5.2.2 导数的四则运算法则
1.设f（x）＝xln x，若f'（x0）＝2，则x0＝（ ）
A.e2 B.e
C. D.ln 2
2.已知函数f（x）＝，则该函数的导函数f'（x）＝（ ）
A. B.
C. D.2x－cos x
3.曲线y＝sin x＋ex在点（0，1）处的切线方程是（ ）
A.x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0
C.2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0
4.（2024·聊城月考）已知曲线f（x）＝在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则实数a＝（ ）
A.1 B.－1 C.7 D.－7
5.（多选）若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（ ）
A.f（x）＝3cos x B.f（x）＝x＋sin x
C.f（x）＝x＋ D.f（x）＝ex＋x
6.（多选）已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其导函数为f'（x），则（ ）
A.f（0）＝－1 B.f'（0）＝1
C.f（0）＝1 D.f'（0）＝－1
7.（2024·商丘月考）设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝ .
8.原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从原油中提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果x h时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15（0≤x≤8）.则第6 h时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/h，其意义为 .
9.曲线f（x）＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积为 .
10.求下列函数的导数：
（1）y＝ln x＋；
（2）y＝；
（3）y＝（x2＋9）（x－）；
（4）y＝.
11.（2024·信阳质检）已知f（x）＝x2＋sin（＋x），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（ ）
12.（2024·龙岩月考）曲线y＝在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最短距离是 .
13.现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为 m/s.
14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），其导函数f'（x）＝2x－8.
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）＝exsin x＋f（x），求曲线g（x）在x＝0处的切线方程.
15.（多选）（2024·湖州质检）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝[f'（x）]'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（0，）上是凸函数的是（ ）
A.f（x）＝sin x＋cos x
B.f（x）＝ln x－2x
C.f（x）＝－x3＋2x－1
D.f（x）＝xex
16.已知函数f（x）＝x－，g（x）＝a（2－ln x）.
（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值；
（2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围.
5.2.2 导数的四则运算法则
1.B 因为f（x）＝xln x，所以f'（x）＝ln x＋1（x＞0），由f'（x0）＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
2.B 由题意可得f'（x）＝
＝.
3.C y'＝（sin x＋ex）'＝cos x＋ex，当x＝0时，y'＝2，故曲线在点（0，1）处的切线方程是y－1＝2（x－0），即2x－y＋1＝0.
4.C 因为f'（x）＝＝，又f'（1）＝tan＝－1，即＝－1，所以a＝7.
5.BC 由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋cos x为偶函数；对于C选项，f'（x）＝1－为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故选B、C.
6.BC 因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C.
7.1 解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1.
8.5 在第6 h附近时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升
解析：f'（x）＝2x－7，则f'（6）＝2×6－7＝5.在第6 h附近时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升.
9.1 解析：由题意可知，f'（x）＝x·ex，f'（1）＝2，∴切线方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线f（x）＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1.
10.解：（1）y'＝（ln x＋）'＝（ln x）'＋（）'＝－.
（2）y'＝（）'
＝
＝－.
（3）y＝x3＋6x－，y'＝3x2＋＋6.
（4）y'＝
＝
＝.
11.A ∵f（x）＝x2＋sin（＋x）＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f'（）＝－＜0，排除C，故选A.
12.2－1 解析：y'＝－，则k＝－1，∴切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最短距离为2－1.
13. 解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，＝，即r＝.因为水的体积为πr2h＝v水流t＝5πt，即h＝4，h'（t）＝4×，所以当t＝1时，h'（1）＝.即水面上升的速度为 m/s.
14.解：（1）因为f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），
所以f'（x）＝2ax＋b，
又f'（x）＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
（2）由（1）可知g（x）＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g'（x）＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g'（0）＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g（0）＝3，所以曲线g（x）在x＝0处的切线方程为y－3＝－7（x－0），即7x＋y－3＝0.
15.ABC 对于A，f（x）＝sin x＋cos x，f'（x）＝cos x－sin x，则f″（x）＝－sin x－cos x，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B，f（x）＝ln x－2x，f'（x）＝－2，则f″（x）＝－，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于C，f（x）＝－x3＋2x－1，f'（x）＝－3x2＋2，f″（x）＝－6x，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于D，f（x）＝xex，f'（x）＝（x＋1）ex，f″（x）＝（x＋2）ex，则f″（x）＞0在x∈（0，）上恒成立，故不是凸函数.
16.解：（1）f'（x）＝1＋，g'（x）＝－，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，由已知，得f'（1）＝g'（1），得a＝－3.
（2）由题意，得1＋＝－（x＞0），
则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立，故实数a的取值范围为（－∞，－2].
2 / 25.2.2 导数的四则运算法则
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则 数学运算
2.会用导数的四则运算法则求解相关问题 数学运算、数学建模
利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及到一些函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，如某质点运动，运动距离s与时间t的函数为s（t）＝t2＋；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x－ln x（x≥1）等.
【问题】 （1）由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？
（2）除用定义法之外，是否有更简便的求导方法呢？
知识点 导数的四则运算法则
1.条件：f（x），g（x）是可导的.
2.结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝ ；
（2）[f（x）g（x）]'＝ ；
（3）＝ ；
（4）[cf（x）]'＝ .
提醒 （1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形（一般化），即[u（x）±v（x）±…±w（x）]'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）；（2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u（x）v（x）·…·w（x）]'＝u'（x）v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）v（x）·…·w'（x）；（3）注意［］'≠.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（ex＋cos ）'＝ex.（ ）
（2）函数f（x）＝xex的导数是f'（x）＝ex（x＋1）.（ ）
（3）当g（x）≠0时，'＝.（ ）
（4）函数f（x）＝xln x的导数是f'（x）＝x.（ ）
2.函数y＝x4＋sin x的导数为（ ）
A.y'＝4x3 B.y'＝cos x
C.y'＝4x3＋sin x D.y'＝4x3＋cos x
3.已知f（x）＝xsin x，则f'（x）＝ .
4.若f（x）＝，则f'（x）＝ .
题型一 利用运算法则求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
（1）y＝x2＋xln x；
（2）y＝x5－x3＋cos x；
（3）y＝；
（4）y＝（2x2－1）（3x＋1）.
通性通法
利用导数的四则运算法则求函数导数的策略
（1）分析待求导的式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式；
（2）如果待求导的式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等；
（3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差式求导，尽量少用积、商的求导法则求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝x3ex；
（2）y＝x2＋tan x；
（3）y＝.
题型二 导数运算法则的应用
角度1 曲线的切线问题
【例2】 （1）曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（ ）
A.y＝－2x＋1 B.y＝－3x＋2
C.y＝2x－3 D.y＝x－2
（2）若曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
角度2 含f'（c）函数的求导问题
【例3】 （2024·潍坊月考）设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）＝x3＋f'（）x2－x，则f'（1）＝ .
角度3 导数在实际生活中的应用
【例4】 （2024·驻马店月考）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（ ）
A.－ cm/s B. cm/s
C.－ cm/s D. cm/s
通性通法
1.解决有关切线问题的关注点
（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系；
（2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.
2.含f'（c）函数的求导问题的解决策略
含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当常系数处理.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）满足f（x）＝－f'（1）·x2－x.则f'（1）＝（ ）
A.0 B.2
C.1 D.－1
2.（2024·中山月考）函数f（x）＝excos x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（ ）
A.0 B. C.1 D.
1.设f（x）＝ax－b，若f'（－1）＝4，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.4
2.函数y＝x2sin x的导数为（ ）
A.y'＝2x＋cos x
B.y'＝x2cos x
C.y'＝2xcos x
D.y'＝2xsin x＋x2cos x
3.函数f（x）＝的导数是（ ）
A. B.
C. D.
4.（2024·南平月考）若曲线y＝x3＋ax在坐标原点处的切线方程是2x－y＝0，则实数a＝ .
5.2.2 导数的四则运算法则
【基础知识·重落实】
知识点
2.（1）f'（x）±g'（x） （2）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） （3）（g（x）≠0） （4）cf'（x）
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2.D
3.sin x＋xcos x
4. 解析：f'（x）＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）'
＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x·
＝2x＋ln x＋1.
（2）y'＝（x5）'－（x3）'＋（cos x）'＝5x4－3x2－sin x.
（3）y'＝（）'＝＝＝.
（4）法一 y'＝[（2x2－1）（3x＋1）]'
＝（2x2－1）'（3x＋1）＋（2x2－1）·（3x＋1）'
＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
法二 因为y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1，所以y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝18x2＋4x－3.
跟踪训练
解：（1）y'＝（x3）'ex＋x3（ex）'＝（3x2＋x3）ex.
（2）因为y＝x2＋，
所以y'＝（x2）'＋（）'＝2x＋＝2x＋.
（3）y'＝
＝＝.
【例2】 （1）A （2）D 解析：（1）y＝的导数为y'＝－，在点（1，－1）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.
（2）由题可得f'（x）＝sin x＋xcos x，f'（）＝1.∴曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线的斜率为1.∵曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，∴（－）×1＝－1，解得a＝2.故选D.
【例3】 0 解析：因为f（x）＝x3＋f'（）x2－x，所以f'（x）＝3x2＋2f'（）x－1，所以f'（）＝3×（）2＋2f'（）×－1，则f'（）＝－1.所以f'（x）＝3x2－2x－1，故f'（1）＝0.
【例4】 B 由题意得，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B.
跟踪训练
1.A f'（x）＝x2－2f'（1）x－1，令x＝1，则f'（1）＝12－2f'（1）－1，解得f'（1）＝0.故选A.
2.B 对函数求导得f'（x）＝ex（cos x－sin x），∴f'（0）＝1，∴函数f（x）＝excos x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为.
随堂检测
1.D f'（x）＝a，f'（－1）＝a＝4，∴a＝4，故选D.
2.D y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x.
3.A f'（x）＝'＝
＝＝.
4.2 解析：曲线y＝x3＋ax的切线斜率k＝y'＝3x2＋a，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x－y＝0，所以3×02＋a＝2，故a＝2.
3 / 3(共52张PPT)
5.2.2
导数的四则运算法则
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则 数学运算
2.会用导数的四则运算法则求解相关问题 数学运算、
数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，
但实际生活中所涉及到一些函数模型多数为基本初等函数通过加、
减、乘、除运算得到的，如某质点运动，运动距离 s 与时间 t 的函数为
s （ t ）＝ t2＋ ；某商品网购量 x （件）与支付款 y （元）之间的关
系为 y ＝10 x －ln x （ x ≥1）等.
【问题】 （1）由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的
函数该如何求导呢？
（2）除用定义法之外，是否有更简便的求导方法呢？
知识点 导数的四则运算法则
1. 条件： f （ x ）， g （ x ）是可导的.
2. 结论：（1）[ f （ x ）± g （ x ）]'＝ ；
（2）[ f （ x ） g （ x ）]'＝ ；
（3） ＝ （ g （ x ）≠0） ；
f'（ x ）±g'（ x ）
f'（ x ） g （ x ）＋ f （ x ）g'（ x ）
（ g （ x ）≠0）
（4）[ cf （ x ）]'＝ .
提醒 （1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广
到任意有限个可导函数的情形（一般化），即[ u （ x ）± v
（ x ）±…± w （ x ）]'＝u'（ x ）±v'（ x ）±…±w'（ x ）；
（2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，
即[ u （ x ） v （ x ）·…· w （ x ）]'＝u'（ x ） v （ x ）·…· w
（ x ）＋ u （ x ）·v'（ x ）·…· w （ x ）＋…＋ u （ x ） v
（ x ）·…·w'（ x ）；（3）注意［ ］'≠ .
cf'（ x ）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（e x ＋ cos ）'＝e x . （ √ ）
（2）函数 f （ x ）＝ x e x 的导数是f'（ x ）＝e x （ x ＋1）.
（ √ ）
（3）当 g （ x ）≠0时， '＝ . （ √ ）
（4）函数 f （ x ）＝ x ln x 的导数是f'（ x ）＝ x . （ × ）
√
√
√
×
2. 函数 y ＝ x4＋ sin x 的导数为（ ）
A. y'＝4 x3 B. y'＝ cos x
C. y'＝4 x3＋ sin x D. y'＝4 x3＋ cos x
3. 已知 f （ x ）＝ x sin x ，则f'（ x ）＝ .
4. 若 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ .
解析：f'（ x ）＝ ＝ .
sin x ＋ x cos x
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用运算法则求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
（1） y ＝ x2＋ x ln x ；
解：y'＝（ x2＋ x ln x ）'＝（ x2）'＋（ x ln x ）'
＝2 x ＋（ x ）'ln x ＋ x （ln x ）'＝2 x ＋ln x ＋ x ·
＝2 x ＋ln x ＋1.
（2） y ＝ x5－ x3＋ cos x ；
解： y'＝（ x5）'－（ x3）'＋（ cos x ）'＝5 x4－3 x2－ sin x .
（3） y ＝ ；
解： y'＝（ ）'＝ ＝ ＝ .
（4） y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）.
解： 法一 y'＝[（2 x2－1）（3 x ＋1）]'
＝（2 x2－1）'（3 x ＋1）＋（2 x2－1）（3 x ＋1）'
＝4 x （3 x ＋1）＋（2 x2－1）×3
＝12 x2＋4 x ＋6 x2－3＝18 x2＋4 x －3.
法二 因为 y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）＝6 x3＋2 x2－3 x －1，所以y'＝（6 x3＋2 x2－3 x －1）'＝（6 x3）'＋（2 x2）'－（3 x ）'－（1）'＝18 x2＋4 x －3.
通性通法
利用导数的四则运算法则求函数导数的策略
（1）分析待求导的式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种
基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式；
（2）如果待求导的式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常
用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三
角函数恒等变换后求导等；
（3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差式求导，尽
量少用积、商的求导法则求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） y ＝ x3e x ；
解：y'＝（ x3）'e x ＋ x3（e x ）'＝（3 x2＋ x3）e x .
（2） y ＝ x2＋tan x ；
解：因为 y ＝ x2＋ ，所以y'＝（ x2）'＋（ ）'＝2 x ＋ ＝2 x ＋ .
（3） y ＝ .
解：y'＝
＝ ＝ .
题型二 导数运算法则的应用
角度1 曲线的切线问题
【例2】 （1）曲线 y ＝ 在点（1，－1）处的切线方程为（ ）
A. y ＝－2 x ＋1 B. y ＝－3 x ＋2
C. y ＝2 x －3 D. y ＝ x －2
解析： y ＝ 的导数为y'＝－ ，在点（1，－1）
处的切线斜率 k ＝y'｜ x＝1＝－2，∴曲线 y ＝ 在点（1，－1）
处的切线方程为 y ＋1＝－2（ x －1），即 y ＝－2 x ＋1.
（2）若曲线 f （ x ）＝ x sin x 在 x ＝ 处的切线与直线 ax ＋2 y ＋1＝0互
相垂直，则实数 a ＝（ ）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
解析：由题可得f'（ x ）＝ sin x ＋ x cos x ，f'（ ）＝1.∴曲
线 f （ x ）＝ x sin x 在 x ＝ 处的切线的斜率为1.∵曲线 f
（ x ）＝ x sin x 在 x ＝ 处的切线与直线 ax ＋2 y ＋1＝0互相
垂直，且直线 ax ＋2 y ＋1＝0的斜率为－ ，∴（－ ）×1
＝－1，解得 a ＝2.故选D.
角度2 含f'（ c ）函数的求导问题
【例3】 （2024·潍坊月考）设函数 f （ x ）的导数为f'（ x ），且 f
（ x ）＝ x3＋f'（ ） x2－ x ，则f'（1）＝ .
解析：因为 f （ x ）＝ x3＋f'（ ） x2－ x ，所以f'（ x ）＝3 x2＋2f'（ ）
x －1，所以f'（ ）＝3×（ ）2＋2f'（ ）× －1，则f'（ ）＝－1.
所以f'（ x ）＝3 x2－2 x －1，故f'（1）＝0.
0
角度3 导数在实际生活中的应用
【例4】 （2024·驻马店月考）一个港口的某一观测点的水位在退潮
的过程中，水面高度 y （单位：cm）关于时间 t （单位：s）的函数为
y ＝ h （ t ）＝ ，当 t ＝3时，水面下降的速度为（ ）
A. － cm/s B. cm/s
C. － cm/s D. cm/s
解析： 由题意得，h'（ t ）＝ ＝ ，
所以h'（3）＝ ＝－ ，故当 t ＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B.
通性通法
1. 解决有关切线问题的关注点
（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要
元素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系；
（2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，
这是解题时的易错点.
2. 含f'（ c ）函数的求导问题的解决策略
含f'（ c ）函数在求导时一定要抓住f'（ c ）为常数这一特点，也就
是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（ c ）一
律充当常系数处理.
【跟踪训练】
1. 若函数 f （ x ）满足 f （ x ）＝ －f'（1）· x2－ x .则f'（1）＝
（ ）
A. 0 B. 2 C. 1 D. －1
解析： f'（ x ）＝ x2－2f'（1） x －1，令 x ＝1，则f'（1）＝12－
2f'（1）－1，解得f'（1）＝0.故选A.
2. （2024·中山月考）函数 f （ x ）＝e x cos x 的图象在点（0， f（0））处的切线的倾斜角为（ ）
A. 0 B. C. 1 D.
解析： 对函数求导得f'（ x ）＝e x （ cos x － sin x ），∴f'（0）
＝1，∴函数 f （ x ）＝e x cos x 的图象在点（0， f （0））处的切线
的倾斜角为 .
1. 设 f （ x ）＝ ax － b ，若f'（－1）＝4，则 a ＝（ ）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 4
解析： f'（ x ）＝ a ，f'（－1）＝ a ＝4，∴ a ＝4，故选D.
2. 函数 y ＝ x2 sin x 的导数为（ ）
A. y'＝2 x ＋ cos x
B. y'＝ x2 cos x
C. y'＝2 x cos x
D. y'＝2 x sin x ＋ x2 cos x
解析： y'＝（ x2 sin x ）'＝（ x2）'· sin x ＋ x2·（ sin x ）'＝2 x sin x
＋ x2 cos x .
3. 函数 f （ x ）＝ 的导数是（ ）
A. B.
C. D.
解析： f'（ x ）＝ '＝
＝ ＝ .
4. （2024·南平月考）若曲线 y ＝ x3＋ ax 在坐标原点处的切线方程是2
x － y ＝0，则实数 a ＝ .
解析：曲线 y ＝ x3＋ ax 的切线斜率 k ＝y'＝3 x2＋ a ，又曲线在坐标
原点处的切线方程为2 x － y ＝0，所以3×02＋ a ＝2，故 a ＝2.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 f （ x ）＝ x ln x ，若f'（ x0）＝2，则 x0＝（ ）
A. e2 B. e
C. D. ln 2
解析： 因为 f （ x ）＝ x ln x ，所以f'（ x ）＝ln x ＋1（ x ＞0），
由f'（ x0）＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得 x0＝e.
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2. 已知函数 f （ x ）＝ ，则该函数的导函数f'（ x ）＝（ ）
A. B.
C. D. 2 x － cos x
解析： 由题意可得f'（ x ）＝ ＝
.
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3. 曲线 y ＝ sin x ＋e x 在点（0，1）处的切线方程是（ ）
A. x －3 y ＋3＝0
B. x －2 y ＋2＝0
C. 2 x － y ＋1＝0
D. 3 x － y ＋1＝0
解析： y'＝（ sin x ＋e x ）'＝ cos x ＋e x ，当 x ＝0时，y'＝2，故
曲线在点（0，1）处的切线方程是 y －1＝2（ x －0），即2 x － y ＋
1＝0.
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4. （2024·聊城月考）已知曲线 f （ x ）＝ 在点（1， f （1））处
的切线的倾斜角为 ，则实数 a ＝（ ）
A. 1 B. －1
C. 7 D. －7
解析： 因为f'（ x ）＝ ＝ ，又f'（1）
＝tan ＝－1，即 ＝－1，所以 a ＝7.
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5. （多选）若函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象关于 y 轴对称，则 f
（ x ）的解析式可能为（ ）
A. f （ x ）＝3 cos x B. f （ x ）＝ x ＋ sin x
C. f （ x ）＝ x ＋ D. f （ x ）＝e x ＋ x
解析： 由题意可知，f'（ x ）必为偶函数.对于A选项，f'（ x ）
＝－3 sin x 为奇函数；对于B选项，f'（ x ）＝1＋ cos x 为偶函数；
对于C选项，f'（ x ）＝1－ 为偶函数；对于D选项，f'（ x ）＝e x
＋1为非奇非偶函数.故选B、C.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x2＋ f （0）· x －f'（0）· cos x ＋2，其
导函数为f'（ x ），则（ ）
A. f （0）＝－1 B. f'（0）＝1
C. f （0）＝1 D. f'（0）＝－1
解析： 因为 f （ x ）＝ x2＋ f （0）· x －f'（0）· cos x ＋2，所以 f
（0）＝2－f'（0）.因为f'（ x ）＝2 x ＋ f （0）＋f'（0）· sin x ，所
以f'（0）＝ f （0）.故f'（0）＝ f （0）＝1.故选B、C.
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7. （2024·商丘月考）设函数 f （ x ）＝ .若f'（1）＝ ，则 a
＝ .
解析：由于f'（ x ）＝ ，故f'（1）＝ ＝ ，解
得 a ＝1.
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8. 原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从
原油中提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果 x h时，原
油温度（单位：℃）为 f （ x ）＝ x2－7 x ＋15（0≤ x ≤8）.则第6 h
时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/h，其意义为
.
解析：f'（ x ）＝2 x －7，则f'（6）＝2×6－7＝5.在第6 h附近时，
原油温度大约以5 ℃/h的速度上升.
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在第6 h附近
时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升
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9. 曲线 f （ x ）＝ （ x －1）e x 在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的
面积为 .
解析：由题意可知，f'（ x ）＝ x ·e x ，f'（1）＝2，∴切线方程为 y
＝2（ x －1），即2 x － y －2＝0.令 x ＝0得 y ＝－2；令 y ＝0得 x ＝
1.∴曲线 f （ x ）＝ （ x －1）e x 在点（1，0）处的切线与坐标轴围
成的面积 S ＝ ×2×1＝1.
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10. 求下列函数的导数：
（1） y ＝ln x ＋ ；
解：y'＝（ln x ＋ ）'＝（ln x ）'＋（ ）'＝ － .
（2） y ＝ ；
解：y'＝（ ）'＝ ＝－ .
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（3） y ＝（ x2＋9）（ x － ）；
解： y ＝ x3＋6 x － ，y'＝3 x2＋ ＋6.
（4） y ＝ .
解：y'＝
＝ ＝ .
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11. （2024·信阳质检）已知 f （ x ）＝ x2＋ sin （ ＋ x ），f'（ x ）为
f （ x ）的导函数，则f'（ x ）的大致图象是（ ）
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解析： ∵ f （ x ）＝ x2＋ sin （ ＋ x ）＝ x2＋ cos x ，
∴f'（ x ）＝ x － sin x .易知f'（ x ）＝ x － sin x 是奇函数，
其图象关于原点对称，故排除B、D. 由f'（ ）＝ － ＜0，
排除C，故选A.
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12. （2024·龙岩月考）曲线 y ＝ 在点（1，1）处的切线为 l ，则 l
上的点到圆 x2＋ y2＋4 x ＋3＝0上的点的最短距离是 .
解析：y'＝－ ，则 k ＝－1，∴切线方程为 y －1＝－（ x
－1），即 x ＋ y －2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离 d ＝2
，圆的半径 r ＝1，∴所求最短距离为2 －1.
2 －1
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13. 现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以
5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度
为 m/s.
解析：设注入水后水面高度为 h ，水面所在圆的半径为 r ， ＝ ，即 r ＝ .因为水的体积为 π r2 h ＝ v水流 t ＝5π t ，即 h ＝4 ，h'（ t ）＝4 × ，所以当 t ＝1时，h'（1）＝ .
即水面上升的速度为 m/s.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋3（ a ≠0），其导函数f'（ x ）＝2 x
－8.
（1）求 a ， b 的值；
解：因为 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋3（ a ≠0），
所以f'（ x ）＝2 ax ＋ b ，
又f'（ x ）＝2 x －8，所以 a ＝1， b ＝－8.
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（2）设函数 g （ x ）＝e x sin x ＋ f （ x ），求曲线 g （ x ）在 x ＝0
处的切线方程.
解： 由（1）可知 g （ x ）＝e x sin x ＋ x2－8 x ＋3，
所以g'（ x ）＝e x sin x ＋e x cos x ＋2 x －8，
所以g'（0）＝e0 sin 0＋e0 cos 0＋2×0－8＝－7，
又 g （0）＝3，所以曲线 g （ x ）在 x ＝0处的切线方程为 y
－3＝－7（ x －0），即7 x ＋ y －3＝0.
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15. （多选）（2024·湖州质检）给出定义：若函数 f （ x ）在 D 上可
导，即f'（ x ）存在，且导函数f'（ x ）在 D 上也可导，则称 f
（ x ）在 D 上存在二阶导函数，记 f ″（ x ）＝[f'（ x ）]'，若 f ″
（ x ）＜0在 D 上恒成立，则称 f （ x ）在 D 上为凸函数.以下四个
函数在（0， ）上是凸函数的是（ ）
A. f （ x ）＝ sin x ＋ cos x B. f （ x ）＝ln x －2 x
C. f （ x ）＝－ x3＋2 x －1 D. f （ x ）＝ x e x
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解析：对于A， f （ x ）＝ sin x ＋ cos x ，f'（ x ）＝ cos x － sin x ，则 f ″（ x ）＝－ sin x － cos x ，当 x ∈（0， ）时，恒有 f ″（ x ）＜0，是凸函数；对于B， f （ x ）＝ln x －2 x ，f'（ x ）＝ －2，则 f ″（ x ）＝－ ，当 x ∈（0， ）时，恒有 f ″（ x ）＜0，是凸函数；对于C， f （ x ）＝－ x3＋2 x －1，f'（ x ）＝－3 x2＋2， f ″（ x ）＝－6 x ，当 x ∈（0， ）时，恒有 f ″（ x ）＜0，是凸函数；对于D， f （ x ）＝ x e x ，f'（ x ）＝（ x ＋1）e x ， f ″（ x ）＝（ x ＋2）e x ，则 f ″（ x ）＞0在 x ∈（0， ）上恒成立，故不是凸函数.
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16. 已知函数 f （ x ）＝ x － ， g （ x ）＝ a （2－ln x ）.
（1）若曲线 y ＝ f （ x ）与曲线 y ＝ g （ x ）在 x ＝1处的切线的斜
率相同，求 a 的值；
解： f'（ x ）＝1＋ ，g'（ x ）＝－ ，
所以曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，
曲线 y ＝ g （ x ）在 x ＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－ a ，
由已知，得f'（1）＝g'（1），得 a ＝－3.
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（2）若存在一点，使得曲线 y ＝ f （ x ）与曲线 y ＝ g （ x ）在该
点处的切线的斜率相同，求实数 a 的取值范围.
解： 由题意，得1＋ ＝－ （ x ＞0），
则 a ＝－ x － ≤－2 ，当且仅当 x ＝ 时，等号成立，
故实数 a 的取值范围为（－∞，－2 ].
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谢 谢 观 看！
