4.4 *数学归纳法
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k（k∈N*）时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于（ ）
A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立
C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对
3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（ ）
A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确
B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确
C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确
D.假设n＝k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*）
4.（2024·济源月考）利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了（ ）
A.1项 B.k项
C.2k－1项 D.2k项
5.（多选）已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其证明：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.
（2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立.
由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立.则（ ）
A.命题正确 B.命题不正确
C.推理都正确 D.推理不正确
6.（多选）用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（ ）
A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立
B.“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是
C.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项
D.当n＝2时不等式左边是
7.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取 .
8.（2024·宿迁月考）设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）＝ .
9.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），则a5＝ ，归纳猜想an＝ .
10.证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）.
11.（2024·东营月考）设n是正整数，f（n）＝1＋＋＋…＋，经计算可得，f（2）＝，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞.观察上述结果，可得出的一般结论是（ ）
A.f（2n）＞ B.f（n2）≥
C.f（2n）≥ D.f（2n）＞
12.（多选）已知一个命题p（k），k＝2n（n∈N*），若当n＝1，2，…，1 000时，p（k）成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A.p（k）对k＝528成立
B.p（k）对每一个自然数k都成立
C.p（k）对每一个正偶数k都成立
D.p（k）对某些偶数可能不成立
13.用数学归纳法证明n3＋5n（n∈N*）能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，（k＋1）3＋5（k＋1）式子应变形为 .
14.已知n＞2，n∈N*.求证：1＋＋＋…＋＞.
15.（2024·驻马店月考）平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（ ）
A.n＋1 B.2n
C. D.n2＋n＋1
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.
4.4 *数学归纳法
1.C 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.
2.B 本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.
3.B 因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第（k＋1）个正奇数即n＝2k＋1正确.
4.D 当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项.
5.AD 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确.
6.CD 第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为＋＋＋…＋－（＋＋＋…＋）＝＋＋…＋（k∈N*），所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，所以D正确.
7.8 解析：据已知可转化为＞，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为n＝8.
8.＋＋ 解析：注意末项与首项，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋.
9.31 2n－1 解析：因为an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），且a1＝1，所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.猜想an＝2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然猜想成立；②假设n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×（2k－1）＋1＝2k＋1－1.故n＝k＋1时，猜想也成立.综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1.
10.证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，
即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－.所以当n＝k＋1时，等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任意n∈N*都成立.
11.C 已知f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，即f（22）＞，f（23）＞，f（24）＞，f（25）＞，依此类推，可得f（2n）＞（n＞1，n为正整数）.因为f（2）＝，所以f（2n）≥（n为正整数）.
12.AD 由题意知p（k）对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p（k）是否成立，故选A、D.
13.（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6
解析：（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k2＋3k＋6＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.∵k（k＋1）为偶数，∴3k（k＋1）能被6整除，∴（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
14.证明：（1）当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋＞.
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＞＋＝＝＞＝＝，所以1＋＋＋…＋＋＞.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
由（1）（2）知对一切n＞2，n∈N*，不等式恒成立.
15.C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋（1＋2）＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3）＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3＋…＋n）＝1＋＝个区域.
16.解：（1）∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1；
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝；当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＋＝；当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝.
猜想Sn＝.
（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当n＝1时，猜想显然成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk＝，
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋－Sk），
∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2·，
∴Sk＋1＝.
故当n＝k＋1时，猜想也成立.
由①和②可知，对于任意的n∈N*都有Sn＝.故猜想成立.
∵Sn＝n2an，∴an＝＝＝.
1 / 24.4 *数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 数学抽象、逻辑推理
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃到米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
知识点 数学归纳法
1.定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2.证明形式：记P（n）是一个关于正整数n的命题.
条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k＋1）也为真.
结论：P（n）为真.
提醒 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（ ）
（2）应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.（ ）
（3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.（ ）
（4）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.（ ）
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步应验证n＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”.当验证n＝1时，上式左端计算所得为 .
题型一 对数学归纳法的理解
【例1】 （1）用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于（ ）
A.1 B.3
C.5 D.6
（2）设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝”的过程中，第二步从k到k＋1应添加的项为 .
通性通法
数学归纳法的三个关键点
（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1；
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律；
（3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
【跟踪训练】
对于不等式＜n＋1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1且k∈N*）时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝（k＋1）＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A.过程全部正确 B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
题型二 用数学归纳法证明等式
【例2】 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N*）.
通性通法
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）n＝n0时，等式的结构；
（2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（n2＋n）＝n（n＋1）（n＋2）（n∈N*）.
题型三 用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）.
通性通法
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
（1）适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
（2）关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.
【跟踪训练】
求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】 设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－nan＋1，n＝1，2，3，….
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
通性通法
1.“归纳——猜想——证明”的一般环节
2.“归纳——猜想——证明”的主要题型
（1）已知数列的递推公式，求通项或前n项和；
（2）由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，以及求使命题成立的参数值问题；
（3）给出一些简单的命题（n＝1，2，3，…），猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
【跟踪训练】
试比较2n＋2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论.
1.（2024·丽水月考）用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N*），验证n＝1时，左边应取的项是（ ）
A.1 B.1＋2
C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
2.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
A.2 B.3
C.5 D.6
3.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端在n＝k时的左端加上 .
4.4 *数学归纳法
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.C 边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
3.1＋a＋a2
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）（k＋1）2＋k2
解析：（1）由题意，得当n＝1时，21＜（1＋1）2；当n＝2时，22＜（2＋1）2；当n＝3时，23＜（3＋1）2；当n＝4时，24＜（4＋1）2；当n＝5时，25＜（5＋1）2；当n＝6时，26＞（6＋1）2，所以用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于6.
（2）当n＝k时，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可见，从k到k＋1应添加的项是（k＋1）2＋k2.
跟踪训练
D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法.
【例2】 证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，命题成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋.
上式表明当n＝k＋1时，命题也成立.
由（1）（2）知，命题对任何n∈N*均成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，左边＝2，右边＝×1×2×3＝2，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，
即（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＝k（k＋1）（k＋2），
那么当n＝k＋1时，
（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＋[（k＋1）2＋（k＋1）]＝k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）2＋（k＋1）＝k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）（1＋k＋1）＝（k＋1）（k＋2）·（k＋3）＝（k＋1）[（k＋1）＋1][（k＋1）＋2]，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
根据（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立.
【例3】 证明：（1）当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝，
∵＜，∴不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即＋＋＋…＋＜1－.
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋（＋＋－）＞＋＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.
【例4】 解：（1）由a1＝2得a2＝－a1＋1＝3，
a3＝－2a2＋1＝4，a4＝－3a3＋1＝5.
（2）由（1）猜想{an}的一个通项公式为an＝n＋1（n∈N*），
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝2＝1＋1，猜想成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，
即ak＝k＋1，
那么ak＋1＝－kak＋1＝（k＋1）2－k（k＋1）＋1＝k＋2＝（k＋1）＋1，即当n＝k＋1时，猜想也成立，
根据①②，对于所有n≥1，有an＝n＋1.
跟踪训练
解：当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16，
由此可以猜想，2n＋2＞n2（n∈N*）.
下面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边＞右边，所以原不等式成立；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，即2k＋2＞k2.
那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2）－2＞2k2－2.
又因为2k2－2－（k＋1）2＝k2－2k－3
＝（k－3）（k＋1）≥0，
即2k2－2≥（k＋1）2，故2k＋1＋2＞（k＋1）2成立.
根据（1）和（2），原不等式对于任意n∈N*都成立.
随堂检测
1.D 当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2.C 当n取1，2，3，4时，2n＞n2＋1都不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，所以第一个能使2n＞n2＋1成立的n值为5.故起始值n0应取5.
3.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2
解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2.
1 / 4(共59张PPT)
4.4 *数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列
中的一些简单命题 数学抽象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学
一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他
对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故
事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公
鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的
早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有
米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，
一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡
【问题】 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
在第一百天的早晨不但没有吃到米，反而被杀了.虽然它已有九十九
天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡
的推理戏称为“公鸡归纳法”.
知识点 数学归纳法
1. 定义：一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步
骤进行：
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n
都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2. 证明形式：记 P （ n ）是一个关于正整数 n 的命题.
条件：（1） P （ n0）为真；（2）若 P （ k ）（ k ∈N*， k ≥ n0）为
真，则 P （ k ＋1）也为真.
结论： P （ n ）为真.
提醒 数学归纳法的实质在于递推，所以从“ k ”到“ k ＋1”的过
程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规
律，弄清由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加
怎样的项.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.
（ × ）
（2）应用数学归纳法证明数学命题时 n0＝1. （ × ）
（3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.
（ √ ）
（4）推证 n ＝ k ＋1时可以不用 n ＝ k 时的假设. （ × ）
×
×
√
×
2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n （ n －3）条时，第
一步应验证 n ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 边数最少的凸 n 边形是三角形，故选C.
3. 用数学归纳法证明“1＋ a ＋ a2＋…＋ an＋1＝ （ a ≠1）”.当
验证 n ＝1时，上式左端计算所得为 .
1＋ a ＋ a2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数学归纳法的理解
【例1】 （1）用数学归纳法证明不等式2 n ＞（ n ＋1）2（ n ∈N*）
时，初始值 n0应等于（ D ）
A. 1 B. 3
解析：由题意，得当 n ＝1时，21＜（1＋1）2；当 n ＝2时，22＜（2＋1）2；当 n ＝3时，23＜（3＋1）2；当 n ＝4时，24＜（4＋1）2；当 n ＝5时，25＜（5＋1）2；当 n ＝6时，26＞（6＋1）2，所以用数学归纳法证明不等式2 n ＞（ n ＋1）2（ n ∈N*）时，初始值 n0应等于6.
D
C. 5 D. 6
（2）设 S1＝12， S2＝12＋22＋12， S3＝12＋22＋32＋22＋12，…， Sn ＝
12＋22＋32＋…＋ n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“ Sn ＝
”的过程中，第二步从 k 到 k ＋1应添加的项为
.
解析： 当 n ＝ k 时， Sk ＝12＋22＋…＋ k2＋…＋22＋12；当
n ＝ k ＋1时， Sk＋1＝12＋22＋…＋ k2＋（ k ＋1）2＋ k2＋…＋22＋
12，可见，从 k 到 k ＋1应添加的项是（ k ＋1）2＋ k2.
（ k
＋1）2＋ k2
通性通法
数学归纳法的三个关键点
（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值
不一定是1；
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中
项数的变化，弄清式子两边的构成规律；
（3）利用假设是核心：在第二步证明 n ＝ k ＋1时，一定要利用归纳
假设.
【跟踪训练】
对于不等式 ＜ n ＋1（ n ∈N*），某同学用数学归纳法的证
明过程如下：
（1）当 n ＝1时， ＜1＋1，不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥1且 k ∈N*）时，不等式成立，即 ＜ k
＋1，则当 n ＝ k ＋1时， ＝
＜ ＝ ＝（ k
＋1）＋1，
A. 过程全部正确
B. n ＝1验证不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1的推理不正确
解析： 在 n ＝ k ＋1时，没有应用 n ＝ k 时的归纳假设，不是
数学归纳法.
∴当 n ＝ k ＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
题型二 用数学归纳法证明等式
【例2】 用数学归纳法证明：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋
＋…＋ （ n ∈N*）.
证明：（1）当 n ＝1时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ，命题成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时，命题成立，即
1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ ，
那么当 n ＝ k ＋1时，
1－ ＋ － ＋…＋ － ＋ －
＝ ＋ ＋…＋ ＋ －
＝ ＋ ＋…＋ ＋ .
上式表明当 n ＝ k ＋1时，命题也成立.
由（1）（2）知，命题对任何 n ∈N*均成立.
通性通法
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
（1） n ＝ n0时，等式的结构；
（2） n ＝ k 到 n ＝ k ＋1时，两个式子的结构： n ＝ k ＋1时的代数式比
n ＝ k 时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与 n 的关系.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（ n2＋ n ）＝ n （ n
＋1）（ n ＋2）（ n ∈N*）.
证明：（1）当 n ＝1时，左边＝2，右边＝ ×1×2×3＝2，等式
成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时，等式成立，
即（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（ k2＋ k ）＝ k （ k ＋1）（ k ＋2），
那么当 n ＝ k ＋1时，
（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（ k2＋ k ）＋[（ k ＋1）2＋（ k ＋1）]＝
k （ k ＋1）（ k ＋2）＋（ k ＋1）2＋（ k ＋1）＝ k （ k ＋1）（ k ＋
2）＋（ k ＋1）（1＋ k ＋1）＝ （ k ＋1）（ k ＋2）（ k ＋3）＝ （ k
＋1）[（ k ＋1）＋1][（ k ＋1）＋2]，即当 n ＝ k ＋1时，等式也成立.
根据（1）和（2）可知，等式对任意正整数 n 都成立.
题型三 用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ （ n
≥2， n ∈N*）.
证明：（1）当 n ＝2时，左边＝ ＝ ，右边＝1－ ＝ ，
∵ ＜ ，∴不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）时，不等式成立，即 ＋ ＋
＋…＋ ＜1－ .
则当 n ＝ k ＋1时，
＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜1－ ＋ ＝1－
＝1－ ＜1－ ＝1－ .
∴当 n ＝ k ＋1时，不等式也成立.
根据（1）和（2）知，对任意 n ≥2的正整数，不等式均成立.
通性通法
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
（1）适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他办
法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
（2）关键：由 n ＝ k 时命题成立证 n ＝ k ＋1时命题也成立，在归纳假
设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证
明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题
得以简化.
【跟踪训练】
求证： ＋ ＋…＋ ＞ （ n ≥2， n ∈N*）.
证明：（1）当 n ＝2时，
左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）时不等式成立，即 ＋ ＋…
＋ ＞ ，
则当 n ＝ k ＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞
＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋ ＝ ，
所以当 n ＝ k ＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切 n ≥2， n ∈N*均成立.
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】 设数列{ an }满足 a1＝2， an＋1＝ － nan ＋1， n ＝1，2，
3，….
（1）求 a2， a3， a4；
解：由 a1＝2得 a2＝ － a1＋1＝3，
a3＝ －2 a2＋1＝4， a4＝ －3 a3＋1＝5.
（2）猜想出{ an }的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
解：由（1）猜想{ an }的一个通项公式为 an ＝ n ＋1（ n ∈N*），
下面用数学归纳法证明：
①当 n ＝1时， a1＝2＝1＋1，猜想成立.
②假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时猜想成立，
即 ak ＝ k ＋1，
那么 ak＋1＝ － kak ＋1＝（ k ＋1）2－ k （ k ＋1）＋1＝ k ＋2＝
（ k ＋1）＋1，即当 n ＝ k ＋1时，猜想也成立，
根据①②，对于所有 n ≥1，有 an ＝ n ＋1.
通性通法
1. “归纳——猜想——证明”的一般环节
2. “归纳——猜想——证明”的主要题型
（1）已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和；
（2）由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，以及求使
命题成立的参数值问题；
（3）给出一些简单的命题（ n ＝1，2，3，…），猜想并证明对任
意正整数 n 都成立的一般性命题.
【跟踪训练】
试比较2 n ＋2与 n2的大小（ n ∈N*），并用数学归纳法证明你的
结论.
解：当 n ＝1时，21＋2＝4＞ n2＝1，当 n ＝2时，22＋2＝6＞ n2＝4，
当 n ＝3时，23＋2＝10＞ n2＝9，当 n ＝4时，24＋2＝18＞ n2＝16，
由此可以猜想，2 n ＋2＞ n2（ n ∈N*）.
下面用数学归纳法证明：
（1）当 n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
当 n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边＞右边，所以原不等式成立；
当 n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥3，且 k ∈N*）时，不等式成立，即2 k ＋2＞
k2.那么当 n ＝ k ＋1时，2 k＋1＋2＝2·2 k ＋2＝2（2 k ＋2）－2＞2 k2－2.
又因为2 k2－2－（ k ＋1）2＝ k2－2 k －3
＝（ k －3）（ k ＋1）≥0，
即2 k2－2≥（ k ＋1）2，故2 k＋1＋2＞（ k ＋1）2成立.
根据（1）和（2），原不等式对于任意 n ∈N*都成立.
1. （2024·丽水月考）用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（ n ＋
3）＝ （ n ∈N*），验证 n ＝1时，左边应取的项是
（ ）
A. 1 B. 1＋2
C. 1＋2＋3 D. 1＋2＋3＋4
解析： 当 n ＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2. 用数学归纳法证明“2 n ＞ n2＋1对于 n ≥ n0的自然数 n 都成立”时，
第一步证明中的起始值 n0应取（ ）
A. 2 B. 3
C. 5 D. 6
解析： 当 n 取1，2，3，4时，2 n ＞ n2＋1都不成立，当 n ＝5
时，25＝32＞52＋1＝26，所以第一个能使2 n ＞ n2＋1成立的 n 值为
5.故起始值 n0应取5.
3. 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋ n2＝ ，则当 n ＝ k ＋1
时，左端在 n ＝ k 时的左端加上
.
解析： n ＝ k 时，左端为1＋2＋3＋…＋ k2， n ＝ k ＋1时，左端为1
＋2＋3＋…＋ k2＋（ k2＋1）＋（ k2＋2）＋…＋（ k ＋1）2.
（ k2＋1）＋（ k2＋2）＋…＋（ k
＋1）2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于（ n －2）π”时，归纳
奠基中 n0的取值应为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：根据凸 n 边形至少有3条边，知 n ≥3，故 n0的取值应为3.
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2. 一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n ＝1时命题成立，并在假设
当 n ＝ k （ k ∈N*）时命题成立的基础上，证明了当 n ＝ k ＋2时命
题成立，那么综合上述，对于（ ）
A. 一切正整数命题成立
B. 一切正奇数命题成立
C. 一切正偶数命题成立
D. 以上都不对
解析： 本题证明了当 n ＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命
题对一切正奇数成立.
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3. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn ＋ yn 能被 x ＋ y 整除”的
第二步是（ ）
A. 假设 n ＝2 k ＋1时正确，再推 n ＝2 k ＋3时正确
B. 假设 n ＝2 k －1时正确，再推 n ＝2 k ＋1时正确
C. 假设 n ＝ k 时正确，再推 n ＝ k ＋1时正确
D. 假设 n ＝ k （ k ≥1），再推 n ＝ k ＋2时正确（以上 k ∈N*）
解析： 因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应
先假设第 k 个正奇数也成立，本题即假设 n ＝2 k －1正确，再推第
（ k ＋1）个正奇数即 n ＝2 k ＋1正确.
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4. （2024·济源月考）利用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋
＜ n （ n ≥2， n ∈N*）的过程中，由 n ＝ k 变到 n ＝ k ＋1时，
左边增加了（ ）
A. 1项 B. k 项
解析： 当 n ＝ k 时，不等式左边的最后一项为 ，而当 n ＝ k
＋1时，最后一项为 ＝ ，并且不等式左边每一项分母
的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2 k 项.
C. 2 k－1项 D. 2 k 项
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5. （多选）已知命题1＋2＋22＋…＋2 n－1＝2 n －1（ n ∈N*）及其
证明：
（1）当 n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.
（2）假设 n ＝ k （ k ∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2 k－1＝2
k －1成立，则当 n ＝ k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2 k－1＋2 k ＝
＝2 k＋1－1，所以 n ＝ k ＋1时等式也成立.
由（1）（2）知，对任意的正整数 n 等式都成立.则（ ）
A. 命题正确 B. 命题不正确 C. 推理都正确 D. 推理不正确
解析：推理不正确，错在证明 n ＝ k ＋1时，没有用到假设 n ＝ k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确.
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6. （多选）用数学归纳法证明不等式 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ －1（ n
∈N*， n ≥2）时，以下说法正确的是（ ）
A. 第一步应该验证当 n ＝1时不等式成立
B. “ n ＝ k （ k ∈N*， k ≥2）到 n ＝ k ＋1”左边需要增加的代数式是
C. 从“ n ＝ k （ k ∈N*， k ≥2）到 n ＝ k ＋1”左边需要增加2 k－1项
D. 当 n ＝2时不等式左边是
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解析： 第一步应该验证当 n ＝2时不等式成立，所以A不正
确；因为 ＋ ＋ ＋…＋ －（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＝ ＋
＋…＋ （ k ∈N*），所以从“ n ＝ k 到 n ＝ k ＋1”左边需要
增加的代数式是 ＋ ＋…＋ ，所以B不正确；所以从
“ n ＝ k 到 n ＝ k ＋1”左边需要增加2 k－1项，所以C正确；当 n ＝2
时， ＝ ，不等式左边是 ，所以D正确.
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7. 用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ ＞ （ n ∈N*）成
立，其初始值至少应取 .
解析：据已知可转化为 ＞ ，整理得2 n ＞128，解得 n
＞7，故原不等式的初始值为 n ＝8.
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8. （2024·宿迁月考）设 f （ n ）＝1＋ ＋ ＋…＋ （ n ∈N*），
那么 f （ n ＋1）－ f （ n ）＝ .
解析：注意末项与首项，所以 f （ n ＋1）－ f （ n ）＝ ＋ ＋
.
＋ ＋
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9. 若数列{ an }满足 a1＝1， an＋1＝2 an ＋1（ n ＝1，2，3，…），则 a5
＝ ，归纳猜想 an ＝ .
解析：因为 an＋1＝2 an ＋1（ n ＝1，2，3，…），且 a1＝1，所以 a2
＝2×1＋1＝3， a3＝2×3＋1＝7， a4＝2×7＋1＝15， a5＝2×15＋
1＝31.猜想 an ＝2 n －1.用数学归纳法证明：①当 n ＝1时，显然猜
想成立；②假设 n ＝ k 时， ak ＝2 k －1，则 ak＋1＝2 ak ＋1＝2×（2 k
－1）＋1＝2 k＋1－1.故 n ＝ k ＋1时，猜想也成立.综上，对所有正
整数 n ，都有 an ＝2 n －1.
31
2 n －1
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10. 证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ （ n ∈N*）.
证明：（1）当 n ＝1时，左边＝ ，右边＝1－ ＝ ，等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时，等式成立，
即 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ ，
那么当 n ＝ k ＋1时，左边＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋
＝1－ ＋ ＝1－ ＝1－ .所以当 n ＝ k ＋1
时，等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任意 n ∈N*都成立.
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11. （2024·东营月考）设 n 是正整数， f （ n ）＝1＋ ＋ ＋…＋ ，
经计算可得， f （2）＝ ， f （4）＞2， f （8）＞ ， f （16）＞
3， f （32）＞ .观察上述结果，可得出的一般结论是（ ）
A. f （2 n ）＞ B. f （ n2）≥
C. f （2 n ）≥ D. f （2 n ）＞
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解析： 已知 f （4）＞2， f （8）＞ ， f （16）＞3， f （32）＞
，即 f （22）＞ ， f （23）＞ ， f （24）＞ ， f （25）＞
，依此类推，可得 f （2 n ）＞ （ n ＞1， n 为正整数）.因为
f （2）＝ ，所以 f （2 n ）≥ （ n 为正整数）.
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12. （多选）已知一个命题 p （ k ）， k ＝2 n （ n ∈N*），若当 n ＝1，
2，…，1 000时， p （ k ）成立，且当 n ＝1 001时也成立，则下列
判断中正确的是（ ）
A. p （ k ）对 k ＝528成立
B. p （ k ）对每一个自然数 k 都成立
C. p （ k ）对每一个正偶数 k 都成立
D. p （ k ）对某些偶数可能不成立
解析： 由题意知 p （ k ）对 k ＝2，4，6，…，2 002成立，当
k 取其他值时不能确定 p （ k ）是否成立，故选A、D.
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13. 用数学归纳法证明 n3＋5 n （ n ∈N*）能被6整除的过程中，当 n ＝
k ＋1时，（ k ＋1）3＋5（ k ＋1）式子应变形为
.
解析：（ k ＋1）3＋5（ k ＋1）＝ k3＋1＋3 k2＋3 k ＋5 k ＋5＝（ k3
＋5 k ）＋3 k2＋3 k ＋6＝（ k3＋5 k ）＋3 k （ k ＋1）＋6.∵ k （ k ＋
1）为偶数，∴3 k （ k ＋1）能被6整除，∴（ k ＋1）3＋5（ k ＋
1）应变形为（ k3＋5 k ）＋3 k （ k ＋1）＋6.
（ k3＋5 k ）＋3 k
（ k ＋1）＋6
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14. 已知 n ＞2， n ∈N*.求证：1＋ ＋ ＋…＋ ＞ .
证明：（1）当 n ＝3时，左边＝1＋ ＋ ，右边＝ ＝2，
左边＞右边，不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N*， k ≥3）时，不等式成立，
即1＋ ＋ ＋…＋ ＞ .
当 n ＝ k ＋1时，
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1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＞ ＋ ＝ ＝ ＞
＝ ＝ ，所以1＋ ＋ ＋…＋ ＋
＞ .
所以当 n ＝ k ＋1时，不等式也成立.
由（1）（2）知对一切 n ＞2， n ∈N*，不等式恒成立.
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15. （2024·驻马店月考）平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f
（ n ）个区域，则 f （ n ）的表达式为（ ）
A. n ＋1 B. 2 n
解析： 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平
面分成1＋（1＋2）＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋（1
＋2＋3）＝7个区域；…； n 条直线最多可将平面分成1＋（1＋2
＋3＋…＋ n ）＝1＋ ＝ 个区域.
C. D. n2＋ n ＋1
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16. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 a1＝1， Sn ＝ n2 an （ n ∈N*）.
（1）写出 S1， S2， S3， S4，并猜想 Sn 的表达式；
解： ∵ a1＝1， Sn ＝ n2 an ，∴ S1＝ a1＝1；
当 n ＝2时， S2＝ a1＋ a2＝4 a2，可得 a2＝ ， S2＝1＋ ＝ ；
当 n ＝3时， S3＝ a1＋ a2＋ a3＝9 a3，可得 a3＝ ， S3＝1＋
＋ ＝ ；当 n ＝4时， S4＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝16 a4，可得 a4
＝ ， S4＝ .猜想 Sn ＝ .
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（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 an 的表达式.
解：下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当 n ＝1时，猜想显然成立.
②假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时，猜想成立，即 Sk ＝ ，
则当 n ＝ k ＋1时， Sk＋1＝（ k ＋1）2 ak＋1＝（ k ＋ － Sk ），
∴（ k2＋2 k ） Sk＋1＝（ k ＋1）2 Sk ＝（ k ＋1）2· ，
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∴ Sk＋1＝ .
故当 n ＝ k ＋1时，猜想也成立.
由①和②可知，对于任意的 n ∈N*都有 Sn ＝ .
故猜想成立.
∵ Sn ＝ n2 an ，∴ an ＝ ＝ ＝ .
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