章末检测（四） 数列
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.观察数列，－，（ ），－，，（ ），…的特点，则括号中应分别填入（ ）
A.，－ B.－，
C.，－ D.，－
2.已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 026，则n＝（ ）
A.667 B.668
C.669 D.676
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（ ）
A.25 B.22
C.20 D.15
4.设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 025＝（ ）
A.－2 B.1
C.－1 D.2
5.已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝，则a2 024＝（ ）
A. B.
C. D.
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A.120 B.85
C.－85 D.－120
7.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的（ ）
A.第8项 B.第10项
C.第12项 D.第14项
8.已知等差数列{an}的公差不为0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（ ）
A.4 B.6
C. D.9
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），则下列结论正确的是（ ）
A.a5＝－16 B.S5＝－31
C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn＋1}是等比数列
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（ ）
A.a4＝0
B.Sn的最大值为S3
C.S1＝S6
D.｜a3｜＜｜a5｜
11.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列{}的前n项和为Tn，若Tn＜m2－m－1对一切n∈N*恒成立，则实数m的值可以为（ ）
A.－2 B.0
C.2 D.3
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝ .
13.在等差数列{an}中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100的值为 .
14.若项数为n的数列{an}满足：ai＝an＋1－i（i＝1，2，3，…，n），我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数
列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列{cn}为2k＋1项的“对称数列”，其中c1，c2，…，ck＋1是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于8，记数列{cn}的前2k＋1项和为S2k＋1，若S2k＋1＝32，则k＝ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an.
（1）求{an}的通项公式；
（2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn.
16.（本小题满分15分）近几年，电动汽车领域有了长足的发展.某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.
（1）引进该生产线满几年时总盈利最大，最大是多少万元？
（2）引进该生产线满几年时平均盈利最多，最多是多少万元？
17.（本小题满分15分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上，n∈N*.
（1）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
（2）在（1）的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
18.（本小题满分17分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，n＝1，2，…，其中a，b均为正整数，a1＜b1＜a2＜b2＜a3.
（1）求a的值；
（2）若存在实数m，n满足关系式am＋1＝bn，试求b；
（3）对于满足（2）中关系式的am，试求a1＋a2＋…＋am.
19.（本小题满分17分）在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a41＝a32＋2，＝m.
（1）求m及a53；
（2）记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn.
章末检测（四） 数列
1.D 由题可得数列的通项公式an＝（－1）n＋1·，∴a3＝，a6＝－.故选D.
2.D 由2 026＝1＋3（n－1），解得n＝676.
3.C 法一 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝（a1＋3d）（a1＋7d）＝45，解得：d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C.
法二 a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C.
4.C 由a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…，则数列{an}是以3为周期的周期数列，又a1a2a3＝2××（－1）＝－1，且2 025＝3×675，∴T2 025＝（－1）675＝－1.故选C.
5.D 由an＋1＝得＝＋1，所以数列是等差数列，首项为＝2，公差为1，所以＝2＋（2 024－1）×1＝2 025，则a2 024＝.
6.C 法一 设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①.由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得：q2＝4，所以S8＝＝×（1＋q4）＝－5×（1＋16）＝－85.故选C.
法二 设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以有，＝S2（21S2＋5），解得：S2＝－1或S2＝，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a1＋a2）（1＋q2）＝（1＋q2）S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去.故选C.
7.D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则－2＝254，n＝14，故选D.
8.C 因为a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，公差d≠0，所以＝a1a13，即（1＋2d）2＝1＋12d，得d＝2，所以an＝2n－1，Sn＝＝n2，所以＝＝n＋，因为函数f（x）＝x＋在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，所以当n＝2或n＝3时，n＋取得最小值，又当n＝2时，n＋＝6，当n＝3时，n＋＝＜6，所以的最小值为，故选C.
9.ABC 因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误.故选A、B、C.
10.AC 设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋（n－1）d＝（n－4）d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即｜a3｜＝｜a5｜，故D不正确.故选A、C.
11.AD 由题意，得数列{an}的前n项和为Sn，由“均值数列”的定义可得＝n，所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1，a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，所以＝＝（－），所以Tn＝（1－＋－＋…＋－）＝（1－）＜，又Tn＜m2－m－1对一切n∈N*恒成立，所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0，解得m≤－1或m≥3.即实数m的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.故选A、D.
12. 解析：设{an}的公比为q，q＞0，且＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－（舍去），a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.
13.101 解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9.又am＝a1＋d（m－1），∴＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵＝135，∴m＝15，∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.
14.3或4 解析：由题意，ck＋1＝8，又c1，c2，…，ck＋1是公差为2的等差数列，故c1＋2k＝8，则c1＝8－2k，ck＝ck＋1－2＝6.又S2k＋1＝32，故2（c1＋c2＋…＋ck）＋ck＋1＝32，即c1＋c2＋…＋ck＝12，由等差数列前n项和公式有＝12，化简得k2－7k＋12＝0，解得k＝3或k＝4.
15.解：（1）因为a1＝1，an＋1＝3an，
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.
（2）由（1）得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2，所以Sn＝13n＋×（－2）＝－n2＋14n.
16.解：（1）设引进该生产线满n年时的总盈利为Sn，
根据条件可知，每年的人工、维修等费用是首项为24，公差为8的等差数列，
则Sn＝100n－［n×24＋×8］－196
＝－4n2＋80n－196＝－4（n－10）2＋204，
所以当n＝10，即引进该生产线满10年时，总盈利最大，最大值为204万元.
（2）设引进该生产线满n年时的平均盈利为Tn，由（1）可知，
Tn＝＝－4n－＋80＝－（4n＋）＋80≤－2＋80＝24，
当4n＝，即n＝7时，等号成立，
所以引进该生产线满7年时的平均盈利最多，最多为24万元.
[WT][WTBX]17.解：（1）因为点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1（n＞1，且n∈N*）.
因为an＋1－an＝3（Sn－Sn－1）＝3an，所以an＋1＝4an（n＞1，且n∈N*），a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列.
（2）由（1）知，an＋1＝4an，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，
所以cn＝an＋bn＝4n－1＋n，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n）
＝（1＋4＋42＋…＋4n－1）＋（1＋2＋3＋…＋n）＝＋.
18.解：（1）a1＜b1＜a2＜b2＜a3，即a＜b＜a＋b＜ab＜a＋2b.
因为a，b均为正整数且a＜b，可由ab＜a＋2b得a＜＋2＜3，
又由a＋b＜ab可得a＞＋1＞1，故a＝2.
（2）an＝a＋（n－1）b，bn＝ban－1.
由am＋1＝bn得a＋（m－1）b＋1＝ban－1，即b＝∈N*.
由（1）知b＞a＝2，只有b＝3.
（3）由（2）知bn＝3×2n－1，am＝bn－1＝3×2n－1－1.
记{cn}是{an}中所有满足am＋1＝bn的项从小到大依次组成的数列，
则数列{cn}的前n项的和就是a1＋a2＋…＋am的值.
所以当cn＝3×2n－1－1时，
a1＋a2＋…＋am＝c1＋c2＋…＋cn＝3（1＋2＋…＋2n－1）－n＝3（2n－1）－n.
19.解：（1）由已知得a31＝a11＋（3－1）×m＝2m＋2，
a32＝a31×m＝（2m＋2）×m＝2m2＋2m，
a41＝a11＋（4－1）×m＝3m＋2，
∵a41＝a32＋2，
∴3m＋2＝（2m2＋2m）＋2，即m2－2m＝0.
又m＞0，∴m＝2，
∴a51＝a11＋4×2＝10，
∴a53＝a51×22＝40.
（2）由（1）得an1＝a11＋（n－1）×2＝2n.
当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n.（*）
又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8.
a11＝2，a22＝8符合（*）式，
∴ann＝n·2n.
∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，
∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n， ①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1， ②
由①－②得，－Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝（1－n）·2n＋1－2，
∴Tn＝（n－1）·2n＋1＋2.
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章末检测（四） 数列
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 观察数列 ，－ ，（ ），－ ， ，（ ），…的特点，
则括号中应分别填入（ ）
A. ，－ B. － ，
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解析： 由题可得数列的通项公式 an ＝（－1） n＋1· ，
∴ a3＝ ， a6＝－ .故选D.
C. ，－ D. ，－
2. 已知{ an }是首项为1，公差为3的等差数列，如果 an ＝2 026，则 n
＝（ ）
A. 667 B. 668
C. 669 D. 676
解析： 由2 026＝1＋3（ n －1），解得 n ＝676.
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3. 记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.若 a2＋ a6＝10， a4 a8＝45，则 S5
＝（ ）
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
解析： 法一 设等差数列{ an }的公差为 d ，首项为 a1，依题意
可得， a2＋ a6＝ a1＋ d ＋ a1＋5 d ＝10，即 a1＋3 d ＝5，又 a4 a8＝
（ a1＋3 d ）（ a1＋7 d ）＝45，解得： d ＝1， a1＝2，所以 S5＝5 a1
＋ × d ＝5×2＋10＝20.故选C.
法二 a2＋ a6＝2 a4＝10， a4 a8＝45，所以 a4＝5， a8＝9，从而 d ＝
＝1，于是 a3＝ a4－ d ＝5－1＝4，所以 S5＝5 a3＝20.故选C.
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4. 设数列{ an }满足 a1＝2， an＋1＝1－ ，记数列{ an }的前 n 项之积为
Tn ，则 T2 025＝（ ）
A. －2 B. 1
C. －1 D. 2
解析： 由 a1＝2， an＋1＝1－ ，得 a2＝1－ ＝ ， a3＝1－
＝－1， a4＝1－ ＝2，…，则数列{ an }是以3为周期的周期数
列，又 a1 a2 a3＝2× ×（－1）＝－1，且2 025＝3×675，∴ T2 025
＝（－1）675＝－1.故选C.
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5. 已知数列{ an }满足 an＋1＝ ， a1＝ ，则 a2 024＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由 an＋1＝ 得 ＝ ＋1，所以数列 是等差数
列，首项为 ＝2，公差为1，所以 ＝2＋（2 024－1）×1＝2
025，则 a2 024＝ .
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6. 记 Sn 为等比数列{ an }的前 n 项和，若 S4＝－5， S6＝21 S2，则 S8＝
（ ）
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解析： 法一 设等比数列{ an }的公比为 q ，首项为 a1，若 q ＝
1，则 S6＝6 a1＝3×2 a1＝3 S2，与题意不符，所以 q ≠1；由 S4＝－
5， S6＝21 S2可得， ＝－5， ＝21×
①.由①可得，1＋ q2＋ q4＝21，解得： q2＝4，所以 S8
＝ ＝ ×（1＋ q4）＝－5×（1＋16）＝－85.
故选C.
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法二 设等比数列{ an }的公比为 q ，因为 S4＝－5， S6＝21 S2，所以 q
≠－1，否则 S4＝0，从而， S2， S4－ S2， S6－ S4， S8－ S6成等比数
列，所以有， ＝ S2（21 S2＋5），解得： S2＝－1或 S2＝
，当 S2＝－1时， S2， S4－ S2， S6－ S4， S8－ S6，即为－1，－4，－
16， S8＋21，易知， S8＋21＝－64，即 S8＝－85；当 S2＝ 时， S4＝
a1＋ a2＋ a3＋ a4＝（ a1＋ a2）（1＋ q2）＝（1＋ q2） S2＞0，与 S4＝－
5矛盾，舍去.故选C.
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7. 已知数列{ an }满足 a1＝1， an＋1＝则254是该
数列的（ ）
A. 第8项 B. 第10项
C. 第12项 D. 第14项
解析： 当 n 为正奇数时， an＋1＝2 an ，则 a2＝2 a1＝2，当 n 为正
偶数时， an＋1＝ an ＋1，得 a3＝3，依次类推得 a4＝6， a5＝7， a6＝
14， a7＝15，…，归纳可得数列{ an }的通项公式 an ＝
则 －2＝254， n ＝14，故选D.
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8. 已知等差数列{ an }的公差不为0，且 a1， a3， a13成等比数列，若 a1
＝1， Sn 为数列{ an }的前 n 项和，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6
C. D. 9
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解析：因为 a1， a3， a13成等比数列， a1＝1，公差 d ≠0，所以 ＝ a1 a13，即（1＋2 d ）2＝1＋12 d ，得 d ＝2，所以 an ＝2 n －1， Sn ＝ ＝ n2，所以 ＝ ＝ n ＋ ，因为函数 f （ x ）＝ x ＋ 在（0，2 ）上单调递减，在（2 ，＋∞）上单调递增，所以当 n ＝2或 n ＝3时， n ＋ 取得最小值，又当 n ＝2时， n ＋ ＝6，当 n ＝3时， n ＋ ＝ ＜6，所以 的最小值为 ，故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 若 Sn 为数列{ an }的前 n 项和，且 Sn ＝2 an ＋1（ n ∈N*），则下列结
论正确的是（ ）
A. a5＝－16 B. S5＝－31
C. 数列{ an }是等比数列 D. 数列{ Sn ＋1}是等比数列
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解析：因为 Sn 为数列{ an }的前 n 项和，且 Sn ＝2 an ＋1（ n ∈N*），所以 S1＝2 a1＋1，因此 a1＝－1.当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝2 an －2 an－1，即 an ＝2 an－1，所以数列{ an }是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；因此 a5＝－1×24＝－16，故A正确；又 Sn ＝2 an ＋1＝－2 n ＋1，所以 S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为 S1＋1＝0，所以数列{ Sn ＋1}不是等比数列，故D错误.故选A、B、C.
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10. 记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.若 a1＋3 a5＝ S7，则以下结论一
定正确的是（ ）
A. a4＝0 B. Sn 的最大值为 S3
C. S1＝ S6 D. ｜ a3｜＜｜ a5｜
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解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，则 a1＋3（ a1＋4 d ）＝7
a1＋21 d ，解得 a1＝－3 d ，所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝（ n －4）
d ，所以 a4＝0，故A正确；因为 S6－ S1＝5 a4＝0，所以 S1＝ S6，
故C正确；由于 d 的正负不清楚，故 S3可能为最大值或最小值，故
B不正确；因为 a3＋ a5＝2 a4＝0，所以 a3＝－ a5，即｜ a3｜＝｜
a5｜，故D不正确.故选A、C.
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11. 若数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， bn ＝ ，则称数列{ bn }是数列{ an }
的“均值数列”.已知数列{ bn }是数列{ an }的“均值数列”且通
项公式为 bn ＝ n ，设数列{ }的前 n 项和为 Tn ，若 Tn ＜ m2－
m －1对一切 n ∈N*恒成立，则实数 m 的值可以为（ ）
A. －2 B. 0
C. 2 D. 3
解析： 由题意，得数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，由“均值数
列”的定义可得 ＝ n ，所以 Sn ＝ n2，当 n ＝1时， a1＝ S1＝1；
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当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝ n2－（ n －1）2＝2 n －1， a1＝1也满足 an
＝2 n －1，所以 an ＝2 n －1，所以 ＝ ＝ （
－ ），所以 Tn ＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ （1－
）＜ ，又 Tn ＜ m2－ m －1对一切 n ∈N*恒成立，所以 m2－ m
－1≥ ，整理得 m2－2 m －3≥0，解得 m ≤－1或 m ≥3.即实数 m 的取
值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.故选A、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 设{ an }是由正数组成的等比数列， Sn 为其前 n 项和，已知 a2 a4＝
1， S3＝7，则 S5＝ .
解析：设{ an }的公比为 q ， q ＞0，且 ＝1，∴ a3＝1.∵ S3＝7，
∴ a1＋ a2＋ a3＝ ＋ ＋1＝7，即6 q2－ q －1＝0，解得 q ＝ 或 q
＝－ （舍去）， a1＝ ＝4.∴ S5＝ ＝8× ＝ .
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13. 在等差数列{ an }中，前 m （ m 为奇数）项和为135，其中偶数项之
和为63，且 am － a1＝14，则 a100的值为 .
解析：∵在前 m 项中偶数项之和为 S偶＝63，∴奇数项之和为 S奇＝
135－63＝72，设等差数列{ an }的公差为 d ，则 S奇－ S偶＝
＝72－63＝9.又 am ＝ a1＋ d （ m －1），∴
＝9，∵ am － a1＝14，∴ a1＝2， am ＝16.∵ ＝135，
∴ m ＝15，∴ d ＝ ＝1，∴ a100＝ a1＋99 d ＝101.
101
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14. 若项数为 n 的数列{ an }满足： ai ＝ an＋1－ i （ i ＝1，2，3，…，
n ），我们称其为 n 项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4
项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设
数列{ cn }为2 k ＋1项的“对称数列”，其中 c1， c2，…， ck＋1是公
差为2的等差数列，数列{ cn }的最大项等于8，记数列{ cn }的前2 k
＋1项和为 S2 k＋1，若 S2 k＋1＝32，则 k ＝ .
3或4
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解析：由题意， ck＋1＝8，又 c1， c2，…， ck＋1是公差为2的等差数
列，故 c1＋2 k ＝8，则 c1＝8－2 k ， ck ＝ ck＋1－2＝6.又 S2 k＋1＝
32，故2（ c1＋ c2＋…＋ ck ）＋ ck＋1＝32，即 c1＋ c2＋…＋ ck ＝
12，由等差数列前 n 项和公式有 ＝12，化简得 k2－7 k
＋12＝0，解得 k ＝3或 k ＝4.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝3 an .
（1）求{ an }的通项公式；
解：因为 a1＝1， an＋1＝3 an ，
所以数列{ an }是首项为1，公比为3的等比数列，
所以 an ＝3 n－1.
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（2）数列{ bn }是等差数列， Sn 为{ bn }的前 n 项和，若 b1＝ a1＋ a2
＋ a3， b3＝ a3，求 Sn .
解：由（1）得， b1＝ a1＋ a2＋ a3＝1＋3＋9＝13， b3
＝9，则 b3－ b1＝2 d ＝－4， d ＝－2，所以 Sn ＝13 n ＋
×（－2）＝－ n2＋14 n .
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16. （本小题满分15分）近几年，电动汽车领域有了长足的发展.某公
司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安
装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每
年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100
万元.
（1）引进该生产线满几年时总盈利最大，最大是多少万元？
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解： 设引进该生产线满 n 年时的总盈利为 Sn ，
根据条件可知，每年的人工、维修等费用是首项为24，公差
为8的等差数列，
则 Sn ＝100 n －［ n ×24＋ ×8］－196
＝－4 n2＋80 n －196＝－4（ n －10）2＋204，
所以当 n ＝10，即引进该生产线满10年时，总盈利最大，最
大值为204万元.
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（2）引进该生产线满几年时平均盈利最多，最多是多少万元？
解：设引进该生产线满 n 年时的平均盈利为 Tn ，
由（1）可知，
Tn ＝ ＝－4 n － ＋80＝－（4 n ＋ ）＋80≤－2
＋80＝24，
当4 n ＝ ，即 n ＝7时，等号成立，
所以引进该生产线满7年时的平均盈利最多，最多为24万元.
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17. （本小题满分15分）数列{ an }的前 n 项和记为 Sn ， a1＝ t ，点
（ Sn ， an＋1）在直线 y ＝3 x ＋1上， n ∈N*.
（1）当实数 t 为何值时，数列{ an }是等比数列？
解：因为点（ Sn ， an＋1）在直线 y ＝3 x ＋1上，
所以 an＋1＝3 Sn ＋1， an ＝3 Sn－1＋1（ n ＞1，且 n ∈N*）.
因为 an＋1－ an ＝3（ Sn － Sn－1）＝3 an ，所以 an＋1＝4 an （ n
＞1，且 n ∈N*）， a2＝3 S1＋1＝3 a1＋1＝3 t ＋1，
所以当 t ＝1时， a2＝4 a1，数列{ an }是首项为1，公比为4的
等比数列.
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（2）在（1）的结论下，设 bn ＝log4 an＋1， cn ＝ an ＋ bn ， Tn 是数
列{ cn }的前 n 项和，求 Tn .
解：由（1）知， an＋1＝4 an ， an＋1＝4 n ，
所以 bn ＝log4 an＋1＝ n ，
所以 cn ＝ an ＋ bn ＝4 n－1＋ n ，
Tn ＝ c1＋ c2＋…＋ cn ＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4 n－1
＋ n ）＝（1＋4＋42＋…＋4 n－1）＋（1＋2＋3＋…＋ n ）＝ ＋ .
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18. （本小题满分17分）已知等差数列{ an }的首项为 a ，公差为 b ，
等比数列{ bn }的首项为 b ，公比为 a ， n ＝1，2，…，其中 a ， b
均为正整数， a1＜ b1＜ a2＜ b2＜ a3.
（1）求 a 的值；
解： a1＜ b1＜ a2＜ b2＜ a3，即 a ＜ b ＜ a ＋ b ＜ ab ＜ a ＋2 b .
因为 a ， b 均为正整数且 a ＜ b ，可由 ab ＜ a ＋2 b 得 a ＜ ＋
2＜3，
又由 a ＋ b ＜ ab 可得 a ＞ ＋1＞1，故 a ＝2.
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（2）若存在实数 m ， n 满足关系式 am ＋1＝ bn ，试求 b ；
解： an ＝ a ＋（ n －1） b ， bn ＝ ban－1.
由 am ＋1＝ bn 得 a ＋（ m －1） b ＋1＝ ban－1，即 b ＝
∈N*.
由（1）知 b ＞ a ＝2，只有 b ＝3.
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（3）对于满足（2）中关系式的 am ，试求 a1＋ a2＋…＋ am .
解：由（2）知 bn ＝3×2 n－1， am ＝ bn －1＝3×2 n－1－1.
记{ cn }是{ an }中所有满足 am ＋1＝ bn 的项从小到大依次
组成的数列，
则数列{ cn }的前 n 项的和就是 a1＋ a2＋…＋ am 的值.
所以当 cn ＝3×2 n－1－1时，
a1＋ a2＋…＋ am ＝ c1＋ c2＋…＋ cn ＝3（1＋2＋…＋2 n－
1）－ n ＝3（2 n －1）－ n .
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19. （本小题满分17分）在如图所示的三角形数阵中，第 n 行有 n 个
数， aij 表示第 i 行第 j 个数，例如， a43表示第4行第3个数.该数阵
中每一行的第一个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，从第
三行起每一行的数从左到右构成以 m 为公比的等比数列（其中 m
＞0）.已知 a11＝2， a41＝ a32＋2， ＝ m .
（1）求 m 及 a53；
解：由已知得 a31＝ a11＋（3－1）
× m ＝2 m ＋2，
a32＝ a31× m ＝（2 m ＋2）× m ＝2 m2＋2 m ，
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a41＝ a11＋（4－1）× m ＝3 m ＋2，
∵ a41＝ a32＋2，
∴3 m ＋2＝ （2 m2＋2 m ）＋2，即 m2
－2 m ＝0.
又 m ＞0，∴ m ＝2，
∴ a51＝ a11＋4×2＝10，
∴ a53＝ a51×22＝40.
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（2）记 Tn ＝ a11＋ a22＋ a33＋…＋ ann ，求 Tn .
解：由（1）得 an1＝ a11＋
（ n －1）×2＝2 n .
当 n ≥3时， ann ＝ an1·2 n－1＝ n ·2 n .
（*）
又 a21＝ a11＋2＝4， a22＝ ma21＝2×4
＝8.
a11＝2， a22＝8符合（*）式，∴ ann ＝ n ·2 n .
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∵ Tn ＝ a11＋ a22＋ a33＋…＋ ann ，
∴ Tn ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋ n ·2 n ， ①
2 Tn ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（ n －1）·2 n ＋ n ·2 n＋
1， ②
由①－②得，－ Tn ＝21＋22＋23＋24＋…＋2 n － n ·2 n＋1
＝ － n ·2 n＋1＝2 n＋1－2－ n ·2 n＋1＝（1－
n ）·2 n＋1－2，
∴ Tn ＝（ n －1）·2 n＋1＋2.
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