 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝0，所以101 a51＝0，所
以 a1＋ a101＝ a3＋ a99＝2 a51＝0.又 a1＞0，所以 d ＜0， a51＝ a50＋ d
＜ a50，故选C、D.
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7. 已知在等差数列{ an }中， a2与 a6的等差中项为5， a3与 a7的等差中
项为7，则数列{ an }的通项公式 an ＝ .
解析：由题意可得 a2＋ a6＝5×2＝10， a3＋ a7＝7×2＝14，由等差
数列的性质可得2 a4＝10，2 a5＝14，即 a4＝5， a5＝7，从而数列的
公差 d ＝ a5－ a4＝2.∴ a1＝ a4－3 d ＝5－3×2＝－1，故 an ＝－1＋2
（ n －1）＝2 n －3.
2 n －3
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8. （2024·郑州月考）在等差数列{ an }中， a1＝8， a5＝2，若在每相
邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差
为 .
解析：设原等差数列的公差为 d ，则8＋4 d ＝2，解得 d ＝－ ，因
此新等差数列的公差为－ .
－
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9. 等差数列 ， 满足对任意 n ∈N*都有 ＝ ，则
＋ ＝ .
解析：由等差数列的性质可得 b3＋ b9＝ b4＋ b8＝2 b6， a7＋ a5＝2
a6，所以 ＋ ＝ ＝ ＝ ＝1.
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10. （1）已知等差数列{ an }中， a2＋ a6＋ a10＝1，求 a4＋ a8的值；
解：法一 根据等差数列的性质得 a2＋ a10＝ a4＋ a8＝2 a6，
由 a2＋ a6＋ a10＝1，
得3 a6＝1，解得 a6＝ ，
∴ a4＋ a8＝2 a6＝ .
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法二 设公差为 d ，根据等差数列的通项公式，
得 a2＋ a6＋ a10＝（ a1＋ d ）＋（ a1＋5 d ）＋（ a1＋9 d ）＝3 a1＋15
d ，
由题意知，3 a1＋15 d ＝1，即 a1＋5 d ＝ .
∴ a4＋ a8＝2 a1＋10 d ＝2（ a1＋5 d ）＝ .
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解：设公差为 d （ d ＞0），∵ a1＋ a3＝2 a2，
∴ a1＋ a2＋ a3＝15＝3 a2，∴ a2＝5.
又 a1 a2 a3＝80，{ an }是公差为正数的等差数列，
∴ a1 a3＝（5－ d ）（5＋ d ）＝16 d ＝3或 d ＝－3（舍去），
∴ a12＝ a2＋10 d ＝35， a11＋ a12＋ a13＝3 a12＝105.
（2）设{ an }是公差为正数的等差数列，若 a1＋ a2＋ a3＝15， a1 a2
a3＝80，求 a11＋ a12＋ a13的值.
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11. 已知圆 O 的半径为5，且 OP ＝3，过点 P 的2 025条弦的长度组成
一个等差数列{ an }，最短弦长为 a1，最长弦长为 a2 025，则其公差
为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 因为圆 O 的半径为5，且 OP ＝3，过点 P 的2 025条弦的
长度组成一个等差数列{ an }，其中最短弦长为 a1＝2 ＝
8，最长弦长为 a2 025＝2×5＝10，所以等差数列{ an }的公差为 d ＝
＝ ＝ .故选B.
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12. 若 a1， a2，…， a8为各项都大于零的等差数列，公差 d ≠0，则
（ ）
A. a1 a8＞ a4 a5 B. a1 a8＜ a4 a5
C. a1＋ a8＞ a4＋ a5 D. a1 a8＝ a4 a5
解析： 因为 a1＋ a8＝2 a1＋7 d ， a4＋ a5＝2 a1＋7 d ，所以 a1＋
a8＝ a4＋ a5，故C错误；因为 a1 a8－ a4 a5＝ a1（ a1＋7 d ）－（ a1＋
3 d ）（ a1＋4 d ）＝－12 d2＜0，所以 a1 a8＜ a4 a5，故A、D错误，
B正确.故选B.
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13. 已知数列{ an }是等差数列，若 a4＋ a7＋ a10＝17， a4＋ a5＋ a6＋…
＋ a12＋ a13＋ a14＝77，则 a15 ＝ ，若 ak ＝15，则 k
＝ .
解析：∵ a4＋ a7＋ a10＝3 a7＝17，∴ a7＝ .又∵ a4＋ a5＋…＋ a13
＋ a14＝11 a9＝77，∴ a9＝7.故 d ＝ ＝ ＝ .∴ a15＝ a9＋
（15－9） d ＝7＋6× ＝11，∵ ak ＝ a9＋（ k －9） d ＝15，∴15
－7＝（ k －9）× ，∴ k ＝21.
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14. 已知在数列{ an }中， a1＝1， an ＝2 an－1＋1（ n ≥2， n ∈N*）.
（1）记 bn ＝log2（ an ＋1），判断{ bn }是否为等差数列，并说明
理由；
解： { bn }是等差数列，理由如下：
因为 a1＝1， an ＝2 an－1＋1（ n ≥2），所以 an ＞0.
b1＝log2（ a1＋1）＝log22＝1，
当 n ≥2时， bn － bn－1＝log2（ an ＋1）－log2（ an－1＋1）＝
log2 ＝log2 ＝log2 ＝log22＝1，
所以{ bn }是以1为首项，1为公差的等差数列.
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（2）求数列{ an }的通项公式.
解： 由（1）得 bn ＝1＋（ n －1）×1＝ n ，
所以 an ＋1＝ ＝2 n ，所以 an ＝2 n －1.
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15. （多选）已知数列{ an }满足： a1＝10， a2＝5， an － an＋2＝2（ n
∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A. 数列{ an }是等差数列
B. a2 k ＝7－2 k （ k ∈N*）
C. a2 k－1＝12－2 k （ k ∈N*）
D. an ＋ an＋1＝18－3 n
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解析： 由 an － an＋2＝2得 a3＝ a1－2＝8，由于2 a2≠ a1＋ a3，
所以{ an }不是等差数列，A错误；由 an － an＋2＝2，知{ an }的偶数
项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当 n ＝2 k （ k
∈N*）时， a2 k ＝ a2＋（ k －1）×（－2）＝7－2 k ，当 n ＝2 k －1
（ k ∈N*）时， a2 k－1＝ a1＋（ k －1）×（－2）＝12－2 k ，故
B、C都正确；当 n ＝2时， a2＋ a3＝5＋8＝13不满足 an ＋ an＋1＝18
－3 n ，故D错误.
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16. 给定整数 n （ n ≥4），设集合 A ＝{ a1， a2，…， an }，记集合 B
＝{ ai ＋ aj ｜ ai ， aj ∈ A ，1≤ i ≤ j ≤ n }.
（1）若 A ＝{－3，0，1，2}，求集合 B ；
解： 因为 B ＝{ ai ＋ aj ｜ ai ， aj ∈ A ，1≤ i ≤ j ≤ n }，
当 A ＝{－3，0，1，2}时， ai ＋ aj ＝－6，－3，－2，－1，
0，1，2，3，4，所以 B ＝{－6，－3，－2，－1，0，1，
2，3，4}.
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（2）若 a1， a2，…， an 构成以 a1为首项， d （ d ＞0）为公差的等
差数列，求证：集合 B 中的元素个数为2 n －1.
解： 证明：因为 a1， a2，…， an 构成以 a1为首项， d
（ d ＞0）为公差的等差数列，所以有 ai－1＋ an ＝ ai ＋ an－1
（2≤ i ≤ n －2），2 ai ＝ ai－1＋ ai＋1（2≤ i ≤ n －1）.
此时，集合 B 中的元素有以下大小关系：
2 a1＜ a1＋ a2＜ a1＋ a3＜…＜ a1＋ an ＜ a2＋ an ＜ a3＋ an ＜…
＜ an－1＋ an ＜2 an .
因此，集合 B 中含有2 n －1个元素.
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1.数列{an}为等差数列，若a3＋a5＋a7＝15，且a4＋a6＋a8＝21，则数列{an}的公差d＝（ ）
A.2 B.3
C.－2 D.－3
2.（2024·烟台月考）在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11＝（ ）
A.14 B.15
C.16 D.17
3.在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝（ ）
A.99 B.123
C.132 D.145
4.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（ ）
A.7 B.5
C.3 D.1
5.（多选）下列命题中，与命题“{an}为等差数列”等价的是（ ）
A.an＋1＝an＋d（d为常数）
B.数列{－an}是等差数列
C.数列{}是等差数列
D.an＋1是an与an＋2的等差中项
6.（多选）已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则（ ）
A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0
C.a3＋a99＝0 D.a51＜a50
7.已知在等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{an}的通项公式an＝ .
8.（2024·郑州月考）在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为 .
9.等差数列，满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝ .
10.（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
（2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
11.已知圆O的半径为5，且OP＝3，过点P的2 025条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 025，则其公差为（ ）
A. B.
C. D.
12.若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ）
A.a1a8＞a4a5 B.a1a8＜a4a5
C.a1＋a8＞a4＋a5 D.a1a8＝a4a5
13.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝ ，若ak＝15，则k＝ .
14.已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1（n≥2，n∈N*）.
（1）记bn＝log2（an＋1），判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
（2）求数列{an}的通项公式.
15.（多选）已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A.数列{an}是等差数列
B.a2k＝7－2k（k∈N*）
C.a2k－1＝12－2k（k∈N*）
D.an＋an＋1＝18－3n
16.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}，记集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}.
（1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B；
（2）若a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n－1.
第2课时 等差数列的判定及性质
1.A 因为a3＋a5＋a7＝3a5＝15，a5＝5，a4＋a6＋a8＝3a6＝21，a6＝7，所以d＝a6－a5＝2.
2.C 由题意，得5a8＝120，所以a8＝24，所以a9－a11＝（a8＋d）－（a8＋3d）＝a8＝16.
3.C 在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132.
4.D 由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝（2an＋1－3bn＋1）－（2an－3bn）＝2（an＋1－an）－3（bn＋1－bn）＝2d1－3d2＝1.
5.ABD 对于A，即an＋1－an＝d，故A正确.对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数.故an＋1－an＝－d，－d为常数，故B正确.对于C，数列是等差数列，则－＝d，d为常数.不能推导出{an}为等差数列，故C错误.易知D正确.
6.CD 根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故选C、D.
7.2n－3 解析：由题意可得a2＋a6＝5×2＝10，a3＋a7＝7×2＝14，由等差数列的性质可得2a4＝10，2a5＝14，即a4＝5，a5＝7，从而数列的公差d＝a5－a4＝2.∴a1＝a4－3d＝5－3×2＝－1，故an＝－1＋2（n－1）＝2n－3.
8.－ 解析：设原等差数列的公差为d，则8＋4d＝2，解得d＝－，因此新等差数列的公差为－.
9.1 解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1.
10.解：（1）法一 根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，
得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
法二 设公差为d，根据等差数列的通项公式，
得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d，
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝.
（2）设公差为d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16 d＝3或d＝－3（舍去），
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
11.B 因为圆O的半径为5，且OP＝3，过点P的2 025条弦的长度组成一个等差数列{an}，其中最短弦长为a1＝2＝8，最长弦长为a2 025＝2×5＝10，所以等差数列{an}的公差为d＝＝＝.故选B.
12.B 因为a1＋a8＝2a1＋7d，a4＋a5＝2a1＋7d，所以a1＋a8＝a4＋a5，故C错误；因为a1a8－a4a5＝a1（a1＋7d）－（a1＋3d）（a1＋4d）＝－12d2＜0，所以a1a8＜a4a5，故A、D错误，B正确.故选B.
13.11 21 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝＝＝.∴a15＝a9＋（15－9）d＝7＋6×＝11，∵ak＝a9＋（k－9）d＝15，∴15－7＝（k－9）×，∴k＝21.
14.解：（1）{bn}是等差数列，理由如下：
因为a1＝1，an＝2an－1＋1（n≥2），所以an＞0.
b1＝log2（a1＋1）＝log22＝1，
当n≥2时，bn－bn－1＝log2（an＋1）－log2（an－1＋1）＝log2＝log2＝log2＝log22＝1，
所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）得bn＝1＋（n－1）×1＝n，
所以an＋1＝＝2n，所以an＝2n－1.
15.BC 由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A错误；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N*）时，a2k＝a2＋（k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N*）时，a2k－1＝a1＋（k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误.
16.解：（1）因为B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}，
当A＝{－3，0，1，2}时，ai＋aj＝－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，所以B＝{－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}.
（2）证明：因为a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，所以有ai－1＋an＝ai＋an－1（2≤i≤n－2），2ai＝ai－1＋ai＋1（2≤i≤n－1）.
此时，集合B中的元素有以下大小关系：
2a1＜a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an＜2an.
因此，集合B中含有2n－1个元素.
2 / 2第2课时 等差数列的判定及性质
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】 （1）每隔一层的球数有什么规律？
（2）每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点 等差数列项的运算性质
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
（1）an＝am＋ d，d＝（m，n∈N*，且m≠n）；
（2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝ ；
特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap（m，n，s，t，p∈N*）；
（3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 ，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…；
（4）下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以 为公差的等差数列.
【想一想】
1.若{an}为等差数列，且m＋n＝p（m，n，p∈N*），则am＋an＝ap一定成立吗？
2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.（ ）
（2）若a，b，c成等差数列，则a＋k，b＋k，c＋k也成等差数列.（ ）
（3）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列.（ ）
2.等差数列{an}中，a1＋a11＝10，a8＝6，则公差d＝（ ）
A. B. C.2 D.－
3.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（ ）
A.5 B.8 C.10 D.14
题型一 等差数列的判定与证明
【例1】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，设bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列.
通性通法
判断一个数列是否为等差数列的方法
（1）定义法：an＋1－an＝d（n∈N*）或an－an－1＝d（n≥2，n∈N*） 数列{an}为等差数列；
（2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*） 数列{an}为等差数列；
（3）通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q（p，q为常数） 数列{an}为等差数列.
提醒 要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
【跟踪训练】
已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N*）.是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由.
题型二 等差数列的性质
角度1 an＝am＋（n－m）d的应用
【例2】 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
通性通法
灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋（n－m）d即变为an＝a1＋（n－1）d，可以减少记忆负担.
角度2 等差数列性质的应用
【例3】 （1）在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝（ ）
A.45 B.50
C.75 D.60
（2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（ ）
A.12 B.8
C.6 D.4
通性通法
等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【跟踪训练】
1.已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝（ ）
A.7 B.14
C.21 D.7（n－1）
2.（2024·汕头月考）已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝ .
题型三 由等差数列衍生的新数列
【例4】 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是（ ）
A.公差为d的等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.公差为d2的等差数列
D.公差为4d的等差数列
（2）若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为 .
通性通法
由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数）
{c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数）
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列（k为常数，k∈N*）
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数）
【跟踪训练】
（2024·江门月考）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ .
1.在等差数列{an}中，已知a2＝3，a5＝15，则此数列的通项公式an＝（ ）
A.n－5 B.n＋5
C.4n－5 D.4n＋5
2.由公差d≠0的等差数列{an}组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（ ）
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
3.已知数列{an}，满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*），试判断数列{an}是否是等差数列.
第2课时 等差数列的判定及性质
【基础知识·重落实】
知识点
（1）（n－m） （2）as＋at （3）和 （4）md
想一想
1.提示：不一定.如数列1，2，3，4，…，满足a1＋a2＝a3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a1＋a2＝a3.
2.提示：成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为（n－m）d.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.B 由a1＋a11＝2a6＝10，得a6＝5，所以2d＝a8－a6＝1，解得d＝.
3.B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 由条件知，＝＝＋1，
所以－＝1，所以bn＋1－bn＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
法二 由条件，得bn＋1－bn＝－＝－＝＝1.又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
跟踪训练
解：不存在.∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n，
∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4，a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，得a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2（2λ－4），∴λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解，∴λ不存在，
即不存在λ使数列{an}为等差数列.
【例2】 解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a8＝a2＋（8－2）d，
所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋（n－2）d，
所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1，n∈N*.
【例3】 （1）B （2）B 解析：（1）因为在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，所以a2＝，a12＝，所以a4＋a10＝a2＋a12＝50.
（2）由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
跟踪训练
1.B 因为a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
2.8 解析：法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.
法二 由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋（－2）＝8.
【例4】 （1）C （2）9d 解析：（1）由于数列{an}是公差为d的等差数列，因此，当n∈N*时，an＋1－an＝d，所以当n∈N*时，dan＋1－dan＝d（an＋1－an）＝d2.
（2）由等差数列的性质可知，a1＋a2＋a3＝3a2，a4＋a5＋a6＝3a5，a7＋a8＋a9＝3a8，由3a5－3a2＝3a8－3a5＝9d可知，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为9d.
跟踪训练
35 解析：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2.因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35.
随堂检测
1.C 设等差数列{an}的公差为d，因为a5＝a2＋（5－2）d，所以15＝3＋3d，解得d＝4.又因为an＝a2＋（n－2）d，所以an＝3＋（n－2）×4＝4n－5.
2.C 因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
3.解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝2－1＝1≠，故数列{an}不是等差数列.
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