5.1.1 变化率问题
1.若函数f（x）在x0处有定义，则的结果（ ）
A.与x0，h均无关
B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关，而与x0无关
D.与x0，h均有关
2.一物体运动的位移s与时间t满足函数s＝3＋2t，则其在[2，2.1]这段时间内的平均速度是（ ）
A.0.41 B.2 C.0.3 D.0.2
3.（2024·宁波月考）某物体的运动方程为s＝t2，该物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度为k1，在t0－Δt到t0之间的平均速度为k2，则k1与k2的大小关系为（ ）
A.k1＞k2 B.k1＜k2
C.k1＝k2 D.不确定
4.一物体的运动方程是s＝t＋，则在t＝2时刻的瞬时速度是（ ）
A. B. C.1 D.2
5.（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为h（t）＝2t2＋2t，则下列说法正确的是（ ）
A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24 m
B.在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m
C.前3 s内球的平均速度为8 m/s
D.在时间[2，3]内球的平均速度为6 m/s
6.（多选）已知物体做自由落体运动的位移函数为s（t）＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是（ ）
A.物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B.物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度
C.物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D.函数s（t）＝gt2在t＝1处的切线斜率
7.已知某物体的运动方程为s＝f（t）＝2t2＋1，该物体在t＝t0处的瞬时速度为－4，则t0＝ .
8.（2024·梅州月考）物体M的运动方程为s＝f（t）＝t2＋2t，物体N的运动方程为s＝g（t）＝2t－3，物体M在[0，a]上的平均速度是物体N在[2，3]上的平均速度的2倍，则实数a的值为 .
9.抛物线f（x）＝x2－4x在（－1，5）处的切线方程为 .
10.在受到制动后的t s内飞轮转过的角度（单位：rad）由函数φ（t）＝4t－0.3t2给出.
求：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度；
（2）飞轮停止旋转的时刻.
11.（2024·龙岩月考）一物体运动过程中位移y与时间t的函数关系为y＝f（t）＝at2（a≠0），且在时间段[1，2]内的平均速度为－6，则实数a＝（ ）
A.2 B.1
C.－1 D.－2
12.若抛物线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
13.（2024·丽水月考）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 .
14.已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
（1）求它们的交点；
（2）求抛物线在交点处的切线方程.
15.（多选）（2024·滨州月考）如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
16.若一物体运动方程如下：（位移单位：m，时间单位：s）s＝f（t）＝
求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；
（2）物体的初速度v0；
（3）物体在t＝1时的瞬时速度.
5.1.1 变化率问题
1.B 根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x0有关，而与h没有关系.
2.B Δs＝3＋2×2.1－（3＋2×2）＝0.2，Δt＝2.1－2＝0.1，则＝＝2.
3.D 令s＝f（t）＝t2，则k1＝＝＝2t0＋Δt，k2＝＝＝2t0－Δt.因为Δt可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定.
4.B Δs＝2＋Δt＋－2－＝Δt－，＝1－，所以t＝2时的瞬时速度为＝［1－］＝.
5.ABC 前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h（3）－h（0）＝24（m），此时平均速度为＝＝8（m/s），故A、C正确；在时间[2，3]内，Δt＝3－2＝1（s），Δh＝h（3）－h（2）＝12（m），故平均速度为＝12（m/s），所以B正确，D错误.故选A、B、C.
6.CD 由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确.
7.－1 解析：＝（2Δt＋4t0）＝4t0＝－4，解得t0＝－1.
8.2 解析：由题意，得物体M在[0，a]上的平均速度为＝＝a＋2，物体N在[2，3]上的平均速度为＝＝2.由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2.
9.6x＋y＋1＝0 解析：k＝
＝－6，所以切线方程为y－5＝－6（x＋1），即6x＋y＋1＝0.
10.解：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度φ（2）＝8－1.2＝6.8（rad）.
（2）飞轮停止旋转时的瞬时角速度为＝
＝
＝（4－0.3Δt－0.6t）
＝4－0.6t，
飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0.
所以令4－0.6t＝0，得t＝，所以在t＝ s时飞轮停止旋转.
11.D 根据题意，函数y＝f（t）＝at2（a≠0），则f（2）＝4a，f（1）＝a.若函数y＝f（t）在时间段[1，2]内的平均速度为－6，即＝＝3a＝－6，解得a＝－2.
12.A 由题意可知，抛物线在点（0，b）处的切线的斜率为k＝
＝1，解得a＝1，又（0，b）在切线上，∴b＝1.
13.2 解析：体积的增加量ΔV＝m3－＝（m3－1），所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）.
14.解：（1）由得或
∴抛物线与直线的交点坐标为（－2，8），（3，13）.
（2）若交点坐标为（－2，8），
则k＝＝
＝（－4＋Δx）＝－4.
∴抛物线在点（－2，8）处的切线方程为y－8＝－4（x＋2），即4x＋y＝0.
若交点坐标为（3，13），
则k＝
＝
＝＝（6＋Δx）＝6.
∴抛物线在点（3，13）处的切线方程为y－13＝6（x－3），即6x－y－5＝0.
15.BC 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以＞，故C正确，D错误.
16.解：（1）因为物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48，
所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24（m/s）.
（2）求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
因为＝＝＝3Δt－18，
所以物体的初速度v0＝＝（3Δt－18）＝－18（m/s）.
（3）因为＝
＝3Δt－12，
所以物体在t＝1时的瞬时速度为（3Δt－12）＝－12（m/s）.
2 / 25.1.1 变化率问题
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程 数学抽象
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系 数学抽象、数学运算
3.体会极限思想 数学抽象
2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员攀登的难度也是不一样的.
【问题】 你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？
知识点一 平均速度与瞬时速度
1.平均速度：物体的位移与所用时间的比值，通常指物体在 的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f（t），函数f（t）在t0与t0＋Δt之间的平均速度是.
2.瞬时速度：物体在某一 的速度称为瞬时速度.
若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f（t），当Δt无限趋近于0时，函数f（t）在t0与t0＋Δt之间的平均变化率 无限趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度.即＝.
【想一想】
1.上式中的Δt为正值还是负值？能为0吗？
2.物体在时间段[1，1＋Δt]内的平均速度与在时刻t＝1时的瞬时速度有什么关系？
知识点二 曲线的割线与切线
1.割线与切线的关系
如图所示，当点Pn（xn，f（xn））沿着曲线无限接近点P（x0，f（x0））时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
2.割线斜率与切线斜率的关系
割线PPn的斜率是kn＝，当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即k＝（Δx＝xn－x0）.
提醒 对曲线在某点处的切线理解的三个注意点：①与该点的位置有关；②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线；③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在平均变化率中，函数值的增量为正值.（ ）
（2）在计算物体运动的瞬时速度时，h（t0＋Δt）＞h（t0）.（ ）
（3）瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上变化快慢的物理量.（ ）
（4）曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.（ ）
2.若一质点的运动方程为s＝t2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度是 .
3.抛物线y＝x2＋1在点（1，2）处的切线的斜率是 .
题型一 求物体运动的平均速度
【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈［0，］.
（1）分别求s（t）在区间［0，］和［，］上的平均速度；
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
通性通法
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）；
（2）再计算时间的改变量t2－t1；
（3）得平均速度＝.
【跟踪训练】
（2024·济南月考）一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数b＝（ ）
A.2 B.1
C.－1 D.6
题型二 求物体运动的瞬时速度
【例2】 某物体运动的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
通性通法
求物体运动的瞬时速度的步骤
（1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（2）求平均速度＝；
（3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ .
【跟踪训练】
（2024·新乡月考）一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝ .
题型三 求曲线在某点处切线的斜率（方程）
【例3】 求抛物线f（x）＝x2－2x＋3在点（1，2）处的切线斜率.
通性通法
求曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线方程的步骤
【跟踪训练】
求函数y＝在x＝2处的切线方程.
1.一物体运动的位移y与时间t满足函数y＝t，则该物体在[2，2＋Δt]上的平均速度是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.Δt
2.一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.2
3.（2024·福州月考）抛物线f（x）＝x2－x在点（2，2）处的切线的斜率为 .
5.1.1 变化率问题
【基础知识·重落实】
知识点一
1.某一时间段 2.时刻
想一想
1.提示：Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不可以为0.
2.提示：当时间间隔｜Δt｜无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.3 解析：＝＝3.
3.2 解析：k＝ ＝ （2＋Δx）＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）物体在区间［0，］上的平均速度为＝＝＝.
物体在区间［，］上的平均速度为＝＝＝.
（2）由（1）可知－＝＞0，所以＜.作出函数s（t）＝sin t在［0，］上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝sin t在［0，］上随着t的增大，函数值s（t）变化得越来越慢.
跟踪训练
B 由已知，得＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋2b）＝26，解得b＝1.
【例2】 解：因为＝
＝＝3＋Δt，
所以＝（3＋Δt）＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
跟踪训练
2 解析：质点M在t＝2 s时的瞬时速度为质点M在t＝2均速度的极限值，即＝＝＝4a＋aΔt，∴ ＝4a＝8，即a＝2.
【例3】 解：由
＝＝Δx，
可得切线的斜率为k＝Δx＝0.
跟踪训练
解：因为Δy＝－＝－1＝－，所以＝－，
所以k＝＝＝＝－1.
又x＝2时，y＝＝1.
所以切线方程为y－1＝－1×（x－2），即x＋y－3＝0.
随堂检测
1.B ＝＝1.
2.D 因为 ＝
＝ （－2t＋2－Δt）＝－2t＋2，所以当t＝0时，其速度为2.
3.3 解析：f（2＋Δx）－f（2）＝（2＋Δx）2－（2＋Δx）－2＝3Δx＋（Δx）2，所以切线的斜率k＝＝＝ （3＋Δx）＝3.
2 / 3(共52张PPT)
5.1.1 变化率问题
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时
速度的过程 数学抽象
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系 数学抽象、数学运算
3.体会极限思想 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第
一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，
每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山
势的陡峭程度不同时，登山队员攀登的难度也是不一样的.
【问题】 你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？
知识点一 平均速度与瞬时速度
1. 平均速度：物体的位移与所用时间的比值，通常指物体在
的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是 s ＝ f （ t ），
函数 f （ t ）在 t0与 t0＋Δ t 之间的平均速度是 .
某一时
间段
2. 瞬时速度：物体在某一 的速度称为瞬时速度.
时刻
若物体运动的位移与时间的关系式是 s ＝ f （ t ），当Δ t 无限趋近于
0时，函数 f （ t ）在 t0与 t0＋Δ t 之间的平均变化
率 无限趋近于常数，我们把这个常数叫做
物体在 t0时刻的瞬时速度.即 ＝ .
【想一想】
1. 上式中的Δ t 为正值还是负值？能为0吗？
提示：Δ t 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不可以
为0.
2. 物体在时间段[1，1＋Δ t ]内的平均速度与在时刻 t ＝1时的瞬时速
度有什么关系？
提示：当时间间隔｜Δ t ｜无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近
于 t ＝1时的瞬时速度.
知识点二 曲线的割线与切线
1. 割线与切线的关系
如图所示，当点 Pn （ xn ， f （ xn ））沿着曲线无限接近点 P （ x0， f
（ x0））时，割线 PPn 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置
的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.
2. 割线斜率与切线斜率的关系
割线 PPn 的斜率是 kn ＝ ，当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时， kn 无限趋近于切线 PT 的斜率 k ，
即 k ＝ （Δ x ＝ xn － x0）.
提醒 对曲线在某点处的切线理解的三个注意点：①与该点的位置
有关；②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限
位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位
置，则曲线在此点处无切线；③曲线的切线，并不一定与曲线只有
一个交点，可以有多个交点.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在平均变化率中，函数值的增量为正值. （ × ）
（2）在计算物体运动的瞬时速度时， h （ t0＋Δ t ）＞ h （ t0）.
（ × ）
（3）瞬时速度是刻画物体在区间[ t0， t0＋Δ t ]（Δ t ＞0）上变化快
慢的物理量. （ × ）
（4）曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.
（ √ ）
×
×
×
√
2. 若一质点的运动方程为 s ＝ t2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度
是 .
解析： ＝ ＝3.
3. 抛物线 y ＝ x2＋1在点（1，2）处的切线的斜率是 .
解析： k ＝ ＝ （2＋Δ x ）＝2.
3
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求物体运动的平均速度
【例1】 某物体运动的位移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s （ t ）＝
sin t ， t ∈［0， ］.
（1）分别求 s （ t ）在区间［0， ］和［ ， ］上的平均速度；
解：物体在区间［0， ］上的平均速度为 ＝ ＝ ＝ .物体在区间［ ， ］上的平均速度为 ＝ ＝ ＝ .
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解：由（1）可知 － ＝ ＞
0，所以 ＜ .作出函数 s （ t ）＝ sin t 在
［0， ］上的图象，如图所示，可以发现，
s （ t ）＝ sin t 在［0， ］上随着 t 的增大，
函数值 s （ t ）变化得越来越慢.
通性通法
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算位移的改变量 s （ t2）－ s （ t1）；
（2）再计算时间的改变量 t2－ t1；
（3）得平均速度 ＝ .
【跟踪训练】
（2024·济南月考）一个物体做直线运动，位移 s （单位：m）与时
间 t （单位：s）之间的函数关系为 s （ t ）＝5 t2＋ bt ，且这一物体在
2≤ t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数 b ＝（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. 6
解析： 由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3 b ）－
（5×22＋2 b ）＝26，解得 b ＝1.
题型二 求物体运动的瞬时速度
【例2】 某物体运动的位移 s （单位：m）与时间 t （单位：s）的关
系可用函数 s （ t ）＝ t2＋ t ＋1表示，求物体在 t ＝1 s时的瞬时速度.
解：因为 ＝
＝ ＝3＋Δ t ，
所以 ＝ （3＋Δ t ）＝3.
即物体在 t ＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
通性通法
求物体运动的瞬时速度的步骤
（1）求位移改变量Δ s ＝ s （ t0＋Δ t ）－ s （ t0）；
（2）求平均速度 ＝ ；
（3）求瞬时速度，当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于的常数 v 即为
瞬时速度，即 v ＝ .
【跟踪训练】
（2024·新乡月考）一质点 M 按运动方程 s （ t ）＝ at2＋1做直线运
动（位移单位：m，时间单位：s），若质点 M 在 t ＝2 s时的瞬时速度
为8 m/s，则常数 a ＝ .
解析：质点 M 在 t ＝2 s时的瞬时速度为质点 M 在 t ＝2均速度的
极限值，即 ＝ ＝ ＝4 a ＋ a Δ t ，
∴ ＝4 a ＝8，即 a ＝2.
2
题型三 求曲线在某点处切线的斜率（方程）
【例3】 求抛物线 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3在点（1，2）处的切线斜率.
解：由
＝ ＝Δ x ，
可得切线的斜率为 k ＝ Δ x ＝0.
通性通法
求曲线在点 P0（ x0， f （ x0））处的切线方程的步骤
【跟踪训练】
求函数 y ＝ 在 x ＝2处的切线方程.
解：因为Δ y ＝ － ＝ －1＝－ ，
所以 ＝－ ，
所以 k ＝ ＝ ＝ ＝－1.
又 x ＝2时， y ＝ ＝1.
所以切线方程为 y －1＝－1×（ x －2），即 x ＋ y －3＝0.
1. 一物体运动的位移 y 与时间 t 满足函数 y ＝ t ，则该物体在[2，2＋Δ
t ]上的平均速度是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. Δ t
解析： ＝ ＝1.
2. 一物体做直线运动，其运动方程为 s （ t ）＝－ t2＋2 t ，则 t ＝0时，
其速度为（ ）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 2
解析： 因为 ＝
＝ （－2 t ＋2－Δ t ）＝－
2 t ＋2，所以当 t ＝0时，其速度为2.
3. （2024·福州月考）抛物线 f （ x ）＝ x2－ x 在点（2，2）处的切线
的斜率为 .
解析： f （2＋Δ x ）－ f （2）＝（2＋Δ x ）2－（2＋Δ x ）－2＝3Δ x
＋（Δ x ）2，所以切线的斜率 k ＝ ＝
＝ （3＋Δ x ）＝3.
3
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若函数 f （ x ）在 x0处有定义，则 的结果
（ ）
A. 与 x0， h 均无关 B. 仅与 x0有关，而与 h 无关
C. 仅与 h 有关，而与 x0无关 D. 与 x0， h 均有关
解析： 根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与 x0
有关，而与 h 没有关系.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 一物体运动的位移 s 与时间 t 满足函数 s ＝3＋2 t ，则其在[2，2.1]
这段时间内的平均速度是（ ）
A. 0.41 B. 2
C. 0.3 D. 0.2
解析： Δ s ＝3＋2×2.1－（3＋2×2）＝0.2，Δ t ＝2.1－2＝
0.1，则 ＝ ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. （2024·宁波月考）某物体的运动方程为 s ＝ t2，该物体在 t0到 t0＋Δ
t 之间的平均速度为 k1，在 t0－Δ t 到 t0之间的平均速度为 k2，则 k1与
k2的大小关系为（ ）
A. k1＞ k2 B. k1＜ k2
C. k1＝ k2 D. 不确定
解析： 令 s ＝ f （ t ）＝ t2，则 k1＝ ＝
＝2 t0＋Δ t ， k2＝ ＝ ＝
2 t0－Δ t .因为Δ t 可大于零也可小于零，所以 k1与 k2的大小不确定.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 一物体的运动方程是 s ＝ t ＋ ，则在 t ＝2时刻的瞬时速度是
（ ）
A. B.
解析： Δ s ＝2＋Δ t ＋ －2－ ＝Δ t － ， ＝1－
，所以 t ＝2时的瞬时速度为 ＝ ［1－
］＝ .
C. 1 D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h （单
位：m）与时间 t （单位：s）之间的函数关系为 h （ t ）＝2 t2＋2
t ，则下列说法正确的是（ ）
A. 前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δ h ＝24 m
B. 在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δ h ＝12 m
C. 前3 s内球的平均速度为8 m/s
D. 在时间[2，3]内球的平均速度为6 m/s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：前3 s内，Δ t ＝3 s，Δ h ＝ h （3）－ h （0）＝24（m），此时平均速度为 ＝ ＝8（m/s），故A、C正确；在时间[2，3]内，Δ t ＝3－2＝1（s），Δ h ＝ h （3）－ h （2）＝12（m），故平均速度为 ＝12（m/s），所以B正确，D错误.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）已知物体做自由落体运动的位移函数为 s （ t ）＝ gt2， g
＝9.8 m/s2，若 v ＝ ，当Δ t 无限趋近于0时， v 趋近
于9.8 m/s，则9.8 m/s是（ ）
A. 物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B. 物体从1 s到（1＋Δ t ）s这段时间的平均速度
C. 物体在 t ＝1 s这一时刻的瞬时速度
D. 函数 s （ t ）＝ gt2在 t ＝1处的切线斜率
解析：由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知某物体的运动方程为 s ＝ f （ t ）＝2 t2＋1，该物体在 t ＝ t0处的
瞬时速度为－4，则 t0＝ .
解析： ＝ （2Δ t ＋4 t0）＝4 t0＝－4，
解得 t0＝－1.
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. （2024·梅州月考）物体 M 的运动方程为 s ＝ f （ t ）＝ t2＋2 t ，物体
N 的运动方程为 s ＝ g （ t ）＝2 t －3，物体 M 在[0， a ]上的平均速
度是物体 N 在[2，3]上的平均速度的2倍，则实数 a 的值为 .
解析：由题意，得物体 M 在[0， a ]上的平均速度为
＝ ＝ a ＋2，物体 N 在[2，3]上的平均速度为 ＝
＝2.由题意知 a ＋2＝2×2，所以 a ＝2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 抛物线 f （ x ）＝ x2－4 x 在（－1，5）处的切线方程为
.
解析： k ＝ ＝－6，所以切线方程为 y －5
＝－6（ x ＋1），即6 x ＋ y ＋1＝0.
6 x ＋ y ＋1
＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 在受到制动后的 t s内飞轮转过的角度（单位：rad）由函数φ（ t ）
＝4 t －0.3 t2给出.
求：（1） t ＝2 s时，飞轮转过的角度；
解： t ＝2 s时，飞轮转过的角度φ（2）＝8－1.2＝6.8（rad）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）飞轮停止旋转的时刻.
解：飞轮停止旋转时的瞬时角速度为
＝
＝ ＝ （4－0.3Δ t －0.6 t ）
＝4－0.6 t ，飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0.
所以令4－0.6 t ＝0，得 t ＝ ，所以在 t ＝ s时飞轮停止旋转.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. （2024·龙岩月考）一物体运动过程中位移 y 与时间 t 的函数关系为
y ＝ f （ t ）＝ at2（ a ≠0），且在时间段[1，2]内的平均速度为－
6，则实数 a ＝（ ）
A. 2 B. 1
解析： 根据题意，函数 y ＝ f （ t ）＝ at2（ a ≠0），则 f （2）
＝4 a ， f （1）＝ a .若函数 y ＝ f （ t ）在时间段[1，2]内的平均速
度为－6，即 ＝ ＝3 a ＝－6，解得 a ＝－2.
C. －1 D. －2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 若抛物线 y ＝ x2＋ ax ＋ b 在点（0， b ）处的切线方程是 x － y ＋1
＝0，则（ ）
A. a ＝1， b ＝1 B. a ＝－1， b ＝1
C. a ＝1， b ＝－1 D. a ＝－1， b ＝－1
解析： 由题意可知，抛物线在点（0， b ）处的切线的斜率为 k
＝ ＝1，解得 a ＝1，又（0，
b ）在切线上，∴ b ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （2024·丽水月考）将半径为 R 的球加热，若半径从 R ＝1到 R ＝ m
时球的体积膨胀率为 ，则 m 的值为 .
解析：体积的增加量Δ V ＝ m3－ ＝ （ m3－1），所以 ＝
＝ ，所以 m2＋ m ＋1＝7，解得 m ＝2或 m ＝－3
（舍去）.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知抛物线 y ＝ x2＋4与直线 y ＝ x ＋10.
（1）求它们的交点；
解：由得或
∴抛物线与直线的交点坐标为（－2，8），（3，13）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求抛物线在交点处的切线方程.
解：若交点坐标为（－2，8），
则 k ＝ ＝
＝ （－4＋Δ x ）＝－4.
∴抛物线在点（－2，8）处的切线方程为 y －8＝－4（ x ＋
2），即4 x ＋ y ＝0.
若交点坐标为（3，13），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
则 k ＝ ＝
＝
＝ （6＋Δ x ）＝6.
∴抛物线在点（3，13）处的切线方程为 y －13＝6（ x －
3），即6 x － y －5＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （多选）（2024·滨州月考）如图表示物体甲、乙在时间0到 t1范
围内，路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A. 在0到 t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在0到 t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C. 在 t0到 t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在 t0到 t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 在0到 t0范围内，甲、乙的平均速度都为 v ＝ ，故A
错误，B正确；在 t0到 t1范围内，甲的平均速度为 ，乙的平均
速度为 .因为 s2－ s0＞ s1－ s0， t1－ t0＞0，所以 ＞ ，
故C正确，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 若一物体运动方程如下：（位移单位：m，时间单位：s） s ＝
f （ t ）＝
求：（1）物体在 t ∈[3，5]内的平均速度；
解：因为物体在 t ∈[3，5]上的时间变化量为Δ t ＝5－3＝2，
物体在 t ∈[3，5]上的位移变化量为Δ s ＝3×52＋2－（3×32
＋2）＝3×（52－32）＝48，
所以物体在 t ∈[3，5]上的平均速度为 ＝ ＝24（m/s）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）物体的初速度 v0；
解：求物体的初速度 v0，即求物体在 t ＝0时的瞬时速度.
因为 ＝
＝ ＝3Δ t －18，
所以物体的初速度 v0＝ ＝ （3Δ t －18）
＝－18（m/s）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（3）物体在 t ＝1时的瞬时速度.
解：因为 ＝
＝3Δ t －12，
所以物体在 t ＝1时的瞬时速度为 （3Δ t －12）
＝－12（m/s）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
