(共51张PPT)
第3课时
等差数列的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列与一次函数的关系
【例1】 （2024·青岛月考）在数列{ an }中， a1＝3， a10＝21，已知
an ＝ pn ＋ q （ p ， q 为常数），则 a2 024＝（ ）
A. 4 046 B. 4 047 C. 4 048 D. 4 049
解析： 法一 根据题意可知数列{ an }为等差数列，则公差 d ＝
＝2，故 a2 024＝ a1＋（2 024－1） d ＝3＋2 023×2＝4 049.
法二 由题易得数列{ an }为等差数列，则 ＝ ，解得 a2
024＝4 049.
通性通法
利用一次函数的性质解等差数列问题的思路
（1）若 d ＞0，则该数列为递增数列，若 d ＝0，则该数列为常数列，
若 d ＜0，则该数列为递减数列；
（2）由等差数列与一次函数的关系知等差数列的图象是直线上的孤
立的点，且任意两点连线的斜率为直线的斜率，即点（ n ，
an ）（ n ∈N*）共线且 ＝ d （ d 为等差数列的公差）.
【跟踪训练】
1. 已知（1，3），（3，－1）是等差数列{ an }图象上的两点，若5是
p ， q 的等差中项，则 ap ＋ aq ＝ .
解析：法一 设等差数列的通项公式为 an ＝ xn ＋ y ，代入点的坐标
得解得即 an ＝－2 n ＋5，由于5是 p ， q
的等差中项，故 p ＋ q ＝10，所以 ap ＋ aq ＝2 a5＝2×（－10＋5）
＝－10.
－10
法二 由题意知，（1，3），（3，－1），（5， a5）三点共线，所
以 ＝ ，所以 a5＝－5.由于5是 p ， q 的等差中项，故 p ＋ q
＝10，所以 ap ＋ aq ＝2 a5＝－10.
解： 设等差数列{ an }的公差为 d ，由 a3＝3， ＝ ，
得（ a3＋ d ）2＝（ a3＋2 d ）2，
即（3＋ d ）2＝（3＋2 d ）2，整理得 d2＋2 d ＝0，解得 d ＝0
或 d ＝－2，当 d ＝0时， an ＝3，当 d ＝－2时， a1＝3－2 d ＝
7， an ＝ a1＋（ n －1） d ＝9－2 n .
2. 已知等差数列{ an }中， a3＝3， ＝ .
（1）求{ an }的通项公式；
（2）判断{ an }的单调性.
解： 当 an ＝3时，数列是常数列，{ an }不具有单调性；
当 an ＝9－2 n 时，显然 an ＝9－2 n ＞ an＋1＝7－2 n ，{ an }是递
减数列.
题型二 等差数列中项的设法
【例2】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项
的6倍，求这三个数；
解： 设这三个数依次为 a － d ， a ， a ＋ d ，
则
解得所以这三个数为4，3，2.
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－
8，求这四个数.
解： 设这四个数依次为 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d
（公差为2 d ），
依题意得2 a ＝2且（ a －3 d ）（ a ＋3 d ）＝－8，
即 a ＝1， a2－9 d2＝－8，
所以 d2＝1，所以 d ＝1或 d ＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以 d ＞0，
所以 d ＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
通性通法
等差数列的设项方法和技巧
（1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项
为 a1，公差为 d ，利用已知条件建立方程（组）求出 a1和 d ，即
可确定此等差数列的通项公式；
（2）当已知数列有3项时，可设为 a － d ， a ， a ＋ d ，此时公差为 d .
若有5项、7项、……，可同理设出；
（3）当已知数列有4项时，可设为 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d ，
此时公差为2 d .若有6项、8项、……，可同理设出.
【跟踪训练】
已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为
40，求这四个数.
解：设这四个数依次是 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d （ a ， d
∈R）.
可得
解得或
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 某公司2023年经销一种数码产品，获利200万元，从2024年
起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公
司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一
产品将出现亏损？
解：记2023年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利
180万元，第3年获利160万元，……，则每年获利构成等差数列
{ an }，且当 an ＜0时，该公司经销此产品将出现亏损.
设第 n 年的利润为 an ，因为 a1＝200，公差 d ＝－20，所以 an ＝ a1＋
（ n －1） d ＝220－20 n .
由题意知，数列{ an }为递减数列，令 an ＜0，即 an ＝220－20 n ＜0，
解得 n ＞11，即从第12年起，也就是从2034年开始，该公司经销此产
品将出现亏损.
通性通法
解决等差数列实际应用问题的步骤
提醒 在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，
小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的
日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为
（ ）
A. 12.5尺 B. 10.5尺
C. 15.5尺 D. 9.5尺
解析： 从冬至起，日影长依次记为 a1， a2， a3，…， a12，根据题
意，有 a1＋ a4＋ a7＝37.5，整理得 a4＝12.5，而 a12＝4.5，设其公差
为 d ，则有解得所以冬至的日影长为
15.5尺，故选C.
1. 已知数列{ an }是等差数列， a4＝15， a7＝27，则过点 P （3，
a3）， Q （5， a5）的直线斜率为（ ）
A. 4 B.
解析： 由数列{ an }是等差数列，知 an 是关于 n 的“一次函
数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（ n ， an ），因此过点 P
（3， a3）， Q （5， a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）
的直线斜率，所以所求直线的斜率 k ＝ ＝4.
C. －4 D. －
2. 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排
头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都
比前一位多7，则队伍里一共有 人.
解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为
17，公差为7，末项为150，设末项为第 n 项，则17＋7（ n －1）＝
150，解得 n ＝20，则队伍里一共有20人.
20
3. 已知单调递增的等差数列{ an }满足 a1＝1， a3＝ －4则 an ＝
.
解析：设等差数列{ an }的公差为 d ，则由 a3＝ －4得，1＋2 d ＝
（1＋ d ）2－4，解得 d ＝±2，由于数列{ an }为递增数列，所以 d
＝2，故 an ＝ a1＋（ n －1）×2＝2 n －1.
2 n
－1
4. 已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这
三个数的积.
解：设这三个数分别为 a － d ， a ， a ＋ d ，则
解得或
∴这三个数依次为－1，3，7或7，3，－1.∴这
三个数的积为－21.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100
个图形所用火柴棒数为（ ）
A. 199 B. 201 C. 203 D. 205
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解析： 由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二
个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒
数多两根，设第 n 个图形所需要的火柴棒数量为 an ，则 an ＝3＋2
（ n －1）＝2 n ＋1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100＋1＝
201.
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2. （2024·莆田月考）若 a ， b ， c 成等差数列，则二次函数 y ＝ ax2－
2 bx ＋ c 的图象与 x 轴的交点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
解析： 因为 a ， b ， c 成等差数列，所以2 b ＝ a ＋ c ，所以Δ＝4
b2－4 ac ＝（ a ＋ c ）2－4 ac ＝（ a － c ）2≥0，所以二次函数 y ＝
ax2－2 bx ＋ c 的图象与 x 轴的交点个数为1或2.故选D.
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3. （2024·广州月考）《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五
尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”
意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一
端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重
多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等
差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ）
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 3斤
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解析： 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设
首项为 a1＝4，则 a5＝2，设公差为 d ，则2＝4＋4 d ，解得 d ＝－
，所以 a2＝4－ ＝ .
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4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这
样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且
使较大的三份之和的 等于较小的两份之和，则最小的一份为
（ ）
A. B. C. D.
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解析： 设五个人所分得的面包个数为 a －2 d ， a － d ， a ， a ＋
d ， a ＋2 d ，其中 d ＞0，则（ a －2 d ）＋（ a － d ）＋ a ＋（ a ＋
d ）＋（ a ＋2 d ）＝5 a ＝100，∴ a ＝20.由 （ a ＋ a ＋ d ＋ a ＋2
d ）＝ a －2 d ＋ a － d ，得3 a ＋3 d ＝7（2 a －3 d ），∴24 d ＝11
a ，∴ d ＝ ，∴最小的一份为 a －2 d ＝20－ ＝ .
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5. （多选）已知等差数列{ an }的公差不为零，且 a5＋ an ＝ a10＋ a20－ m
（ m ， n ∈N*），则（ ）
A. m ＋ n ＝25
B. 当且仅当 n ＝12时， mn 最大
C. m － n ＝10
D. mn 的最大值是156
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解析： 因为等差数列{ an }中， a5＋ an ＝ a10＋ a20－ m ，所以5＋
n ＝10＋20－ m ，即 m ＋ n ＝25，A正确，C不能确定； mn ＝（25
－ n ）· n ＝－ n2＋25 n ＝－（ n － ）2＋ ，又 n ∈N*，所以 n ＝
12或13时， mn 取得最大值156，B错误，D正确.
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6. （多选）下面是关于公差 d ＞0的等差数列{ an }的四个命题，正确
的是（ ）
A. 数列{ an }是递增数列
B. 数列{ nan }是递增数列
C. 数列{ }是递增数列
D. 数列{ an ＋3 nd }是递增数列
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解析： 在等差数列{ an }中，因为 d ＞0，所以数列{ an }为递增
数列，所以A正确；令 an ＝ dn ＋ b ，则 nan ＝ dn2＋ bn ，当 b ＜0
时，可能是先减后增，所以B错误； ＝ ＝ ＋ d .当 b ＞0
时，数列{ }递减，所以C错误； an ＋3 nd ＝4 dn ＋ b ，因为 d ＞
0，所以是递增数列，所以D正确，故选A、D.
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7. （2024·临沂月考）若 a ， x1， x2， x3， b 与 a ， y1， y2， y3， y4，
y5， b 均为等差数列，则 ＝ .
解析：设等差数列 a ， x1， x2， x3， b 的公差为 m ，等差数列 a ，
y1， y2， y3， y4， y5， b 的公差为 n ，则有 b ＝ a ＋4 m 且 b ＝ a ＋6
n ，所以4 m ＝6 n ，则 ＝ ＝ ＝ .
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8. 已知数列{ an }满足 a1＝1，若点 在直线 x － y ＋1＝0
上，则 an ＝ .
解析：由题设可得 － ＋1＝0，即 － ＝1，所以数列
是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为 ＝ n ，所
以 an ＝ n2（ n ∈N*）.
n2（ n ∈N*）
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9. 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的
容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
解析：设此等差数列为{ an }，公差为 d ，则
∴解得∴ a5＝
a1＋4 d ＝ ＋4× ＝ .
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10. 已知递减的等差数列{ an }的前三项和为18，前三项的乘积为66，
求数列{ an }的通项公式.
解：法一 设数列{ an }的公差为 d ，依题意，
得
∴
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解得或
∵数列{ an }是递减的等差数列，∴ d ＜0.故取 a1＝11， d ＝－5，
∴ an ＝11＋（ n －1）（－5）＝－5 n ＋16.
法二 设等差数列{ an }的前三项依次为 a － d ， a ， a ＋ d ，则
解得∵{ an }是递减的
等差数列，∴ d ＜0，∴ a ＝6， d ＝－5.∴等差数列{ an }的首项 a1
＝11，公差 d ＝－5.∴ an ＝11＋（ n －1）（－5）＝－5 n ＋16.
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11. 已知方程（ x2－2 x ＋ m ）（ x2－2 x ＋ n ）＝0的四个根构成首项为
的等差数列，则｜ m － n ｜＝（ ）
A. 1 B.
解析： 根据根与系数的关系得，等差数列中两项的和是2，另
外两项的和也是2，首项是 ，容易得到四项依次为 ， ， ，
，则 m ， n 的值一个为 ，另外一个为 ，所以｜ m － n ｜＝ .
C. D.
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12. （2024·南阳月考）等差数列{ an }中， a1＝1，公差为 d （ d
∈Z）， a3＋λ a9＋ a15＝17，λ∈（－1，0），则公差 d 的值为
（ ）
A. 1 B. 0
C. －1 D. －2
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解析： a3＋λ a9＋ a15＝ a1＋2 d ＋λ（ a1＋8 d ）＋ a1＋14 d ＝
（2＋λ） a1＋（16＋8λ） d ＝17，整理得（8 d ＋1）λ＝15－16
d ，由于 d ∈Z，所以8 d ＋1≠0，故λ＝ ，则λ＝ ∈
（－1，0）.若8 d ＋1＞0，解得 ＜ d ＜2，由于 d ∈Z，所以 d ＝
1；若8 d ＋1＜0，解得此时无解.综上，公差 d 的值为
1.故选A.
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13. 已知等差数列{ an }是递增数列，且 a1＋ a2＋ a3≤3， a7－3 a3≤8，
则 a4的取值范围为 .
解析：∵等差数列{ an }是递增数列，且 a1＋ a2＋ a3≤3，即3 a1＋3
d ≤3，∴ a1＋ d ≤1，∴ a2≤1，公差 d ＞0.又∵ a7－3 a3≤8，∴ a1
＋6 d －3（ a1＋2 d ）＝－2 a1≤8，∴ a1≥－4，则0＜ d ＝ a2－
a1≤5，∴ a4＝ a1＋3 d ＞－4. a4＝ a2＋2 d ≤1＋10＝11，∴ a4的取
值范围为（－4，11].
（－4，11]
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14. 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行
距离：
时间t/s 1 2 3 … ？ … 60
距离s/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？
（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间
之间的关系吗？
解：由题表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型.因为 a1＝9.8， d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离 s 与时间 t 的关系是 s ＝9.8 t .
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（2）利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需
要多长时间？
解：当 t ＝1 min＝60 s时， s ＝9.8 t ＝9.8×60＝588（cm）.
当 s ＝49 cm时， t ＝ ＝ ＝5（s）.
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15. （2024·嘉兴月考）以过圆 x2＋ y2＝10 x 内一点（5，3）的最短弦
长为等差数列{ an }的首项 a1，最长弦长为其末项 an ，若等差数列
{ an }的公差 d ∈［ ， ］，则项数 n 的取值不可能是（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
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解析： 由题意，将圆 x2＋ y2＝10 x 化为（ x －5）2＋ y2＝25，
可得圆心坐标为 C （5，0），半径 r ＝5.设 A （5，3），可得｜
AC ｜＝3，由圆的弦长公式，可得 a1＝2 ＝8， an ＝10，
设等差数列{ an }的公差为 d ，则 an ＝ a1＋（ n －1） d ，即8＋（ n
－1）· d ＝10，所以 n ＝ ＋1.因为 ≤ d ≤ ，所以5≤ ＋1≤7，
即5≤ n ≤7，结合选项可得 n 的取值不可能是选项A. 故选A.
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16. 设 f （ x ）＝ ，若 f （ x ）＝ x 有唯一解，且 f （ x0）＝
， xn ＝ f （ xn－1）， n ＝1，2，3，….
（1）判断数列 是否为等差数列；
解：由 f （ x ）＝ x ，得 ＝ x ，
即 x ［1－ ］＝0，解得 x ＝0或 x ＝ －2.
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∵ f （ x ）＝ x 有唯一解，∴0＝ －2，解得 a ＝ .
∴ f （ x ）＝ .
∴ xn ＝ f （ xn－1）＝ ，∴ － ＝ .
又 x1＝ f （ x0）＝ ，∴数列{ }是以1 006为首项， 为公
差的等差数列.
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（2）求 x2 024的值.
解：由（1）知， ＝1 006＋（ n －1）× ＝
，
∴ xn ＝ ，∴ x2 024＝ .
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谢 谢 观 看！第3课时 等差数列的综合应用
1.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）
A.199 B.201
C.203 D.205
2.（2024·莆田月考）若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.1或2
3.（2024·广州月考）《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ）
A.斤 B.斤
C.斤 D.3斤
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知等差数列{an}的公差不为零，且a5＋an＝a10＋a20－m（m，n∈N*），则（ ）
A.m＋n＝25 B.当且仅当n＝12时，mn最大
C.m－n＝10 D.mn的最大值是156
6.（多选）下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是（ ）
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列{}是递增数列
D.数列{an＋3nd}是递增数列
7.（2024·临沂月考）若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝ .
8.已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝ .
9.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
10.已知递减的等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式.
11.已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根构成首项为的等差数列，则｜m－n｜＝（ ）
A.1 B.
C. D.
12.（2024·南阳月考）等差数列{an}中，a1＝1，公差为d（d∈Z），a3＋λa9＋a15＝17，λ∈（－1，0），则公差d的值为（ ）
A.1 B.0
C.－1 D.－2
13.已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4的取值范围为 .
14.甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行距离：
时间t/s 1 2 3 … ？ … 60
距离s/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？
（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？
15.（2024·嘉兴月考）以过圆x2＋y2＝10x内一点（5，3）的最短弦长为等差数列{an}的首项a1，最长弦长为其末项an，若等差数列{an}的公差d∈［，］，则项数n的取值不可能是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
16.设f（x）＝，若f（x）＝x有唯一解，且f（x0）＝，xn＝f（xn－1），n＝1，2，3，….
（1）判断数列是否为等差数列；
（2）求x2 024的值.
第3课时 等差数列的综合应用
1.B 由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数量为an，则an＝3＋2（n－1）＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100＋1＝201.
2.D 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c）2≥0，所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D.
3.B 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
4.A 设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d＞0，则（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5a＝100，∴a＝20.由（a＋a＋d＋a＋2d）＝a－2d＋a－d，得3a＋3d＝7（2a－3d），∴24d＝11a，∴d＝，∴最小的一份为a－2d＝20－＝.
5.AD 因为等差数列{an}中，a5＋an＝a10＋a20－m，所以5＋n＝10＋20－m，即m＋n＝25，A正确，C不能确定；mn＝（25－n）·n＝－n2＋25n＝－（n－）2＋，又n∈N*，所以n＝12或13时，mn取得最大值156，B错误，D正确.
6.AD 在等差数列{an}中，因为d＞0，所以数列{an}为递增数列，所以A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，所以B错误；＝＝＋d.当b＞0时，数列{}递减，所以C错误；an＋3nd＝4dn＋b，因为d＞0，所以是递增数列，所以D正确，故选A、D.
7. 解析：设等差数列a，x1，x2，x3，b的公差为m，等差数列a，y1，y2，y3，y4，y5，b的公差为n，则有b＝a＋4m且b＝a＋6n，所以4m＝6n，则＝＝＝.
8.n2（n∈N*） 解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为＝n，所以an＝n2（n∈N*）.
9. 解析：设此等差数列为{an}，公差为d，则∴解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
10.解：法一 设数列{an}的公差为d，依题意，
得
∴
解得或
∵数列{an}是递减的等差数列，∴d＜0.故取a1＝11，d＝－5，∴an＝11＋（n－1）（－5）＝－5n＋16.
法二 设等差数列{an}的前三项依次为a－d，a，a＋d，
则解得∵{an}是递减的等差数列，∴d＜0，∴a＝6，d＝－5.∴等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.∴an＝11＋（n－1）（－5）＝－5n＋16.
11.C 根据根与系数的关系得，等差数列中两项的和是2，另外两项的和也是2，首项是，容易得到四项依次为，，，，则m，n的值一个为，另外一个为，所以｜m－n｜＝.
12.A a3＋λa9＋a15＝a1＋2d＋λ（a1＋8d）＋a1＋14d＝（2＋λ）a1＋（16＋8λ）d＝17，整理得（8d＋1）λ＝15－16d，由于d∈Z，所以8d＋1≠0，故λ＝，则λ＝∈（－1，0）.若8d＋1＞0，解得＜d＜2，由于d∈Z，所以d＝1；若8d＋1＜0，解得此时无解.综上，公差d的值为1.故选A.
13.（－4，11] 解析：∵等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，即3a1＋3d≤3，∴a1＋d≤1，∴a2≤1，公差d＞0.又∵a7－3a3≤8，∴a1＋6d－3（a1＋2d）＝－2a1≤8，∴a1≥－4，则0＜d＝a2－a1≤5，∴a4＝a1＋3d＞－4.a4＝a2＋2d≤1＋10＝11，∴a4的取值范围为（－4，11].
14.解：（1）由题表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型.因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
（2）当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588（cm）.
当s＝49 cm时，t＝＝＝5（s）.
15.A 由题意，将圆x2＋y2＝10x化为（x－5）2＋y2＝25，可得圆心坐标为C（5，0），半径r＝5.设A（5，3），可得｜AC｜＝3，由圆的弦长公式，可得a1＝2＝8，an＝10，设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，即8＋（n－1）·d＝10，所以n＝＋1.因为≤d≤，所以5≤＋1≤7，即5≤n≤7，结合选项可得n的取值不可能是选项A.故选A.
16.解：（1）由f（x）＝x，得＝x，
即x［1－］＝0，解得x＝0或x＝－2.
∵f（x）＝x有唯一解，∴0＝－2，解得a＝.
∴f（x）＝.
∴xn＝f（xn－1）＝，∴－＝.
又x1＝f（x0）＝，∴数列是以1 006为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，＝1 006＋（n－1）×＝，
∴xn＝，∴x2 024＝.
2 / 2第3课时 等差数列的综合应用
题型一 等差数列与一次函数的关系
【例1】 （2024·青岛月考）在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q（p，q为常数），则a2 024＝（ ）
A.4 046 B.4 047
C.4 048 D.4 049
通性通法
利用一次函数的性质解等差数列问题的思路
（1）若d＞0，则该数列为递增数列，若d＝0，则该数列为常数列，若d＜0，则该数列为递减数列；
（2）由等差数列与一次函数的关系知等差数列的图象是直线上的孤立的点，且任意两点连线的斜率为直线的斜率，即点（n，an）（n∈N*）共线且＝d（d为等差数列的公差）.
【跟踪训练】
1.已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq＝ .
2.已知等差数列{an}中，a3＝3，＝.
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断{an}的单调性.
题型二 等差数列中项的设法
【例2】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
通性通法
等差数列的设项方法和技巧
（1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程（组）求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式；
（2）当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、……，可同理设出；
（3）当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、……，可同理设出.
【跟踪训练】
已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数.
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 某公司2023年经销一种数码产品，获利200万元，从2024年起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？
通性通法
解决等差数列实际应用问题的步骤
提醒 在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为（ ）
A.12.5尺 B.10.5尺
C.15.5尺 D.9.5尺
1.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（ ）
A.4 B.
C.－4 D.－
2.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有 人.
3.已知单调递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝－4则an＝ .
4.已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这三个数的积.
第3课时 等差数列的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 D 法一 根据题意可知数列{an}为等差数列，则公差d＝＝2，故a2 024＝a1＋（2 024－1）d＝3＋2 023×2＝4 049.
法二 由题易得数列{an}为等差数列，则＝，解得a2 024＝4 049.
跟踪训练
1.－10 解析：法一 设等差数列的通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得解得即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2×（－10＋5）＝－10.
法二 由题意知，（1，3），（3，－1），（5，a5）三点共线，所以＝，所以a5＝－5.由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝－10.
2.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3＝3，＝，得（a3＋d）2＝（a3＋2d）2，
即（3＋d）2＝（3＋2d）2，整理得d2＋2d＝0，解得d＝0或d＝－2，当d＝0时，an＝3，当d＝－2时，a1＝3－2d＝7，an＝a1＋（n－1）d＝9－2n.
（2）当an＝3时，数列是常数列，{an}不具有单调性；
当an＝9－2n时，显然an＝9－2n＞an＋1＝7－2n，{an}是递减数列.
【例2】 解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得所以这三个数为4，3，2.
（2）设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d），
依题意得2a＝2且（a－3d）（a＋3d）＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
跟踪训练
解：设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（a，d∈R）.可得
解得或
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
【例3】 解：记2023年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，则每年获利构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损.
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋（n－1）d＝220－20n.
由题意知，数列{an}为递减数列，令an＜0，即an＝220－20n＜0，解得n＞11，即从第12年起，也就是从2034年开始，该公司经销此产品将出现亏损.
跟踪训练
C 从冬至起，日影长依次记为a1，a2，a3，…，a12，根据题意，有a1＋a4＋a7＝37.5，整理得a4＝12.5，而a12＝4.5，设其公差为d，则有解得所以冬至的日影长为15.5尺，故选C.
随堂检测
1.A 由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（n，an），因此过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4.
2.20 解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则17＋7（n－1）＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人.
3.2n－1 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝－4得，1＋2d＝（1＋d）2－4，解得d＝±2，由于数列{an}为递增数列，所以d＝2，故an＝a1＋（n－1）×2＝2n－1.
4.解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则解得或∴这三个数依次为－1，3，7或7，3，－1.∴这三个数的积为－21.
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