(共52张PPT)
第2课时
等差数列前n项和的性质及应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列前 n 项和的性质
【例1】 （1）等差数列{ an }的前4项和是2，前8项和是10，则 S12＝
（ ）
A. 12 B. 18
解析：由题意知，等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 S4＝2， S8＝10.由等差数列的性质，得 S4， S8－ S4， S12－ S8成等差数列，即2，8， S12－10成等差数列，所以2＋（ S12－10）＝2×8，解得 S12＝24.
C. 24 D. 42
（2）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数
项的和之比为32∶27，则该数列的公差为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 法一 设该等差数列的首项为 a1，公差为 d ，由题意可得
解得 d ＝5.
法二 记该等差数列的前12项中偶数项的和为 S偶，奇数项的和为 S奇.
由已知条件，得
解得又 S偶－ S奇＝6
d ，所以 d ＝ ＝5.
通性通法
等差数列前 n 项和的常用性质
（1）等差数列的依次 k 项之和， Sk ， S2 k － Sk ， S3 k － S2 k ，…组成公
差为 k2 d 的等差数列；
（2）数列{ an }是等差数列 Sn ＝ pn2＋ qn （ p ， q 为常数） 数列
为等差数列（公差为{ an }公差的 倍）；
（3）若 S奇表示奇数项的和， S偶表示偶数项的和，公差为 d ：①当项
数为偶数2 n 时， S偶－ S奇＝ nd ， ＝ ；②当项数为奇数2 n
－1时， S奇－ S偶＝ an ， ＝ .
【跟踪训练】
1. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a1＝－10， － ＝1，则
S10＝ .
解析：在等差数列中，因为 a1＝－10， － ＝1，所以 ＝－
10，所以{ }是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝－
10＋9×1＝－1， S10＝－10.
－10
2. 已知数列{ an }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，
偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是
.
解析：设等差数列{ an }的项数为2 m ，∵末项与首项的差为－28，
∴ a2 m － a1＝（2 m －1） d ＝－28①，∵ S奇＝50， S偶＝34，∴ S偶
－ S奇＝34－50＝－16＝ md ②，由①②得 d ＝－4.
－
4
3. 已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项
之和.
解：在等差数列中， S10， S20－ S10， S30－ S20，…， S100－ S90， S110
－ S100成等差数列.
设其公差为 d ，则前10项和为10 S10＋ d ＝ S100＝10，解得 d ＝
－22，
∴ S110－ S100＝ S10＋（11－1） d ＝100＋10×（－22）＝－120，
∴ S110＝－120＋ S100＝－110.
题型二 等差数列前 n 项和的最值问题
【例2】 在等差数列{ an }中， a1＝25， S8＝ S18，求前 n 项和 Sn 的最
大值.
解：法一 因为 S8＝ S18， a1＝25，
所以8×25＋ d ＝18×25＋ d ，
解得 d ＝－2.
所以 Sn ＝25 n ＋ ×（－2）＝－ n2＋26 n ＝－（ n －13）2＋
169.所以当 n ＝13时 ， Sn 有最大值为169.
法二 同法一，求出公差 d ＝－2.
所以 an ＝25＋（ n －1）×（－2）＝－2 n ＋27.
因为 a1＝25＞0，
由得
又因为 n ∈N*，
所以当 n ＝13时， Sn 有最大值为169.
通性通法
求等差数列前 n 项和的最值的方法
（1）二次函数法：即先求得 Sn 的表达式，然后配方.若对称轴恰好为
正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在
离对称轴最近的正整数处取得最值，有时 n 的值有两个，有时可
能为1个；
（2）不等式法：①当 a1＞0， d ＜0时，由 Sm 为最大值；
②当 a1＜0， d ＞0时，由 Sm 为最小值.
【跟踪训练】
（2024·中山月考）在等差数列{ an }中， a10＝18，前5项的和 S5＝－15.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解：（1）设等差数列的公差为 d ，
因为在等差数列{ an }中， a10＝18， S5＝－15，
所以解得
所以 an ＝3 n －12， n ∈N*.
（2）求数列{ an }的前 n 项和的最小值，并指出何时取最小值.
解： 因为 a1＝－9， d ＝3， an ＝3 n －12，
所以 Sn ＝ ＝ （3 n2－21 n ）＝ （ n － ）2－ ，
所以当 n ＝3或4时，数列{ an }的前 n 项和 Sn 取得最小值 S3＝ S4＝
－18.
题型三 等差数列求和的实际应用
【例3】 （2024·温州质检）7月份，有一新款服装投入某市场.7月1
日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，
当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一
天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
（1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
解： 设7月 n 日售出的服装件数为 an （ n ∈N*，1≤ n
≤31），最多售出 ak 件.
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流
行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服
装在社会上流行几天？
解：设 Sn 是数列{ an }的前 n 项和，∵ an ＝
∴ Sn ＝
∵ S13＝273＞200，
∴当1≤ n ≤13时，由 Sn ＞200，得12≤ n ≤13，
当14≤ n ≤31时，日销售量连续下降，由 an ＜20，得23≤ n
≤31，∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）.
通性通法
应用等差数列解决实际问题的一般思路
【跟踪训练】
某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新
感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增
加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得
到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
（1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感
染者人数；
解： 由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构
成一个首项 a1＝40，公差 d ＝40的等差数列{ an }，
所以9月10日的新感染者人数为 a10＝40＋（10－1）×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减
少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
（2）该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？
解： 9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为 S10＝
＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项 b1＝390，公差 d1
＝－10的等差数列{ bn }，又 b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为 T20＝
＝5 900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）.
1. 已知等差数列{ an }共有2 n －1项，其中奇数项之和为290，偶数项
之和为261，则 an ＝（ ）
A. 30 B. 29
C. 28 D. 27
解析： 由 S奇－ S偶＝ an ，得 an ＝290－261＝29.故选B.
2. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S4＝8， S8＝20，则 a13＋ a14＋
a15＋ a16＝（ ）
A. 8 B. 12
C. 16 D. 20
解析： 因为数列{ an }是等差数列，且 S4＝8， S8＝20， S8－ S4
＝12，所以数列 S4， S8－ S4， S12－ S8， S16－ S12，…是等差数列，
且首项为8，公差为4.所以 a13＋ a14＋ a15＋ a16＝ S16－ S12＝8＋4×3
＝20.
3. （2024·烟台质检）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减
分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两
银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则
长兄可分得银子的数目为（ ）
A. 两 B. 两
C. 两 D. 两
解析： 设10个兄弟由大到小依次分得 an （ n ＝1，2，…，10）
两银子，设数列{ an }的公差为 d ，其前 n 项和为 Sn ，则由题意得
即解得所以长兄分
得 两银子.
4. （2024·南京月考）已知 Sn ， Tn 分别是等差数列{ an }，{ bn }的前 n
项和，且 ＝ ，则 ＝ .
解析： ＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 等差数列{ an }中， S3＝3， S6＝9，则 S12＝（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
解析： 根据题意，在等差数列{ an }中， S3， S6－ S3， S9－ S6，
S12－ S9，…也成等差数列，又由 S3＝3， S6＝9，得 S6－ S3＝6，则
S9－ S6＝9， S12－ S9＝12，则 S12＝ S3＋（ S6－ S3）＋（ S9－ S6）＋
（ S12－ S9）＝3＋6＋9＋12＝30.
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2. 已知数列{2 n －19}，那么这个数列的前 n 项和 Sn 取最小值时 n ＝
（ ）
A. 1 B. 8 C. 9 D. 10
解析： 易知数列{2 n －19}的通项 an ＝2 n －19，∴ a1＝－17， d
＝2.∴该数列是递增等差数列.令 an ＝0，得 n ＝9 .∴ a1＜ a2＜ a3
＜…＜ a9＜0＜ a10＜….∴该数列的前 n 项和有最小值为 S9，∴ n ＝
9，故选C.
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3. （2024·龙岩月考）一个等差数列共有2 n 项，奇数项的和与偶数项
的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是
（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 20
解析： 根据等差数列的性质得： nd ＝30－24＝6， a2 n － a1
＝（2 n －1） d ＝10.5，解得 n ＝4，故该数列的项数为2 n ＝8.
故选B.
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4. （2024·泰安月考）已知在等差数列{ an }中， Sn 是其前 n 项和， a1
＝－11， － ＝2，则 S11＝（ ）
A. －11 B. 11
C. 10 D. －10
解析： 因为{ an }为等差数列，所以{ }为等差数列.首项 ＝
a1＝－11，设{ }的公差为 d ，则 － ＝2 d ＝2，所以 d ＝1.所
以 ＝－11＋10 d ＝－1.所以 S11＝－11.
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5. （多选）已知数列{ an }是等差数列，其前 n 项和 Sn 满足 a1＋3 a2＝
S6，则下列四个选项中正确的是（ ）
A. a7＝0 B. S13＝0
C. S7最小 D. S5＝ S8
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解析： 根据题意，设等差数列{ an }的公差为 d .对于A， a1
＋3 a2＝ S6，即4 a1＋3 d ＝6 a1＋ d ，变形可得 a1＋6 d ＝0，即 a7
＝0，故A正确；对于B， S13＝ ＝13 a7＝0，故B正
确；对于C， S7＝ ＝7 a4，可能大于0，也可能小于0，
故C不正确；对于D， S5－ S8＝（5 a1＋ d ）－（8 a1＋ d ）＝
－3 a1－18 d ＝－3 a7＝0，故D正确.
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6. （多选）（2024·泉州月考）设 Sn 是公差为 d （ d ≠0）的无穷等差
数列{ an }的前 n 项和，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 d ＜0，则数列{ Sn }有最大项
B. 若数列{ Sn }有最大项，则 d ＜0
C. 若数列{ Sn }是递增数列，则对任意 n ∈N*，均有 Sn ＞0
D. 若对任意 n ∈N*，均有 Sn ＞0，则数列{ Sn }是递增数列
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解析： 显然 Sn 对应的二次函数有最大值时 d ＜0，且若 d ＜
0，则 Sn 有最大值，故A、B正确；又若对任意 n ∈N*， Sn ＞0，则
a1＞0， d ＞0，{ Sn }必为递增数列，故D正确；而对于C项，令 Sn
＝ n2－2 n ，则数列{ Sn }递增，但 S1＝－1＜0，故C不正确.
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7. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管
尽可能少，那么剩余钢管的根数为 .
解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等
差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2
＋3＋…＋ n ＝ .当 n ＝19时， S19＝190，当 n ＝20时， S20
＝210＞200.∴当 n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
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8. 已知等差数列前3项的和为34，后3项的和为146，所有项的和为
390，则这个数列的项数 n ＝ .
解析：设该等差数列为{ an }，其前 n 项和为 Sn .由题意得， a1＋ a2
＋ a3＝34， an－2＋ an－1＋ an ＝146，∴（ a1＋ a2＋ a3）＋（ an－2＋
an－1＋ an ）＝（ a1＋ an ）＋（ a2＋ an－1）＋（ a3＋ an－2）＝3（ a1
＋ an ）＝34＋146，∴ a1＋ an ＝60.又 Sn ＝ ，∴390＝
，解得 n ＝13.
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9. （2024·福州月考）已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a1＞0，
S25＝0，则使 Sn 取得最大值时的 n 的值为 .
解析：设数列{ an }的公差为 d ，所以 S25＝25 a1＋ d ＝0，则 a1
＝－12 d ，所以 Sn ＝ na1＋ d ＝ n2－ n .考虑函数 y ＝
n2－ n ，因为 a1＞0， d ＜0，所以该函数的图象是开口向下的抛
物线，对称轴为直线 n ＝ .因为 n 为正整数，所以当 n ＝12或13
时， Sn 取得最大值.
12或13
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10. 一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天
先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利
率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期
付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器
实际花了多少钱？
解：购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付
完.设每月的付款数依次组成数列{ an }，则
a1＝50＋1 000×0.01＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5，
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a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59，
…
a10＝60－0.5×9＝55.5，
…
an ＝60－0.5（ n －1）（1≤ n ≤20）.
所以数列{ an }是等差数列，公差 d ＝－0.5，全部货款付清后付款
总数为 S20＋150＝ ＋150＝（2 a1＋19 d ）×10＋150
＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 225.
故第10个月应交付55.5元.全部货款付清后，买这件家用电器实际
花了1 255元.
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11. 已知等差数列{ an }满足 S30＝120， a3＋ a6＋ a9＋…＋ a30＝60，则
an ＝（ ）
A. 2 n －25 B. 2 n －27
C. 3 n －15 D. 3 n －18
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解析： 设等差数列的公差为 d ，则 S30＝（ a1＋ a4＋…＋ a28）
＋（ a2＋ a5＋…＋ a29）＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）＝（ a3＋ a6＋…＋
a30）－20 d ＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）－10 d ＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）
＝180－30 d ，即120＝180－30 d ，解得 d ＝2.又 S30＝30 a1＋
×2＝120，解得 a1＝－25.所以 an ＝－25＋（ n －1）×2＝2 n －
27，故选B.
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12. （多选）已知 Sn 是等差数列的前 n 项和，且 S6＞ S7＞ S5，则下列
命题中正确的是（ ）
A. d ＜0
B. S11＞0
C. S12＜0
D. 数列{ Sn }中的最大项为 S11
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解析： ∵ S6＞ S7，∴ a7＜0，∵ S7＞ S5，∴ a6＋ a7＞0，∴ a6
＞0，∴ d ＜0，A正确；又 S11＝ （ a1＋ a11）＝11 a6＞0，B正
确； S12＝ （ a1＋ a12）＝6（ a6＋ a7）＞0，C不正确；{ Sn }中最
大项为 S6，D不正确.
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13. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，
相邻两棵树相距10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁
边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总
和最小，此最小值为 m.
解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树
坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第
10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为
首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S ＝
9×20＋ ×20＋10×20＋ ×20＝2 000（m）.
2 000
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14. 已知项数为奇数的等差数列{ an }，奇数项之和为44，偶数项之和
为33，求这个数列的中间项及项数.
解：设等差数列{ an }共有2 n ＋1项，则奇数项有 n ＋1项，偶数项
有 n 项，中间项是第 n ＋1项，即 an＋1.
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
所以 n ＝3.
因为 S奇＝（ n ＋1） an＋1＝44，所以 an＋1＝11.
所以这个数列的中间项为11，共有2 n ＋1＝7（项）.
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15. 已知等差数列{ an }，其前 n 项和为 Sn ， Sn 有最小值，若 ＜－
1，则使 Sn ＜0成立的 n 的最大值为（ ）
A. 17 B. 16
C. 15 D. 14
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解析： 因为 ＜－1，所以 ＋1＜0，即 ＜0.又 Sn 有最
小值，所以 a8＜0， a8＋ a9＞0，所以 S15＝ ＝15 a8＜
0， S16＝ ＝8（ a8＋ a9）＞0，因此，使 Sn ＜0成立的
n 的最大值为15.故选C.
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16. 已知数列{ an }的首项 a1＝1，前 n 项和为 Sn ，且数列 是公差为
2的等差数列.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解：因为数列 是公差为2的等差数列，且 ＝ a1＝1，所以 ＝1＋（ n －1）×2＝2 n －1，所以 Sn ＝2 n2－ n ，
又因为 an ＝ Sn － Sn－1（ n ≥2），所以当 n ≥2时 an ＝ Sn － Sn
－1＝4 n －3，
又因为 a1＝1符合 n ≥2的情况，所以 an ＝4 n －3.
1
2
3
4
5
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7
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15
16
（2） 若 bn ＝（－1） nan ，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
解： 因为 bn ＝（－1） nan ＝（－1） n （4 n －3），
当 n 为偶数时， Tn ＝（－1）＋5＋（－9）＋13＋…＋[－
（4 n －7）]＋（4 n －3），
所以 Tn ＝[（－1）＋5]＋[（－9）＋13]＋…＋[－（4 n －
7）＋（4 n －3）]＝4× ＝2 n ，
当 n 为奇数时， Tn ＝ Tn－1＋ bn ＝2（ n －1）＋[－（4 n －
3）]＝1－2 n ，
综上可知： Tn ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
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谢 谢 观 看！第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12＝（ ）
A.12 B.18
C.24 D.30
2.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn取最小值时n＝（ ）
A.1 B.8
C.9 D.10
3.（2024·龙岩月考）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A.4 B.8
C.12 D.20
4.（2024·泰安月考）已知在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝（ ）
A.－11 B.11
C.10 D.－10
5.（多选）已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（ ）
A.a7＝0 B.S13＝0
C.S7最小 D.S5＝S8
6.（多选）（2024·泉州月考）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（ ）
A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D.若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
7.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 .
8.已知等差数列前3项的和为34，后3项的和为146，所有项的和为390，则这个数列的项数n＝ .
9.（2024·福州月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为 .
10.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？
11.已知等差数列{an}满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝（ ）
A.2n－25 B.2n－27
C.3n－15 D.3n－18
12.（多选）已知Sn是等差数列的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（ ）
A.d＜0 B.S11＞0
C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11
13.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 m.
14.已知项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
15.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若＜－1，则使Sn＜0成立的n的最大值为（ ）
A.17 B.16
C.15 D.14
16.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2） 若bn＝（－1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.D 根据题意，在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋（S12－S9）＝3＋6＋9＋12＝30.
2.C 易知数列{2n－19}的通项an＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增等差数列.令an＝0，得n＝9.∴a1＜a2＜a3＜…＜a9＜0＜a10＜….∴该数列的前n项和有最小值为S9，∴n＝9，故选C.
3.B 根据等差数列的性质得：nd＝30－24＝6，a2n－a1＝（2n－1）d＝10.5，解得n＝4，故该数列的项数为2n＝8.故选B.
4.A 因为{an}为等差数列，所以{}为等差数列.首项＝a1＝－11，设{}的公差为d，则－＝2d＝2，所以d＝1.所以＝－11＋10d＝－1.所以S11＝－11.
5.ABD 根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确.
6.ABD 显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确.
7.10 解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210＞200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
8.13 解析：设该等差数列为{an}，其前n项和为Sn.由题意得，a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，∴（a1＋a2＋a3）＋（an－2＋an－1＋an）＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＝3（a1＋an）＝34＋146，∴a1＋an＝60.又Sn＝，∴390＝，解得n＝13.
9.12或13 解析：设数列{an}的公差为d，所以S25＝25a1＋d＝0，则a1＝－12d，所以Sn＝na1＋d＝n2－n.考虑函数y＝n2－n，因为a1＞0，d＜0，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线n＝.因为n为正整数，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值.
10.解：购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{an}，则
a1＝50＋1 000×0.01＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5，
a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59，
…
a10＝60－0.5×9＝55.5，
…
an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）.
所以数列{an}是等差数列，公差d＝－0.5，全部货款付清后付款总数为S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 225.
故第10个月应交付55.5元.全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元.
11.B 设等差数列的公差为d，则S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故选B.
12.AB ∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.
13.2 000 解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000（m）.
14.解：设等差数列{an}共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，即an＋1.
所以＝＝＝＝＝，
所以n＝3.
因为S奇＝（n＋1）an＋1＝44，所以an＋1＝11.
所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7（项）.
15.C 因为＜－1，所以＋1＜0，即＜0.又Sn有最小值，所以a8＜0，a8＋a9＞0，所以S15＝＝15a8＜0，S16＝＝8（a8＋a9）＞0，因此，使Sn＜0成立的n的最大值为15.故选C.
16.解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋（n－1）×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，
又因为an＝Sn－Sn－1（n≥2），所以当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝4n－3，
又因为a1＝1符合n≥2的情况，所以an＝4n－3.
（2）因为bn＝（－1）nan＝（－1）n（4n－3），
当n为偶数时，Tn＝（－1）＋5＋（－9）＋13＋…＋[－（4n－7）]＋（4n－3），
所以Tn＝[（－1）＋5]＋[（－9）＋13]＋…＋[－（4n－7）＋（4n－3）]＝4×＝2n，
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2（n－1）＋[－（4n－3）]＝1－2n，
综上可知：Tn＝
1 / 2第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
题型一 等差数列前n项和的性质
【例1】 （1）等差数列{an}的前4项和是2，前8项和是10，则S12＝（ ）
A.12 B.18
C.24 D.42
（2）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
通性通法
等差数列前n项和的常用性质
（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；
（2）数列{an}是等差数列 Sn＝pn2＋qn（p，q为常数） 数列为等差数列（公差为{an}公差的倍）；
（3）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
【跟踪训练】
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，－＝1，则S10＝ .
2.已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 .
3.已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.
题型二 等差数列前n项和的最值问题
【例2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
通性通法
求等差数列前n项和的最值的方法
（1）二次函数法：即先求得Sn的表达式，然后配方.若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n的值有两个，有时可能为1个；
（2）不等式法：①当a1＞0，d＜0时，由 Sm为最大值；
②当a1＜0，d＞0时，由 Sm为最小值.
【跟踪训练】
（2024·中山月考）在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
题型三 等差数列求和的实际应用
【例3】 （2024·温州质检）7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
（1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
通性通法
应用等差数列解决实际问题的一般思路
【跟踪训练】
某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
（1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
（2）该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？
1.已知等差数列{an}共有2n－1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＝（ ）
A.30 B.29 C.28 D.27
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（ ）
A.8 B.12 C.16 D.20
3.（2024·烟台质检）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ）
A.两 B.两 C.两 D.两
4.（2024·南京月考）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝ .
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C （2）C 解析：（1）由题意知，等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝10.由等差数列的性质，得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，即2，8，S12－10成等差数列，所以2＋（S12－10）＝2×8，解得S12＝24.
（2）法一 设该等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得
解得d＝5.
法二 记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
跟踪训练
1.－10 解析：在等差数列中，因为a1＝－10，－＝1，所以＝－10，所以{}是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以＝－10＋9×1＝－1，S10＝－10.
2.－4 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝（2m－1）d＝－28①，∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md②，由①②得d＝－4.
3.解：在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列.
设其公差为d，则前10项和为10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋（11－1）d＝100＋10×（－22）＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
【例2】 解：法一 因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d＝18×25＋d，
解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169.
所以当n＝13时 ，Sn有最大值为169.
法二 同法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27.
因为a1＝25＞0，
由
得
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
跟踪训练
解：（1）设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以
解得
所以an＝3n－12，n∈N*.
（2）因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以Sn＝＝（3n2－21n）＝（n－）2－，
所以当n＝3或4时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值S3＝S4＝－18.
【例3】 解：（1）设7月n日售出的服装件数为an（n∈N*，1≤n≤31），最多售出ak件.
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273＞200，
∴当1≤n≤13时，由Sn＞200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an＜20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）.
跟踪训练
解：（1）由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋（10－1）×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
（2）9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T20＝＝5 900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）.
随堂检测
1.B 由S奇－S偶＝an，得an＝290－261＝29.故选B.
2.D 因为数列{an}是等差数列，且S4＝8，S8＝20，S8－S4＝12，所以数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，…是等差数列，且首项为8，公差为4.所以a13＋a14＋a15＋a16＝S16－S12＝8＋4×3＝20.
3.C 设10个兄弟由大到小依次分得an（n＝1，2，…，10）两银子，设数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，则由题意得即解得所以长兄分得两银子.
4. 解析：＝＝＝.
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