(共53张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的
概念 数学抽象
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关
问题 逻辑推理、
数学运算
3.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并
能运用这些性质简化运算 逻辑推理、
数学运算
4.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
第1课时
等比数列的概念及通项公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
【问题】 （1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
（2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
知识点一 等比数列的定义
文字
语言 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项
的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 q 表示
（显然 q ≠0）
符号
语言 ＝ （ q 为常数， q ≠0， n ∈N*）
2
同一个常数
公比
q
提醒 理解等比数列概念的注意点：①“从第2项起”，也就是说等
比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为
“每相邻两项的比”；③公比 q 可正，可负，但不能为0，它是一个与
n 无关的非零常数.
【想一想】
若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定
是等比数列吗？
提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该
数列才是等比数列.
知识点二 等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成 ，那
么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.此时， G2＝ .
等比数列
ab
【想一想】
任何两个非零实数都有等比中项吗？
提示：不一定，只有 a ， b 同号时才有等比中项.
知识点三 等比数列的通项公式
设等比数列{ an }的首项为 a1，公比为 q （ q ≠0），则通项公式为 an
＝ .
提醒 类似于等差数列与一次函数的关系，由 an ＝ · qn 可知，当 q ＞0且 q ≠1时，等比数列{ an }的第 n 项 an 是函数 f （ x ）＝ · qx （ x ∈R）当 x ＝ n 时的函数值，即 an ＝ f （ n ）. a1＞0， q ＞1的情形如图所示.
a1 qn－1
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列. （ √ ）
（2）若数列{ an }满足 ＝2， ＝2，则{ an }为等比数列.
（ × ）
（3）任何常数列都是等比数列. （ × ）
（4）数列 a ， G ， b 成等比数列的充要条件是 G2＝ ab .
（ × ）
√
×
×
×
2. 等比数列{ an }中， a1＝3，公比 q ＝2，则 a5＝（ ）
A. 32 B. －48 C. 48 D. 96
解析： a5＝ a1 q4＝3×24＝48.
3. 等比数列{ an }中， a2＝3， a4＝27，则公比 q ＝ .
解析：设等比数列{ an }的首项为 a1，则解得 q2＝9，所
以 q ＝±3.
4.4与16的等比中项是 .
解析：由 G2＝4×16＝64得 G ＝±8.
±3
±8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列的概念
【例1】 （多选）下列数列是等比数列的是（ ）
A. b ， b ， b ， b ，…（ b 为常数， b ≠0）
B. 22，42，62，82，…
C. 1，－ ， ，－ ，…
D. ， ， ， ，…
解析： A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等
比数列；B选项中， ≠ ，所以该数列不是等比数列；C选项中的
数列是首项为1，公比为－ 的等比数列；D选项中的数列是首项为
，公比为 的等比数列.故选A、C、D.
通性通法
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都
等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，
且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
【跟踪训练】
判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
（1）1， ， ， ， ，…；
（2）10，10，10，10，10，…；
（3） ，（ ）2，（ ）3，（ ）4，…；
（4）1，0，1，0，1，0，…；
（5）1，－4，16，－64，256，….
解：（1）不是等比数列.
（2）是等比数列，公比为1.
（3）是等比数列，公比为 .
（4）不是等比数列.
（5）是等比数列，公比为－4.
题型二 等比中项及应用
【例2】 （多选）如果－1， a ， b ， c ，－9成等比数列，那么
（ ）
A. b ＝3 B. b ＝－3
C. ac ＝9 D. ac ＝－9
解析： ∵ b 是－1，－9的等比中项，∴ b2＝9， b ＝±3.由等比数
列奇数项符号相同，得 b ＜0，故 b ＝－3，而 b 又是 a ， c 的等比中
项，故 b2＝ ac ，即 ac ＝9.
通性通法
应用等比中项需注意的问题
（1）由等比中项的定义可知 ＝ G2＝ ab G ＝± ，所以
只有 a ， b 同号时， a ， b 的等比中项有两个，异号时，没有
等比中项；
（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除
外）都是它的前一项和后一项的等比中项.
【跟踪训练】
（2024·丽水月考）在等差数列{ an }中， a3＝0.如果 ak 是 a6与 ak＋6的
等比中项，那么 k ＝ .
解析：设等差数列{ an }的公差为 d ，由题意得 a3＝ a1＋2 d ＝0，∴ a1
＝－2 d .又∵ ak 是 a6与 ak＋6的等比中项，∴ ＝ a6 ak＋6，即[ a1＋（ k
－1） d ]2＝（ a1＋5 d ）·[ a1＋（ k ＋5） d ]，[（ k －3） d ]2＝3 d ·（ k
＋3） d ，解得 k ＝9或 k ＝0（舍去）.
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题型三 等比数列中基本量的运算
【例3】 在等比数列{ an }中，
（1） a5＝8， a7＝2， an ＞0，求 an ；
（1）因为所以
由 得 q2＝ ，因为 an ＞0，所以 q ＝ ， a1＝128，所以 an ＝
a1· qn－1＝128×（ ） n－1＝（ ） n－8.
解：设数列{ an }的公比为 q .
（2） an ＝625， n ＝4， q ＝5，求 a1；
解： a1＝ ＝ ＝5，解得 a1＝5.
（3） a2＋ a5＝18， a3＋ a6＝9， an ＝1，求 n .
解： 因为
由 得 q ＝ ，所以 a1＝32.
又 an ＝1，所以32×（ ） n－1＝1，
即26－ n ＝20，解得 n ＝6.
通性通法
关于等比数列基本量的运算
（1） a1和 q 是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要求出这
两个基本量，其余的量便可以得出；
（2）等比数列的通项公式涉及4个量 a1， an ， n ， q ，只要知道其中
任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程（组）来解决.
【跟踪训练】
1. （2024·珠海月考）在等比数列{ an }中， a2＋ a4＝1， a6＋ a8＝9，
则 a2＝（ ）
A. B. C. D. 4
解析： 由题得解得 q2＝3，∴ q ＝ 或 q ＝
－ .当 q ＝ 时， a1＝ ；当 q ＝－ 时， a1＝－ .∴ a2＝ a1
q ＝ .
2. 设数列{ an }是各项均为正数的等比数列， a3＝8， a4＋ a5＝48，则
数列{ an }的通项公式为 .
解析：设等比数列的公比为 q （ q ＞0），因为 a3＝8， a4＋ a5＝
48，所以则 q2＋ q －6＝0，所以（ q －2）（ q
＋3）＝0，解得 q ＝2或 q ＝－3（舍去），所以 a1＝2，所以 an ＝ a1
qn－1＝2 n .
an ＝2 n
1. 下列数列为等比数列的是（ ）
A. 2，22，3×22，…
B. ， ， ，…
C. s －1，（ s －1）2，（ s －1）3，…
D. 0，0，0，…
解析： A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B.
2. 数列－ ， ，－ ， ，…的通项公式为 an ＝ （－ ） n .
解析：该数列是以－ 为公比，－ 为首项的等比数列，则 an ＝
（－ ） n .
3. 等比数列{ an }中， a1＝ ， q ＝2，则 a4与 a8的等比中项为 .
解析： a4＝ a1 q3＝ ×23＝1， a8＝ a1 q7＝ ×27＝16，∴ a4与 a8的
等比中项为± ＝±4.
（－ ） n
±4
4. 在等比数列{ an }中，
（1）已知 an ＝128， a1＝4， q ＝2，求 n ；
解： ∵ an ＝ a1· qn－1＝128， a1＝4， q ＝2，
∴4·2 n－1＝128，∴2 n－1＝32，
∴ n －1＝5， n ＝6.
（2）已知 a1＝2， a3＝8，求公比 q 和通项公式.
解： ∵ a3＝ a1· q2，即8＝2 q2，
∴ q2＝4，∴ q ＝±2.
当 q ＝2时， an ＝ a1 qn－1＝2·2 n－1＝2 n ，
当 q ＝－2时， an ＝ a1 qn－1＝2·（－2） n－1＝（－1） n－12 n .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在数列{ an }中， an＋1＝2 an ，且 a1＝1，则 a4＝（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 16
解析： 因为 an＋1＝2 an ， a1＝1，所以{ an }为公比为2的等比数
列，所以 a4＝ a1·23＝8，故选C.
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2. 已知 a 是1，2的等差中项， b 是－1，－16的等比中项，则 ab ＝
（ ）
A. 6 B. －6
C. ±6 D. ±12
解析： ∵ a ＝ ＝ ， b2＝（－1）×（－16）＝16， b ＝
±4，∴ ab ＝±6.
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3. 设 a1＝2，数列{1＋2 an }是公比为3的等比数列，则 a6＝（ ）
A. 607.5 B. 608
C. 607 D. 159
解析： 因为1＋2 an ＝（1＋2 a1）×3 n－1，所以1＋2 a6＝5×35，
所以 a6＝ ＝607.
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4. （2024·聊城月考）已知等差数列{ an }的公差为1，且 a2， a4， a7成
等比数列，则 an ＝（ ）
A. 2 n ＋1 B. 2 n ＋2
C. n ＋1 D. n ＋2
解析： 因为 a2， a4， a7成等比数列，故 ＝ a2 a7，又因为等差
数列{ an }的公差为1，即（ a1＋3）2＝（ a1＋1）（ a1＋6），解得
a1＝3，所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝ n ＋2.
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5. （多选）如果数列{ an }是等比数列，那么（ ）
A. 数列{ }是等比数列
B. 数列{ }是等比数列
C. 数列{lg an }是等差数列
D. 数列{ kan }（ k ≠0）是等比数列
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解析： 设{ an }的公比为 q ， bn ＝ ，则 ＝ ＝
（ ）2＝ q2，所以{ }是等比数列； ＝ ≠常数；
当 an ＜0时，lg an 无意义；设 cn ＝ kan ，则 ＝ ＝ q ，所以
{ kan }是等比数列.故选A、D.
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6. （多选）已知正项等比数列{ an }满足 a1＝2， a4＝2 a2＋ a3，若设其
公比为 q ，则（ ）
A. q ＝2 B. an ＝2 n
C. 18是数列中的项 D. an ＋ an＋1＜ an＋2
解析： 由题意可得2 q3＝4 q ＋2 q2，即 q2－ q －2＝0，解得 q
＝2（负值舍去），选项A正确； an ＝2×2 n－1＝2 n ，选项B正确，C
错误； an ＋ an＋1＝3 an ，而 an＋2＝4 an ＞3 an ，选项D正确.
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7. 若数列{ an }是等比数列，且 an ＝3 n－1＋ a －2，则 a ＝ .
解析：由题意可得， a1＝ a －1， a2＝ a ＋1， a3＝ a ＋7，所以
＝ ，解得 a ＝2.
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8. 写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列 an ＝
.
解析：设数列{ an }的公比为 q ，则 q ＝3，由已知可得 a3＜1，∴9 a1
＜1，∴ a1＜ ，故 a1可取 ，故满足条件的等比数列的通项公式
可能为 an ＝ ×3 n－1.
×3 n－1
（答案不唯一）
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9. 已知{ an }是等比数列， a1＝ ， a2＝4，则 a3＝ ， a1 a2 a3 a4 a5
a6＝ .
解析：因为数列{ an }是等比数列，且 a1＝ ， a2＝4.所以等比数列
{ an }的公比 q ＝ ＝8，所以 a3＝ a2 q ＝4×8＝32，所以 a1 a2 a3 a4 a5
a6＝ · q15＝（2－1）6×（23）15＝239.
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10. 在等比数列{ an }中， a3＝32， a5＝8.
（1）求数列{ an }的通项公式 an ；
解：因为 a5＝ a1 q4， a3＝ a1 q2，所以 q2＝ ＝ ， a1＝128.
所以 q ＝± .
当 q ＝ 时， an ＝ a1 qn－1＝128×（ ） n－1＝28－ n ；
当 q ＝－ 时， an ＝ a1 qn－1＝128×（－ ） n－1＝（－1） n－
128－ n .所以 an ＝28－ n 或 an ＝（－1） n－128－ n .
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（2）若 an ＝ ，求 n .
解： 当 an ＝ 时，即28－ n ＝ 或（－1） n－128－ n ＝ ，
解得 n ＝9.
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11. 已知不等式 x2－5 x －6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列
{ an }的前三项，则数列{ an }的第四项是（ ）
A. 8 B. C. 8或2 D. 8或
解析： 不等式 x2－5 x －6＜0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜6}，其中
成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前3项为1，2，4，则第
4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为 .
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12. 若正项数列{ an }满足 a1＝2， －3 an＋1 an －4 ＝0，则数列
{ an }的通项公式 an ＝（ ）
A. 22 n－1 B. 2 n C. 22 n＋1 D. 22 n－3
解析： 由 －3 an＋1 an －4 ＝0，得（ an＋1－4 an ）·（ an＋
1＋ an ）＝0.又{ an }是正项数列，所以 an＋1－4 an ＝0， ＝4.由
等比数列的定义知数列{ an }是以2为首项，4为公比的等比数列.
由等比数列的通项公式，得 an ＝2×4 n－1＝22 n－1.
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13. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两
项之和，则公比 q ＝ .
解析：由题意得 an ＝ an＋1＋ an＋2，所以1＝ q ＋ q2，即 q2＋ q －1＝
0，解得 q ＝ 或 q ＝ （舍去）.
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14. 在① a3＝5， a2＋ a5＝6 b2；② b2＝2， a3＋ a4＝3 b3，两个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列{ an }的公差为 d （ d ＞1），前 n 项和为 Sn ，等比数
列{ bn }的公比为 q ，且 a1＝ b1， d ＝ q ， ，求数列{ an }，{ bn }
的通项公式.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选条件①：因为 a3＝5，所以 a1＋2 d ＝5，因为 a2＋ a5＝6 b2，
a1＝ b1， d ＝ q ，所以2 a1＋5 d ＝6 a1 d ，联立
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解得或（舍去），则 a1＝ b1＝1， d ＝ q
＝2，故 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝2 n －1， bn ＝ b1 qn－1＝2 n－1.
选条件②：因为 b2＝2， a1＝ b1， d ＝ q ，所以 a1 d ＝2，
因为 a3＋ a4＝3 b3，所以2 a1＋5 d ＝3 a1 d2，
联立
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解得或（舍去），
则 a1＝ b1＝1， d ＝ q ＝2，
故 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝2 n －1， bn ＝ b1 qn－1＝2 n－1.
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15. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从
第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记
第 i 行第 j 列的数为 aij （ i ， j ∈N*），则 a53的值为（ ）
，
， ，
…
A. B.
C. D.
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解析： 第一列数构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以 a51
＝ ＋（5－1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，
而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的
等比数列，所以 a53＝ × ＝ .
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16. 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 a ， b ， c
成等比数列，且 a2－ c2＝ ac － bc ，求角 A 的大小及 的值.
解：∵ a ， b ， c 成等比数列，∴ b2＝ ac ，
又 a2－ c2＝ ac － bc ，∴ a2－ c2＝ b2－ bc ，即 b2＋ c2－ a2＝ bc ，
在△ ABC 中，由余弦定理得 cos A ＝ ＝ ＝ ，∴ A ＝
60°.在△ ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝ ，
∴ ＝ ＝ sin A ＝ .
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谢 谢 观 看！第1课时 等比数列的概念及通项公式
1.在数列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，则a4＝（ ）
A.4 B.6
C.8 D.16
2.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝（ ）
A.6 B.－6
C.±6 D.±12
3.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝（ ）
A.607.5 B.608
C.607 D.159
4.（2024·聊城月考）已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝（ ）
A.2n＋1 B.2n＋2
C.n＋1 D.n＋2
5.（多选）如果数列{an}是等比数列，那么（ ）
A.数列{}是等比数列 B.数列{}是等比数列
C.数列{lg an}是等差数列 D.数列{kan}（k≠0）是等比数列
6.（多选）已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则（ ）
A.q＝2 B.an＝2n
C.18是数列中的项 D.an＋an＋1＜an＋2
7.若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝ .
8.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝ .
9.已知{an}是等比数列，a1＝，a2＝4，则a3＝ ，a1a2a3a4a5a6＝ .
10.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若an＝，求n.
11.已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是（ ）
A.8 B.
C.8或2 D.8或
12.若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an＝（ ）
A.22n－1 B.2n
C.22n＋1 D.22n－3
13.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝ .
14.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列{an}的公差为d（d＞1），前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q， ，求数列{an}，{bn}的通项公式.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N*），则a53的值为（ ）
，
，，
…
A. B.
C. D.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及的值.
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
1.C 因为an＋1＝2an，a1＝1，所以{an}为公比为2的等比数列，所以a4＝a1·23＝8，故选C.
2.C ∵a＝＝，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，∴ab＝±6.
3.C 因为1＋2an＝（1＋2a1）×3n－1，所以1＋2a6＝5×35，所以a6＝＝607.
4.D 因为a2，a4，a7成等比数列，故＝a2a7，又因为等差数列{an}的公差为1，即（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋6），解得a1＝3，所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2.
5.AD 设{an}的公比为q，bn＝，则＝＝（）2＝q2，所以{}是等比数列；＝≠常数；当an＜0时，lg an无意义；设cn＝kan，则＝＝q，所以{kan}是等比数列.故选A、D.
6.ABD 由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确.
7.2 解析：由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以＝，解得a＝2.
8.×3n－1（答案不唯一） 解析：设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3＜1，∴9a1＜1，∴a1＜，故a1可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n－1.
9.32 239 解析：因为数列{an}是等比数列，且a1＝，a2＝4.所以等比数列{an}的公比q＝＝8，所以a3＝a2q＝4×8＝32，所以a1a2a3a4a5a6＝·q15＝（2－1）6×（23）15＝239.
10.解：（1）因为a5＝a1q4，a3＝a1q2，
所以q2＝＝，a1＝128.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a1qn－1＝128×（）n－1＝28－n；
当q＝－时，an＝a1qn－1＝128×（－）n－1＝（－1）n－128－n.
所以an＝28－n或an＝（－1）n－128－n.
（2）当an＝时，即28－n＝或（－1）n－128－n＝，解得n＝9.
11.D 不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为.
12.A 由－3an＋1an－4＝0，得（an＋1－4an）·（an＋1＋an）＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4.由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.
13. 解析：由题意得an＝an＋1＋an＋2，所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝（舍去）.
14.解：选条件①：因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，联立
解得或（舍去），则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立
解得或（舍去），
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
15.C 第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.
16.解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理得sin B＝，
∴＝＝sin A＝.
2 / 24.3.1 等比数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念 数学抽象
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题 逻辑推理、数学运算
3.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算 逻辑推理、数学运算
4.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
第1课时 等比数列的概念及通项公式
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
【问题】 （1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
（2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
知识点一 等比数列的定义
文字语言 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q表示（显然q≠0）
符号语言 ＝ （q为常数，q≠0，n∈N*）
提醒 理解等比数列概念的注意点：①“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；③公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数.
【想一想】
若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 ，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝ .
【想一想】
任何两个非零实数都有等比中项吗？
知识点三 等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则通项公式为an＝ .
提醒 类似于等差数列与一次函数的关系，由an＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.a1＞0，q＞1的情形如图所示.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列.（ ）
（2）若数列{an}满足＝2，＝2，则{an}为等比数列.（ ）
（3）任何常数列都是等比数列.（ ）
（4）数列a，G，b成等比数列的充要条件是G2＝ab.（ ）
2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（ ）
A.32 B.－48 C.48 D.96
3.等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，则公比q＝ .
4.4与16的等比中项是 .
题型一 等比数列的概念
【例1】 （多选）下列数列是等比数列的是（ ）
A.b，b，b，b，…（b为常数，b≠0）
B.22，42，62，82，…
C.1，－，，－，…
D.，，，，…
通性通法
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
【跟踪训练】
判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
（1）1，，，，，…；
（2）10，10，10，10，10，…；
（3），（）2，（）3，（）4，…；
（4）1，0，1，0，1，0，…；
（5）1，－4，16，－64，256，….
题型二 等比中项及应用
【例2】 （多选）如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（ ）
A.b＝3 B.b＝－3 C.ac＝9 D.ac＝－9
通性通法
应用等比中项需注意的问题
（1）由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项.
【跟踪训练】
（2024·丽水月考）在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝ .
题型三 等比数列中基本量的运算
【例3】 在等比数列{an}中，
（1）a5＝8，a7＝2，an＞0，求an；
（2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
（3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
通性通法
关于等比数列基本量的运算
（1）a1和q是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出；
（2）等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程（组）来解决.
【跟踪训练】
1.（2024·珠海月考）在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝（ ）
A. B. C. D.4
2.设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数列{an}的通项公式为 .
1.下列数列为等比数列的是（ ）
A.2，22，3×22，…
B.，，，…
C.s－1，（s－1）2，（s－1）3，…
D.0，0，0，…
2.数列－，，－，，…的通项公式为an＝ .
3.等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为 .
4.在等比数列{an}中，
（1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
（2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
第1课时 等比数列的概念及通项公式
【基础知识·重落实】
知识点一
2 同一个常数 公比 q
想一想
提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.
知识点二
等比数列 ab
想一想
提示：不一定，只有a，b同号时才有等比中项.
知识点三
a1qn－1
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）×
2.C a5＝a1q4＝3×24＝48.
3.±3 解析：设等比数列{an}的首项为a1，则解得q2＝9，所以q＝±3.
4.±8 解析：由G2＝4×16＝64得G＝±8.
【典型例题·精研析】
【例1】 ACD A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B选项中，≠，所以该数列不是等比数列；C选项中的数列是首项为1，公比为－的等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列.故选A、C、D.
跟踪训练
解：（1）不是等比数列.
（2）是等比数列，公比为1.
（3）是等比数列，公比为.
（4）不是等比数列.
（5）是等比数列，公比为－4.
【例2】 BC ∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.由等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
跟踪训练
9 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，∴＝a6ak＋6，即[a1＋（k－1）d]2＝（a1＋5d）·[a1＋（k＋5）d]，[（k－3）d]2＝3d·（k＋3）d，解得k＝9或k＝0（舍去）.
【例3】 解：设数列{an}的公比为q.
（1）因为所以
由得q2＝，因为an＞0，所以q＝，a1＝128，所以an＝a1·qn－1＝128×（）n－1＝（）n－8.
（2）a1＝＝＝5，解得a1＝5.
（3）因为
由得q＝，所以a1＝32.
又an＝1，所以32×（）n－1＝1，
即26－n＝20，解得n＝6.
跟踪训练
1.A 由题得解得q2＝3，∴q＝或q＝－.当q＝时，a1＝；当q＝－时，a1＝－.∴a2＝a1q＝.
2.an＝2n 解析：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a3＝8，a4＋a5＝48，所以则q2＋q－6＝0，所以（q－2）（q＋3）＝0，解得q＝2或q＝－3（舍去），所以a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n.
随堂检测
1.B A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B.
2.（－）n 解析：该数列是以－为公比，－为首项的等比数列，则an＝（－）n.
3.±4 解析：a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，∴a4与a8的等比中项为±＝±4.
4.解：（1）∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，
∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，
∴n－1＝5，n＝6.
（2）∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·（－2）n－1＝（－1）n－12n.
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