(共57张PPT)
5.1.2
导数的概念及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时
变化率的数学表达 数学抽象
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、
直观想象
3.会求简单函数的导函数，根据导数的几何意义，
会求曲线上某点处的切线方程 数学运算、
直观想象
第1课时 导数的概念
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为 s ＝8＋3 t2，
其中 s 表示位移， t 表示时间，知道
它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
【问题】 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学
意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上
称为什么？
知识点一 函数的平均变化率
对于函数 y ＝ f （ x ），设自变量 x 从 x0变化到 x0＋Δ x ，相应地，函
数值 y 就从 f （ x0）变化到 f （ x0＋Δ x ）.这时， x 的变化量为Δ x ， y 的
变化量为Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）.我们把比值 ，即
＝ 叫做函数 y ＝ f （ x ）从 x0到 x0＋Δ x 的平均
变化率.
提醒 的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之
比，它的意义是刻画函数的函数值在某区间上的平均变化情况.
知识点二 导数的概念
1. 定义：如果当Δ x →0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的
值，即 有 ，则称 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处 ，并把
这个确定的值叫做 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数（也称为瞬时变化
率）.
2. 写法：记作f'（ x0）或y' ，即f'（ x0）＝ ＝
.
极限
可导
提醒 对导数概念的再理解：①函数应在点 x0的附近有定义，否则
导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0及其附近的函数值有关，与Δ x 无关；③导数的实质是一个极
限值.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在 x ＝ x0处的导数反映了函数在区间[ x0， x0＋Δ x ]上变
化的快慢程度. （ × ）
（2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数值与Δ x 的正、负无关.
（ √ ）
（3）设 x ＝ x0＋Δ x ，则Δ x ＝ x － x0，则Δ x 趋近于0时， x 趋近于x0，
因此，f'（ x0）＝ ＝ . （ √ ）
×
√
√
2. 设函数 y ＝ f （ x ）＝ x2－1，当自变量 x 由1变为1.1时，函数的平均
变化率为（ ）
A. 2.1 B. 1.1
C. 2 D. 0
解析： ＝ ＝ ＝2.1.
3. 设 f （ x ）＝2 x ＋1，则f'（1）＝ .
解析：f'（1）＝
＝ ＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数 h （ x ）＝－4.9 x2＋6.5 x ＋10.
（1）计算从 x ＝1到 x ＝1＋Δ x 的平均变化率，其中Δ x 的值为①2；
②1；③0.1；④0.01；
解：∵Δ y ＝ h （1＋Δ x ）－ h （1）＝－4.9（Δ x ）2－3.3Δ x ，
∴ ＝－4.9Δ x －3.3.
①当Δ x ＝2时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－13.1；
②当Δ x ＝1时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－8.2；
③当Δ x ＝0.1时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－3.79；
④当Δ x ＝0.01时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－3.349.
（2）根据（1）中的计算，当Δ x 越来越小时，函数 h （ x ）在区间
[1，1＋Δ x ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解： 当Δ x 越来越小时，函数 h （ x ）在区间[1，1＋Δ x ]上
的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
通性通法
求函数平均变化率的三个步骤
（1）求自变量的改变量Δ x ＝ x2－ x1；
（2）求函数值的改变量Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）；
（3）求平均变化率 ＝ .
【跟踪训练】
（多选）（2024·青岛月考）已知函数 f （ x ）的图象如图，则函数
f （ x ）在区间[1，7]上的平均变化率情况是（ ）
A. 在区间[1，2]上的平均变化率最小
B. 在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C. 在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D. 在区间[4，7]上的平均变化率最大
解析： 函数 f （ x ）在区间上的平均变化率为 ，由函数图象可
得，在区间[4，7]上， ＜0，即函数 f （ x ）在区间[4，7]上的平均
变化率小于0，即选项D错误；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，
＞0且Δ x 相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的 最大，故选项
A错误，B、C正确.
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】 求函数 y ＝ x － 在 x ＝1处的导数.
解：因为Δ y ＝（1＋Δ x ）－ －（1－ ）＝Δ x ＋ ，所以 ＝
＝1＋ ，
所以 ＝ （1＋ ）＝2，
所以y'｜ x＝1＝2，即函数 y ＝ x － 在 x ＝1处的导数为2.
通性通法
求函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数的步骤
（1）求函数值的变化量Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）；
（2）求平均变化率 ＝ ；
（3）取极限，得导数f'（ x0）＝ .
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ 在 x ＝1处的导数为 .
解析：∵Δ y ＝ －1， ＝ ＝ ，
＝ ，∴y'｜ x＝1＝ .
2. （2024·开封月考）设函数 f （ x ）在 x ＝1处的导数为2，则
＝ .
解析：根据导数定义可知， ＝
＝ ×2＝ .
题型三 导数在实际问题中的意义
【例3】 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润 c （单位：万
元）与产量 x （单位：千台）之间的关系式为 c （ x ）＝－2 x2＋7 x ＋
6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义.
解：根据导数的定义，
＝ ＝ ＝－2Δ x ＋3，
所以c'（1）＝ ＝ （－2Δ x ＋3）＝3，
同理可得c'（2）＝－1.
c'（1）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c'（2）的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
通性通法
认识瞬时变化率的关键点
（1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限；
（2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）反映了函数在 x ＝ x0处
的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.
【跟踪训练】
一只昆虫爬行的位移 s （单位：米）是关于时间 t （单位：分）的函
数： s ＝求s'（1）与s'（4），并解释它们
的实际意义.
解：当0≤ t ＜3时， s （ t ）＝3 t2，
＝ ＝ ＝6＋3Δ t ，
∴s'（1）＝ ＝ （6＋3Δ t ）＝6.
当 t ≥3时， s （ t ）＝15＋3（ t －1）2，
＝
＝ ＝18＋3Δ t ，
∴s'（4）＝ ＝ （18＋3Δ t ）＝18.
s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，
s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
1. 如图，函数 y ＝ f （ x ）在[1，3]上的平均变化率为（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： ＝ ＝ ＝－1.
2. （2024·深圳月考）已知函数 f （ x ）可导，且满足
＝2，则函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝3处的导数为
（ ）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
解析： 由题意，知f'（3）＝ ＝－2，
故选B.
3. （2024·三明月考）设函数 f （ x ）＝ ax ＋3，若f'（1）＝3，则 a
＝ .
解析：∵f'（1）＝
＝ ＝ a ，又f'（1）＝3，∴ a ＝3.
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4. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高
点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h （单位：m）与时间 t （单位：
s）之间的关系式为 h （ t ）＝－4.9 t2＋14.7 t ，求烟花在 t ＝1 s时
的瞬时速度.
解：烟花在 t ＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为 ＝ ＝4.9－4.9Δ t ，
所以h'（1）＝ ＝ （4.9－4.9Δ t ）＝4.9.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ x2－1在区间[1， m ]（ m ＞1）上的平均变化率为
3，则实数 m 的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
解析： 由已知得 ＝3，所以 m ＋1＝3，所以 m ＝2.
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2. 已知 f （ x ）＝ x3，则f'（0）＝（ ）
A. －1 B. 1 C. D. 0
解析： f'（0）＝ ＝ ＝
（Δ x ）2＝0.
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3. （2024·深圳月考）已知函数 y ＝ f （ x ）＝ ，且f'（ m ）＝－ ，
则 m 的值为（ ）
A. －4 B. 2
C. －2 D. ±2
解析： ∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴f'（ m ）＝ ＝－ ，∴－ ＝－ ， m2＝4，
解得 m ＝±2.
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4. 若可导函数 f （ x ）的图象过原点，且满足 ＝－1，则
f'（0）＝（ ）
A. －2 B. 2 C. －1 D. 1
解析： ∵ f （ x ）图象过原点，∴ f （0）＝0，∴f'（0）＝
＝ ＝－1，故选C.
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5. （多选）已知函数 y ＝ f （ x ），下列说法正确的是（ ）
A. Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）叫做函数值的增量
B. ＝ 叫做函数在[ x0， x0＋Δ x ]上的平均变化率
C. y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数记为y'
D. y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数记为f'（ x0）
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解析： A中，Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）叫做函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；B中， ＝ 叫做函数 f （ x ）在 x0到 x0＋Δ x 之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数记为f'（ x0）或y' ，故C错误，D正确.故选A、B、D.
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6. （多选）（2024·东营月考）已知函数 f （ x ）和 g （ x ）在区间
[ a ， b ]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A. f （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率等于 g （ x ）
在[ a ， b ]上的平均变化率
B. f （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率小于 g （ x ）
在[ a ， b ]上的平均变化率
C. 对于任意 x0∈（ a ， b ），函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率总大于函数 g （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率
D. 存在 x0∈（ a ， b ），使得函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率小于函数 g （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率
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解析：对于A、B，∵ f （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率是 ， g （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率是 ，由题图可知， f （ b ）＝ g （ b ）， f （ a ）＝ g （ a ），∴ ＝ ，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数 f （ x ）（ g （ x ））在 x ＝ x0处的瞬时变化率即为函数 f （ x ）（ g （ x ））在 x ＝ x0处的导数，即函数 f （ x ）（ g （ x ））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D.
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7. 函数 y ＝ f （ x ）＝ x2＋2 c （ c ∈R）在区间[1，3]上的平均变化率
为 .
解析：函数 y ＝ f （ x ）＝ x2＋2 c （ c ∈R）在区间[1，3]上的平均
变化率为 ＝ ＝ ＝4.
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8. （2024·三门峡月考）已知函数 y ＝ f （ x ）＝2 x2＋1在 x ＝ x0处的瞬
时变化率为－8，则 f （ x0）＝ .
解析：由题知－8＝ ＝ ＝4
x0，得 x0＝－2，所以 f （ x0）＝2×（－2）2＋1＝9.
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9. 函数 y ＝2 x2＋4 x 在 x ＝3处的导数是 .
解析：Δ y ＝2（3＋Δ x ）2＋4（3＋Δ x ）－（2×32＋4×3）＝12Δ x
＋2（Δ x ）2＋4Δ x ＝2（Δ x ）2＋16Δ x ，∴ ＝ ＝
2Δ x ＋16.∴y'｜ x＝3＝ ＝ （2Δ x ＋16）＝16.
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10. 一条水管中流过的水量 y （单位：m3）与时间 t （单位：s）之间
的函数关系为 y ＝ f （ t ）＝3 t .求函数 y ＝ f （ t ）在 t ＝2时的导数
f'（2），并解释它的实际意义.
解：因为 ＝ ＝ ＝3，所以f'（2）＝
＝3.
f'（2）的实际意义：水流在 t ＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
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11. （2024·泉州月考）如图，函数 y ＝ f （ x ）在下列几个区间内，平
均变化率最大的一个区间是（ ）
A. [ x1， x2] B. [ x2， x3]
C. [ x1， x3] D. [ x3， x4]
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解析： 由平均变化率的定义可知，函数 y ＝ f （ x ）在区间
[ x1， x2]，[ x2， x3]，[ x1， x3]，[ x3， x4]上平均变化率分别为
， ， ，
，结合题图可以发现函数 y ＝ f （ x ）的平均变化率
最大的一个区间是[ x3， x4].
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12. （多选）对于函数 f （ x ），若f'（ x0）＝2，则当 h 无限趋近于0
时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A. B.
C. D.
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解析：因为 ＝f'（ x0）＝2，故A正确；因为 ＝f'（ x0）＝2，故B正确；
因为 ＝2f'（ x0）＝4，故C错误；
因为 ＝f'（ x0）＝2，故D正确.故选A、B、D.
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13. 如图，函数 f （ x ）的图象是折线段 ABC ，其中 A ， B ， C 的坐标
分别为（0，4），（2，0），（6，4），则 f （ f （0））
＝ ； ＝ .（用数字作答）
2
－2
解析：由于 f （0）＝4， f （4）＝2，所以 f （ f （0））＝2.易求得直线 AB 的方程为 y ＝－2 x ＋4，所以 ＝ ＝－2.
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14. 建造一栋底面积为 x m2的房屋需要成本 y 万元， y 是 x 的函数， y
＝ f （ x ）＝ ＋ ＋0.3，求f'（100），并解释它的实际意义.
解：根据导数的定义，得f'（100）＝
＝
＝
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＝ （ ＋ ）
＝ ［ ＋ ］
＝ ＋ ＝0.105.
f'（100）＝0.105表示当建筑房屋底面积为100 m2时，成本增加的
速度为1 050元/m2.
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15. （2024·杭州月考）已知二次函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c 的导数为f'
（ x ），已知f'（0）＞0，且对于任意实数 x ，有 f （ x ）≥0，则
的最小值为 .
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解析：由导数的定义，得f'（0）＝ ＝
＝ [ a ·（Δ x ）＋ b ]＝ b ＞0.又
∴ ac ≥ ，∴ c ＞0.∴ ＝ ≥
≥ ＝2，当且仅当 a ＝ c ＝ 时等号成立.
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16. 设 f （ x ）在R上可导，求 f （－ x ）在 x ＝ a 处的导数与 f （ x ）在 x
＝－ a 处的导数之间的关系.
解：设 f （－ x ）＝ g （ x ），则 f （－ x ）在 x ＝ a 处的导数为g'
（ a ），于是g'（ a ）＝ ＝ .
而f'（－ a ）＝ ，令 x ＝－ t ，则当 x →－ a 时，
t → a ，所以f'（－ a ）＝ ＝－
＝－g'（ a ）.这说明 f （－ x ）在 x ＝ a 处的导数与 f （ x ）在 x
＝－ a 处的导数互为相反数.
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谢 谢 观 看！第1课时 导数的概念
1.函数f（x）＝x2－1在区间[1，m]（m＞1）上的平均变化率为3，则实数m的值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.4
2.已知f（x）＝x3，则f'（0）＝（ ）
A.－1 B.1 C. D.0
3.（2024·深圳月考）已知函数y＝f（x）＝，且f'（m）＝－，则m的值为（ ）
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
4.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足＝－1，则f'（0）＝（ ）
A.－2 B.2 C.－1 D.1
5.（多选）已知函数y＝f（x），下列说法正确的是（ ）
A.Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的增量
B.＝叫做函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率
C.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为y'
D.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）
6.（多选）（2024·东营月考）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A.f（x）在[a，b]上的平均变化率等于g（x）在[a，b]上的平均变化率
B.f（x）在[a，b]上的平均变化率小于g（x）在[a，b]上的平均变化率
C.对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
7.函数y＝f（x）＝x2＋2c（c∈R）在区间[1，3]上的平均变化率为 .
8.（2024·三门峡月考）已知函数y＝f（x）＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f（x0）＝ .
9.函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数是 .
10.一条水管中流过的水量y（单位：m3）与时间t（单位：s）之间的函数关系为y＝f（t）＝3t.求函数y＝f（t）在t＝2时的导数f'（2），并解释它的实际意义.
11.（2024·泉州月考）如图，函数y＝f（x）在下列几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）
A.[x1，x2] B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4]
12.（多选）对于函数f（x），若f'（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A. B.
C. D.
13.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝ ；＝ .（用数字作答）
14.建造一栋底面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f（x）＝＋＋0.3，求f'（100），并解释它的实际意义.
15.（2024·杭州月考）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），已知f'（0）＞0，且对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为 .
16.设f（x）在R上可导，求f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数之间的关系.
第1课时 导数的概念
1.B 由已知得＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2.
2.D f'（0）＝＝＝（Δx）2＝0.
3.D ∵＝＝＝，∴f'（m）＝＝－，∴－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
4.C ∵f（x）图象过原点，∴f（0）＝0，∴f'（0）＝＝＝－1，故选C.
5.ABD A中，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；B中，＝叫做函数f（x）在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）或y'，故C错误，D正确.故选A、B、D.
6.AD 对于A、B，∵f（x）在[a，b]上的平均变化率是，g（x）在[a，b]上的平均变化率是，由题图可知，f（b）＝g（b），f（a）＝g（a），∴＝，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数f（x）（g（x））在x＝x0处的瞬时变化率即为函数f（x）（g（x））在x＝x0处的导数，即函数f（x）（g（x））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D.
7.4 解析：函数y＝f（x）＝x2＋2c（c∈R）在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝＝4.
8.9 解析：由题知－8＝＝＝4x0，得x0＝－2，所以f（x0）＝2×（－2）2＋1＝9.
9.16 解析：Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）＝12Δx＋2（Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，∴＝＝2Δx＋16.∴y'｜x＝3＝＝（2Δx＋16）＝16.
10.解：因为＝＝＝3，
所以f'（2）＝＝3.
f'（2）的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
11.D 由平均变化率的定义可知，函数y＝f（x）在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，，结合题图可以发现函数y＝f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
12.ABD 因为＝f'（x0）＝2，故A正确；因为
＝f'（x0）＝2，故B正确；因为＝2f'（x0）＝4，故C错误；因为＝f'（x0）＝2，故D正确.故选A、B、D.
13.2 －2 解析：由于f（0）＝4，f（4）＝2，所以f（f（0））＝2.易求得直线AB的方程为y＝－2x＋4，所以＝（－）＝－2.
14.解：根据导数的定义，得f'（100）＝＝＝
＝（＋）＝［＋］
＝＋＝0.105.
f'（100）＝0.105表示当建筑房屋底面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.
15.2 解析：由导数的定义，得f'（0）＝＝
＝[a·（Δx）＋b]＝b＞0.又∴ac≥，∴c＞0.∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时等号成立.
16.解：设f（－x）＝g（x），则f（－x）在x＝a处的导数为g'（a），于是g'（a）＝
＝.
而f'（－a）＝，
令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
所以f'（－a）＝＝－＝－g'（a）.
这说明f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数互为相反数.
2 / 25.1.2 导数的概念及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达 数学抽象
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、直观想象
3.会求简单函数的导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 数学运算、直观想象
第1课时 导数的概念
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
【问题】 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
知识点一 函数的平均变化率
对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率.
提醒 的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比，它的意义是刻画函数的函数值在某区间上的平均变化情况.
知识点二 导数的概念
1.定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有 ，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）.
2.写法：记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝.
提醒 对导数概念的再理解：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.（ ）
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.（ ）
（3）设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，则Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f'（x0）＝＝ .（ ）
2.设函数y＝f（x）＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（ ）
A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
3.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝ .
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10.
（1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；
（2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
通性通法
求函数平均变化率的三个步骤
（1）求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
（2）求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）；
（3）求平均变化率＝.
【跟踪训练】（多选）（2024·青岛月考）已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间[1，7]上的平均变化率情况是（ ）
A.在区间[1，2]上的平均变化率最小
B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D.在区间[4，7]上的平均变化率最大
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】 求函数y＝x－在x＝1处的导数.
通性通法
求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化率＝；
（3）取极限，得导数f'（x0）＝.
【跟踪训练】
1.函数y＝在x＝1处的导数为 .
2.（2024·开封月考）设函数f（x）在x＝1处的导数为2，则＝ .
题型三 导数在实际问题中的意义
【例3】 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义.
通性通法
认识瞬时变化率的关键点
（1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限；
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.
【跟踪训练】
一只昆虫爬行的位移s（单位：米）是关于时间t（单位：分）的函数：s＝求s'（1）与s'（4），并解释它们的实际意义.
1.如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
2.（2024·深圳月考）已知函数f（x）可导，且满足＝2，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（ ）
A.－1 B.－2 C.1 D.2
3.（2024·三明月考）设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝ .
4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，求烟花在t＝1 s时的瞬时速度.
第1课时 导数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
知识点二
1.极限 可导
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.A ＝＝＝2.1.
3.2 解析：f'（1）＝
＝＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
（2）当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
跟踪训练
BC 函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，＜0，即函数f（x）在区间[4，7]上的平均变化率小于0，即选项D错误；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大，故选项A错误，B、C正确.
【例2】 解：因为Δy＝（1＋Δx）－－（1－）＝Δx＋，所以＝＝1＋，
所以＝（1＋）＝2，
所以y'｜x＝1＝2，即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
跟踪训练
1. 解析：∵Δy＝－1，＝＝，＝，∴y'｜x＝1＝.
2. 解析：根据导数定义可知，
＝
＝×2＝.
【例3】 解：根据导数的定义，
＝＝
＝－2Δx＋3，
所以c'（1）＝＝（－2Δx＋3）＝3，
同理可得c'（2）＝－1.
c'（1）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c'（2）的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
跟踪训练
解：当0≤t＜3时，s（t）＝3t2，
＝
＝＝6＋3Δt，
∴s'（1）＝＝（6＋3Δt）＝6.
当t≥3时，s（t）＝15＋3（t－1）2，
＝
＝
＝18＋3Δt，
∴s'（4）＝＝（18＋3Δt）＝18.
s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，
s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
随堂检测
1.B ＝＝＝－1.
2.B 由题意，知f'（3）＝＝－2，故选B.
3.3 解析：∵f'（1）＝
＝＝a，又f'（1）＝3，∴a＝3.
4.解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为＝＝4.9－4.9Δt，
所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9.
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