(共51张PPT)
第2课时
等比数列前n项和的性质及应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
类比等差数列前 n 项和的性质，你能得出等比数列{ an }前 n 项和
的哪些性质？
【问题】 （1）当 Sm ≠0时， Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 也成等比数
列吗？
（2）若 Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 成等比数列，那么该数列的公比与
原等比数列{ an }的公比有什么关系？
知识点 等比数列前 n 项和的性质
设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公比为 q ，则：
（1）当 Sm ≠0时， Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m ，…仍组成等比数列
（公比为 qm ， m ≥2）；
（2）当 n 是偶数时， ＝ q ；当 n 是奇数时， S奇＝ a1＋ qS偶，即
＝ q ；
（3）当 q ＝1时， ＝ ；当 q ≠±1时， ＝ ；
（4） Sn＋ m ＝ Sm ＋ qmSn ＝ Sn ＋ qnSm .
1. 等比数列{ an }的前 m 项和为4，前2 m 项和为12，则它的前3 m 项和
是 .
解析：易知 Sm ＝4， S2 m － Sm ＝8，∴ S3 m － S2 m ＝16，∴ S3 m ＝12＋
16＝28.
28
2. 等比数列{ an }共有2 n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的
和大80，则公比 q ＝ .
解析：由题意，得解得∴公比 q
＝ ＝ ＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列前 n 项和的性质
角度1 与“片段和”相关的性质
【例1】 （1）等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， S2＝7， S6＝91，则 S4
＝（ ）
A. 28 B. 32 C. 21 D. 28或－21
解析：∵{ an }为等比数列，∴ S2， S4－ S2， S6－ S4也为等比数列，即7， S4－7，91－ S4成等比数列，∴（ S4－7）2＝7（91－ S4），解得 S4＝28或 S4＝－21.∵ S4＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ a1＋ a2＋ a1 q2＋ a2 q2＝（ a1＋ a2）（1＋ q2）＝ S2（1＋ q2）＞ S2，∴ S4＝28.
（2）（2024·洛阳月考）设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 ＝
，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
解析： ∵{ an }是等比数列，∴ S5， S10－ S5， S15－ S10也成等比数
列.∵ ＝ ，∴设 S5＝2 k （ k ≠0），则 S10＝ k ，∴ S10－ S5＝
－ k ，∴ S15－ S10＝ ，∴ S15＝ ，∴ ＝ ＝ .
通性通法
等比数列{ an }“片段和”的性质
（1）正确理解等比数列“片段和”性质的含意，即当 q ≠－1时，连
续 m 项的和 Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m （或 a1＋ a2＋…＋ am ， am
＋1＋ am＋2＋…＋ a2 m ， a2 m＋1＋ a2 m＋2＋…＋ a3 m ）成等比数列；
（2）正确区分“片段和” Sm ， S2 m ， S3 m 所具有的性质与上述性质的
不同，即 ＋ ＝ Sm · S2 m ＋ Sm · S3 m .
角度2 与“奇、偶和”相关的性质
【例2】 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4
倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
解：设数列为{ an }，首项为 a1，公比为 q ，全部奇数项、偶数项之和
分别记为 S奇， S偶，由题意，知 S奇＋ S偶＝4 S偶，即 S奇＝3 S偶.
∵数列{ an }的项数为偶数，∴ q ＝ ＝ .
又 a1· a1 q · a1 q2＝64，∴ · q3＝64，即 a1＝12.
故所求通项公式为 an ＝12× ， n ∈N*.
通性通法
灵活应用等比数列的项的个数的奇偶性质以及对应的奇数项与偶
数项的和与公比的关系解题，注意数列求和的关键是确定首项、公比
和项数.
【跟踪训练】
1. 设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S3＝8， S6＝24，则 a10＋ a11＋
a12＝（ ）
A. 32 B. 64
C. 72 D. 216
解析： 由于 S3， S6－ S3， S9－ S6， S12－ S9成等比数列， S3＝
8， S6－ S3＝16，故其公比为2，所以 S9－ S6＝32， a10＋ a11＋ a12＝
S12－ S9＝64.
2. 已知等比数列{ an }的公比 q ＝ ，且 a1＋ a3＋ a5＋…＋ a99＝90，则
a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100＝ .
解析：因为在等比数列中，若项数为2 n ，则 ＝ q ，所以 a1＋ a2
＋ a3＋…＋ a100＝（ a1＋ a3＋ a5＋…＋ a99）＋（ a2＋ a4＋ a6＋…＋
a100）＝（ a1＋ a3＋ a5＋…＋ a99）＋ （ a1＋ a3＋ a5＋…＋ a99）＝
90＋ ×90＝120.
120
题型二 等比数列前 n 项和公式的实际应用
【例3】 （2024·济宁月考）某市共有1万辆燃油型公交车，有关部
门于2023年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入
比上一年增加50%.则
（1）该市在2029年应该投入电力型公交车多少辆？
解：每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{ an }，
其中 a1＝128， q ＝ .
所以2029年应投入的数量为 a7＝ a1 q6＝128×（ ）6＝1 458（辆）.
故该市在2029年应该投入1 458辆电力型公交车.
（2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 ？
解：设{ an }的前 n 项和为 Sn ，
则 Sn ＝ ＝256×［（ ） n －1］，
由 Sn ＞（10 000＋ Sn ）× ，即 Sn ＞5 000，解得 n ≥8.
所以该市到2030年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车
总量的 .
通性通法
解答数列应用问题的方法
（1）判断、建立数列模型：①变化“量”是同一个常数：等差数
列；②变化“率”是同一个常数：等比数列；
（2）提取基本量：从条件中提取相应数列的基本量 a1， q （ d ），
n ， an ， Sn ，列出方程（组）求解.
【跟踪训练】
如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到
第2个正方形，以此类推，记第 n 个正方形的面积为 an ，数列{ an }的
前 n 项和为 Sn .求{ an }的通项公式及 S2 024.
解：记第 n 个正方形的边长为 bn ，
由题意可知 ＝2×（ ）2＝ ，
则 an ＝ an－1，
所以数列{ an }是以 a1＝4为首项，以 q ＝ 为公比的等比数列，
即 an ＝4×（ ） n－1＝23－ n .
S2 024＝ ＝8×（1－ ）＝8－ .
1. （2024·苏州月考）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之
和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为（ ）
A. 8 B. －2 C. 4 D. 2
解析： 由 ＝ q ，可知 q ＝2.
2. 在等比数列{ an }中， a1 a2 a3＝1， a4＝4，则 a2＋ a4＋ a6＋…＋ a2 n
＝（ ）
A. 2 n －1 B.
C. D.
解析： 由 a1 a2 a3＝1得 a2＝1，又 a4＝4，故 q2＝4， a2＋ a4＋ a6
＋…＋ a2 n ＝ ＝ .
3. 已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S2＝1， S4＝4，则 a7＋ a8＝
（ ）
A. 40 B. 30
C. 27 D. 9
解析： 由于{ an }是等比数列，所以 S2， S4－ S2， S6－ S4， S8－
S6也成等比数列，其中 S2＝1， S4－ S2＝3，所以 S6－ S4＝3×3＝
9， S8－ S6＝9×3＝27，所以 a7＋ a8＝ S8－ S6＝27.
4. （2024·徐州月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问
题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中
的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是 .
解析：设顶层的灯数是 a1，则每一层灯数形成以 a1为首项，以2为
公比的等比数列，设为{ an }，由题可得 S7＝ ＝381，解
得 a1＝3，故塔的顶层的灯数是3.
3
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 f （ n ）＝2＋24＋27＋…＋23 n＋1（ n ∈N*），则 f （ n ）＝
（ ）
A. （8 n －1） B. （8 n＋1－1）
C. （8 n＋2－1） D. （8 n＋3－1）
解析： f （ n ）＝2＋24＋27＋…＋23 n＋1＝ ＝ （8 n＋
1－1）.
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2. 已知数列{ an }为等比数列，且 q ＝2， S4＝1，则 S8＝（ ）
A. 15 B. 17
解析： 法一 因为 q ＝2， S4＝1，所以 S4＝ ＝
＝1，解得 a1＝ ，所以 S8＝ ＝ ＝
17.故选B.
法二 由题意得 S8＝（ a1＋ a2＋ a3＋ a4）＋（ a5＋ a6＋ a7＋ a8）＝ S4
＋ q4（ a1＋ a2＋ a3＋ a4）＝ S4（1＋ q4）＝17.
C. 19 D. 21
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3. 已知等比数列{ an }共有32项，其公比 q ＝3，且奇数项之和比偶数
项之和少60，则数列{ an }的所有项之和是（ ）
A. 30 B. 60
C. 90 D. 120
解析： 设等比数列{ an }的奇数项之和为 S1，偶数项之和为 S2，
则 S1＝ a1＋ a3＋ a5＋…＋ a31， S2＝ a2＋ a4＋ a6＋…＋ a32＝ q （ a1＋
a3＋ a5＋…＋ a31）＝3 S1，又 S1＋60＝ S2，则 S1＋60＝3 S1，解得 S1
＝30， S2＝90，故数列{ an }的所有项之和是30＋90＝120.故选D.
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4. 已知各项均为正数的等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S2 n ＝6， S3
n ＝14，则 S4 n － Sn ＝（ ）
A. 18 B. 20
C. 24 D. 28
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解析： 由等比数列的性质，知 Sn ， S2 n － Sn ， S3 n － S2 n ， S4 n －
S3 n 构成等比数列，设 Sn ＝ x ，则 x ，6－ x ，14－6构成等比数列，
可得（6－ x ）2＝8 x ，即 x2－20 x ＋36＝0，解得 x ＝2或 x ＝18（舍
去）.从而 Sn ， S2 n － Sn ， S3 n － S2 n ， S4 n － S3 n 是以2为首项，
＝ ＝2为公比的等比数列，则 S4 n － S3 n ＝24＝16，故 S4 n ＝
30，所以 S4 n － Sn ＝30－2＝28.
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5. （多选）（2024·焦作月考）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天
截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下 a1
尺，第二天被截取剩下的一半剩下 a2尺，…，第六天被截取剩下的
一半剩下 a6尺，则（ ）
A. a6＝ B. ＝8
C. a5＋ a6＝ D. a1＋ a2＋…＋ a6＝
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解析： 依题意可知， a1， a2， a3，…成等比数列，且首项与
公比均为 ，则 a6＝（ ）6＝ ， ＝8， a5＋ a6＝ ， a1＋ a2
＋…＋ a6＝ ，故选B、D.
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6. （多选）设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，则下列数列一定是等比
数列的有（ ）
A. a1＋ a2， a2＋ a3， a3＋ a4，…
B. a1＋ a3， a3＋ a5， a5＋ a7，…
C. S2， S4－ S2， S6－ S4，…
D. S3， S6－ S3， S9－ S6，…
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解析： 设数列{ an }的公比为 q ， q ≠0，对于A和C，都有首项
a1＋ a2＝ a1（1＋ q ），当 q ＝－1时， a1＋ a2＝0，不满足等比数
列，故A、C错误；对于B， a1＋ a3＝ a1（1＋ q2）≠0，且 ＝
＝ q2，同理 ＝ q2，故数列 a1＋ a3， a3＋ a5， a5
＋ a7，…为等比数列，故B正确；对于D， S3＝ a1＋ a2＋ a3＝ a1（1
＋ q ＋ q2）≠0，且 ＝ q3， ＝ q3，故数列 S3， S6－ S3， S9
－ S6，…为等比数列，故D正确.故选B、D.
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7. 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植
树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数 n （ n ∈N*）为 .
解析：由题意知，第 n 天植树2 n 棵，则前 n 天共植树2＋22＋…＋2 n
＝（2 n＋1－2）棵，令2 n＋1－2≥100，则2 n＋1≥102，又26＝64，27
＝128，且 y ＝2 x＋1是增函数，所以 n ≥6，即 n 的最小值为6.
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8. （2024·舟山月考）在等比数列{ an }中，若 a1＝ ， a4＝－4，则公
比 q ＝ ，｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜ an ｜＝
.
解析：设等比数列{ an }的公比为 q ，则 a4＝ a1 q3，代入数据解得 q3
＝－8，所以 q ＝－2.等比数列{｜ an ｜}的公比为｜ q ｜＝2，则｜
an ｜＝ ×2 n－1，所以｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜ an ｜＝
（1＋2＋22＋…＋2 n－1）＝ （2 n －1）＝2 n－1－ .
－2
2 n－1
－
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9. 设正项等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且210 S30－（210＋1） S20＋
S10＝0，则公比 q ＝ .
解析：由210 S30－（210＋1） S20＋ S10＝0，得210（ S30－ S20）＝ S20
－ S10.又 S10， S20－ S10， S30－ S20成等比数列，∴ ＝ q10＝
（ ）10.又{ an }为正项等比数列，∴ q ＝ .
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10. 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80
吨，该矿区计划从2024年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出
口量均比上一年减少10%.
（1）以2024年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的
表达式；
解： 由题意知每年的出口量构成等比数列{ an }，且首
项 a1＝ a ，公比 q ＝1－10%＝0.9，
∴ an ＝ a ·0.9 n－1.
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（2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少
吨？（0.910≈0.35，保留一位小数）
解： 10年的出口总量 S10＝ ＝10 a （1－
0.910）.
∵ S10≤80，∴10 a （1－0.910）≤80，
即 a ≤ ，
∴ a ≤12.3.故2024年最多出口12.3吨.
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11. （2024·龙岩质检） Sn 是公比不为1的等比数列{ an }的前 n 项和，
S9是 S3和 S6的等差中项，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
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解析： 设等比数列{ an }的公比为 q （ q ≠1），因为 S9是 S3和
S6的等差中项，得 S3＋ S6＝2 S9，所以 ＋ ＝2
，整理得 q3（2 q6－ q3－1）＝0，即2 q6－ q3－1＝0，
即（2 q3＋1）·（ q3－1）＝0，解得 q3＝－ ，则 q6＝ ，所以
＝ · ＝ ＝1＋ q6＝1＋ ＝ .
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12. （2024·清远质检）等比数列{ an }的首项为2，项数为奇数，其奇
数项之和为 ，偶数项之和为 ，记这个等比数列前 n 项的积为
Tn （ n ≥2），则 Tn 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
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解析： 设共有（2 m ＋1）项，由题意知 S奇＝ a1＋ a3＋…＋ a2 m
＋1＝ ， S偶＝ a2＋ a4＋…＋ a2 m ＝ ， S奇＝ a1＋ a2 q ＋…＋ a2 mq
＝2＋ q （ a2＋ a4＋…＋ a2 m ）＝2＋ q ＝ ，故 q ＝ .故 Tn ＝ a1
a2… an ＝ q1＋2＋…＋（ n－1）＝2 n × ＝ ，当 n ＝1或
2时， Tn 的最大值为2.
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13. 已知 Sn 是等比数列{ an }的前 n 项和，若存在 m ∈N*，满足 ＝
9， ＝ ，则数列{ an }的公比为 .
解析：设数列{ an }的公比为 q ，若 q ＝1，则 ＝2，与题中条件
矛盾，故 q ≠1.∵ ＝ ＝ qm ＋1＝9，∴ qm ＝8.
∵ ＝ ＝ qm ＝8＝ ，∴ m ＝3，∴ q3＝8，∴ q ＝2.
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14. 已知数列{ an }的首项 a1＝ ，前 n 项和为 Sn ，且满足2 an＋1＋ Sn ＝
3（ n ∈N*）.
（1）求 a2及 an ；
解：由2 an＋1＋ Sn ＝3，得2 a2＋ a1＝3.
因为 a1＝ ，所以 a2＝ .由2 an＋1＋ Sn ＝3，2 an ＋ Sn－1＝3（ n ≥2），
得 ＝ .又 ＝ ，所以数列{ an }是以 为首项， 为公比的等比
数列.故 an ＝ ·（ ） n－1＝3·（ ） n （ n ∈N*）.
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（2）若 Sn 满足 ＞ ，求 n 的值.
解：由（1）可得 Sn ＝ ＝3［1－（ ） n ］，
所以 S2 n ＝3［1－（ ）2 n ］，所以 ＝1＋（ ） n .
令1＋（ ） n ＞ ，得（ ） n ＞ ，即2 n ＜63，且 n ∈N*，
故 n 的值可以为1，2，3，4，5.
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15. （多选）设等比数列{ an }的公比为 q ，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积
为 Tn ，并且满足条件 a1＞1， a7 a8＞1， ＜0.则下列结论正确
的是（ ）
A. 0＜ q ＜1 B. a7 a9＜1
C. Tn 的最大值为 T7 D. Sn 的最大值为 S7
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解析： ∵ a1＞1， a7 a8＞1， ＜0，∴ a7＞1，0＜ a8＜
1，∴0＜ q ＜1，故A正确；又 a7 a9＝ ＜1，故B正确；C中， T7
是数列{ Tn }中的最大项，故C正确；D中，∵ a7＞1，0＜ a8＜1，
Sn 的最大值不是 S7，故D不正确.故选A、B、C.
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16. 等比数列{ an }的公比 q ≠1， Sn ， S2 n ， S3 n 分别表示前 n 项和，前
2 n 项和，前3 n 项和.求证： ＋ ＝ SnS2 n ＋ SnS3 n .
证明：∵ Sn ＝ ， S2 n ＝ ，
S3 n ＝ ，
＝（ ）2（1－2 qn ＋ q2 n ），
＝（ ）2（1－2 q2 n ＋ q4 n ），
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∴ ＋ ＝（ ）2（2－2 qn － q2 n ＋ q4 n ），
SnS2 n ＋ SnS3 n ＝（ ）2[（1－ qn － q2 n ＋ q3 n ）＋（1－ qn － q3 n
＋ q4 n ）]＝（ ）2（2－2 qn － q2 n ＋ q4 n ），
∴ ＋ ＝ SnS2 n ＋ SnS3 n .
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谢 谢 观 看！第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1.设f（n）＝2＋24＋27＋…＋23n＋1（n∈N*），则f（n）＝（ ）
A.（8n－1） B.（8n＋1－1）
C.（8n＋2－1） D.（8n＋3－1）
2.已知数列{an}为等比数列，且q＝2，S4＝1，则S8＝（ ）
A.15 B.17
C.19 D.21
3.已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是（ ）
A.30 B.60
C.90 D.120
4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝6，S3n＝14，则S4n－Sn＝（ ）
A.18 B.20
C.24 D.28
5.（多选）（2024·焦作月考）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则（ ）
A.a6＝ B.＝8
C.a5＋a6＝ D.a1＋a2＋…＋a6＝
6.（多选）设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A.a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…
B.a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…
C.S2，S4－S2，S6－S4，…
D.S3，S6－S3，S9－S6，…
7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）为 .
8.（2024·舟山月考）在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝ ，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝ .
9.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，则公比q＝ .
10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2024年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
（1）以2024年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
（2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨？（0.910≈0.35，保留一位小数）
11.（2024·龙岩质检）Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（ ）
A. B.
C. D.
12.（2024·清远质检）等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，记这个等比数列前n项的积为Tn（n≥2），则Tn的最大值为（ ）
A. B.
C.1 D.2
13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为 .
14.已知数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3（n∈N*）.
（1）求a2及an；
（2）若Sn满足＞，求n的值.
15.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1，＜0.则下列结论正确的是（ ）
A.0＜q＜1 B.a7a9＜1
C.Tn的最大值为T7 D.Sn的最大值为S7
16.等比数列{an}的公比q≠1，Sn，S2n，S3n分别表示前n项和，前2n项和，前3n项和.求证：＋＝SnS2n＋SnS3n.
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1.B f（n）＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝＝（8n＋1－1）.
2.B 法一 因为q＝2，S4＝1，所以S4＝＝＝1，解得a1＝，所以S8＝＝＝17.故选B.
法二 由题意得S8＝（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋a7＋a8）＝S4＋q4（a1＋a2＋a3＋a4）＝S4（1＋q4）＝17.
3.D 设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q（a1＋a3＋a5＋…＋a31）＝3S1，又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120.故选D.
4.D 由等比数列的性质，知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成等比数列，设Sn＝x，则x，6－x，14－6构成等比数列，可得（6－x）2＝8x，即x2－20x＋36＝0，解得x＝2或x＝18（舍去）.从而Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n是以2为首项，＝＝2为公比的等比数列，则S4n－S3n＝24＝16，故S4n＝30，所以S4n－Sn＝30－2＝28.
5.BD 依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，则a6＝（）6＝，＝8，a5＋a6＝，a1＋a2＋…＋a6＝，故选B、D.
6.BD 设数列{an}的公比为q，q≠0，对于A和C，都有首项a1＋a2＝a1（1＋q），当q＝－1时，a1＋a2＝0，不满足等比数列，故A、C错误；对于B，a1＋a3＝a1（1＋q2）≠0，且＝＝q2，同理＝q2，故数列a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…为等比数列，故B正确；对于D，S3＝a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）≠0，且＝q3，＝q3，故数列S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列，故D正确.故选B、D.
7.6 解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝（2n＋1－2）棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且y＝2x＋1是增函数，所以n≥6，即n的最小值为6.
8.－2 2n－1－ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2.等比数列{｜an｜}的公比为｜q｜＝2，则｜an｜＝×2n－1，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝（1＋2＋22＋…＋2n－1）＝（2n－1）＝2n－1－.
9. 解析：由210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，得210（S30－S20）＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴＝q10＝（）10.又{an}为正项等比数列，∴q＝.
10.解：（1）由题意知每年的出口量构成等比数列{an}，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a·0.9n－1.
（2）10年的出口总量S10＝＝10a（1－0.910）.
∵S10≤80，∴10a（1－0.910）≤80，
即a≤，
∴a≤12.3.故2024年最多出口12.3吨.
11.A 设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为S9是S3和S6的等差中项，得S3＋S6＝2S9，所以＋＝2，整理得q3（2q6－q3－1）＝0，即2q6－q3－1＝0，即（2q3＋1）·（q3－1）＝0，解得q3＝－，则q6＝，所以＝·＝＝1＋q6＝1＋＝.
12.D 设共有（2m＋1）项，由题意知S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q（a2＋a4＋…＋a2m）＝2＋q＝，故q＝.故Tn＝a1a2…an＝q1＋2＋…＋（n－1）＝2n×＝，当n＝1或2时，Tn的最大值为2.
13.2 解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∵＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
14.解：（1）由2an＋1＋Sn＝3，得2a2＋a1＝3.
因为a1＝，所以a2＝.
由2an＋1＋Sn＝3，2an＋Sn－1＝3（n≥2），
得＝.又＝，
所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列.
故an＝·（）n－1＝3·（）n（n∈N*）.
（2）由（1）可得Sn＝＝3［1－（）n］，
所以S2n＝3［1－（）2n］，所以＝1＋（）n.
令1＋（）n＞，得（）n＞，即2n＜63，且n∈N*，故n的值可以为1，2，3，4，5.
15.ABC ∵a1＞1，a7a8＞1，＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，∴0＜q＜1，故A正确；又a7a9＝＜1，故B正确；C中，T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；D中，∵a7＞1，0＜a8＜1，Sn的最大值不是S7，故D不正确.故选A、B、C.
16.证明：∵Sn＝，
S2n＝，
S3n＝，
＝（）2（1－2qn＋q2n），
＝（）2（1－2q2n＋q4n），
∴＋＝（）2（2－2qn－q2n＋q4n），
SnS2n＋SnS3n＝（）2[（1－qn－q2n＋q3n）＋（1－qn－q3n＋q4n）]＝（）2（2－2qn－q2n＋q4n），
∴＋＝SnS2n＋SnS3n.
1 / 2第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
类比等差数列前n项和的性质，你能得出等比数列{an}前n项和的哪些性质？
【问题】 （1）当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等比数列吗？
（2）若Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，那么该数列的公比与原等比数列{an}的公比有什么关系？
知识点 等比数列前n项和的性质
设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则：
（1）当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列（公比为qm，m≥2）；
（2）当n是偶数时，＝q；当n是奇数时，S奇＝a1＋qS偶，即＝q；
（3）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝；
（4）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm.
1.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是 .
2.等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝ .
题型一 等比数列前n项和的性质
角度1 与“片段和”相关的性质
【例1】 （1）等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4＝（ ）
A.28 B.32 C.21 D.28或－21
（2）（2024·洛阳月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
通性通法
等比数列{an}“片段和”的性质
（1）正确理解等比数列“片段和”性质的含意，即当q≠－1时，连续m项的和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m（或a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m）成等比数列；
（2）正确区分“片段和”Sm，S2m，S3m所具有的性质与上述性质的不同，即＋＝Sm·S2m＋Sm·S3m.
角度2 与“奇、偶和”相关的性质
【例2】 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
通性通法
灵活应用等比数列的项的个数的奇偶性质以及对应的奇数项与偶数项的和与公比的关系解题，注意数列求和的关键是确定首项、公比和项数.
【跟踪训练】
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（ ）
A.32 B.64 C.72 D.216
2.已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ .
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
【例3】 （2024·济宁月考）某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门于2023年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则
（1）该市在2029年应该投入电力型公交车多少辆？
（2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
通性通法
解答数列应用问题的方法
（1）判断、建立数列模型：①变化“量”是同一个常数：等差数列；②变化“率”是同一个常数：等比数列；
（2）提取基本量：从条件中提取相应数列的基本量a1，q（d），n，an，Sn，列出方程（组）求解.
【跟踪训练】如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 024.
1.（2024·苏州月考）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为（ ）
A.8 B.－2 C.4 D.2
2.在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A.2n－1 B. C. D.
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝1，S4＝4，则a7＋a8＝（ ）
A.40 B.30 C.27 D.9
4.（2024·徐州月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是 .
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.28 解析：易知Sm＝4，S2m－Sm＝8，∴S3m－S2m＝16，∴S3m＝12＋16＝28.
2.2 解析：由题意，得解得∴公比q＝＝＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）D 解析：（1）∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴（S4－7）2＝7（91－S4），解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝（a1＋a2）（1＋q2）＝S2（1＋q2）＞S2，∴S4＝28.
（2）∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列.∵＝，∴设S5＝2k（k≠0），则S10＝k，∴S10－S5＝－k，∴S15－S10＝，∴S15＝，∴＝＝.
【例2】 解：设数列为{an}，首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝64，∴·q3＝64，即a1＝12.
故所求通项公式为an＝12×，n∈N*.
跟踪训练
1.B 由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
2.120 解析：因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a100）＝（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＋（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝90＋×90＝120.
【例3】 解：（1）每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝.
所以2029年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×（）6＝1 458（辆）.
故该市在2029年应该投入1 458辆电力型公交车.
（2）设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝256×［（）n－1］，
由Sn＞（10 000＋Sn）×，即Sn＞5 000，解得n≥8.
所以该市到2030年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
跟踪训练
解：记第n个正方形的边长为bn，
由题意可知＝2×（）2＝，
则an＝an－1，
所以数列{an}是以a1＝4为首项，以q＝为公比的等比数列，
即an＝4×（）n－1＝23－n.
S2 024＝＝8×（1－）＝8－.
随堂检测
1.D 由＝q，可知q＝2.
2.B 由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.
3.C 由于{an}是等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6也成等比数列，其中S2＝1，S4－S2＝3，所以S6－S4＝3×3＝9，S8－S6＝9×3＝27，所以a7＋a8＝S8－S6＝27.
4.3 解析：设顶层的灯数是a1，则每一层灯数形成以a1为首项，以2为公比的等比数列，设为{an}，由题可得S7＝＝381，解得a1＝3，故塔的顶层的灯数是3.
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