5.2.3 简单复合函数的导数
1.函数y＝（x2－1）n的复合过程正确的是（ ）
A.y＝un，u＝x2－1
B.y＝（u－1）n，u＝x2
C.y＝tn，t＝（x2－1）n
D.y＝（t－1）n，t＝x2－1
2.设f（x）＝log3（x－1），则f'（2）＝（ ）
A.ln 3 B.－ln 3
C. D.－
3.曲线y＝cos（2x＋）在x＝处切线的斜率为（ ）
A.2 B.－2
C. D.－
4.（2024·湛江月考）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）＝600·，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为（ ）
A.－10ln 2太贝克/年 B.300ln 2太贝克/年
C.－300ln 2太贝克/年 D.10ln 2太贝克/年
5.（多选）下列结论中正确的是（ ）
A.若y＝cos，则y'＝－sin
B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2
C.若y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x
D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x
6.（多选）曲线y＝e2xcos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（ ）
A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4
7.函数y＝的导数y'＝ .
8.设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：
x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1
f'（x） 3 4 2 1
g（x） 3 1 4 2
g'（x） 2 4 1 3
则f（g（1））＝ ；函数f（g（x））在x＝1处的导数值是 .
9.（2024·许昌月考）已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，则x＞0时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ .
10.求下列函数的导数：
（1）y＝102x＋3；
（2）y＝sin（－2x＋）；
（3）y＝－2e3xsin 2x.
11.（2024·湖州期末）曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.1
12.（多选）设函数f（x）＝cos（x＋φ）（0＜φ＜2π），若f（x）＋f'（x）是奇函数，则φ的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
13.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 .
14.（1）已知f（x）＝eπxsin πx，求f'（x）及f'；
（2）在曲线g（x）＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程.
15.（2024·温州质检）对于三次函数y＝f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
16.已知点P在曲线y＝ln（2x－1）上运动.
问：点P运动到何位置时到直线l：2x－y＋3＝0的距离最短？并求此最短距离.
5.2.3 简单复合函数的导数
1.A 由复合函数求导法则知A正确.
2.C f'（x）＝，故f'（2）＝.
3.B 设y＝cos u，u＝2x＋，yx'＝（cos u）'·（2x＋）'＝－2sin（2x＋），故k＝－2sin（2×＋）＝－2.
4.A 依题意，M（t）＝600·，所以M'（t）＝－×600×ln 2＝－20×ln 2，所以铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为M'（30）＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2（太贝克/年），故选A.
5.BC 对于A，y＝cos ，则y'＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故正确；对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故错误.故选B、C.
6.AB y'＝e2x（2cos 3x－3sin 3x），∴y'｜x＝0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
7.－ 解析：y＝（3x－1）－2，设y＝u－2，u＝3x－1，则y'x＝y'u·u'x＝（u－2）'·（3x－1）'＝－2u－3·3＝－6（3x－1）－3＝－.
8.4 4 解析：令h（x）＝f（g（x）），则h（1）＝f（g（1））＝f（3）＝4，h'（x）＝f'（g（x））·g'（x），所以h'（1）＝f'（g（1））·g'（1）＝f'（3）·g'（1）＝2×2＝4.
9.－ex＋ －2e 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋，x＞0.∴f'（x）＝－ex－，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e.
10.解：（1）原函数可以看作y＝10u和u＝2x＋3的复合函数，则y'x＝y'u·u'x＝102x＋3×（ln 10）×2＝（2ln 10）102x＋3.
（2）原函数可以看作y＝sin u和u＝－2x＋的复合函数，则y'x＝y'u·u'x＝cos u·（－2）＝－2cos（－2x＋）＝－2cos（2x－）.
（3）原函数可以看作y＝－2u（x）·v（x），其中u（x）可以看作u＝em和m＝3x的复合函数，v（x）可以看作v＝sin p和p＝2x的复合函数，则y'＝－2（3e3xsin 2x＋2e3xcos 2x）＝－2e3x·（3sin 2x＋2cos 2x）.
11.A 依题意得f'（x）＝e－2x·（－2）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2.所以曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是（，），直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是（1，0），所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.
12.AC f'（x）＝－sin（x＋φ），f（x）＋f'（x）＝cos（x＋φ）－sin（x＋φ）＝2sin（x＋φ＋）.若f（x）＋f'（x）为奇函数，则f（0）＋f'（0）＝0，即0＝2sin，因此φ＋＝kπ（k∈Z）.又因为φ∈（0，2π），所以φ＝或φ＝.
13. 解析：因为y＝，所以y'＝＝＝.因为ex＞0，所以ex＋≥2（当且仅当x＝0时取等号），所以y'∈[－1，0），所以tan α∈[－1，0）.又因为α∈[0，π），所以α∈.
14.解：（1）∵f（x）＝eπxsin πx，
∴f'（x）＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx
＝πeπx（sin πx＋cos πx）.
∴f'＝π（sin ＋cos）＝π.
（2）设切点坐标为P（x0，y0），
由题意可知g'（x0）＝0.又g'（x）＝，
∴g'（x0）＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0.
15.A 依题意，得f'（x）＝x2－x＋3，∴f″（x）＝2x－1，由f″（x）＝0，即2x－1＝0，得x＝，又f＝1，∴函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为.故选A.
16.解：作出直线 l：2x－y＋3＝0和曲线y＝ln（2x－1）的图象（图略），可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，
y'＝（2x－1）'＝.
设切点为P（x0，y0），
所以＝2，所以x0＝1，
所以y0＝ln（2×1－1）＝0，即P（1，0）.
所以曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P（1，0）到直线l：2x－y＋3＝0的距离，最短距离d＝＝＝.
2 / 25.2.3 简单复合函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.了解复合函数的概念 数学抽象
2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数 数学运算、数学建模
假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x.那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60（60－3x）－（60－3x）2＝180x－9x2.上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－[g（x）]2＝180x－9x2.
【问题】 （1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？
（2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察f'（u）和u'＝g'（x）的关系.
知识点 复合函数
1.概念：一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝ .
2.求导法则：一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝ .即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
提醒 求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数.
【想一想】
试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f（x）＝2x2－是复合函数.（ ）
（2）y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成.（ ）
（3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1.（ ）
2.设f（x）＝cos 2x－3x，则f'（）＝（ ）
A.－5 B.－3
C.－4 D.－
3.（2024·三明月考）曲线f（x）＝e－2x＋3在点（1，f（1））处的切线的斜率是 .
题型一 复合函数概念的理解
【例1】 （多选）下列哪些函数是复合函数（ ）
A.y＝xln x B.y＝（3x＋6）2
C.y＝ D.y＝sin（x＋）
通性通法
若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y＝f（g（x））或函数y＝g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数.
【跟踪训练】
判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的：
（1）y＝log2（2x＋1）；（2）y＝2x2－；
（3）y＝2ln x；（4）y＝cos（3x－）.
题型二 求复合函数的导数
【例2】 求下列函数的导数：
（1）y＝；
（2）y＝cos（x2）；
（3）y＝log2（2x＋1）；
（4）y＝e3x＋2.
通性通法
求复合函数的导数的步骤
提醒 求复合函数的导数的注意点：①选择的中间变量通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝；
（2）y＝5log2（1－x）；
（3）y＝sin4x＋cos4x.
题型三 复合函数求导的应用
【例3】 （1）质点M按规律s（t）＝（2t＋1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2时的瞬时速度为 m/s；
（2）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为 .
通性通法
1.求解与复合函数有关的切线问题的两个关键
（1）求复合函数的导数，这是正确解题的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏；
（2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
2.将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
【跟踪训练】
1.（2024·江门月考）已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝（ ）
A.－4 B.－2
C.2 D.4
2.（2024·湖州月考）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N（t）＝N0，其中N0为t＝0时钍234的含量.已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln 2，则N（96）＝ 贝克.
1.（2024·嘉兴月考）设f（x）＝sin 2x，则f'（x）＝（ ）
A.cos 2x B.2cos 2x
C.－cos 2x D.－2cos 2x
2.设f（x）＝ln（3x＋2）＋3x2，则f'（0）＝（ ）
A.1 B.
C.－1 D.－2
3.（2024·宁波月考）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝ .
4.求下列函数的导数：
（1）y＝（－2x＋1）2；
（2）y＝23x＋2；
（3）y＝.
5.2.3 简单复合函数的导数
【基础知识·重落实】
知识点
1.f（g（x）） 2.y'u·u'x y对u u对x
想一想
提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.B f'（x）＝－2sin 2x－3，f'（）＝－2sin π－3＝－3.
3.－2e 解析：f'（x）＝－2e－2x＋3，f'（1）＝－2e，即k＝－2e.
【典型例题·精研析】
【例1】 BCD A不是复合函数；B、C、D都是复合函数.
跟踪训练
解：（1）y＝log2（2x＋1）是复合函数，可以看作是由y＝log2u和u＝2x＋1“复合”而成的函数.
（2）y＝2x2－不是复合函数.
（3）y＝2ln x是复合函数，可以看作是由y＝2u和u＝ln x“复合”而成的函数.
（4）y＝cos（3x－）是复合函数，可以看作是由y＝ cos u和u＝3x－“复合”而成的函数.
【例2】 解：（1）令u＝1－3x，则y＝＝u－4，
所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3.
所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝.
（2）令u＝x2，则y＝cos u，
所以y'x＝y'u·u'x＝－sin u·2x＝－2xsin（x2）.
（3）设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y'x＝y'u·u'x＝＝.
（4）设y＝eu，u＝3x＋2，
则y'x＝（eu）'·（3x＋2）'＝3eu＝3e3x＋2.
跟踪训练
解：（1）y＝，设y＝，u＝1－2x，
则y'x＝（）'·（1－2x）'＝·（－2）
＝（1－2x.
（2）函数y＝5log2（1－x）可以看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y'x＝y'u·u'x＝5（log2u）'·（1－x）'
＝＝.
（3）因为y＝sin4x＋cos4x
＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x
＝1－sin22x＝1－（1－cos 4x）
＝＋cos 4x，
所以y'＝'＝－sin 4x.
【例3】 （1）20 （2）2ex－y＝0
解析：（1）∵s（t）＝（2t＋1）2，∴s'（t）＝2（2t＋1）×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s'（2）＝8×2＋4＝20（m/s）.
（2）设切点坐标为（t，e2t）.∵f（x）＝e2x，∴f'（x）＝2e2x，∴f'（t）＝2e2t，∴曲线y＝f（x）在点（t，e2t）处的切线方程为y－e2t＝2e2t（x－t）.∵该直线过原点，∴－e2t＝－2te2t，解得t＝，∴过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex－y＝0.
跟踪训练
1.B 由题意得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，所以a＝2，所以f（x）＝xex－2，所以f（2）＝2e2－2＝2，所以切点为（2，2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.
2.24 解析：由N（t）＝·N0得N'（t）＝·N0×ln 2×（－），当t＝24时，N'（24）＝·N0×ln 2×（－）＝－8ln 2，解得N0＝384，所以N（t）＝384×.当t＝96时，N（96）＝384×＝384×2－4＝24.
随堂检测
1.B f'（x）＝（sin 2x）'＝2cos 2x.
2.B f'（x）＝＋6x，故f'（0）＝＋0＝.
3.2 解析：易知y'＝aeax，y'｜x＝0＝ae0＝a，故a×（－）＝－1，则a＝2.
4.解：（1）设y＝u2，u＝－2x＋1，
则y'＝y'u·u'x＝2u·（－2）＝－4（－2x＋1）＝8x－4.
（2）设y＝2u，u＝3x＋2，
则y'＝y'u·u'x＝2uln 2·3＝3ln 2·23x＋2.
（3）设y＝，u＝5x＋4，
则y'＝y'u·u'x＝·5＝.
3 / 3(共60张PPT)
5.2.3
简单复合函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.了解复合函数的概念 数学抽象
2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数（限于形如 f （ ax ＋ b ））的导数 数学运算、
数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
假设某商品的利润 y 是销售量 u 的函数，销售量 u 是销售价格 x 的
函数，且 y ＝ f （ u ）＝60 u － u2， u ＝ g （ x ）＝60－3 x .那么，不难
看出，利润 y 是销售价格 x 的函数，且有 y ＝60 u － u2＝60（60－3 x ）
－（60－3 x ）2＝180 x －9 x2.上式也可这样得到： f （ g （ x ））＝60 g
（ x ）－[ g （ x ）]2＝180 x －9 x2.
【问题】 （1）函数 f （ g （ x ））与 f （ x ）和 g （ x ）是什么关系？
（2）设 y ＝ f （ g （ x ））＝180 x －9 x2，求y'，并观察f'（ u ）和u'＝g'
（ x ）的关系.
知识点 复合函数
1. 概念：一般地，对于两个函数 y ＝ f （ u ）和 u ＝ g （ x ），如果通
过中间变量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y ＝
f （ u ）和 u ＝ g （ x ）的复合函数，记作 y ＝ .
2. 求导法则：一般地，对于由函数 y ＝ f （ u ）和 u ＝ g （ x ）复合而
成的函数 y ＝ f （ g （ x ）），它的导数与函数 y ＝ f （ u ）， u ＝ g
（ x ）的导数间的关系为y' x ＝ .即 y 对 x 的导数等于
的导数与 的导数的乘积.
f （ g （ x ））
y' u ·u' x
y
对 u
u 对 x
提醒 求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是
基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外
层开始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个
整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数.
【想一想】
试说明函数 y ＝ln（2 x ＋5）是如何复合的？
提示：设 u ＝2 x ＋5，则 y ＝ln u ，从而 y ＝ln（2 x ＋5）可以看作是由
y ＝ln u 和 u ＝2 x ＋5经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表
示为自变量 x 的函数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） f （ x ）＝2 x2－ 是复合函数. （ × ）
（2） y ＝ cos 3 x 由函数 y ＝ cos u ， u ＝3 x 复合而成. （ √ ）
（3）函数 f （ x ）＝e2 x－1的导数为f'（ x ）＝2e2 x－1. （ √ ）
×
√
√
2. 设 f （ x ）＝ cos 2 x －3 x ，则f'（ ）＝（ ）
A. －5 B. －3
C. －4 D. －
解析： f'（ x ）＝－2 sin 2 x －3，f'（ ）＝－2 sin π－3＝－3.
3. （2024·三明月考）曲线 f （ x ）＝e－2 x＋3在点（1， f （1））处的切
线的斜率是 .
解析：f'（ x ）＝－2e－2 x＋3，f'（1）＝－2e，即 k ＝－2e.
－2e
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复合函数概念的理解
【例1】 （多选）下列哪些函数是复合函数（ ）
A. y ＝ x ln x B. y ＝（3 x ＋6）2
C. y ＝ D. y ＝ sin （ x ＋ ）
解析： A不是复合函数；B、C、D都是复合函数.
通性通法
若 f （ x ）与 g （ x ）均为基本初等函数，则函数 y ＝ f （ g （ x ））或函数 y ＝ g （ f （ x ））均为复合函数，而 f （ x ）， g （ x ）不是复合函数.
【跟踪训练】
判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的：
（1） y ＝log2（2 x ＋1）；（2） y ＝2 x2－ ；
解：（1） y ＝log2（2 x ＋1）是复合函数，可以看作是由 y ＝
log2 u 和 u ＝2 x ＋1“复合”而成的函数.
（2） y ＝2 x2－ 不是复合函数.
解： （3） y ＝2ln x 是复合函数，可以看作是由 y ＝2 u 和 u ＝ln x “复合”而成的函数.
（4） y ＝ cos （3 x － ）是复合函数，可以看作是由 y ＝ cos u
和 u ＝3 x － “复合”而成的函数.
（3） y ＝2ln x ；（4） y ＝ cos （3 x － ）.
题型二 求复合函数的导数
【例2】 求下列函数的导数：
（1） y ＝ ；
解：令 u ＝1－3 x ，则 y ＝ ＝ u－4，
所以y' u ＝－4 u－5，u' x ＝－3.
所以y' x ＝y' u ·u' x ＝12 u－5＝ .
（2） y ＝ cos （ x2）；
解：令 u ＝ x2，则 y ＝ cos u ，
所以y' x ＝y' u ·u' x ＝－ sin u ·2 x ＝－2 x sin （ x2）.
（3） y ＝log2（2 x ＋1）；
解：设 y ＝log2 u ， u ＝2 x ＋1，
则y' x ＝y' u ·u' x ＝ ＝ .
（4） y ＝e3 x＋2.
解：设 y ＝e u ， u ＝3 x ＋2，
则y' x ＝（e u ）'·（3 x ＋2）'＝3e u ＝3e3 x＋2.
通性通法
求复合函数的导数的步骤
提醒 求复合函数的导数的注意点：①选择的中间变量通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） y ＝ ；
解： y ＝ ，设 y ＝ ， u ＝1－2 x ，
则y' x ＝（ ）'·（1－2 x ）'＝ ·（－2）
＝（1－2 x .
（2） y ＝5log2（1－ x ）；
解：函数 y ＝5log2（1－ x ）可以看作函数 y ＝5log2 u 和 u
＝1－ x 的复合函数，
所以y' x ＝y' u ·u' x ＝5（log2 u ）'·（1－ x ）'
＝ ＝ .
（3） y ＝ sin 4 x ＋ cos 4 x .
解：因为 y ＝ sin 4 x ＋ cos 4 x
＝（ sin 2 x ＋ cos 2 x ）2－2 sin 2 x · cos 2 x
＝1－ sin 22 x ＝1－ （1－ cos 4 x ）
＝ ＋ cos 4 x ，
所以y'＝ '＝－ sin 4 x .
题型三 复合函数求导的应用
【例3】 （1）质点 M 按规律 s （ t ）＝（2 t ＋1）2做直线运动（位移
单位：m，时间单位：s），则质点 M 在 t ＝2时的瞬时速度
为 m/s；
解析：∵ s （ t ）＝（2 t ＋1）2，∴s'（ t ）＝2（2 t ＋1）×2＝8 t ＋4，则质点在 t ＝2时的瞬时速度为s'（2）＝8×2＋4＝20（m/s）.
20
（2）已知函数 f （ x ）＝e2 x ，则过原点且与曲线 y ＝ f （ x ）相切的直
线方程为 .
解析：设切点坐标为（ t ，e2 t ）.∵ f （ x ）＝e2 x ，∴f'（ x ）＝2e2 x ，∴f'（ t ）＝2e2 t ，∴曲线 y ＝ f （ x ）在点（ t ，e2 t ）处的切线方程为 y －e2 t ＝2e2 t （ x － t ）.∵该直线过原点，∴－e2 t ＝－2 t e2 t ，解得 t ＝ ，∴过原点且与曲线 y ＝ f （ x ）相切的直线方程为2e x － y ＝0.
2e x － y ＝0
通性通法
1. 求解与复合函数有关的切线问题的两个关键
（1）求复合函数的导数，这是正确解题的前提条件，要注意把复
合函数逐层分解，求导时不要有遗漏；
（2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
2. 将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数
反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变
化状况.
【跟踪训练】
1. （2024·江门月考）已知函数 f （ x ）＝ x e x－ a ，曲线 y ＝ f （ x ）在
点（ a ， f （ a ））处的切线方程为 y ＝3 x ＋ b ，则 a ＋ b ＝
（ ）
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
解析： 由题意得f'（ x ）＝（ x ＋1）e x－ a ，所以f'（ a ）＝ a ＋1
＝3，所以 a ＝2，所以 f （ x ）＝ x e x－2，所以 f （2）＝2e2－2＝2，
所以切点为（2，2），将（2，2）代入切线方程得 b ＝－4，所以 a
＋ b ＝－2.
2. （2024·湖州月考）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经
广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假
设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量 N （单位：贝克）
与时间 t （单位：天）满足函数关系 N （ t ）＝ N0，其中 N0为 t
＝0时钍234的含量.已知 t ＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln
2，则 N （96）＝ 贝克.
24
解析：由 N （ t ）＝ · N0得N'（ t ）＝ · N0×ln 2×（－
），当 t ＝24时，N'（24）＝ · N0×ln 2×（－ ）＝－8ln
2，解得 N0＝384，所以 N （ t ）＝384× .当 t ＝96时， N
（96）＝384× ＝384×2－4＝24.
1. （2024·嘉兴月考）设 f （ x ）＝ sin 2 x ，则f'（ x ）＝（ ）
A. cos 2 x B. 2 cos 2 x
C. － cos 2 x D. －2 cos 2 x
解析： f'（ x ）＝（ sin 2 x ）'＝2 cos 2 x .
2. 设 f （ x ）＝ln（3 x ＋2）＋3 x2，则f'（0）＝（ ）
A. 1 B. C. －1 D. －2
解析： f'（ x ）＝ ＋6 x ，故f'（0）＝ ＋0＝ .
3. （2024·宁波月考）设曲线 y ＝e ax 在点（0，1）处的切线与直线 x ＋
2 y ＋1＝0垂直，则 a ＝ .
解析：易知y'＝ a e ax ，y'｜ x＝0＝ a e0＝ a ，故 a ×（－ ）＝－1，则
a ＝2.
2
4. 求下列函数的导数：
（1） y ＝（－2 x ＋1）2；
解： 设 y ＝ u2， u ＝－2 x ＋1，
则y'＝y' u ·u' x ＝2 u ·（－2）＝－4（－2 x ＋1）＝8 x －4.
（2） y ＝23 x＋2；
解： 设 y ＝2 u ， u ＝3 x ＋2，
则y'＝y' u ·u' x ＝2 u ln 2·3＝3ln 2·23 x＋2.
（3） y ＝ .
解： 设 y ＝ ， u ＝5 x ＋4，
则y'＝y' u ·u' x ＝ ·5＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝（ x2－1） n 的复合过程正确的是（ ）
A. y ＝ un ， u ＝ x2－1
B. y ＝（ u －1） n ， u ＝ x2
C. y ＝ tn ， t ＝（ x2－1） n
D. y ＝（ t －1） n ， t ＝ x2－1
解析： 由复合函数求导法则知A正确.
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2. 设 f （ x ）＝log3（ x －1），则f'（2）＝（ ）
A. ln 3 B. －ln 3 C. D. －
解析： f'（ x ）＝ ，故f'（2）＝ .
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3. 曲线 y ＝ cos （2 x ＋ ）在 x ＝ 处切线的斜率为（ ）
A. 2 B. －2 C. D. －
解析： 设 y ＝ cos u ， u ＝2 x ＋ ， yx '＝（ cos u ）'·（2 x ＋ ）'
＝－2 sin （2 x ＋ ），故 k ＝－2 sin （2× ＋ ）＝－2.
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4. （2024·湛江月考）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变
成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性
同位素铯137衰变过程中，其含量 M （单位：太贝克）与时间 t
（单位：年）满足函数关系： M （ t ）＝600· ，则铯137的含量
M 在 t ＝30时的瞬时变化率为（ ）
A. －10ln 2太贝克/年 B. 300ln 2太贝克/年
C. －300ln 2太贝克/年 D. 10ln 2太贝克/年
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解析： 依题意， M （ t ）＝600· ，所以 M '（ t ）＝－
×600× ln 2＝－20× ln 2，所以铯137的含量 M 在 t ＝30时
的瞬时变化率为 M '（30）＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2（太贝克/
年），故选A.
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5. （多选）下列结论中正确的是（ ）
A. 若 y ＝ cos ，则y'＝－ sin
B. 若 y ＝ sin x2，则y'＝2 x cos x2
C. 若 y ＝ cos 5 x ，则y'＝－5 sin 5 x
D. 若 y ＝ x sin 2 x ，则y'＝ x sin 2 x
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解析： 对于A， y ＝ cos ，则y'＝ sin ，故错误；对于B， y
＝ sin x2，则y'＝2 x cos x2，故正确；对于C， y ＝ cos 5 x ，则y'＝－5
sin 5 x ，故正确；对于D， y ＝ x sin 2 x ，则y'＝ sin 2 x ＋ x cos 2
x ，故错误.故选B、C.
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6. （多选）曲线 y ＝e2 x cos 3 x 在点（0，1）处的切线与其平行直线 l
的距离为 ，则直线 l 的方程可能为（ ）
A. y ＝2 x ＋6 B. y ＝2 x －4
C. y ＝3 x ＋1 D. y ＝3 x －4
解析： y'＝e2 x （2 cos 3 x －3 sin 3 x ），∴y'｜ x＝0＝2，
则所求的切线方程为 y ＝2 x ＋1，设直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋
b ，则 ＝ ，解得 b ＝6或－4.∴直线 l 的方程为 y ＝2
x ＋6或 y ＝2 x －4.
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7. 函数 y ＝ 的导数y'＝ － .
解析： y ＝（3 x －1）－2，设 y ＝ u－2， u ＝3 x －1，则y' x ＝y' u ·u' x ＝
（ u－2）'·（3 x －1）'＝－2 u－3·3＝－6（3 x －1）－3＝－ .
－
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8. 设函数 f （ x ）， g （ x ）在区间（0，5）内导数存在，且有以
下数据：
x 1 2 3 4
f （ x ） 2 3 4 1
f'（ x ） 3 4 2 1
g （ x ） 3 1 4 2
g'（ x ） 2 4 1 3
则 f （ g （1））＝ ；函数 f （ g （ x ））在 x ＝1处的导数值
是 .
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解析：令 h （ x ）＝ f （ g （ x ）），则 h （1）＝ f （ g （1））＝ f
（3）＝4，h'（ x ）＝f'（ g （ x ））·g'（ x ），所以h'（1）＝f'（ g
（1））·g'（1）＝f'（3）·g'（1）＝2×2＝4.
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9. （2024·许昌月考）已知函数 f （ x ）为奇函数，当 x ＜0时， f （ x ）
＝e－ x ＋ ，则 x ＞0时， f （ x ）＝ －e x ＋ ， f （1）＋f'（1）
＝ .
解析：∵函数 f （ x ）为奇函数，当 x ＜0时， f （ x ）＝e－ x ＋ ，
∴令 x ＞0，则－ x ＜0，∴ f （－ x ）＝e x － ＝－ f （ x ），∴ f （ x ）＝－e x ＋ ， x ＞0.∴f'（ x ）＝－e x － ， x ＞0，∴f'（1）＝－e－1， f （1）＝－e＋1，∴ f （1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e.
－e x ＋
－2e
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10. 求下列函数的导数：
（1） y ＝102 x＋3；
解：原函数可以看作 y ＝10 u 和 u ＝2 x ＋3的复合函数，则y' x ＝y' u ·u' x ＝102 x＋3×（ln 10）×2＝（2ln 10）102 x＋3.
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（2） y ＝ sin （－2 x ＋ ）；
解：原函数可以看作 y ＝ sin u 和 u ＝－2 x ＋ 的复合函
数，则y' x ＝y' u ·u' x ＝ cos u ·（－2）＝－2 cos （－2 x ＋ ）
＝－2 cos （2 x － ）.
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（3） y ＝－2e3 x sin 2 x .
解：原函数可以看作 y ＝－2 u （ x ）· v （ x ），其中 u
（ x ）可以看作 u ＝e m 和 m ＝3 x 的复合函数， v （ x ）可以
看作 v ＝ sin p 和 p ＝2 x 的复合函数，则y'＝－2（3e3 x sin 2 x
＋2e3 x cos 2 x ）＝－2e3 x （3 sin 2 x ＋2 cos 2 x ）.
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11. （2024·湖州期末）曲线 f （ x ）＝e－2 x ＋1在点（0，2）处的切线
与直线 y ＝0和 y ＝ x 围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D. 1
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解析：依题意得f'（ x ）＝e－2 x ·（－2）＝
－2e－2 x ，f'（0）＝－2e－2×0＝－2.所以曲线
f （ x ）＝e－2 x ＋1在点（0，2）处的切线方程
是 y －2＝－2 x ，即 y ＝－2 x ＋2.在平面直角
坐标系中作出直线 y ＝－2 x ＋2， y ＝0与 y ＝ x 的图象，如图所示.因为直线 y ＝－2 x ＋2与 y ＝ x 的交点坐标是（ ， ），直线 y ＝－2 x ＋2与 x 轴的交点坐标是（1，0），所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ .
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12. （多选）设函数 f （ x ）＝ cos （ x ＋φ）（0＜φ＜2π），若 f
（ x ）＋f'（ x ）是奇函数，则φ的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
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解析： f'（ x ）＝－ sin （ x ＋φ）， f （ x ）＋f'（ x ）＝
cos （ x ＋φ）－ sin （ x ＋φ）＝2 sin （ x ＋φ＋ ）.
若 f （ x ）＋f'（ x ）为奇函数，则 f （0）＋f'（0）＝0，即0＝2 sin
，因此φ＋ ＝ k π（ k ∈Z）.又因为φ∈（0，2π），所
以φ＝ 或φ＝ .
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13. 已知点 P 在曲线 y ＝ 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，
则α的取值范围为 .
解析：因为 y ＝ ，所以y'＝ ＝ ＝ .
因为e x ＞0，所以e x ＋ ≥2（当且仅当 x ＝0时取等号），所以
y'∈[－1，0），所以tan α∈[－1，0）.又因为α∈[0，π），所
以α∈ .
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14. （1）已知 f （ x ）＝eπ x sin π x ，求f'（ x ）及f' ；
解： ∵ f （ x ）＝eπ x sin π x ，
∴f'（ x ）＝πeπ x sin π x ＋πeπ x cos π x
＝πeπ x （ sin π x ＋ cos π x ）.
∴f' ＝π ＝π .
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（2）在曲线 g （ x ）＝ 上求一点，使过该点的切线平行于 x
轴，并求切线方程.
解： 设切点坐标为 P （ x0， y0），
由题意可知g'（ x0）＝0.又g'（ x ）＝ ，
∴g'（ x0）＝ ＝0.
解得 x0＝0，此时 y0＝1.
即该点的坐标为 P （0，1），切线方程为 y －1＝0.
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15. （2024·温州质检）对于三次函数 y ＝ f （ x ）＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d
（ a ≠0），给出定义：设f'（ x ）是函数 y ＝ f （ x ）的导数， f ″
（ x ）是f'（ x ）的导数，若方程 f ″（ x ）＝0有实数解 x0，则称点
（ x0， f （ x0））为函数 y ＝ f （ x ）的“拐点”.某同学经过探究
发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中
心.请你根据这一发现判断函数 f （ x ）＝ x3－ x2＋3 x － 的对
称中心为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 依题意，得f'（ x ）＝ x2－ x ＋3，∴ f ″（ x ）＝2 x －1，
由 f ″（ x ）＝0，即2 x －1＝0，得 x ＝ ，又 f ＝1，∴函数 f
（ x ）＝ x3－ x2＋3 x － 的对称中心为 .故选A.
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16. 已知点 P 在曲线 y ＝ln（2 x －1）上运动.
问：点 P 运动到何位置时到直线 l ：2 x － y ＋3＝0的距离最短？并
求此最短距离.
解：作出直线 l ：2 x － y ＋3＝0和曲线 y ＝ln（2 x －1）的图象
（图略），可知它们无公共点，所以平移直线 l ，当 l 与曲线相切
时，切点到直线 l 的距离就是曲线上的点到直线 l 的最短距离，
y'＝ （2 x －1）'＝ .
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设切点为 P （ x0， y0），
所以 ＝2，所以 x0＝1，
所以 y0＝ln（2×1－1）＝0， P （1，0）.
所以曲线 y ＝ln（2 x －1）上的点到直线 l ：2 x － y ＋3＝0的最短
距离为 P （1，0）到直线 l ：2 x － y ＋3＝0的距离，最短距离 d ＝
＝ ＝ .
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谢 谢 观 看！
