(共44张PPT)
培优课
导数中函数的构造问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用 f （ x ）与 x 构造
【例1】 （2024·厦门质检）已知 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'
（ x ）为 f （ x ）的导函数，且满足 f （ x ）＜－xf'（ x ），则不等式 f
（ x ＋1）＞（ x －1） f （ x2－1）的解集是（ ）
A. （0，1） B. （2，＋∞）
C. （1，2） D. （1，＋∞）
解析： 构造函数 y ＝ xf （ x ）， x ∈（0，＋∞），则y'＝ f （ x ）＋
xf'（ x ）＜0，所以函数 y ＝ xf （ x ）在（0，＋∞）上是减函数.又因
为 f （ x ＋1）＞（ x －1） f （ x2－1），所以（ x ＋1） f （ x ＋1）＞
（ x2－1） f （ x2－1），所以 x ＋1＜ x2－1，且 x2－1＞0， x ＋1＞0，
解得 x ＞2，所以不等式 f （ x ＋1）＞（ x －1）· f （ x2－1）的解集是
（2，＋∞）.
通性通法
常见构造函数的形式
（1）对于f'（ x ）±g'（ x ）＞0，构造 h （ x ）＝ f （ x ）± g （ x ）；
（2）对于f'（ x ）＞ a ，构造 h （ x ）＝ f （ x ）－ ax ；
（3）对于xf'（ x ）＋ f （ x ）＞0，构造 h （ x ）＝ xf （ x ）；
（4）对于xf'（ x ）－ f （ x ）＞0，构造 h （ x ）＝ .
【跟踪训练】
设函数f'（ x ）是奇函数 f （ x ）（ x ∈R）的导函数， f （－1）＝0，
当 x ＞0时，xf'（ x ）－ f （ x ）＜0，则使得 f （ x ）＞0成立的 x 的取值
范围是（ ）
A. （－∞，－1）∪（0，1）
B. （－1，0）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（－1，0）
D. （0，1）∪（1，＋∞）
解析：令 F （ x ）＝ ，因为 f （ x ）为奇函数，所以 F （ x ）
为偶函数，由于F'（ x ）＝ ，当 x ＞0时，xf'（ x ）－ f
（ x ）＜0，即F'（ x ）＜0，所以 F （ x ）＝ 在（0，＋∞）上
单调递减，根据偶函数图象的对称性， F （ x ）＝ 在（－∞，
0）上单调递增，又 F （1）＝ F （－1）＝ ＝0，数形结合可
知，使得 f （ x ）＞0成立的 x 的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）.
题型二 利用 f （ x ）与e x 构造
【例2】 （2024·绍兴月考）若函数 f （ x ）对任意 x ∈R都有f'（ x ）
＞ f （ x ）成立，则（ ）
A. 3 f （ln 5）＞5 f （ln 3）
B. 3 f （ln 5）＝5 f （ln 3）
C. 3 f （ln 5）＜5 f （ln 3）
D. 3 f （ln 5）与5 f （ln 3）的大小不确定
解析： 令 g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝ ，因为对任
意 x ∈R都有f'（ x ）＞ f （ x ），所以g'（ x ）＞0，即 g （ x ）在R上是
增函数.又ln 3＜ln 5，所以 g （ln 3）＜ g （ln 5），即 ＜
，所以5 f （ln 3）＜3 f （ln 5），故选A.
通性通法
f （ x ）与e x 构造常见的形式
（1）对于f'（ x ）＋ nf （ x ）＞0，构造函数 h （ x ）＝e nxf （ x ）；
（2）对于f'（ x ）－ nf （ x ）＞0，构造函数 h （ x ）＝ .
【跟踪训练】
函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），对任意 x ∈R，都有f'（ x ）＞
－ f（ x ）成立，若 f （ln 2）＝ ，试求不等式 f （ x ）＞ 的解集.
解：由题意，对任意 x ∈R，都有f'（ x ）＞－ f （ x ）成立，
即f'（ x ）＋ f （ x ）＞0.令 g （ x ）＝e xf （ x ），
则g'（ x ）＝f'（ x ）e x ＋ f （ x ）e x ＝e x [f'（ x ）＋ f （ x ）]＞0，
所以函数 g （ x ）在R上是增函数.
不等式 f （ x ）＞ 即e xf （ x ）＞1，即 g （ x ）＞1.
因为 f （ln 2）＝ ，所以 g （ln 2）＝eln 2 f （ln 2）＝2× ＝1.
故当 x ＞ln 2时， g （ x ）＞ g （ln 2）＝1，
所以不等式 g （ x ）＞1的解集为（ln 2，＋∞）.
题型三 利用 f （ x ）与 sin x ， cos x 构造
【例3】 已知函数 f （ x ）的定义域为（0，π），其导函数是
f'（ x ）.若f'（ x ） sin x － f （ x ） cos x ＞0恒成立，则关于 x 的
不等式 f （ x ）＜2 f （ ） sin x 的解集为 （0， ） .
（0， ）
解析：令 F （ x ）＝ ，则F'（ x ）＝ ＞0，
所以 F （ x ）在定义域内是增函数.所以关于 x 的不等式 f （ x ）＜2 f
（ ） sin x ，可化为 ＜ ，即 F （ x ）＜ F （ ），所以 x
＜ .因为0＜ x ＜π，所以0＜ x ＜ ，即不等式 f （ x ）＜2 f （ ） sin x
的解集为（0， ）.
通性通法
f （ x ）与 sin x ， cos x 构造常见的形式
（1）对于f'（ x ） sin x ＋ f （ x ） cos x ＞0，构造函数 h （ x ）＝ f
（ x ） sin x ；
（2）对于f'（ x ） sin x － f （ x ） cos x ＞0，构造函数 h （ x ）＝
；
（3）对于f'（ x ） cos x － f （ x ） sin x ＞0，构造函数 h （ x ）＝ f
（ x ） cos x ；
（4）对于f'（ x ） cos x ＋ f （ x ） sin x ＞0，构造函数 h （ x ）＝
.
【跟踪训练】
（2024·茂名月考）已知R上的奇函数 f （ x ），其导函数为f'（ x ），
且当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ） sin x ＋ f （ x ） cos x ＜0，若 a ＝ f
（－ ）， b ＝－ f （ ），则 a 与 b 的大小关系为 .
a ＜ b
解析：设φ（ x ）＝ f （ x ）· sin x ，则φ'（ x ）＝f'（ x ） sin x ＋ f （ x ）
cos x ，∴ x ∈（0，＋∞）时，φ'（ x ）＜0，即φ（ x ）在（0，＋∞）
上单调递减，又 f （ x ）为奇函数，∴φ（ x ）为偶函数，∴φ（－ ）
＝φ（ ）＞φ（ ），即 f （－ ） sin （－ ）＞ f （ ） sin ，即－
f （－ ）＞ f （ ），即 f （－ ）＜－ f （ ），∴ a ＜ b .
1. （2024·三明月考）已知 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的非负可
导函数，且满足xf'（ x ）＋ f （ x ）≤0，对任意的正数 a ， b ，若 a
＜ b ，则必有（ ）
A. bf （ b ）≤ af （ a ） B. bf （ a ）≤ af （ b ）
C. af （ a ）≤ bf （ b ） D. af （ b ）≤ bf （ a ）
解析： 设 g （ x ）＝ xf （ x ）， x ∈（0，＋∞），则g'（ x ）＝
xf'（ x ）＋ f （ x ）≤0，∴ g （ x ）在区间（0，＋∞）上是减函数
或 g （ x ）为常函数.∵ a ＜ b ，∴ g （ a ）≥ g （ b ），即 af （ a ）
≥ bf （ b ），故选A.
2. 已知函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），对任意 x ∈R，都有f'（ x ）＜
f （ x ）成立，则（ ）
A. e f （2）＜ f （3） B. e f （2）≤ f （3）
C. e f （2）＞ f （3） D. f （2）＜e2 f （3）
解析： 依题意，f'（ x ）＜ f （ x ），则f'（ x ）－ f （ x ）＜0，设
g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝ ＜0，所以 g （ x ）在R
上是减函数，所以 g （2）＞ g （3），即 ＞ ，e f
（2）＞ f （3）.故选C.
3. 已知 f （ x ）是定义在（0， ）上的函数，其导函数为f'（ x ）， f
（ ）＝2 ，且当 x ∈（0， ）时，f'（ x ） sin x ＋ f （ x ） cos x
＞0，试求不等式 f （ x ） sin x ＜3的解集.
解：因为当 x ∈（0， ）时，f'（ x ） sin x ＋ f （ x ） cos x ＞0，
所以[ f （ x ） sin x ]'＞0， x ∈（0， ），
令 g （ x ）＝ f （ x ） sin x ，则当 x ∈（0， ）时，
g'（ x ）＞0， g （ x ）在（0， ）上是增函数，
因为 f （ ）＝2 ，所以 g （ ）＝ f （ ） sin ＝3，
不等式 f （ x ） sin x ＜3，即 g （ x ）＜ g （ ），
因为 g （ x ）在（0， ）上是增函数，
所以原不等式的解集为 {x ｜0＜ x ＜ }.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·金华月考）已知函数 f （ x ）（ x ∈R）满足 f （1）＝1，且f'
（ x ）＜ ，则 f （ x ）＜ ＋ 的解集为（ ）
A. { x ｜－1＜ x ＜1} B. { x ｜ x ＜－1}
C. { x ｜ x ＜－1或 x ＞1} D. { x ｜ x ＞1}
解析： 构造函数 h （ x ）＝ f （ x ）－ － ，所以h'（ x ）＝f'
（ x ）－ ＜0，故 h （ x ）在R上是减函数，且 h （1）＝ f （1）－
－ ＝0，故 h （ x ）＜0的解集为{ x ｜ x ＞1}.
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2. 设函数f'（ x ）是定义在（0，π）上的函数 f （ x ）的导函数，有f'
（ x ） cos x － f （ x ） sin x ＞0，若 a ＝ f （ ）， b ＝0， c ＝－ f
（ ），则 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ a ＜ c
C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a
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解析： 设函数 g （ x ）＝ f （ x ） cos x ，则g'（ x ）＝f'
（ x ）· cos x － f （ x ） sin x ，因为f'（ x ） cos x － f （ x ） sin x ＞0，
所以g'（ x ）＞0，所以 g （ x ）在（0，π）上是增函数， a ＝ f
（ ）＝ f （ ） cos ＝ g （ ）， b ＝0＝ f （ ） cos ＝ g
（ ）， c ＝－ f （ ）＝ f （ ）· cos ＝ g （ ），所以 a ＜
b ＜ c .
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3. 已知函数 f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）为 f （ x ）的导函数，且 f
（ x ）＋（ x －1）f'（ x ）＞0，则（ ）
A. f （1）＝0 B. f （ x ）＜0
C. f （ x ）＞0 D. （ x －1） f （ x ）＜0
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解析： 令 g （ x ）＝（ x －1） f （ x ），则g'（ x ）＝ f （ x ）＋
（ x －1）f'（ x ）＞0，所以 g （ x ）在R上是增函数，又因为 g
（1）＝0，所以当 x ＞1时， g （ x ）＝（ x －1） f （ x ）＞0；当 x
＜1时， g （ x ）＝（ x －1） f （ x ）＜0，所以当 x ≠1时， f （ x ）
＞0，又 f （1）＋（1－1）f'（1）＝ f （1）＞0，所以A、B、D错
误，C正确.
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4. f （ x ）是定义在R上的函数，其导函数为f'（ x ），若2 f （ x ）＋f'
（ x ）＞2， f （1）＝2，则不等式 f （ x ）＞e2－2 x ＋1（其中e为自
然对数的底数）的解集为（ ）
A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
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解析： f （ x ）＞e2－2 x ＋1，即e2 xf （ x ）－e2 x ＞e2，令 g （ x ）
＝e2 xf （ x ）－e2 x ，则g'（ x ）＝e2 x [2 f （ x ）＋f'（ x ）－2]＞0，故
g （ x ）在R上是增函数，而 g （1）＝e2 f （1）－e2＝e2，∴e2 xf
（ x ）－e2 x ＞e2，即 g （ x ）＞ g （1），即 x ＞1，故不等式的解集
是（1，＋∞）.
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5. （2024·舟山月考）已知 f （ x ）为定义在（－∞，0）∪（0，＋
∞）上的偶函数，已知 f （1）＝0，当 x ＞0时，有2 f （ x ）－xf'
（ x ）＞0，则使 f （ x ）＞0成立的 x 的取值范围为（ ）
A. （－∞，－1）∪（0，1）
B. （－1，0）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
D. （－1，0）∪（0，1）
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解析：令 g （ x ）＝ ，其中 x ≠0，因为函数 f （ x ）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，则 f （－ x ）＝ f （ x ），所以 g （－ x ）＝ ＝ ＝ g （ x ），所以函数 g （ x ）为偶函数，当 x ＞0时，g'（ x ）＝ ＝ ＜0，所以函数 g （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，且 g （1）＝ ＝0，由 f （ x ）＞0可得 g （ x ）＝ ＞0，则 g （ x ）＝ g （｜ x ｜）＞0＝ g （1），所以解得－1＜ x ＜0或0＜ x ＜1，所以使 f （ x ）＞0成立的 x 的取值范围为（－1，0）∪（0，1）.故选D.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）的定义域为R，其导函数f'（ x ）满足 f
（ x ）＞f'（ x ），则（ ）
A. f （1）＜e f （0） B. f （1）＞e f （0）
C. e f （ln 2）＜2 f （1） D. e f （ln 2）＞2 f （1）
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解析： 构造函数 g （ x ）＝ ，其中 x ∈R，则g'（ x ）＝
＜0，所以函数 g （ x ）为R上的减函数，则 g （1）＜ g
（0），即 ＜ f （0），所以 f （1）＜e f （0），A对，B错；
因为ln 2＜ln e＝1，则 g （ln 2）＞ g （1），即 ＞ ，
所以e f （ln 2）＞2 f （1），C错，D对.故选A、D.
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7. （多选）（2024·周口月考）设函数 f （ x ）在R上存在导函数f'
（ x ），对于任意的实数 x ，都有 f （－ x ）＝ f （ x ），当 x ＜0时，
f'（ x ）＋ x ＜0，且 f （－1）＝1，若 f （ m ）≤ － m2，则实数
m 的可能取值为（ ）
A. －1 B. －
C. 1 D. 2
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解析：设 g （ x ）＝ f （ x ）＋ x2，则g'（ x ）＝f'（ x ）＋ x ，由于 g （－ x ）＝ f （－ x ）＋ （－ x ）2＝ f （ x ）＋ x2＝ g （ x ），所以 g （ x ）为偶函数，且当 x ＜0时，g'（ x ）＝f'（ x ）＋ x ＜0，所以 g （ x ）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且 g （－1）＝ f （－1）＋ ＝ ，故由 f （ m ）≤ － m2可得 g （ m ）≤ ，所以－1≤ m ≤1，故选A、B、C.
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8. 已知 a ＝ e2， b ＝ e3， c ＝ e4，则 a ， b ， c 的大小关系为
.
解析：令 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ，易得 f （ x ）在
[2，＋∞）上单调递增，∴ f （2）＜ f （3）＜ f （4），即 ＜
＜ ，∴ a ＜ b ＜ c .
a ＜
b ＜ c
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9. 已知定义在R上的函数 f （ x ）满足 f （ x ）＋f'（ x ）＞0，且有 f
（3）＝3，则 f （ x ）＞3e3－ x 的解集为 .
解析：设 F （ x ）＝ f （ x ）·e x ，则F'（ x ）＝f'（ x ）·e x ＋ f （ x ）·e
x ＝e x [ f （ x ）＋f'（ x ）]＞0，∴ F （ x ）在R上单调递增.又 f （3）
＝3，则 F （3）＝ f （3）·e3＝3e3.∵ f （ x ）＞3e3－ x 等价于 f
（ x ）·e x ＞3e3，即 F （ x ）＞ F （3），∴ x ＞3，即所求不等式的
解集为（3，＋∞）.
（3，＋∞）
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10. 设函数 f （ x ）在R上存在导数f'（ x ）， g （ x ）＝ f （ x ）－ sin x
是偶函数.在[0，＋∞）上f'（ x ）＞ cos x .若 f （ － t ）－ f （ t ）
≥ cos t － sin t ，则实数 t 的取值范围为 .
（－∞， ］
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解析：由题意得g'（ x ）＝f'（ x ）－ cos x ＞0在[0，＋∞）上恒成
立，故 g （ x ）＝ f （ x ）－ sin x 在[0，＋∞）上单调递增，又 g
（ x ）＝ f （ x ）－ sin x 是偶函数，故 g （ x ）在（－∞，0）上单
调递减， f （ － t ）－ f （ t ）≥ cos t － sin t 变形得到 f （ － t ）
－ cos t ≥ f （ t ）－ sin t ，即 f （ － t ）－ sin （ － t ）≥ f （ t ）
－ sin t ，所以 g （ － t ）≥ g （ t ），故 g （ ）≥ g （｜
t ｜），由于 g （ x ）＝ f （ x ）－ sin x 在[0，＋∞）上单调递增，
所以 ≥｜ t ｜，解得 t ≤ .
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11. 证明：对 x ≥0恒有不等式ln（1＋ x ）≥ 成立.
证明：设 f （ x ）＝ln（1＋ x ）－ ， x ∈[0，＋∞），
则f'（ x ）＝ － ＝ ，
显然对于 x ≥0，恒有f'（ x ）≥0，且f'（ x ）仅在 x ＝0处取
等号，故函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，且 f （0）＝0，从而 f （ x ）≥ f （0）＝0，
即ln（1＋ x ）≥ ， x ∈[0，＋∞）.
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12. 已知 f （ x ）＝ x cos x － sin x 在（0，π]上单调递减，若0＜ b ＜1，
求证：当 x ∈（0，π]时， sin bx ＞ b sin x .
证明：要证 sin bx ＞ b sin x ，即证 sin bx － b sin x ＞0，
令 g （ x ）＝ ， x ∈（0，π]，∴g'（ x ）＝ ，
又∵ f （ x ）＝ x cos x － sin x 在（0，π]上单调递减， f （0）＝0，
∴当 x ∈（0，π]时， f （ x ）＝ x cos x － sin x ＜ f （0）＝0，
∴g'（ x ）＜0，∴ g （ x ）在（0，π]上单调递减，
又∵0＜ b ＜1，∴0＜ bx ＜ x ≤π，∴ ＜ ，∴ sin bx ＞ b sin x .
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13. 已知 f （ x ）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，f'
（ x ）是 f （ x ）的导函数，若当 x ＞0时，f'（ x ）ln x ＋ ＜
0，求不等式（ x －1） f （ x ）＜0的解集.
解：设 g （ x ）＝ f （ x ）ln x ， x ∈（0，＋∞），
则g'（ x ）＝f'（ x ）ln x ＋ ＜0，
∴ g （ x ）在（0，＋∞）上是减函数，而 g （1）＝0，
且在（0，1）上，ln x ＜0， g （ x ）＞0，∴ f （ x ）＜0，
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在（1，＋∞）上，ln x ＞0， g （ x ）＜0，∴ f （ x ）＜0，
由f'（ x ）ln x ＋ ＜0在（0，＋∞）上恒成立，可知 f （1）
＜0，∴在（0，＋∞）上， f （ x ）＜0，
又函数 f （ x ）为偶函数，∴在（－∞，0）上， f （ x ）＜0，
不等式（ x －1） f （ x ）＜0等价于
解得 x ∈（1，＋∞）.
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谢 谢 观 看！培优课 导数中函数的构造问题
1.（2024·金华月考）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜，则f（x）＜＋的解集为（ ）
A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜x＜－1}
C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜x＞1}
2.设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，若a＝f（），b＝0，c＝－f（），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
3.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，且f（x）＋（x－1）f'（x）＞0，则（ ）
A.f（1）＝0 B.f（x）＜0
C.f（x）＞0 D.（x－1）f（x）＜0
4.f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）＋f'（x）＞2，f（1）＝2，则不等式f（x）＞e2－2x＋1（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，＋∞）
C.（－∞，1） D.（1，＋∞）
5.（2024·舟山月考）已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，已知f（1）＝0，当x＞0时，有2f（x）－xf'（x）＞0，则使f（x）＞0成立的x的取值范围为（ ）
A.（－∞，－1）∪（0，1） B.（－1，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－1，0）∪（0，1）
6.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）满足f（x）＞f'（x），则（ ）
A.f（1）＜ef（0） B.f（1）＞ef（0）
C.ef（ln 2）＜2f（1） D.ef（ln 2）＞2f（1）
7.（多选）（2024·周口月考）设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（－x）＝f（x），当x＜0时，f'（x）＋x＜0，且f（－1）＝1，若f（m）≤－m2，则实数m的可能取值为（ ）
A.－1 B.－
C.1 D.2
8.已知a＝e2，b＝e3，c＝e4，则a，b，c的大小关系为 .
9.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为 .
10.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），g（x）＝f（x）－sin x是偶函数.在[0，＋∞）上f'（x）＞cos x.若f（－t）－f（t）≥cos t－sin t，则实数t的取值范围为 .
11.证明：对 x≥0恒有不等式ln（1＋x）≥成立.
12.已知f（x）＝xcos x－sin x在（0，π]上单调递减，若0＜b＜1，求证：当x∈（0，π]时，sin bx＞bsin x.
13.已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，f'（x）是f（x）的导函数，若当x＞0时，f'（x）ln x＋＜0，求不等式（x－1）f（x）＜0的解集.
培优课 导数中函数的构造问题
1.D 构造函数h（x）＝f（x）－－，所以h'（x）＝f'（x）－＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－－＝0，故h（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
2.A 设函数g（x）＝f（x）cos x，则g'（x）＝f'（x）·cos x－f（x）sin x，因为f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在（0，π）上是增函数，a＝f（）＝f（）cos＝g（），b＝0＝f（）cos＝g（），c＝－f（）＝f（）·cos＝g（），所以a＜b＜c.
3.C 令g（x）＝（x－1）f（x），则g'（x）＝f（x）＋（x－1）f'（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又因为g（1）＝0，所以当x＞1时，g（x）＝（x－1）f（x）＞0；当x＜1时，g（x）＝（x－1）f（x）＜0，所以当x≠1时，f（x）＞0，又f（1）＋（1－1）f'（1）＝f（1）＞0，所以A、B、D错误，C正确.
4.D f（x）＞e2－2x＋1，即e2xf（x）－e2x＞e2，令g（x）＝e2xf（x）－e2x，则g'（x）＝e2x[2f（x）＋f'（x）－2]＞0，故g（x）在R上是增函数，而g（1）＝e2f（1）－e2＝e2，∴e2xf（x）－e2x＞e2，即g（x）＞g（1），即x＞1，故不等式的解集是（1，＋∞）.
5.D 令g（x）＝，其中x≠0，因为函数f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，则f（－x）＝f（x），所以g（－x）＝＝＝g（x），所以函数g（x）为偶函数，当x＞0时，g'（x）＝＝＜0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，且g（1）＝＝0，由f（x）＞0可得g（x）＝＞0，则g（x）＝g（｜x｜）＞0＝g（1），所以解得－1＜x＜0或0＜x＜1，所以使f（x）＞0成立的x的取值范围为（－1，0）∪（0，1）.故选D.
6.AD 构造函数g（x）＝，其中x∈R，则g'（x）＝＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，则g（1）＜g（0），即＜f（0），所以f（1）＜ef（0），A对，B错；因为ln 2＜ln e＝1，则g（ln 2）＞g（1），即＞，所以ef（ln 2）＞2f（1），C错，D对.故选A、D.
7.ABC 设g（x）＝f（x）＋x2，则g'（x）＝f'（x）＋x，由于g（－x）＝f（－x）＋（－x）2＝f（x）＋x2＝g（x），所以g（x）为偶函数，且当x＜0时，g'（x）＝f'（x）＋x＜0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且g（－1）＝f（－1）＋＝，故由f（m）≤－m2可得g（m）≤，所以－1≤m≤1，故选A、B、C.
8.a＜b＜c 解析：令f（x）＝，则f'（x）＝，易得f（x）在[2，＋∞）上单调递增，∴f（2）＜f（3）＜f（4），即＜＜，∴a＜b＜c.
9.（3，＋∞） 解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.又f（3）＝3，则F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.
10.（－∞，］ 解析：由题意得g'（x）＝f'（x）－cos x＞0在[0，＋∞）上恒成立，故g（x）＝f（x）－sin x在[0，＋∞）上单调递增，又g（x）＝f（x）－sin x是偶函数，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，f（－t）－f（t）≥cos t－sin t变形得到f（－t）－cos t≥f（t）－sin t，即f（－t）－sin（－t）≥f（t）－sin t，所以g（－t）≥g（t），故g（）≥g（｜t｜），由于g（x）＝f（x）－sin x在[0，＋∞）上单调递增，所以≥｜t｜，解得t≤.
11.证明：设f（x）＝ln（1＋x）－，x∈[0，＋∞），
则f'（x）＝－＝，
显然对于 x≥0，恒有f'（x）≥0，且f'（x）仅在x＝0处取等号，
故函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝0，从而f（x）≥f（0）＝0，
即ln（1＋x）≥，x∈[0，＋∞）.
12.证明：要证sin bx＞bsin x，
即证sin bx－bsin x＞0，
令g（x）＝，x∈（0，π]，
∴g'（x）＝，
又∵f（x）＝xcos x－sin x在（0，π]上单调递减，f（0）＝0，
∴当x∈（0，π]时，f（x）＝xcos x－sin x＜f（0）＝0，
∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π]上单调递减，
又∵0＜b＜1，∴0＜bx＜x≤π，
∴＜，∴sin bx＞bsin x.
13.解：设g（x）＝f（x）ln x，x∈（0，＋∞），
则g'（x）＝f'（x）ln x＋＜0，
∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数，而g（1）＝0，
且在（0，1）上，ln x＜0，g（x）＞0，∴f（x）＜0，
在（1，＋∞）上，ln x＞0，g（x）＜0，∴f（x）＜0，
由f'（x）ln x＋＜0在（0，＋∞）上恒成立，可知f（1）＜0，
∴在（0，＋∞）上，f（x）＜0，
又函数f（x）为偶函数，
∴在（－∞，0）上，f（x）＜0，
不等式（x－1）f（x）＜0等价于
解得x∈（1，＋∞）.
1 / 1培优课 导数中函数的构造问题
题型一 利用f（x）与x构造
【例1】 （2024·厦门质检）已知f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜－xf'（x），则不等式f（x＋1）＞（x－1）f（x2－1）的解集是（ ）
A.（0，1） B.（2，＋∞）
C.（1，2） D.（1，＋∞）
通性通法
常见构造函数的形式
（1）对于f'（x）±g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）±g（x）；
（2）对于f'（x）＞a，构造h（x）＝f（x）－ax；
（3）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）；
（4）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝.
【跟踪训练】
设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1）∪（0，1）
B.（－1，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（－1，0）
D.（0，1）∪（1，＋∞）
题型二 利用f（x）与ex构造
【例2】 （2024·绍兴月考）若函数f（x）对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（ ）
A.3f（ln 5）＞5f（ln 3）
B.3f（ln 5）＝5f（ln 3）
C.3f（ln 5）＜5f（ln 3）
D.3f（ln 5）与5f（ln 3）的大小不确定
通性通法
f（x）与ex构造常见的形式
（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0，构造函数h（x）＝enxf（x）；
（2）对于f'（x）－nf（x）＞0，构造函数h（x）＝.
【跟踪训练】
函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＞－f（x）成立，若f（ln 2）＝，试求不等式f（x）＞的解集.
题型三 利用f（x）与sin x，cos x构造
【例3】 已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sin x－f（x）cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（）·sin x的解集为 .
通性通法
f（x）与sin x，cos x构造常见的形式
（1）对于f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，构造函数h（x）＝f（x）sin x；
（2）对于f'（x）sin x－f（x）cos x＞0，构造函数h（x）＝；
（3）对于f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，构造函数h（x）＝f（x）cos x；
（4）对于f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0，构造函数h（x）＝.
【跟踪训练】
（2024·茂名月考）已知R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），且当x∈（0，＋∞）时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＜0，若a＝f（－），b＝－f（），则a与b的大小关系为 .
1.（2024·三明月考）已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A.bf（b）≤af（a） B.bf（a）≤af（b）
C.af（a）≤bf（b） D.af（b）≤bf（a）
2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＜f（x）成立，则（ ）
A.ef（2）＜f（3） B.ef（2）≤f（3）
C.ef（2）＞f（3） D.f（2）＜e2f（3）
3.已知f（x）是定义在（0，）上的函数，其导函数为f'（x），f（）＝2，且当x∈（0，）时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，试求不等式f（x）sin x＜3的解集.
培优课 导数中函数的构造问题
【典型例题·精研析】
【例1】 B 构造函数y＝xf（x），x∈（0，＋∞），则y'＝f（x）＋xf'（x）＜0，所以函数y＝xf（x）在（0，＋∞）上是减函数.又因为f（x＋1）＞（x－1）f（x2－1），所以（x＋1）f（x＋1）＞（x2－1）f（x2－1），所以x＋1＜x2－1，且x2－1＞0，x＋1＞0，解得x＞2，所以不等式f（x＋1）＞（x－1）f（x2－1）的解集是（2，＋∞）.
跟踪训练
A 令F（x）＝，因为f（x）为奇函数，所以F（x）为偶函数，由于F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，即F'（x）＜0，所以F（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，根据偶函数图象的对称性，F（x）＝在（－∞，0）上单调递增，又F（1）＝F（－1）＝＝0，数形结合可知，使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）.
【例2】 A 令g（x）＝，则g'（x）＝，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数.又ln 3＜ln 5，所以g（ln 3）＜g（ln 5），即＜，所以5f（ln 3）＜3f（ln 5），故选A.
跟踪训练
解：由题意，对任意x∈R，都有f'（x）＞－f（x）成立，
即f'（x）＋f（x）＞0.
令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝f'（x）ex＋f（x）ex＝ex[f'（x）＋f（x）]＞0，
所以函数g（x）在R上是增函数.
不等式f（x）＞即exf（x）＞1，即g（x）＞1.
因为f（ln 2）＝，所以g（ln 2）＝eln 2f（ln 2）＝2×＝1.
故当x＞ln 2时，g（x）＞g（ln 2）＝1，
所以不等式g（x）＞1的解集为（ln 2，＋∞）.
【例3】 （0，） 解析：令F（x）＝，则F'（x）＝＞0，所以F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（）sin x，可化为＜，即F（x）＜F（），所以x＜.因为0＜x＜π，所以0＜x＜，即不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为（0，）.
跟踪训练
a＜b 解析：设φ（x）＝f（x）·sin x，则φ'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x，∴x∈（0，＋∞）时，φ'（x）＜0，即φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，又f（x）为奇函数，∴φ（x）为偶函数，∴φ（－）＝φ（）＞φ（），即f（－）sin（－）＞f（）sin，即－f（－）＞f（），即f（－）＜－f（），∴a＜b.
随堂检测
1.A 设g（x）＝xf（x），x∈（0，＋∞），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）≤0，∴g（x）在区间（0，＋∞）上是减函数或g（x）为常函数.∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b），故选A.
2.C 依题意，f'（x）＜f（x），则f'（x）－f（x）＜0，设g（x）＝，则g'（x）＝＜0，所以g（x）在R上是减函数，所以g（2）＞g（3），即＞，ef（2）＞f（3）.故选C.
3.解：因为当x∈（0，）时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，
所以[f（x）sin x]'＞0，x∈（0，），
令g（x）＝f（x）sin x，则当x∈（0，）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，）上是增函数，
因为f（）＝2，所以g（）＝f（）sin＝3，
不等式f（x）sin x＜3，即g（x）＜g（），
因为g（x）在（0，）上是增函数，所以原不等式的解集为x｜0＜x＜.
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