5.2.1 基本初等函数的导数
1.若函数f（x）＝cos x，则f'（）＋f（）＝（ ）
A.0 B.－1
C.1 D.2
2.函数y＝x4在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A.y＝4x－3 B.y＝4x＋3
C.y＝－4x－3 D.y＝－4x＋3
3.下列求导运算正确的是（ ）
A.（cos）'＝sin B.（）'＝－
C.（lg x）'＝ D.（）'＝
4.（2024·德州月考）函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
5.（多选）若曲线f（x）＝上某点处的切线的倾斜角为π，则该点的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（－1，－1）
C.（－1，1） D.（1，－1）
6.（多选）直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A.f（x）＝ B.f（x）＝x4
C.f（x）＝sin x D.f（x）＝ex
7.一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则该物体下滑的加速度a＝ .
8.设函数y＝f（x）是一次函数，若f（1）＝－1，且f'（2）＝－4，则f（x）＝ .
9.（2024·济源月考）若曲线y＝在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 .
10.求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝；
（3）y＝－2sin（1－2cos2）.
11.（2024·郑州月考）设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn＋1（x）＝f'n（x），n∈N，则f2 024（x）＝（ ）
A.sin x B.－sin x
C.cos x D.－cos x
12.（多选）（2024·宁波月考）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）
A.f（x）＝cos x B.f（x）＝ln x
C.f（x）＝ex D.f（x）＝x2
13.若函数f（x）在R上可导，且f（x）·f'（x）为单调函数.写出满足上述条件的一个函数 .
14.已知点P（，a）在曲线f（x）＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线.
（1）求a的值；
（2）求过点P且与直线l垂直的直线方程.
15.（2024·泉州质检）已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝ .
16.已知点A，B（2，1），函数f（x）＝log2x.
（1）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线方程；
（2）在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
5.2.1 基本初等函数的导数
1.A 因为f（x）＝cos x，所以f'（x）＝－sin x.所以f'（）＋f（）＝－sin＋cos＝0.
2.A 因为y'＝4x3，当x＝1时，y'＝4，故切线的斜率为4，切线方程为y＝4x－3.
3.C （cos）'＝0，故A不正确；（）'＝（x－3）'＝－3x－4，故B不正确；（lg x）'＝，故C正确；（）'＝（）'＝，故D不正确.故选C.
4.B ∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），则3＝1，得x0＝±，即在点和点（－，－）处有斜率为1的切线，∴有2条切线.
5.AB 切线的斜率k＝tan π＝－1，f'（x）＝－，设切点为（x0，y0），则f'（x0）＝－1，所以－＝－1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为（1，1）或（－1，－1）.
6.BCD 函数f（x）＝，可得f'（x）＝－＝不成立，所以A不正确；f（x）＝x4，f'（x）＝4x3＝可以成立，所以B正确；f（x）＝sin x，f'（x）＝cos x＝可以成立，所以C正确；f（x）＝ex，f'（x）＝ex＝可以成立，所以D正确.故选B、C、D.
7. 解析：a＝v'（t）＝（log2t）'＝.
8.－4x＋3 解析：由题意设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（1）＝a＋b＝－1，又f'（2）＝a＝－4.∴a＝－4，b＝3，∴f（x）＝－4x＋3.
9.4 解析：因为y'＝，所以切线方程为y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4.
10.解：（1）y'＝（）'＝（）'＝＝＝.
（2）y'＝（）'＝（x－4）'＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
（3）∵y＝－2sin（1－2cos2）＝2sin（2cos2－1）＝2sincos＝sin x，∴y'＝（sin x）'＝cos x.
11.A f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x）＝（sin x）'＝cos x，f2（x）＝f'1（x）＝（cos x）'＝－sin x，f3（x）＝f'2（x）＝（－sin x）'＝－cos x，f4（x）＝f'3（x）＝（－cos x）'＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 024（x）＝f0（x）＝sin x.
12.AD 由题意y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1.对于选项A，f'（x）＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项B，f'（x）＝，x＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项C，f'（x）＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项D，f'（x）＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝4x1x2＝－1.
13.f（x）＝x2（答案不唯一）
解析：设f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，所以f（x）·f'（x）＝2x3在R上是增函数，满足条件.所以f（x）＝x2满足条件.
14.解：（1）因为P（，a）在曲线f（x）＝cos x上，
所以a＝cos＝.
（2）因为f'（x）＝－sin x，
所以kl＝f'（）＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝（x－），
即y＝x－＋.
15.21 解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线方程为y－＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16.解：（1）设切点为（m，log2m）（m＞0），
因为f（x）＝log2x，所以f'（x）＝.
由题意可得＝，解得m＝e，所以切线方程为y－log2e＝（x－e），即y＝x.
（2）过点A，B（2，1）的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P（n，log2n），≤n≤2，
则有＝，得n＝.
又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以＜＜，所以在曲线y＝f（x）上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.
2 / 25.2.1 基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数 数学运算
2.会使用导数公式表 数学运算
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x，y＝ln x很难运用定义求导数.
【问题】 （1）是否有更简便的求导数的方法呢？
（2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝
f（x）＝x f'（x）＝
f（x）＝x2 f'（x）＝
f（x）＝x3 f'（x）＝
f（x）＝ f'（x）＝
f（x）＝ f'（x）＝
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝
f（x）＝sin x f'（x）＝
f（x）＝cos x f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ex f'（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
【想一想】
常数函数的导数为0说明了什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）因为（ln x）'＝，所以（）'＝ln x.（ ）
（2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（ ）
（3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e.（ ）
2.若y＝cos，则y'＝（ ）
A.－ B.－ C.0 D.
3.曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程为 .
题型一 基本初等函数的导数
【例1】 （1）求下列函数的导数：
①y＝x0；
②y＝；
③y＝lg x；
④y＝；
⑤y＝2cos2－1.
（2）求y＝2x在x＝3处的导数.
通性通法
1.求简单函数的导数的方法
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导；
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
2.求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数求解.
【跟踪训练】
1.（多选）下列结论正确的为（ ）
A.y＝ln 2，则y'＝
B.y＝（）x，则y'＝－ln 2
C.y＝，则y'｜x＝3＝－
D.y＝log2x，则y'＝
2.（2024·日照月考）已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a＝ .
题型二 利用导数公式解决切线问题
【例2】 （1）（2024·洛阳月考）曲线y＝在点（，）处的切线方程为（ ）
A.4x－4y＋2－1＝0
B.4x－4y＋1＝0
C.4x－4y＋2－＝0
D.4x＋4y－3＝0
（2）已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
通性通法
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
【跟踪训练】
若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点P的坐标及b的值.
题型三 导数公式的实际应用
【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p（单位：万元）与时间t（单位：年）有如下函数关系：p（t）＝p0（1＋10%）t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确到0.01万元/年）？（参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095）
通性通法
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
【跟踪训练】
从时刻t＝0开始的t（单位：秒）内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由公式q＝cos t表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位：安）.
1.若f（x）＝sin x，则f'＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
2.（2024·温州月考）在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生产x个单位产品的总成本函数是C（x）＝，则生产4个单位产品时，边际成本是（ ）
A.3 B.4 C.8 D.16
3.（多选）下列结论正确的是（ ）
A.若f（x）＝3，则f'（x）＝0
B.若f（x）＝，则f'（x）＝－
C.若f（x）＝ln x，则f'（e）＝
D.若f（x）＝x，则f'（x）＝1
4.求曲线y＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率及切线方程.
5.2.1 基本初等函数的导数
【基础知识·重落实】
知识点一
0 1 2x 3x2 －
知识点二
0 αxα－1 cos x －sin x axln a ex
想一想
提示：说明常数函数f（x）＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.C
3.x－y＋1＝0
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）①y'＝0.
②y'＝ln ＝－ln 3.
③y'＝.
④∵y＝＝，∴y'＝'＝＝.
⑤∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y'＝（cos x）'＝－sin x.
（2）由y'＝2xln 2，∴y＝2x在x＝3处的导数为y＝8ln 2.
跟踪训练
1.CD 由导数的运算公式可知，对于A，由y＝ln 2，则y'＝0，所以A错误；对于B，由y＝（）x，则y'＝－（）xln 2，所以B错误；其他选项均正确.
2.或－2 解析：f'（x）＝若f'（a）＝12，则或解得a＝或a＝－2.
【例2】 （1）B （2） 解析：（1）由于y＝，所以y'＝，于是y'＝1，所以曲线在点（，）处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0.
（2）设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'＝＝k，又y0＝kx0，且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.
跟踪训练
解：设P（x0，y0），由题意可知y'＝.
所以＝1，即x0＝0，所以点P（0，1）.
由点P（0，1）在直线y＝x＋b上可知b＝1.
【例3】 解：由题意得p'（t）＝1.1tln 1.1，所以p'（5）＝1.15ln 1.1＝1.611×0.095≈0.15（万元/年），所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
跟踪训练
解：由q＝cos t得，q'＝－sin t，所以q'（5）＝－sin 5，q'（7）＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.
随堂检测
1.D f'（x）＝cos x，f'＝cos＝.
2.A C'（x）＝，C'（4）＝＝3.故选A.
3.ACD 只有B是错误的.因为f'（x）＝（）'＝'＝－＝－.
4.解：∵y'＝（ln x）'＝，
∴y'｜x＝e＝.
∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
3 / 3(共49张PPT)
5.2.1
基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.能根据导数定义求函数 y ＝ c ， y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ x3， y ＝ ， y ＝ 的导数 数学运算
2.会使用导数公式表 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高
铁走过的路程 s （单位：m）关于时间 t （单位：s）的函数为 s ＝ f
（ t ），求它的瞬时速度，就是求 f （ t ）的导数.根据导数的定义，就
是求当Δ t →0时， 所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函
数，如 y ＝ sin x ， y ＝ln x 很难运用定义求导数.
【问题】 （1）是否有更简便的求导数的方法呢？
（2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 导函数
f （ x ）＝ c （ c 为常数） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ x f'（ x ）＝
f （ x ）＝ x2 f'（ x ）＝
f （ x ）＝ x3 f'（ x ）＝
f （ x ）＝ f'（ x ）＝
f （ x ）＝ f'（ x ）＝
0
1
2 x
3 x2
－
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f （ x ）＝ c （ c 为常数） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ xα（α∈R，且α≠0） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ sin x f'（ x ）＝
f （ x ）＝ cos x f'（ x ）＝
f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1） f'（ x ）＝
f （ x ）＝e x f'（ x ）＝
f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ln x f'（ x ）＝
0
α xα－1
cos x
－ sin x
ax ln a
e x
【想一想】
常数函数的导数为0说明了什么？
提示：说明常数函数 f （ x ）＝ c 图象上每一点处的切线的斜率都为
0，即每一点处的切线都平行（或重合）于 x 轴.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）因为（ln x ）'＝ ，所以（ ）'＝ln x . （ × ）
（2）若f'（ x ）＝ sin x ，则 f （ x ）＝ cos x . （ × ）
（3）若 f （ x ）＝5 x ，则f'（ x ）＝5 x log5e. （ × ）
×
×
×
2. 若 y ＝ cos ，则y'＝（ ）
A. － B. －
C. 0 D.
3. 曲线 y ＝e x 在点（0，1）处的切线方程为 .
x － y ＋1＝0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 基本初等函数的导数
【例1】 （1）求下列函数的导数：
① y ＝ x0；
② y ＝ ；
③ y ＝lg x ；
④ y ＝ ；
⑤ y ＝2 cos 2 －1.
解：①y'＝0.
②y'＝ ln ＝－ ln 3.
③y'＝ .
④∵ y ＝ ＝ ，∴y'＝ '＝ ＝ .
⑤∵ y ＝2 cos 2 －1＝ cos x ，∴y'＝（ cos x ）'＝－ sin x .
（2）求 y ＝2 x 在 x ＝3处的导数.
解：由y'＝2 x ln 2，∴ y ＝2 x 在 x ＝3处的导数为 y ＝8ln 2.
通性通法
1. 求简单函数的导数的方法
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导；
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通
过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
2. 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后
将变量的值代入导函数求解.
【跟踪训练】
1. （多选）下列结论正确的为（ ）
A. y ＝ln 2，则y'＝ B. y ＝（ ） x ，则y'＝－ ln 2
C. y ＝ ，则y'｜ x＝3＝－ D. y ＝log2 x ，则y'＝
解析： 由导数的运算公式可知，对于A，由 y ＝ln 2，则y'＝
0，所以A错误；对于B，由 y ＝（ ） x ，则y'＝－（ ） x ln 2，所以
B错误；其他选项均正确.
2. （2024·日照月考）已知函数 f （ x ）＝若f'（ a ）
＝12，则实数 a ＝ .
解析：f'（ x ）＝若f'（ a ）＝12，则
或解得 a ＝ 或 a ＝－2.
或－2
题型二 利用导数公式解决切线问题
【例2】 （1）（2024·洛阳月考）曲线 y ＝ 在点（ ， ）处的切
线方程为（ B ）
A. 4 x －4 y ＋2 －1＝0 B. 4 x －4 y ＋1＝0
C. 4 x －4 y ＋2－ ＝0 D. 4 x ＋4 y －3＝0
B
解析：由于 y ＝ ，所以y'＝ ，于是y' ＝1，所以曲线在点（ ， ）处的切线的斜率等于1，切线方程为4 x －4 y ＋1＝0.
（2）已知 y ＝ kx 是曲线 y ＝ln x 的一条切线，则 k ＝ .
解析：设切点坐标为（ x0， y0），由题意得y' ＝
＝ k ，又 y0＝ kx0，且 y0＝ln x0，从而可得 x0＝e， y0＝1，
则 k ＝ .
通性通法
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜
率公式进行求解.
【跟踪训练】
若直线 y ＝ x ＋ b 与曲线 y ＝e x 相切于点 P ，求切点 P 的坐标及
b 的值.
解：设 P （ x0， y0），由题意可知y' ＝ .
所以 ＝1，即 x0＝0，所以点 P （0，1）.
由点 P （0，1）在直线 y ＝ x ＋ b 上可知 b ＝1.
题型三 导数公式的实际应用
【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价 p （单位：万
元）与时间 t （单位：年）有如下函数关系： p （ t ）＝ p0（1＋10%）
t ，假定 p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确
到0.01万元/年）？（参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095）
解：由题意得p'（ t ）＝1.1 t ln 1.1，所以p'（5）＝1.15ln 1.1＝
1.611×0.095≈0.15（万元/年），所以在第5个年头，该市房价上涨的
速度大约是0.15万元/年.
通性通法
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速
度，就是求相关函数在某点处的导数.
【跟踪训练】
从时刻 t ＝0开始的 t （单位：秒）内，通过某导体的电量（单位：
库仑）可以由公式 q ＝ cos t 表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单
位：安）.
解：由 q ＝ cos t 得，q'＝－ sin t ，所以q'（5）＝－ sin 5，q'（7）＝－
sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－ sin 5安，－ sin 7安.
1. 若 f （ x ）＝ sin x ，则f' ＝（ ）
A. － B. －
C. D.
解析： f'（ x ）＝ cos x ，f' ＝ cos ＝ .
2. （2024·温州月考）在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函
数称为边际成本.设生产 x 个单位产品的总成本函数是 C （ x ）＝
，则生产4个单位产品时，边际成本是（ ）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
解析： C '（ x ）＝ ， C '（4）＝ ＝3.故选A.
3. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. 若 f （ x ）＝3，则f'（ x ）＝0
B. 若 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝－
C. 若 f （ x ）＝ln x ，则f'（e）＝
D. 若 f （ x ）＝ x ，则f'（ x ）＝1
解析：只有B是错误的.因为f'（ x ）＝（ ）'＝ ‘
＝－ ＝－ .
4. 求曲线 y ＝ln x 在点 M （e，1）处的切线的斜率及切线方程.
解：∵y'＝（ln x ）'＝ ，
∴y'｜ x＝e＝ .
∴切线方程为 y －1＝ （ x －e），即 x －e y ＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若函数 f （ x ）＝ cos x ，则f'（ ）＋ f （ ）＝（ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
解析： 因为 f （ x ）＝ cos x ，所以f'（ x ）＝－ sin x .所以f'
（ ）＋ f （ ）＝－ sin ＋ cos ＝0.
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2. 函数 y ＝ x4在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A. y ＝4 x －3 B. y ＝4 x ＋3
C. y ＝－4 x －3 D. y ＝－4 x ＋3
解析： 因为y'＝4 x3，当 x ＝1时，y'＝4，故切线的斜率为4，切
线方程为 y ＝4 x －3.
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3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. （ cos ）'＝ sin B. （ ）'＝－
C. （lg x ）'＝ D. （ ）'＝
解析： （ cos ）'＝0，故A不正确；（ ）'＝（ x－3）'＝－3 x
－4，故B不正确；（lg x ）'＝ ，故C正确；（ ）'＝（ ）'
＝ ，故D不正确.故选C.
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4. （2024·德州月考）函数 f （ x ）＝ x3的斜率等于1的切线有（ ）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 不确定
解析： ∵f'（ x ）＝3 x2，设切点为（ x0， y0），则3 ＝1，得
x0＝± ，即在点 和点（－ ，－ ）处有斜率为1的
切线，∴有2条切线.
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5. （多选）若曲线 f （ x ）＝ 上某点处的切线的倾斜角为 π，则该
点的坐标为（ ）
A. （1，1） B. （－1，－1）
C. （－1，1） D. （1，－1）
解析： 切线的斜率 k ＝tan π＝－1，f'（ x ）＝－ ，设切点
为（ x0， y0），则f'（ x0）＝－1，所以－ ＝－1，所以 x0＝1或 x0
＝－1，所以切点坐标为（1，1）或（－1，－1）.
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6. （多选）直线 y ＝ x ＋ b 能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A. f （ x ）＝ B. f （ x ）＝ x4
C. f （ x ）＝ sin x D. f （ x ）＝e x
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解析： 函数 f （ x ）＝ ，可得f'（ x ）＝－ ＝ 不成
立，所以A不正确； f （ x ）＝ x4，f'（ x ）＝4 x3＝ 可以成
立，所以B正确； f （ x ）＝ sin x ，f'（ x ）＝ cos x ＝ 可以成
立，所以C正确； f （ x ）＝e x ，f'（ x ）＝e x ＝ 可以成立，所
以D正确.故选B、C、D.
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7. 一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足 v （ t ）＝log2
t ，则该物体下滑的加速度 a ＝ .
解析： a ＝v'（ t ）＝（log2 t ）'＝ .
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8. 设函数 y ＝ f （ x ）是一次函数，若 f （1）＝－1，且f'（2）＝－4，
则 f （ x ）＝ .
解析：由题意设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），则 f （1）＝ a ＋ b ＝－
1，又f'（2）＝ a ＝－4.∴ a ＝－4， b ＝3，∴ f （ x ）＝－4 x ＋3.
－4 x ＋3
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9. （2024·济源月考）若曲线 y ＝ 在点 P （ a ， ）处的切线与两
坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数 a 的值是 .
解析：因为y'＝ ，所以切线方程为 y － ＝ （ x － a ），令
x ＝0，得 y ＝ ，令 y ＝0，得 x ＝－ a ，由题意知 · · a ＝2，所
以 a ＝4.
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10. 求下列函数的导数：
（1） y ＝ ；（2） y ＝ ；（3） y ＝－2 sin （1－2 cos 2 ）.
解：（1）y'＝（ ）'＝（ ）'＝ ＝ ＝ .
（2）y'＝（ ）'＝（ x－4）'＝－4 x－4－1＝－4 x－5＝－ .
（3）∵ y ＝－2 sin （1－2 cos 2 ）＝2 sin （2 cos 2 －
1）＝2 sin cos ＝ sin x ，∴y'＝（ sin x ）'＝ cos x .
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11. （2024·郑州月考）设 f0（ x ）＝ sin x ， f1（ x ）＝f'0（ x ）， f2
（ x ）＝f'1（ x ），…， fn＋1（ x ）＝f' n （ x ）， n ∈N，则 f2 024
（ x ）＝（ ）
A. sin x B. － sin x
解析： f0（ x ）＝ sin x ， f1（ x ）＝f'0（ x ）＝（ sin x ）'＝ cos
x ， f2（ x ）＝f'1（ x ）＝（ cos x ）'＝－ sin x ， f3（ x ）＝f'2（ x ）
＝（－ sin x ）'＝－ cos x ， f4（ x ）＝f'3（ x ）＝（－ cos x ）'＝ sin
x ，所以4为最小正周期，故 f2 024（ x ）＝ f0（ x ）＝ sin x .
C. cos x D. － cos x
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12. （多选）（2024·宁波月考）若函数 y ＝ f （ x ）的图象上存在两
点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y ＝ f
（ x ）具有 T 性质，下列函数中具有 T 性质的是（ ）
A. f （ x ）＝ cos x B. f （ x ）＝ln x
C. f （ x ）＝e x D. f （ x ）＝ x2
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解析： 由题意 y ＝ f （ x ）具有 T 性质，则存在 x1， x2，使得f'
（ x1）f'（ x2）＝－1.对于选项A，f'（ x ）＝－ sin x ，存在 x1＝
， x2＝－ ，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；对于选项B，f'（ x ）＝
， x ＞0，不存在 x1， x2，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；对于选项
C，f'（ x ）＝e x ＞0，不存在 x1， x2，使得f'（ x1）·f'（ x2）＝－
1；对于选项D，f'（ x ）＝2 x ，存在 x1＝1， x2＝－ ，使得f'
（ x1）f'（ x2）＝4 x1 x2＝－1.
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13. 若函数 f （ x ）在R上可导，且 f （ x ）·f'（ x ）为单调函数.写出满
足上述条件的一个函数 .
解析：设 f （ x ）＝ x2，则f'（ x ）＝2 x ，所以 f （ x ）·f'（ x ）＝2
x3在R上是增函数，满足条件.所以 f （ x ）＝ x2满足条件.
f （ x ）＝ x2（答案不唯一）
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14. 已知点 P （ ， a ）在曲线 f （ x ）＝ cos x 上，直线 l 是以点 P 为切
点的切线.
（1）求 a 的值；
解：因为 P （ ， a ）在曲线 f （ x ）＝ cos x 上，
所以 a ＝ cos ＝ .
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（2）求过点 P 且与直线 l 垂直的直线方程.
解：因为f'（ x ）＝－ sin x ，所以 kl ＝f'（ ）＝－ sin ＝－ .
又因为所求直线与直线 l 垂直，
所以所求直线的斜率为－ ＝ ，
所以所求直线方程为 y － ＝ （ x － ），
即 y ＝ x － ＋ .
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15. （2024·泉州质检）已知函数 y ＝ x2（ x ＞0）的图象在点（ ak ，
）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak＋1，其中 k ∈N*，若 a1＝
16，则 a1＋ a3＋ a5＝ .
解析：∵y'＝2 x ，∴ y ＝ x2（ x ＞0）的图象在点（ ak ， ）处的
切线方程为 y － ＝2 ak （ x － ak ）.又该切线与 x 轴的交点为（ ak
＋1，0），∴ ak＋1＝ ak ，即数列{ ak }是首项 a1＝16，公比 q ＝ 的
等比数列，∴ a3＝4， a5＝1，∴ a1＋ a3＋ a5＝21.
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16. 已知点 A ， B （2，1），函数 f （ x ）＝log2 x .
（1）过坐标原点 O 作曲线 y ＝ f （ x ）的切线，求切线方程；
解：设切点为（ m ，log2 m ）（ m ＞0），
因为 f （ x ）＝log2 x ，所以f'（ x ）＝ .
由题意可得 ＝ ，解得 m ＝e，所以切线方程为 y －
log2e＝ （ x －e），即 y ＝ x .
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（2）在曲线 y ＝ f （ x ） 上是否存在点 P ，使得过点 P的切线与直线 AB 平行？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由.
解：过点 A ， B （2，1）的直线的斜率为 kAB ＝ .
假设存在点 P ，使得过点 P 的切线与直线 AB 平行，设 P （ n ，log2 n ）， ≤ n ≤2，则有 ＝ ，得 n ＝ .
又 ＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以 ＜ ＜ ，所以在曲线 y ＝ f （ x ） 上存在点 P ，使得过点 P 的切线与直线 AB 平行，且点 P 的横坐标为 .
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