(共45张PPT)
第3课时
等比数列的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，
后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
解：法一 设前三个数分别为 ， a ， aq ，
则 · a · aq ＝216，所以 a3＝216.所以 a ＝6.
因此前三个数为 ，6，6 q .由题意知第4个数为12 q －6.
所以6＋6 q ＋12 q －6＝12，解得 q ＝ .
故所求的四个数为9，6，4，2.
法二 设后三个数为4－ d ，4，4＋ d ，
则第1个数为 （4－ d ）2，
由题意知 （4－ d ）2×（4－ d ）×4＝216，
解得4－ d ＝6.
所以 d ＝－2.
故所求得的四个数为9，6，4，2.
通性通法
巧设等比数列项的方法
（1）若三个数成等比数列，常设为 ， a ， aq .推广到一般，奇数个
数成等比数列，可设为…， ， ， a ， aq ， aq2，…；
（2）四个符号相同的数成等比数列，常设为 ， ， aq ， aq3.推广
到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…， ，
， ， aq ， aq3， aq5，…；
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为
a ， aq ， aq2， aq3.
【跟踪训练】
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差
数列，则这四个数的和是 .
45
解析：设这四个数分别为 a ， aq ， aq2， aq3，则 a －1， aq －1， aq2
－4， aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
题型二 由等比数列衍生的新数列
【例2】 （1）设{ an }是各项为正数的无穷数列， Ai 是边长为 ai ， ai
＋1的矩形面积（ i ＝1，2，…），则{ An }为等比数列的充要条件为
（ D ）
A. { an }是等比数列
B. a1， a3，…， a2 n－1，…或 a2， a4，…， a2 n ，…是等比数列
C. a1， a3，…， a2 n－1，…和 a2， a4，…， a2 n ，…均是等比数列
D. a1， a3，…， a2 n－1，…和 a2， a4，…， a2 n ，…均是等比数列，且
公比相同
D
解析：因为 Ai 是边长为 ai ， ai＋1的矩形面积（ i ＝1，2，…），所以 Ai ＝ aiai＋1（ i ＝1，2，3，…， n ，…），则数列{ An }的通项为 An ＝ anan＋1.根据等比数列的定义，数列{ An }（ n ＝1，2，3，…）为等比数列的充要条件是 ＝ ＝ ＝ q （常数）.
（2）若等比数列{ an }的公比为 q ，则 a1， a8， a15的公比为 .
解析：由于数列{ an }是公比为 q 的等比数列，因此 a8＝ a1
q7， a15＝ a1 q14，故 ＝ ＝ q7.
q7
通性通法
1. 由等比数列衍生的新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否
为0.
2. 如果{ an }，{ bn }均为等比数列，且公比分别为 q1， q2，那么：
（1） ak ， ak＋ n ， ak＋2 n ，…为等比数列，公比为 ；
（2）数列 ，{ an · bn }，{ }，{｜ an ｜}仍是等比数列，且公比
分别为 ， q1 q2， ，｜ q1｜.
【跟踪训练】
设{ an }，{ bn }都是等比数列，若 a1 b1＝7， a3 b3＝21，则 a5 b5
＝ .
解析：因为{ an }，{ bn }为等比数列，所以{ anbn }也为等比数列，设
{ anbn }的公比为 q ，又 a1 b1＝7， a3 b3＝21，所以 q2＝ ＝3，即 a5 b5
＝ a3 b3· q2＝21×3＝63.
63
题型三 等比数列的实际应用
【例3】 （2024·信阳月考）从盛满 a （ a ＞1）升纯酒精的容器里倒
出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此
继续下去，问：
（1）第 n 次操作后容器中酒精的浓度是多少？
解：由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第 n 次操作后容器中酒精的浓度为 an ，则第1次操作后容器中酒精的浓度为 a1＝1－ ，第 n ＋1次操作后容器中酒精的浓度为 an＋1＝ an （1－ ），
（2）当 a ＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于
10%？
解：当 a ＝2时，由 an ＝（ ） n ＜ ，解得 n ≥4.
故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%.
所以{ an }是首项为 a1＝1－ ，公比为 q ＝1－ 的等比数列，所
以 an ＝ a1 qn－1＝（1－ ） n ，
即第 n 次操作后容器中酒精的浓度是（1－ ） n .
通性通法
等比数列实际应用的求解思路
（1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
（2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想
求出未知元素；
（3）针对所求结果作出合理解释.
【跟踪训练】
画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个
正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这
样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 .
解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等
比数列{ an }，所以 an ＝2×（ ） n－1，所以第10个正方形的面积 S ＝
＝[2×（ ）9]2＝4×29＝2 048.
2 048
1. 若数列{ an }是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是
（ ）
A. {lg an } B. {1＋ an }
C. { } D. { an ＋ an＋1}
解析： 取等比数列 an ＝（－1） n ，则 a1＝－1，所以A、B
不是等比数列，又 an ＋ an＋1＝0，所以{ an ＋ an＋1}不是等比数
列，故选C.
2. （2024·佛山月考）在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配
的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰
分比例为 .
解析：设衰分比例为 q （0＜ q ＜1），则甲、乙、丙各分得 ，
28，28 q 石，∴ ＋28＋28 q ＝98，∴ q ＝2或 .又0＜ q ＜1，∴ q
＝ .
3. 已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－ ，
求这四个数.
解：设四个数依次为 a ， aq ， aq2， aq3，则
解得或
故所求四个数依次为－ ， ，－2，8或8，－2， ，－ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 由公比为 q 的等比数列 a1， a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列
a1 a2， a2 a3， a3 a4，…是（ ）
A. 等差数列 B. 以 q 为公比的等比数列
C. 以 q2为公比的等比数列 D. 以2 q 为公比的等比数列
解析： 因为 ＝ ＝ q2，为常数，所以该数列为以 q2
为公比的等比数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. （2024·湖州月考）三个实数成等比数列，它们的和为14，且它们
的积为64，则这三个数分别为（ ）
A. 2，4，8 B. 8，4，2
C. 2，4，8或8，4，2 D. 以上都不对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 设所求的三个数分别为 ， a ， aq ，则有
解得或当 a ＝4， q ＝ 时，这
三个数分别为8，4，2；当 a ＝4， q ＝2时，这三个数分别为2，4，
8.因此，这三个数分别为2，4，8或8，4，2.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各
节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之
积为9，则第5节的容积为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
解析： 法一 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等
比数列{ an }，设其公比为 q （ q ≠0），由上面3节的容积之积
为3，下面3节的容积之积为9可知解得
a1 q ＝ ， q3＝ ，所以第5节的容积为 a1 q4＝ a1 q · q3＝
· ＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
法二 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{ an }，由上
面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知 a1 a2 a3＝3， a7 a8 a9
＝9，由等比数列的性质可知 a1 a2 a3 a7 a8 a9＝（ a1 a9）·（ a2 a8）·（ a3
a7）＝ ＝27.所以 a5＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知等比数列{ an }中， a2＝ ， a5＝ ，则数列{log2 an }的前10项
和为（ ）
A. －55 B. －33
C. 33 D. 55
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 设等比数列{ an }的公比为 q ，由 a2＝ ， a5＝ ，可得
a2 q3＝ × q3＝ ，解得 q ＝ ，又由 a1 q ＝ a1× ＝ ，解得 a1＝
，所以 an ＝（ ） n ，则log2 an ＝log2（ ） n ＝－ n ，所以{log2 an }
是等差数列，数列{log2 an }的前10项之和为 S10＝
＝－55.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （2024·安阳月考）设{ an }是由正数组成的等比数列，公比 q ＝2，
且 a1· a2· a3·…· a30＝230，则 a3· a6· a9·…· a30＝（ ）
A. 210 B. 220
C. 216 D. 215
解析： 设 A ＝ a1 a4 a7·…· a28， B ＝ a2 a5 a8·…· a29， C ＝ a3 a6
a9·…· a30，则 A ， B ， C 成等比数列，公比为 q10＝210，由条件得
A · B · C ＝230，所以 B ＝210，所以 C ＝ B ·210＝220.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ＝4 n ， n ∈N*，则{ an }为等比数列
B. 若 anan＋2＝ ， n ∈N*，则{ an }为等比数列
C. 若 aman ＝2 m＋ n ， m ， n ∈N*，则{ an }为等比数列
D. 若 anan＋3＝ an＋1 an＋2， n ∈N*，则{ an }为等比数列
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 由 ＝4 n 知｜ an ｜＝2 n ，则数列{ an }未必是等比数
列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列
{ an }不一定是等比数列；对于C选项，由 aman ＝2 m＋ n 知， aman＋1＝
2 m＋ n＋1，两式相除得 ＝2（ n ∈N*），故数列{ an }是等比数列.
故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. （2024·广州月考）在 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次
构成等比数列，则这3个数的积为 .
解析：设插入的3个数依次为 a ， b ， c ，即 ， a ， b ， c ，8成等
比数列，由等比数列的性质可得 b2＝ ac ＝ ×8＝4，因为 a2＝ b
＞0，所以 b ＝2（舍负）.所以这3个数的积为 abc ＝4×2＝8.
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 已知项数相同的等比数列{ an }和{ bn }，公比分别为 q1， q2（ q1，
q2≠1），则数列①{3 an }，②{ }，③{2 an －3 bn }，④{2 an ·3
bn }中是等比数列的是 （填序号）.
解析：在①中， ＝ q1，是等比数列；在②中，令 an ＝2 n－1，
则数列{ }为3，32，34，…，而 ≠ ，故不是等比数列；在③
中，数列的项可能为零，故不一定是等比数列；在④中，
＝ q1 q2，是等比数列.
①④
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. （2024·开封月考）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发
展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，
并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到
第 年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参
考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
10
解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模
型，且 a1＝50， q ＝1.2，所以 an ＝50×（1.2） n－1，令 an ＝50×
（1.2） n－1＝250，所以（1.2） n－1＝5，所以 n －1＝log1.25＝
≈ ＝8.75，所以 n ＝9.75，又因为 n 为正整数，所以 n ＝10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各
减去2，则此时的三个数成等差数列，求原来的三个数的和.
解：依题意，设原来的三个数依次为 ， a ， aq .
因为 · a · aq ＝512，所以 a ＝8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以
（ －2）＋（ aq －2）＝2 a ，所以2 q2－5 q ＋2＝0，所以 q ＝2或
q ＝ ，所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.
因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，所以原来的三个数的和等于28.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. （2024·青岛月考）若数列{ an }是等差数列， bn ＝ ，则数列{ bn }也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{ cn }是等比数列，且{ dn }也是等比数列，则 dn 的表达式应为（ ）
A. dn ＝ B. dn ＝
C. dn ＝ D. dn ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 设正项等比数列{ cn }的首项为 c1，公比为 q ，则
c1· c2·…· cn ＝ c1·（ c1 q ）·…·（ c1 qn－1）＝ ，令 dn ＝
＝ ＝ ＝ c1
，∴{ dn }是等比数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）设{ an }（ n ∈N*）是各项均为正数的等比数列， q 是其
公比， Kn 是其前 n 项的积，且 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，则下列选
项中成立的是（ ）
A. 0＜ q ＜1
B. a7＝1
C. K9＞ K5
D. K6与 K7均为 Kn 的最大值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 根据题意，分析选项.对于B，由 K6＝ K7，得 a7＝
＝1，B正确；对于A，由 K5＜ K6可得， a6＝ ＞1，则 q ＝ ∈
（0，1），故A正确；对于C，由{ an }是各项均为正数的等比数列
且 q ∈（0，1）可得数列是递减数列，则有 K9＜ K5，故C错误；
对于D，结合 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，可得D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 设有4个数的数列{ an }的前3项成等比数列，其和为 m ，后3项成等
差数列，其和为6，则实数 m 的取值范围为 .
解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为 d ，后3项可
写成2－ d ，2，2＋ d .又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的
性质，可知第1项为 ，∴数列{ an }为 ，2－ d ，
2，2＋ d .∴ m ＝ ＋2－ d ＋2＝ d2－3 d ＋6＝ （ d －3）
2＋ ≥ .
［ ，＋∞）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%
的速度贬值.
（1）用一个式子表示 n （ n ∈N*）年后这辆车的价值；
解：从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为
a1， a2， a3，…， an ，由题意，得 a1＝13.5， a2＝13.5×
（1－10%）， a3＝13.5×（1－10%）2，….
由等比数列定义，知数列{ an }是等比数列，
首项 a1＝13.5，公比 q ＝1－10%＝0.9，
所以 an ＝ a1· qn－1＝13.5×0.9 n－1，
所以 n 年后车的价值为 an＋1＝13.5×0.9 n 万元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
（精确到0.1）
解： 由（1）得 a5＝ a1· q4＝13.5×0.94≈8.9（万元），
所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （2024·三门峡质检）如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷
数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结
论，其中正确的是（ ）
A. 矩形块中所填数字构成的是以1为首项，
为公比的等比数列
B. 由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
C. 按照这个规律继续下去，第 n －1个矩形块中所填数字是
D. 由大到小排列， 是第七个矩形块中的数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{ an }，则由
题意可得{ an }是首项为 ，公比为 的等比数列，∴ an ＝ ×
（ ） n－1＝ ，故A中结论错误； a8＝ ＝ ，故B中结论错
误；第 n －1个矩形块中所填数字是 ，故C中结论错误； a7＝
＝ ，故D中结论正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知数列{ Am }： a1， a2，…， am （ m ≥2）.若存在公比为 q 的等
比数列{ Bm＋1}： b1， b2，…， bm＋1，使得 bk ＜ ak ＜ bk＋1，其中 k
＝1，2，…， m ，则称数列{ Bm＋1}为数列{ Am }的“等比分割数
列”.若数列{ A10}的通项公式为 an ＝2 n （ n ＝1，2，…，10），
其“等比分割数列”{ B11}的首项为1，求数列{ B11}的公比 q 的取
值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：因为{ B11}的首项为1，公比为 q ，所以 bn ＝ qn－1，
则 qk－1＜2 k ＜ qk 对于 k ＝1，2，…，10成立，
当 k ＝1时1＜2＜ q ，
当 k ＝2，3，…，10时，2＜ q ＜ ，
而 y ＝2 x 是增函数， ＝1＋ 随着 k 的增大而减小，所以 y ＝
随着 k 的增大而减小，
从而（ ）min＝ ，所以2＜ q ＜ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！第3课时 等比数列的综合应用
1.由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是（ ）
A.等差数列
B.以q为公比的等比数列
C.以q2为公比的等比数列
D.以2q为公比的等比数列
2.（2024·湖州月考）三个实数成等比数列，它们的和为14，且它们的积为64，则这三个数分别为（ ）
A.2，4，8 B.8，4，2
C.2，4，8或8，4，2 D.以上都不对
3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
4.已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列{log2an}的前10项和为（ ）
A.－55 B.－33
C.33 D.55
5.（2024·安阳月考）设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（ ）
A.210 B.220
C.216 D.215
6.下列说法正确的是（ ）
A.若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B.若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列
C.若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D.若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
7.（2024·广州月考）在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为 .
8.已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，公比分别为q1，q2（q1，q2≠1），则数列①{3an}，②{}，③{2an－3bn}，④{2an·3bn}中是等比数列的是 （填序号）.
9.（2024·开封月考）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到第 年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
10.已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，求原来的三个数的和.
11.（2024·青岛月考）若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（ ）
A.dn＝
B.dn＝
C.dn＝
D.dn＝
12.（多选）设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（ ）
A.0＜q＜1
B.a7＝1
C.K9＞K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
13.设有4个数的数列{an}的前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为 .
14.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
（1）用一个式子表示n（n∈N*）年后这辆车的价值；
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？（精确到0.1）
15.（2024·三门峡质检）如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（ ）
A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
B.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
C.按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是
D.由大到小排列，是第七个矩形块中的数字
16.已知数列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比为q的等比数列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，m，则称数列{Bm＋1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”{B11}的首项为1，求数列{B11}的公比q的取值范围.
第3课时 等比数列的综合应用
1.C 因为＝＝q2，为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列.
2.C 设所求的三个数分别为，a，aq，则有解得或当a＝4，q＝时，这三个数分别为8，4，2；当a＝4，q＝2时，这三个数分别为2，4，8.因此，这三个数分别为2，4，8或8，4，2.故选C.
3.D 法一 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q（q≠0），由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D.
法二 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝（a1a9）·（a2a8）·（a3a7）＝＝27.所以a5＝.故选D.
4.A 设等比数列{an}的公比为q，由a2＝，a5＝，可得a2q3＝×q3＝，解得q＝，又由a1q＝a1×＝，解得a1＝，所以an＝（）n，则log2an＝log2（）n＝－n，所以{log2an}是等差数列，数列{log2an}的前10项之和为S10＝＝－55.
5.B 设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220.
6.C 由＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2（n∈N*），故数列{an}是等比数列.故选C.
7.8 解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b＞0，所以b＝2（舍负）.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.
8.①④ 解析：在①中，＝q1，是等比数列；在②中，令an＝2n－1，则数列{}为3，32，34，…，而≠，故不是等比数列；在③中，数列的项可能为零，故不一定是等比数列；在④中，＝q1q2，是等比数列.
9.10 解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×（1.2）n－1，令an＝50×（1.2）n－1＝250，所以（1.2）n－1＝5，所以n－1＝log1.25＝≈＝8.75，所以n＝9.75，又因为n为正整数，所以n＝10.
10.解：依题意，设原来的三个数依次为，a，aq.
因为·a·aq＝512，所以a＝8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以（－2）＋（aq－2）＝2a，所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.
因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28.
11.D 设正项等比数列{cn}的首项为c1，公比为q，则c1·c2·…·cn＝c1·（c1q）·…·（c1qn－1）＝，令dn＝＝
＝
＝c1，∴{dn}是等比数列.
12.ABD 根据题意，分析选项.对于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
13.［，＋∞） 解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为d，后3项可写成2－d，2，2＋d.又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的性质，可知第1项为，∴数列{an}为，2－d，2，2＋d.∴m＝＋2－d＋2＝d2－3d＋6＝（d－3）2＋≥.
14.解：（1）从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×（1－10%），a3＝13.5×（1－10%）2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1，
所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
（2）由（1）得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9（万元），
所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元.
15.D 设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则由题意可得{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an＝×（）n－1＝，故A中结论错误；a8＝＝，故B中结论错误；第n－1个矩形块中所填数字是，故C中结论错误；a7＝＝，故D中结论正确.
16.解：因为{B11}的首项为1，公比为q，
所以bn＝qn－1，
则qk－1＜2k＜qk对于k＝1，2，…，10成立，
当k＝1时1＜2＜q，
当k＝2，3，…，10时，2＜q＜，
而y＝2x是增函数，＝1＋随着k的增大而减小，所以y＝随着k的增大而减小，
从而（）min＝，所以2＜q＜.
2 / 2第3课时 等比数列的综合应用
题型一 灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
通性通法
巧设等比数列项的方法
（1）若三个数成等比数列，常设为，a，aq.推广到一般，奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…；
（2）四个符号相同的数成等比数列，常设为，，aq，aq3.推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…，，，，aq，aq3，aq5，…；
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
【跟踪训练】
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是 .
题型二 由等比数列衍生的新数列
【例2】 （1）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积（i＝1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件为（ ）
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
（2）若等比数列{an}的公比为q，则a1，a8，a15的公比为 .
通性通法
1.由等比数列衍生的新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0.
2.如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么：
（1）ak，ak＋n，ak＋2n，…为等比数列，公比为；
（2）数列，{an·bn}，{}，{｜an｜}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，｜q1｜.
【跟踪训练】
设{an}，{bn}都是等比数列，若a1b1＝7，a3b3＝21，则a5b5＝ .
题型三 等比数列的实际应用
【例3】 （2024·信阳月考）从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问：
（1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？
（2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？
通性通法
等比数列实际应用的求解思路
（1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
（2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；
（3）针对所求结果作出合理解释.
【跟踪训练】
画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 .
1.若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A.{lg an} B.{1＋an}
C.{} D.{an＋an＋1}
2.（2024·佛山月考）在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 .
3.已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数.
第3课时 等比数列的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 设前三个数分别为，a，aq，
则·a·aq＝216，所以a3＝216.
所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
法二 设后三个数为4－d，4，4＋d，
则第1个数为（4－d）2，
由题意知（4－d）2×（4－d）×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9，6，4，2.
跟踪训练
45 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
【例2】 （1）D （2）q7 解析：（1）因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积（i＝1，2，…），所以Ai＝aiai＋1（i＝1，2，3，…，n，…），则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，数列{An}（n＝1，2，3，…）为等比数列的充要条件是＝＝＝q（常数）.
（2）由于数列{an}是公比为q的等比数列，因此a8＝a1q7，a15＝a1q14，故＝＝q7.
跟踪训练
63 解析：因为{an}，{bn}为等比数列，所以{anbn}也为等比数列，设{anbn}的公比为q，又a1b1＝7，a3b3＝21，所以q2＝＝3，即a5b5＝a3b3·q2＝21×3＝63.
【例3】 解：（1）由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的浓度为an，则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－，第n＋1次操作后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－），
所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列，所以an＝a1qn－1＝（1－）n，
即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－）n.
（2）当a＝2时，由an＝（）n＜，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%.
跟踪训练
2 048 解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×（）n－1，所以第10个正方形的面积S＝＝[2×（）9]2＝4×29＝2 048.
随堂检测
1.C 取等比数列an＝（－1）n，则a1＝－1，所以A、B不是等比数列，又an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故选C.
2. 解析：设衰分比例为q（0＜q＜1），则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝.
3.解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，
则
解得或
故所求四个数依次为－，，－2，8或8，－2，，－.
2 / 2
