(共56张PPT)
第2课时 导数的几何意义
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该
物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体
的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过 A ， B 两点的，则物体在
A 点处的瞬时速度的方向与向量 v 的方向相同.
【问题】 如果设曲线的方程为 y ＝ f （ x ），
A （ x0， f （ x0）），那么曲线在点 A 处的切线的斜率是什么？
知识点一 导数的几何意义
1. 切线的定义
如图，在曲线 y ＝ f （ x ）上任取一点 P （ x ，
f （ x ）），如果当点 P （ x ， f （ x ））沿着曲线 y ＝ f （ x ）无限趋近于点 P0（ x0， f （ x0））时，割线 P0 P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P0 T 称为曲线 y ＝ f （ x ）在点 P0处的切线.
2. 导数的几何意义
函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）就是切线 P0 T 的斜率 k0，
即 k0＝ ＝f'（ x0）.
【想一想】
若函数 y ＝ f （ x ）在点 x0处的导数存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点 P
（ x0， f （ x0））处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y － f （ x0）＝f'（ x0）
（ x － x0）.
知识点二 导函数（导数）
1. 定义：当 x 变化时， y ＝ 就是 x 的函数，我们称它为 y ＝
f （ x ）的导函数（简称导数）.
2. 记法： y ＝ f （ x ）的导函数记作f'（ x ）（有时也记作y'），即f'
（ x ）＝y'＝ .
f'（ x ）
提醒 函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）、导函数f'（ x ）之间
的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（ x0）是在 x ＝ x0处函数值的改变
量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'
（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，是对某一区间内任意 x 而言的；②
联系：函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）就是导函数f'（ x ）在 x
＝ x0处的函数值.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）是一个常数. （ √ ）
（2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数值就是曲线 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0处的切线的斜率. （ √ ）
（3）直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.
（ × ）
√
√
×
2. （2024·平顶山月考）曲线 C ： y ＝ x2在 x ＝1处的切线方程为
.
解析：把 x ＝1代入 y ＝ x2得 y ＝12＝1，即切点 P （1，1），y'｜ x＝1
＝ ＝ ＝ （Δ x ＋2）＝2，所以 k ＝
y'｜ x＝1＝2，所以曲线 y ＝ x2在 P （1，1）处的切线方程为 y －1＝2
（ x －1），即2 x － y －1＝0.
2 x
－ y －1＝0
3. 已知 y ＝ ，则y'＝ .
解析：∵Δ y ＝ － ，∴ ＝ ，∴ ＝
＝ ＝ ＝
，即y'＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求切线的方程
【例1】 已知函数 y ＝ f （ x ）＝ x3.
（1）求曲线 y ＝ f （ x ）在点（－1，－1）处的切线方程；
解：因为f'（ x ）＝ ＝ ＝ [3 x2＋3 x Δ x ＋（Δ x ）
2]＝3 x2，所以曲线 y ＝ f （ x ）在点（－1，－1）处的切线的斜率为 k ＝f'（－1）＝3，所以切线方程为 y ＋1＝3（ x ＋1），即3 x － y ＋2＝0.
（2）求曲线 y ＝ f （ x ）过点 E （2，0）的切线方程.
解：设切点坐标为（ x0， ），则切线的斜率为 k ＝f'（ x0）
＝3 ，所以切线方程为 y － ＝3 （ x － x0）.
将点 E （2，0）的坐标代入切线方程，得－ ＝3 （2－ x0），
则2 （ x0－3）＝0，解得 x0＝0或 x0＝3，
所以切线方程为 y ＝0或27 x － y －54＝0.
通性通法
求过点 P （ x0， y0）的曲线 y ＝ f （ x ）的切线方程的策略
（1）当点 P （ x0， y0）是切点时，切线方程为 y － y0＝f'（ x0）（ x － x0）；
（2）当点 P （ x0， y0）不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'（ x1， f （ x1））；
第二步：写出过点P'（ x1， f （ x1））的切线方程 y － f （ x1）＝f'
（ x1）（ x － x1）；
第三步：将点 P 的坐标（ x0， y0）代入切线方程求出 x1；
第四步：将 x1的值代入方程 y － f （ x1）＝f'（ x1）·（ x － x1）可
得过点 P （ x0， y0）的切线方程.
【跟踪训练】
求曲线 y ＝ 在点 处的切线方程.
解：曲线在点 处的切线的斜率为
k ＝ ＝ ＝－ ，
由直线的点斜式方程可得切线方程为 y － ＝－ （ x －2），
即 x ＋4 y －4＝0.
题型二 求切点坐标或参数值
【例2】 （1）（2024·烟台月考）已知抛物线 y ＝ f （ x ）＝2 x2＋1在
某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为 ；
解析：设切点坐标为（ x0， y0），则Δ y ＝[2（ x0＋Δ x ）2＋1]－（2 ＋1）＝4 x0·Δ x ＋2（Δ x ）2，∴ ＝4 x0＋2Δ x ，
∴f'（ x0）＝ ＝4 x0.又∵切线的斜率为 k ＝tan 45°＝1，
∴4 x0＝1，即 x0＝ .∴ y0＝2× ＋1＝ ，∴切点坐标为 .
（2）已知直线 x ＋ y ＝ b 是函数 f （ x ）＝ ax ＋ 的图象在点（1， m ）
处的切线，则 a ＋ b ＝ ， m ＝ .
解析：由题意知 m ＝ a ＋2，1＋ m ＝ b ，∵f'（1）＝
＝ （ a － ）＝ a －2，
∴曲线 f （ x ）在点（1， m ）处的切线斜率为 a －2，
由 a －2＝－1，得 a ＝1， m ＝3， b ＝4， a ＋ b ＝5.
5
3
通性通法
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由
这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时
要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，
垂直等.
【跟踪训练】
已知曲线 f （ x ）＝ x2－1在 x ＝ x0处的切线与曲线 g （ x ）＝1－ x3在
x ＝ x0处的切线互相平行，求 x0.
解：对于曲线 f （ x ）＝ x2－1，
k1＝ ＝
＝ （2 x0＋Δ x ）＝2 x0.
对于曲线 g （ x ）＝1－ x3，
k2＝
＝
＝ [－3 x0Δ x －3 －（Δ x ）2]＝－3 .
由 k1＝ k2，得2 x0＝－3 ，∴ x0＝0或 x0＝－ .
题型三 与导数的几何意义有关的图象问题
【例3】 （1）已知 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，则f'（ xA ）与f'
（ xB ）的大小关系是（ ）
A. f'（ xA ）＞f'（ xB ） B. f'（ xA ）＜f'（ xB ）
C. f'（ xA ）＝f'（ xB ） D. 不能确定
解析：由导数的几何意义，f'（ xA ），f'（ xB ）分别是切线
在点 A ， B 处切线的斜率，由题图可知f'（ xA ）＜f'（ xB ）.
（2）（2024·舟山月考）若函数 f （ x ）的导函数在区间[ a ， b ]上单
调递增，则函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象可能是（ ）
解析：函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）在[ a ， b ]上单调递增，
若对任意 x1和 x2满足 a ＜ x1＜ x2＜ b ，则有f'（ a ）＜f'（ x1）＜f'
（ x2）＜f'（ b ），根据导数的几何意义，可知函数 y ＝ f （ x ）
的切线斜率在[ a ， b ]内单调递增，观察图象，只有A选项符合.
通性通法
函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在 x
＝ x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图
象，观察函数 y ＝ f （ x ）在这两点处对应切线的斜率的大小.
【跟踪训练】
（2024·汕头月考）已知函数 f （ x ）在R上可导，其部分图象如图所
示，设 ＝ a ，则下列不等式正确的是（ ）
A. f'（1）＜f'（2）＜ a
B. f'（1）＜ a ＜f'（2）
C. f'（2）＜f'（1）＜ a
D. a ＜f'（1）＜f'（2）
解析： 由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长速度越来越快，
故函数图象在点（ x0， f （ x0））（ x0∈（0，＋∞））的切线的斜率
越来越大，∵ ＝ a ，∴f'（1）＜ a ＜f'（2），故选B.
1. 若曲线 y ＝ h （ x ）在点 P （ a ， h （ a ））处的切线方程为2 x ＋ y
＋1＝0，则（ ）
A. h'（ a ）＝0 B. h'（ a ）＜0
C. h'（ a ）＞0 D. h'（ a ）不存在
解析： 由2 x ＋ y ＋1＝0，得 y ＝－2 x －1，由导数的几何意义可
知h'（ a ）＝－2＜0.
2. 如图，点 A （ x1， f （ x1））， B （ x2， f （ x2））在函数 f （ x ）的
图象上，且 x2＜ x1，则f'（ x1）与f'（ x2）的大小关系是（ ）
A. f'（ x1）＞f'（ x2） B. f'（ x1）＜f'（ x2）
C. f'（ x1）＝f'（ x2） D. 不能确定
解析： 如图，根据导数的几何意义，f'（ x1）
为曲线 f （ x ）在点 A 处切线的斜率，设该斜率为
k1，f'（ x2）为曲线 f （ x ）在点 B 处切线的斜率，
设该斜率为 k2，由图象可得0＞ k1＞ k2，即有f'
（ x1）＞f'（ x2）.
3. （2024·南平月考）已知函数 y ＝ f （ x ）的图象在点 M （1， f
（1））处的切线方程是 y ＝ x ＋2，则 f （1）＋f'（1）＝ .
解析：由图象在 M 点处的切线方程是 y ＝ x ＋2，得 f （1）＝ ×1
＋2＝ ，f'（1）＝ .∴ f （1）＋f'（1）＝ ＋ ＝3.
3
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若曲线 y ＝ f （ x ）在其上一点（1，3）处的切线过点（0，2），则
（ ）
A. f'（1）＞0 B. f'（1）＝0
C. f'（1）＜0 D. f'（1）不存在
解析： 由题意知切线过点（1，3），（0，2），所以切线的斜
率为 k ＝f'（1）＝ ＝1＞0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. （2024·泰安月考）已知函数 f （ x ）在R上有导函数， f （ x ）图象
如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A. f'（ a ）＜f'（ b ）＜f'（ c ）
B. f'（ b ）＜f'（ c ）＜f'（ a ）
C. f'（ a ）＜f'（ c ）＜f'（ b ）
D. f'（ c ）＜f'（ a ）＜f'（ b ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 如图，分别作曲线在 x ＝ a ， x ＝ b ，
x ＝ c 三处的切线 l1， l2， l3，设切线的斜率分别为 k1， k2， k3，易知 k1＜ k2＜ k3，又f'（ a ）＝ k1，f'（ b ）＝ k2，f'（ c ）＝ k3，所以f'（ a ）＜f'（ b ）＜f'（ c ）.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 函数 y ＝ f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象如图所示，则在 y ＝ f （ x ）的图象上 A ， B 的对应点附近，有（ ）
A. A 处下降， B 处上升 B. A 处上升， B 处下降
C. A 处下降， B 处下降 D. A 处上升， B 处上升
解析： 因为所给图象为导函数f'（ x ）的图象，且在 A 点处f'
（ x ）＜0， B 点处f'（ x ）＞0，故原函数图象上 A 处下降， B
处上升.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. （2024·安阳月考）已知函数 f （ x ）＝ ax2＋ b 的图象在点（1，3）
处的切线斜率为2，则 ＝（ ）
A. 1 B. 2
解析： ∵f'（1）＝2，又 ＝
＝ （ a Δ x ＋2 a ）＝2 a ，∴2 a ＝2，∴ a ＝
1.又 f （1）＝ a ＋ b ＝3，∴ b ＝2，∴ ＝2.
C. 3 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）曲线 y ＝ 在点 P 处的切线的倾斜角为 ，则点 P 的坐标
可能为（ ）
A. （3，3） B. （－3，－3）
C. （9，1） D. （1，9）
解析：由导数定义得y'＝ ＝ ［－ ］＝－ ，设 P （ x0， y0），则由导数的几何意义可得－ ＝tan ＝－1，解得 x0＝±3，从而 y0＝±3，即点 P 的坐标为（3，3）或（－3，－3）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若f'（ x0）不存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处也可能有切线
B. 若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处有切线，则f'（ x0）必存在
C. 若f'（ x0）不存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切线斜率不存在
D. 若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处没有切线，则f'（ x0）有可能存在
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： k ＝f'（ x0），所以f'（ x0）不存在只能说明曲线在该点
处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，
其切线方程是 x ＝ x0，A、C正确；当曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f
（ x0））处没有切线，f'（ x0）一定不存在，D错误，故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图，直线 l 是曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝4处的切线，则f'（4）
＝ .
解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝4处
的切线的斜率 k ，注意到 k ＝ ＝ ，所以f'（4）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 过点 P （－1，2）且与曲线 y ＝3 x2－4 x ＋2在点 M （1，1）处的切
线平行的直线方程是 .
解析：由题意知，Δ y ＝3（1＋Δ x ）2－4（1＋Δ x ）＋2－3＋4－2
＝3（Δ x ）2＋2Δ x .∴y'｜ x＝1＝ ＝2，∴所求直线的斜率 k
＝2.故所求直线方程为 y －2＝2（ x ＋1），即2 x － y ＋4＝0.
2 x － y ＋4＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 曲线 y ＝ x ＋ 上任意一点 P 处的切线斜率为 k ，则 k 的取值范围
是 .
解析： y ＝ x ＋ 上任意一点 P （ x0， y0）处的切线斜率为 k ＝y'
＝
＝ （1－ ）＝1－ ＜1，即 k ＜1.
（－∞，1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知曲线 C ： y ＝ x3.
（1）求曲线在点（3，27）处的切线 l 的方程；
解： ∵y'｜ x＝3＝ ＝27，
∴曲线 C 在点（3，27）处的切线方程为
y －27＝27（ x －3），即 y ＝27 x －54.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求切线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积.
解：∵切线 l ： y ＝27 x －54与 x ， y 轴分别相交于点
（2，0），（0，－54），
∴所求三角形的面积为 S ＝ ×2×54＝54.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. （2024·阳江月考）如图，曲线 y ＝ f （ x ）在点 P （1， f （1））
处的切线 l 过点（2，0），且f'（1）＝－2，
则 f （1）＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 曲线 y ＝ f （ x ）在点 P （1， f （1））处的切线 l 过点
（2，0），且f'（1）＝－2，所以切线方程为 y ＝－2（ x －2）.因
为切点在曲线上也在切线上，所以 f （1）＝－2×（1－2）＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）设 P 为曲线 C ： y ＝ f （ x ）＝ x2＋2 x ＋3上的点，且曲线
C 在点 P 处切线的倾斜角α∈［ ， ），则点 P 的横坐标的取值
可能为（ ）
A. B. －1
C. － D. －
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 设点 P 的横坐标为 x0，则点 P 处切线的倾斜角α与 x0
的关系为tan α＝f'（ x0）＝ ＝2 x0＋
2.∵α∈［ ， ），∴tan α∈[1，＋∞），∴2 x0＋2≥1，即
x0≥－ ，故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （2024·金华月考）若 P 是抛物线 y ＝ x2上任意一点，则点 P 到直
线 y ＝ x －2的最小距离为 .
解析：由题意可得，当点 P 到直线 y ＝ x －2的距离最小时，点 P
为抛物线 y ＝ x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线 y ＝ x －
2，设 y ＝ f （ x ）＝ x2，由导数的几何意义知y'＝f'（ x ）＝
＝2 x ＝1，解得 x ＝ ，所以 P （ ， ），
故点 P 到直线 y ＝ x －2的最小距离 d ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 点 P 在曲线 y ＝ f （ x ）＝ x2＋1上，且曲线在点 P 处的切线与曲线
y ＝－2 x2－1相切，求点 P 的坐标.
解：设 P （ x0， y0），则 y0＝ ＋1，
f'（ x0）＝ ＝2 x0，
所以过点 P 的切线方程为 y － y0＝2 x0（ x － x0），即 y ＝2 x0 x ＋1
－ ，而此直线与曲线 y ＝－2 x2－1相切，所以切线与曲线 y ＝－2 x2－1只有一个公共点，由 得2 x2＋2 x0 x ＋2－ ＝0，则Δ＝4 －8（2－ ）＝0，解得 x0＝± ，则 y0＝ ，
所以点 P 的坐标为 或 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （多选）（2024·厦门月考）已知函数 f （ x ）＝ x ＋ ，若曲线 y
＝ f （ x ）存在两条过点（1，0）的切线，则 a 的值可以是
（ ）
A. －4 B. －2
C. 0 D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：由题得f'（ x ）＝ ＝
＝1－ ，设切点坐标为
（ x0， x0＋ ），则切线方程为 y － x0－ ＝（1－ ）（ x －
x0）.又切线过点（1，0），可得－ x0－ ＝（1－ ）（1－
x0），整理得2 ＋2 ax0－ a ＝0 （*）.因为曲线 y ＝ f （ x ）存
在两条过点（1，0）的切线，所以方程（*）有两个不等实根，即
满足Δ＝4 a2－8（－ a ）＞0，解得 a ＞0或 a ＜－2.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似
根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设
r 是 f （ x ）＝0的根，选取 x0作为 r 的初始近似值，
在点（ x0， f （ x0））处作曲线 y ＝ f （ x ）的切
线 l ： y － f （ x0）＝f'（ x0）（ x － x0），则 l 与
x 轴的交点的横坐标 x1＝ x0－ （f'（ x0）
≠0），称 x1是 r 的一次近似值；在点
（ x1， f （ x1））处作曲线 y ＝ f （ x ）的切线，则该切线与 x 轴的交点的横坐标为 x2，称 x2是 r 的二次近似值；重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中 xn＋1＝ xn － （f'（ xn ）≠0），称 xn＋1是 r 的 n ＋1次近似值.若使用该方法求方程 x2＝2的近似解.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；
解：令 f （ x ）＝ x2－2，则f'（ x ）
＝ ＝2 x ，
取初始近似值 x0＝2，则 x1＝ x0－ ＝2－ ＝ ， x2＝ x1－ ＝ － ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）证明： x4＝ x0－ － － － .
解：证明：根据题意，可知 x1＝ x0－ ， x2＝ x1－ ， x3＝ x2－ ， x4＝ x3－ ，上述四
式相加，得 x4＝ x0－ － － － .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！第2课时 导数的几何意义
1.若曲线y＝f（x）在其上一点（1，3）处的切线过点（0，2），则（ ）
A.f'（1）＞0 B.f'（1）＝0
C.f'（1）＜0 D.f'（1）不存在
2.（2024·泰安月考）已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A.f'（a）＜f'（b）＜f'（c） B.f'（b）＜f'（c）＜f'（a）
C.f'（a）＜f'（c）＜f'（b） D.f'（c）＜f'（a）＜f'（b）
3.函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则在y＝f（x）的图象上A，B的对应点附近，有（ ）
A.A处下降，B处上升 B.A处上升，B处下降
C.A处下降，B处下降 D.A处上升，B处上升
4.（2024·安阳月考）已知函数f（x）＝ax2＋b的图象在点（1，3）处的切线斜率为2，则＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.（多选）曲线y＝在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标可能为（ ）
A.（3，3） B.（－3，－3）
C.（9，1） D.（1，9）
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有切线
B.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在
C.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能存在
7.如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝ .
8.过点P（－1，2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是 .
9.曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是 .
10.已知曲线C：y＝x3.
（1）求曲线在点（3，27）处的切线l的方程；
（2）求切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
11.（2024·阳江月考）如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，则f（1）＝（ ）
A.－1 B.1 C.2 D.3
12.（多选）设P为曲线C：y＝f（x）＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角α∈［，），则点P的横坐标的取值可能为（ ）
A. B.－1 C.－ D.－
13.（2024·金华月考）若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 .
14.点P在曲线y＝f（x）＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
15.（多选）（2024·厦门月考）已知函数f（x）＝x＋，若曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，则a的值可以是（ ）
A.－4 B.－2 C.0 D.2
16.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，在点（x0，f（x0））处作曲线y＝f（x）的切线l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），则l与x轴的交点的横坐标x1＝x0－（f'（x0）≠0），称x1是r的一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－（f'（xn）≠0），称xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x2＝2的近似解.
（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；
（2）证明：x4＝x0－－－－.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
1.A 由题意知切线过点（1，3），（0，2），所以切线的斜率为k＝f'（1）＝＝1＞0.
2.A 如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1＜k2＜k3，又f'（a）＝k1，f'（b）＝k2，f'（c）＝k3，所以f'（a）＜f'（b）＜f'（c）.故选A.
3.A 因为所给图象为导函数f'（x）的图象，且在A点处f'（x）＜0，B点处f'（x）＞0，故原函数图象上A处下降，B处上升.
4.B ∵f'（1）＝2，又
＝
＝（aΔx＋2a）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f（1）＝a＋b＝3，∴b＝2，∴＝2.
5.AB 由导数定义得y'＝＝［－］＝－，设P（x0，y0），则由导数的几何意义可得－＝tan＝－1，解得x0＝±3，从而y0＝±3，即点P的坐标为（3，3）或（－3，－3）.
6.AC k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，A、C正确；当曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，f'（x0）一定不存在，D错误，故选A、C.
7. 解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f'（4）＝.
8.2x－y＋4＝0 解析：由题意知，Δy＝3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2＝3（Δx）2＋2Δx.∴y'｜x＝1＝＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故所求直线方程为y－2＝2（x＋1），即2x－y＋4＝0.
9.（－∞，1） 解析：y＝x＋上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝y'＝
＝（1－）＝1－＜1，即k＜1.
10.解：（1）∵y'｜x＝3＝＝27，
∴曲线C在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3），即y＝27x－54.
（2）∵切线l：y＝27x－54与x，y轴分别相交于点（2，0），（0，－54），
∴所求三角形的面积为S＝×2×54＝54.
11.C 曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，所以切线方程为y＝－2（x－2）.因为切点在曲线上也在切线上，所以f（1）＝－2×（1－2）＝2.
12.AC 设点P的横坐标为x0，则点P处切线的倾斜角α与x0的关系为tan α＝f'（x0）＝＝2x0＋2.∵α∈［，），∴tan α∈[1，＋∞），∴2x0＋2≥1，即x0≥－，故选A、C.
13. 解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f（x）＝x2，由导数的几何意义知y'＝f'（x）＝＝2x＝1，解得x＝，所以P（，），故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.
14.解：设P（x0，y0），则y0＝＋1，
f'（x0）＝＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0（x－x0），即y＝2x0x＋1－，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，由
得2x2＋2x0x＋2－＝0，则Δ＝4－8（2－）＝0，解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为（，）或.
15.AD 由题得f'（x）＝＝＝1－，设切点坐标为（x0，x0＋），则切线方程为y－x0－＝（1－）（x－x0）.又切线过点（1，0），可得－x0－＝（1－）（1－x0），整理得2＋2ax0－a＝0 （*）.因为曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，所以方程（*）有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8（－a）＞0，解得a＞0或a＜－2.故选A、D.
16.解：（1）令f（x）＝x2－2，则f'（x）＝＝2x，
取初始近似值x0＝2，则x1＝x0－＝2－＝，x2＝x1－＝－＝.
（2）证明：根据题意，可知x1＝x0－，x2＝x1－，x3＝x2－，x4＝x3－，上述四式相加，得x4＝x0－－－－.
2 / 2第2课时 导数的几何意义
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.
【问题】 如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
知识点一 导数的几何意义
1.切线的定义
如图，在曲线y＝f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P（x，f（x））沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0（x0，f（x0））时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0处的切线.
2.导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f'（x0）.
【想一想】
若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？
知识点二 导函数（导数）
1.定义：当x变化时，y＝ 就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数）.
2.记法：y＝f（x）的导函数记作f'（x）（有时也记作y'），即f'（x）＝y'＝ .
提醒 函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）、导函数f'（x）之间的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'（x）是函数f（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在x＝x0处的函数值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在x＝x0处的导数f'（x0）是一个常数.（ ）
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线的斜率.（ ）
（3）直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.（ ）
2.（2024·平顶山月考）曲线C：y＝x2在x＝1处的切线方程为 .
3.已知y＝，则y'＝ .
题型一 求切线的方程
【例1】 已知函数y＝f（x）＝x3.
（1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程；
（2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程.
通性通法
求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程的策略
（1）当点P（x0，y0）是切点时，切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）；
（2）当点P（x0，y0）不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））；
第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）；
第三步：将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）可得过点P（x0，y0）的切线方程.
【跟踪训练】
求曲线y＝在点处的切线方程.
题型二 求切点坐标或参数值
【例2】 （1）（2024·烟台月考）已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为 ；
（2）已知直线x＋y＝b是函数f（x）＝ax＋的图象在点（1，m）处的切线，则a＋b＝ ，m＝ .
通性通法
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
【跟踪训练】
已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0.
题型三 与导数的几何意义有关的图象问题
【例3】 （1）已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（ ）
A.f'（xA）＞f'（xB） B.f'（xA）＜f'（xB）
C.f'（xA）＝f'（xB） D.不能确定
（2）（2024·舟山月考）若函数f（x）的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）
通性通法
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在x＝x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小.
【跟踪训练】
（2024·汕头月考）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（ ）
A.f'（1）＜f'（2）＜a B.f'（1）＜a＜f'（2）
C.f'（2）＜f'（1）＜a D.a＜f'（1）＜f'（2）
1.若曲线y＝h（x）在点P（a，h（a））处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则（ ）
A.h'（a）＝0 B.h'（a）＜0
C.h'（a）＞0 D.h'（a）不存在
2.如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，则f'（x1）与f'（x2）的大小关系是（ ）
A.f'（x1）＞f'（x2） B.f'（x1）＜f'（x2）
C.f'（x1）＝f'（x2） D.不能确定
3.（2024·南平月考）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f（1）＋f'（1）＝ .
第2课时 导数的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点一
想一想
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.
知识点二
1.f'（x） 2.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.2x－y－1＝0 解析：把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1，即切点P（1，1），y'｜x＝1＝＝＝（Δx＋2）＝2，所以k＝y'｜x＝1＝2，所以曲线y＝x2在P（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
3. 解析：∵Δy＝－，∴＝，∴＝＝
＝
＝，即y'＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为f'（x）＝
＝
＝
[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝3x2，所以曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为k＝f'（－1）＝3，所以切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0.
（2）设切点坐标为（x0，），则切线的斜率为k＝f'（x0）＝3，所以切线方程为y－＝3（x－x0）.
将点E（2，0）的坐标代入切线方程，得－＝3（2－x0），
则2（x0－3）＝0，解得x0＝0或x0＝3，
所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
跟踪训练
解：曲线在点处的切线的斜率为
k＝＝＝－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－（x－2），即x＋4y－4＝0.
【例2】 （1） （2）5 3
解析：（1）设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝[2（x0＋Δx）2＋1]－（2＋1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，∴＝4x0＋2Δx，∴f'（x0）＝＝4x0.又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1，即x0＝.∴y0＝2×＋1＝，∴切点坐标为.
（2）由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，∵f'（1）＝＝（a－）＝a－2，∴曲线f（x）在点（1，m）处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
跟踪训练
解：对于曲线f（x）＝x2－1，
k1＝
＝
＝ （2x0＋Δx）＝2x0.
对于曲线g（x）＝1－x3，
k2＝
＝
＝[－3x0Δx－3－（Δx）2]＝－3.
由k1＝k2，得2x0＝－3，∴x0＝0或x0＝－.
【例3】 （1）B （2）A 解析：（1）由导数的几何意义，f'（xA），f'（xB）分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f'（xA）＜f'（xB）.
（2）函数f（x）的导函数f'（x）在[a，b]上单调递增，若对任意x1和x2满足a＜x1＜x2＜b，则有f'（a）＜f'（x1）＜f'（x2）＜f'（b），根据导数的几何意义，可知函数y＝f（x）的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合.
跟踪训练
B 由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长速度越来越快，故函数图象在点（x0，f（x0））（x0∈（0，＋∞））的切线的斜率越来越大，∵＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B.
随堂检测
1.B 由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h'（a）＝－2＜0.
2.
A 如图，根据导数的几何意义，f'（x1）为曲线f（x）在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f'（x2）为曲线f（x）在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0＞k1＞k2，即有f'（x1）＞f'（x2）.
3.3 解析：由图象在M点处的切线方程是y＝x＋2，得f（1）＝×1＋2＝，f'（1）＝.∴f（1）＋f'（1）＝＋＝3.
3 / 3
