(共58张PPT)
5.3.1 函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、
直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、
数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算
第1课时
导数与函数的单调性
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.
【问题】 函数的单调性与导数有什么关系？
知识点一 函数的单调性与导数的关系
定义在区间（ a ， b ）内的函数 y ＝ f （ x ）：
f'（ x ）的正负 f （ x ）的单调性
f'（ x ）＞0 单调递
f'（ x ）＜0 单调递
提醒 若在某区间内有有限个点使f'（ x ）＝0，在其余的点恒有f'
（ x ）＞0（＜0），则 f （ x ）在该区间上单调递增（递减）.
增
减
知识点二 函数值变化快慢与导数的关系
设函数 y ＝ f （ x ），在区间（ a ， b ）上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“ ”（向上或向下）
越小 慢 比较“ ”（向上或向下）
陡峭
平缓
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数 f （ x ）在定义域上都有f'（ x ）＜0，则函数 f （ x ）在定
义域上是减函数. （ × ）
（2）函数 f （ x ）在某区间内单调递增，则一定有f'（ x ）＞0.
（ × ）
（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝
对值越大. （ √ ）
×
×
√
2. 函数 f （ x ）＝ln x － x 的单调递增区间是（ ）
A. （0，1） B. （0，＋∞）
C. （1，2） D. （2，＋∞）
解析： f'（ x ）＝ －1，令f'（ x ）＞0，又 x ＞0，∴0＜ x ＜1，
则 f （ x ）的单调递增区间是（0，1）.
3. 函数 f （ x ）＝ cos x － x 在（0，π）上的单调性是（ ）
A. 先增后减 B. 先减后增
C. 单调递增 D. 单调递减
解析： 易知f'（ x ）＝－ sin x －1， x ∈（0，π），∴f'（ x ）＜
0，则 f （ x ）＝ cos x － x 在（0，π）上单调递减.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数的单调性与导数的关系
【例1】 （1）下列函数中，在（1，＋∞）上单调递增的是
（ ）
A. y ＝ x3－3 x B. y ＝ln x － x
C. y ＝ x ＋ D. y ＝ x2－3 x ＋1
解析：由 y ＝ x3－3 x 可得y'＝3 x2－3，当 x ∈（1，＋∞）时，y'＞0， y ＝ x3－3 x 单调递增，故A满足题意；由 y ＝ln x － x 可得y'＝ －1，当 x ∈（1，＋∞）时，y'＜0， y ＝ln x － x 单调递减，故B不满足题意；易知 y ＝ x ＋ 在（1，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，故C不满足题意；易知 y ＝ x2－3 x ＋1在（1， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，故D不满足题意，故选A.
（2）（2024·枣庄月考）函数 y ＝ x ln x 在（0，5）上的单调性是
（ ）
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 在（0， ）上单调递减，在（ ，5）上单调递增
D. 在（0， ）上单调递增，在（ ，5）上单调递减
解析： 由已知得函数 y ＝ x ln x 的定义域为（0，＋∞）.y'＝ln x ＋
1，令y'＞0，得 x ＞ ；令y'＜0，得0＜ x ＜ .∴函数 y ＝ x ln x 在
（0， ）上单调递减，在（ ，5）上单调递增.
通性通法
利用导数判断函数的单调性的策略
利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质
上就是判断f'（ x ）的正负或证明不等式f'（ x ）≥0（或f'（ x ）≤0）
在给定区间内恒成立.一般步骤为：①求导数f'（ x ）；②判断f'（ x ）
的符号；③得出结论.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的
是（ ）
A. y ＝2 x3＋4 x B. y ＝ x ＋ sin （－ x ）
C. y ＝log2｜ x ｜ D. y ＝2 x －2－ x
解析： 由奇函数的定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函
数，所以排除C；对于选项A，y'＝6 x2＋4＞0，所以 y ＝2 x3＋4 x 在
（0，1）上单调递增；对于选项B，y'＝1－ cos （－ x ）≥0，且y'不
恒为0，所以 y ＝ x ＋ sin （－ x ）在（0，1）上单调递增；对于选项
D，y'＝2 x ln 2＋2－ x ln 2＞0，所以 y ＝2 x －2－ x 在（0，1）上单调递
增.故选A、B、D.
题型二 利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
（1） f （ x ）＝ x3－4 x2＋4 x －1；
解：函数 f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝3 x2－8 x ＋4.
令3 x2－8 x ＋4＝0，解得 x ＝ 或 x ＝2.
当 x 变化时，f'（ x ）与 f （ x ）的变化情况如表所示：
x （－∞， ） （ ，2） 2 （2，＋∞）
f '（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调递增 f （ ） 单调递减 f（2） 单调递增
所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（－∞， ）和（2，＋
∞），单调递减区间为（ ，2）.
（2） f （ x ）＝ （ x ＞0且 x ≠1）.
解： 法一（列表法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，
＋∞），f'（ x ）＝－ ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝ .
列表如下：
x （0， ） （ ，1） （1，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － －
f （ x ） 单调递增 f （ ） 单调递减 单调递减
所以 f （ x ）的单调递增区间是（0， ），单调递减区间是
（ ，1），（1，＋∞）.
法二（解不等式法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋
∞），f'（ x ）＝－ ，
由f'（ x ）＞0，得ln x ＋1＜0，所以0＜ x ＜ .
由f'（ x ）＜0，得ln x ＋1＞0，所以 x ＞ .
又因为 x ≠1，所以 ＜ x ＜1或 x ＞1.
所以 f （ x ）的单调递增区间是（0， ），单调递减区间是（ ，1）
和（1，＋∞）.
通性通法
利用导数求函数单调区间的方法
（1）列表法：①求定义域：确定函数 f （ x ）的定义域；②求导：求f'
（ x ）；③确定零点：判断导函数f'（ x ）有无零点，若有零
点，通过解方程f'（ x ）＝0求出零点；④列表：用f'（ x ）的零
点和函数的无定义点将 f （ x ）的定义域划分为若干个区间，列
表给出f'（ x ）在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数 f
（ x ）在定义域内的单调性.
（2）解不等式法：①求定义域：确定函数 f （ x ）的定义域；②求
导：求f'（ x ）；③解不等式：在定义域内，令f'（ x ）＞0，解
得函数 f （ x ）的单调递增区间；令f'（ x ）＜0，解得函数 f
（ x ）的单调递减区间.
【跟踪训练】
求下列函数的单调区间：
（1） f （ x ）＝ ；
解：函数 f （ x ）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.
f'（ x ）＝ ＝ .因为 x ∈（－∞，2）∪
（2，＋∞），所以e x ＞0，（ x －2）2＞0.
令f'（ x ）＝0可得 x ＝3，则f'（ x ）在各区间的正负，以及 f
（ x ）的单调性如表所示：
x （－∞，2） （2，3） 3 （3，＋∞）
f'（ x ） － － 0 ＋
f （ x ） 单调递减 单调递减 f （3）＝e3 单调递增
所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（3，＋∞），单调递减区间
为（－∞，2）和（2，3）.
（2） f （ x ）＝2 x2－ln x .
解：函数 f （ x ）＝2 x2－ln x 的定义域为（0，＋∞）.
f'（ x ）＝4 x － ＝ .
因为 x ＞0，所以2 x ＋1＞0，由f'（ x ）＞0，解得 x ＞ ，所以函
数 f （ x ）的单调递增区间为（ ，＋∞）；
由f'（ x ）＜0，解得 x ＜ ，
又 x ∈（0，＋∞），所以函数 f （ x ）的单调递减区间为（0， ）.
题型三 函数图象与导函数图象的关系
【例3】 已知导函数f'（ x ）的下列信息：当 x ＜0或 x ＞7时，f'（ x ）
＞0；当0＜ x ＜7时，f'（ x ）＜0；当 x ＝0或 x ＝7时，f'（ x ）＝0，试
画出函数 f （ x ）的大致图象.
解：当 x ＜0或 x ＞7时，f'（ x ）＞0，可知函数 f （ x ）在区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调递增；当0＜ x ＜7时，f'（ x ）＜0，可知函数 f （ x ）在区间（0，7）上单调递减；当 x ＝0或 x ＝7时，f'（ x ）＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数 f （ x ）的大致形状如图所示.
通性通法
研究函数图象与导函数图象之间关系的方法
导函数f'（ x ）图象在 x 轴上方时对应的自变量的取值区间为原函
数 f （ x ）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'
（ x ）图象在 x 轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数 f （ x ）图
象下降部分对应的区间（单调递减区间）.
【跟踪训练】
1. （2024·宁德月考）函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，则导函数 y ＝f'（ x ）的图象可能是（ ）
解析： 因为函数 f （ x ）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调
递减，所以当 x ＞0时f'（ x ）＜0，当 x ＜0时f'（ x ）＜0.
2. 已知f'（ x ）是 f （ x ）的导函数，若f'（ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的图象可能是（ ）
解析：由导函数的图象可知，当 x ＜0时，f'（ x ）＞0，即函数 f （ x ）单调递增；当0＜ x ＜ x1时，f'（ x ）＜0，即函数 f （ x ）单调递减；当 x ＞ x1时，f'（ x ）＞0，即函数 f （ x ）单调递增.结合选项易知C正确.
1. 函数 f （ x ）＝ sin x －2 x 在（－∞，＋∞）上（ ）
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 先增后减 D. 先减后增
解析： ∵f'（ x ）＝ cos x －2＜0，∴ f （ x ）在（－∞，＋∞）
上是减函数.
2. （2024·惠州月考）已知函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象如图所示，则 y ＝ f （ x ）的图象可能为（ ）
解析： 由导函数不是常数函数，排除A；由导函数f'（ x ）的图
象可知，f'（ x ）≥0，当且仅当 x ＝0时，f'（ x ）＝0，所以函数 f
（ x ）是增函数，故排除C；又f'（0）＝0，故排除B；满足条件的
只有D. 故选D.
3. 函数 f （ x ）＝ x3－3 x 的单调递减区间为 .
解析：对 f （ x ）求导得f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），
令f'（ x ）＜0，解得－1＜ x ＜1.故 f （ x ）的单调递减区间为（－
1，1）.
（－1，1）
4. 证明：函数 f （ x ）＝ 在区间（0，2）上单调递增.
证明：由题意，得f'（ x ）＝ ＝ .
∵0＜ x ＜2，∴ln x ＜ln 2＜1，∴1－ln x ＞0，
∴f'（ x ）＝ ＞0.
根据导数与函数单调性的关系，可知函数 f （ x ）＝ 在区间
（0，2）上单调递增.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 对于函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， b ），“f'（ x ）＞0”是“函数 y
＝ f （ x ）为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 由f'（ x ）＞0 函数 f （ x ）为增函数，但函数 f （ x ）为
增函数 f'（ x ）＞0，知“f'（ x ）＞0”是“函数 y ＝ f （ x ）为增
函数”的充分不必要条件.
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2. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f （ x ）（ ）
A. 在（0，1）上单调递增
B. 在（1，2）上单调递增
C. 在（－∞，1）上单调递减
D. 在（0，＋∞）上单调递减
解析： f'（ x ）＝ ，令f'（ x ）＞0得 x ＜1，所以 f （ x ）在
（－∞，1）上单调递增，令f'（ x ）＜0得 x ＞1，所以 f （ x ）在
（1，＋∞）上单调递减，故选A.
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3. 已知 f （ x ）在R上是可导函数， f （ x ）的图象如图所示，则不等
式f'（ x ）＞0的解集为（ ）
A. （－2，0）∪（2，＋∞）
B. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
D. （－2，－1）∪（1，2）
解析： 因为 f （ x ）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递
增，所以f'（ x ）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
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4. （2024·威海月考）函数 f （ x ）＝ x －2 sin x ＋1在（0，π）上的单
调递增区间是（ ）
A. （0， ） B. （ ，π）
C. （0， ） D. （ ，π）
解析： f （ x ）＝ x －2 sin x ＋1，令f'（ x ）＝1－2 cos x ＞0，即
cos x ＜ ，因为 x ∈（0，π），所以 ＜ x ＜π，故 f （ x ）在（0，
π）上的单调递增区间为（ ，π）.
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5. （多选）下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（ ）
A. y ＝ x3＋ x －1 B. y ＝ sin x － x
C. y ＝ x e x ＋1 D. y ＝e x － x
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解析： 由 y ＝ x3＋ x －1，得y'＝3 x2＋1≥1，所以函数是增函
数，A满足题意；由 y ＝ sin x － x ，得y'＝ cos x －1≤0，所以函数
是减函数，B满足题意；由 y ＝ x e x ＋1，得y'＝e x （ x ＋1），当 x ≥
－1时，y'＝e x （ x ＋1）≥0，函数单调递增，当 x ＜－1时，y'＝e x
（ x ＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单
调函数，C不满足题意；由 y ＝e x － x ，得y'＝e x －1，当 x ≥0时，y'
＝e x －1≥0，函数单调递增，当 x ＜0时，y'＝e x －1＜0，函数单调
递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.
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6. （多选）设f'（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，将 y ＝ f （ x ）和 y ＝f'
（ x ）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
解析：A、B、C均有可能；对于D，若 C1为导函数，则 y ＝ f （ x ）应为增函数，不符合；若 C2为导函数，则 y ＝ f （ x ）应为减函数，也不符合.
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7. 已知函数 f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象如图所示，则函数 f
（ x ）的单调递增区间是 .
解析：由题图可知，在区间（－1，2），（4，＋∞）上f'（ x ）＞
0；在区间（－∞，－1），（2，4）上f'（ x ）＜0.由导函数的正
负与函数单调性的关系可得，函数 f （ x ）的单调递增区间是（－
1，2），（4，＋∞）.
（－1，2），（4，＋∞）
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8. 若函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3，则函数 f （1＋ x ）
的单调递减区间是 .
解析：令f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3＜0，得1＜ x ＜3，由1＜1＋ x ＜3，
解得0＜ x ＜2，故函数 f （1＋ x ）的单调递减区间为（0，2）.
（0，2）
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9. （2024·开封月考）函数 f （ x ）＝ x2－5 x ＋2ln（2 x ）的单调递增
区间是 .
解析： f （ x ）的定义域是（0，＋∞），f'（ x ）＝ ，
由f'（ x ）＞0得 x ＞2或0＜ x ＜ ，故 f （ x ）的单调递增区间是
，（2，＋∞）.
，（2，＋∞）
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10. 判断函数 f （ x ）＝2 x （e x －1）－ x2的单调性.
解：函数 f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝2（e x －1＋ x e x － x ）＝
2（e x －1）（ x ＋1）.
当 x ∈（－∞，－1）时，f'（ x ）＞0；
当 x ∈（－1，0）时，f'（ x ）＜0；
当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ）＞0.
故 f （ x ）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－
1，0）上单调递减.
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11. 函数 f （ x ）＝ x cos x 的导函数f'（ x ）在区间[－π，π]上的图象大
致是（ ）
解析： 因为 f （ x ）＝ x cos x ，所以f'（ x ）＝ cos x － x sin x .因
为f'（－ x ）＝f'（ x ），所以f'（ x ）为偶函数，所以函数图象关
于 y 轴对称.由f'（0）＝1可排除C、D. 而f'（1）＝ cos 1－ sin 1＜
0，排除B.
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12. 定义在R上的可导函数 f （ x ），已知 y ＝ef'（ x）的图象如图所示，
则 y ＝ f （ x ）的单调递增区间是（ ）
A. （－∞，1） B. （－∞，2）
C. （0，1） D. （1，2）
解析： 由题图知f'（ x ）≥0的区间是（－∞，2），故函数 y ＝
f （ x ）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.
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13. （2024·泉州月考）设函数 f （ x ）＝4ln x － x2＋3 x 在区间[ a ， a
＋1]上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （0，3] B. （0，2]
C. [3，＋∞） D. [2，＋∞）
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解析： 由函数 f （ x ）＝4ln x － x2＋3 x ，可得f'（ x ）＝ － x
＋3＝ ， x ＞0，令f'（ x ）≥0，即 ≥0，即－ x2
＋3 x ＋4≥0，解得0＜ x ≤4，所以函数 f （ x ）在（0，4]上单调
递增，又由函数 f （ x ）在[ a ， a ＋1]上单调递增，所以
解得0＜ a ≤3，故选A.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ln x － x ＋1， x ∈（0，＋∞）.
（1）讨论 f （ x ）的单调性；
解：∵f'（ x ）＝ －1＝ ，
∴当 x ＞1时，f'（ x ）＜0；当0＜ x ＜1时，f'（ x ）＞0.
∴ f （ x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为
（1，＋∞）.
（2）利用（1）的结论证明当 x ∈（1，＋∞）时ln x ＜ x －1.
解：证明：由（1）知 f （ x ）＝ln x － x ＋1在（1，＋
∞）上单调递减，∴ f （ x ）＜ f （1）＝0，即ln x ＜ x －1.
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15. （多选）若函数 f （ x ）在定义域 D 内的某个区间 I 上单调递增，
且 F （ x ）＝ 在区间 I 上也单调递增，则称 y ＝ f （ x ）是 I
上的“一致递增函数”.已知 f （ x ）＝ x ＋ ，若函数 f （ x ）是
区间 I 上的“一致递增函数”，则区间 I 可能是（ ）
A. （－∞，－2） B. （－∞，0）
C. （0，＋∞） D. （2，＋∞）
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解析： f （ x ）＝ x ＋ ，则f'（ x ）＝ ； F （ x ）＝ ＝1＋ ，则F'（ x ）＝ ，当 x ∈（－∞，－2）时，f'（ x ）＝ ＞ ＞0，函数单调递增，F'（ x ）＝ ＞0，函数单调递增，A满足；f'（－ ）＝ ＜0，故B不满足；F'（1）＝－e＜0，故C不满足；当 x ∈（2，＋∞）时，f'（ x ）＝ ＞0，函数单调递增，F'（ x ）＝ ＞0，函数单调递增，故D满足.
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16. （2024·临沂质检）已知函数 f （ x ）＝ （ k 为常数，e为自然
对数的底数），曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线与 x
轴平行.
（1）求实数 k 的值；
解：由 f （ x ）＝ ，可得f'（ x ）＝ .
∵曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线与 x 轴平
行，∴f'（1）＝0，即 ＝0，解得 k ＝1.
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（2）求函数 f （ x ）的单调区间.
解：由（1）知，f'（ x ）＝ （ x ＞0），
设 h （ x ）＝ －ln x －1（ x ＞0），则h'（ x ）＝－ － ＜0.
可知 h （ x ）在（0，＋∞）上是减函数，由 h （1）＝0知，
当0＜ x ＜1时， h （ x ）＞ h （1）＝0，故f'（ x ）＞0；
当 x ＞1时， h （ x ）＜ h （1）＝0，故f'（ x ）＜0.
综上， f （ x ）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间
是（1，＋∞）.
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谢 谢 观 看！第1课时 导数与函数的单调性
1.对于函数y＝f（x），x∈（a，b），“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知函数f（x）＝，则f（x）（ ）
A.在（0，1）上单调递增
B.在（1，2）上单调递增
C.在（－∞，1）上单调递减
D.在（0，＋∞）上单调递减
3.已知f（x）在R上是可导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f'（x）＞0的解集为（ ）
A.（－2，0）∪（2，＋∞）
B.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
D.（－2，－1）∪（1，2）
4.（2024·威海月考）函数f（x）＝x－2sin x＋1在（0，π）上的单调递增区间是（ ）
A.（0，） B.（，π） C.（0，） D.（，π）
5.（多选）下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（ ）
A.y＝x3＋x－1 B.y＝sin x－x
C.y＝xex＋1 D.y＝ex－x
6.（多选）设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
7.已知函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是 .
8.若函数f（x）的导函数为f'（x）＝x2－4x＋3，则函数f（1＋x）的单调递减区间是 .
9.（2024·开封月考）函数f（x）＝x2－5x＋2ln（2x）的单调递增区间是 .
10.判断函数f（x）＝2x（ex－1）－x2的单调性.
11.函数f（x）＝xcos x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致是（ ）
12.定义在R上的可导函数f（x），已知y＝ef'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，2）
C.（0，1） D.（1，2）
13.（2024·泉州月考）设函数f（x）＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，3] B.（0，2]
C.[3，＋∞） D.[2，＋∞）
14.已知函数f（x）＝ln x－x＋1，x∈（0，＋∞）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）利用（1）的结论证明当x∈（1，＋∞）时ln x＜x－1.
15.（多选）若函数f（x）在定义域D内的某个区间I上单调递增，且F（x）＝在区间I上也单调递增，则称y＝f（x）是I上的“一致递增函数”.已知f（x）＝x＋，若函数f（x）是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是（ ）
A.（－∞，－2） B.（－∞，0）
C.（0，＋∞） D.（2，＋∞）
16.（2024·临沂质检）已知函数f（x）＝（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
第1课时 导数与函数的单调性
1.A 由f'（x）＞0 函数f（x）为增函数，但函数f（x）为增函数 /f'（x）＞0，知“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的充分不必要条件.
2.A f'（x）＝，令f'（x）＞0得x＜1，所以f（x）在（－∞，1）上单调递增，令f'（x）＜0得x＞1，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递减，故选A.
3.C 因为f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
4.D f（x）＝x－2sin x＋1，令f'（x）＝1－2cos x＞0，即cos x＜，因为x∈（0，π），所以＜x＜π，故f（x）在（0，π）上的单调递增区间为（，π）.
5.AB 由y＝x3＋x－1，得y'＝3x2＋1≥1，所以函数是增函数，A满足题意；由y＝sin x－x，得y'＝cos x－1≤0，所以函数是减函数，B满足题意；由y＝xex＋1，得y'＝ex（x＋1），当x≥－1时，y'＝ex（x＋1）≥0，函数单调递增，当x＜－1时，y'＝ex（x＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，C不满足题意；由y＝ex－x，得y'＝ex－1，当x≥0时，y'＝ex－1≥0，函数单调递增，当x＜0时，y'＝ex－1＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.
6.ABC A、B、C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f（x）应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f（x）应为减函数，也不符合.
7.（－1，2），（4，＋∞） 解析：由题图可知，在区间（－1，2），（4，＋∞）上f'（x）＞0；在区间（－∞，－1），（2，4）上f'（x）＜0.由导函数的正负与函数单调性的关系可得，函数f（x）的单调递增区间是（－1，2），（4，＋∞）.
8.（0，2） 解析：令f'（x）＝x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3，由1＜1＋x＜3，解得0＜x＜2，故函数f（1＋x）的单调递减区间为（0，2）.
9.，（2，＋∞） 解析：f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝，由f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜，故f（x）的单调递增区间是，（2，＋∞）.
10.解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（ex－1＋xex－x）＝2（ex－1）（x＋1）.
当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＞0；
当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0.
故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单调递减.
11.A 因为f（x）＝xcos x，所以f'（x）＝cos x－xsin x.因为f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，所以函数图象关于y轴对称.由f'（0）＝1可排除C、D.而f'（1）＝cos 1－sin 1＜0，排除B.
12.B 由题图知f'（x）≥0的区间是（－∞，2），故函数y＝f（x）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.
13.A 由函数f（x）＝4ln x－x2＋3x，可得f'（x）＝－x＋3＝，x＞0，令f'（x）≥0，即≥0，即－x2＋3x＋4≥0，解得0＜x≤4，所以函数f（x）在（0，4]上单调递增，又由函数f（x）在[a，a＋1]上单调递增，所以解得0＜a≤3，故选A.
14.解：（1）∵f'（x）＝－1＝，
∴当x＞1时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＞0.
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）.
（2）证明：由（1）知f（x）＝ln x－x＋1在（1，＋∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（1）＝0，即ln x＜x－1.
15.AD f（x）＝x＋，则f'（x）＝；F（x）＝＝1＋，则F'（x）＝，当x∈（－∞，－2）时，f'（x）＝＞＞0，函数单调递增，F'（x）＝＞0，函数单调递增，A满足；f'（－）＝＜0，故B不满足；F'（1）＝－e＜0，故C不满足；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＝＞0，函数单调递增，F'（x）＝＞0，函数单调递增，故D满足.
16.解：（1）由f（x）＝，
可得f'（x）＝.
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f'（1）＝0，即＝0，解得k＝1.
（2）由（1）知，f'（x）＝（x＞0），
设h（x）＝－ln x－1（x＞0），
则h'（x）＝－－＜0.
可知h（x）在（0，＋∞）上是减函数，由h（1）＝0知，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）＝0，故f'（x）＞0；
当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，故f'（x）＜0.
综上，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
2 / 25.3.1 函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算
第1课时 导数与函数的单调性
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.
【问题】 函数的单调性与导数有什么关系？
知识点一 函数的单调性与导数的关系
定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）：
f'（x）的正负 f（x）的单调性
f'（x）＞0 单调递
f'（x）＜0 单调递
提醒 若在某区间内有有限个点使f'（x）＝0，在其余的点恒有f'（x）＞0（＜0），则f（x）在该区间上单调递增（递减）.知识点二 函数值变化快慢与导数的关系
设函数y＝f（x），在区间（a，b）上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“ ”（向上或向下）
越小 慢 比较“ ”（向上或向下）
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（ ）
（2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（ ）
（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.（ ）
2.函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是（ ）
A.（0，1） B.（0，＋∞）
C.（1，2） D.（2，＋∞）
3.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性是（ ）
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
题型一 函数的单调性与导数的关系
【例1】 （1）下列函数中，在（1，＋∞）上单调递增的是（ ）
A.y＝x3－3x B.y＝ln x－x
C.y＝x＋ D.y＝x2－3x＋1
（2）（2024·枣庄月考）函数y＝xln x在（0，5）上的单调性是（ ）
A.单调递增
B.单调递减
C.在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增
D.在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减
通性通法
利用导数判断函数的单调性的策略
利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断f'（x）的正负或证明不等式f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在给定区间内恒成立.一般步骤为：①求导数f'（x）；②判断f'（x）的符号；③得出结论.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（ ）
A.y＝2x3＋4x B.y＝x＋sin（－x）
C.y＝log2｜x｜ D.y＝2x－2－x
题型二 利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝x3－4x2＋4x－1；
（2）f（x）＝（x＞0且x≠1）.
通性通法
利用导数求函数单调区间的方法
（1）列表法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③确定零点：判断导函数f'（x）有无零点，若有零点，通过解方程f'（x）＝0求出零点；④列表：用f'（x）的零点和函数的无定义点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数f（x）在定义域内的单调性.
（2）解不等式法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③解不等式：在定义域内，令f'（x）＞0，解得函数f（x）的单调递增区间；令f'（x）＜0，解得函数f（x）的单调递减区间.
【跟踪训练】
求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝2x2－ln x.
题型三 函数图象与导函数图象的关系
【例3】 已知导函数f'（x）的下列信息：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0；当0＜x＜7时，f'（x）＜0；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，试画出函数f（x）的大致图象.
通性通法
研究函数图象与导函数图象之间关系的方法
导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调递减区间）.
【跟踪训练】
1.（2024·宁德月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（ ）
2.已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（ ）
1.函数f（x）＝sin x－2x在（－∞，＋∞）上（ ）
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
2.（2024·惠州月考）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（ ）
3.函数f（x）＝x3－3x的单调递减区间为 .
4.证明：函数f（x）＝在区间（0，2）上单调递增.
第1课时 导数与函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点一
增 减
知识点二
陡峭 平缓
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.A f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，则f（x）的单调递增区间是（0，1）.
3.D 易知f'（x）＝－sin x－1，x∈（0，π），∴f'（x）＜0，则f（x）＝cos x－x在（0，π）上单调递减.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）C 解析：（1）由y＝x3－3x可得y'＝3x2－3，当x∈（1，＋∞）时，y'＞0，y＝x3－3x单调递增，故A满足题意；由y＝ln x－x可得y'＝－1，当x∈（1，＋∞）时，y'＜0，y＝ln x－x单调递减，故B不满足题意；易知y＝x＋在（1，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，故C不满足题意；易知y＝x2－3x＋1在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，故D不满足题意，故选A.
（2）由已知得函数y＝xln x的定义域为（0，＋∞）.y'＝ln x＋1，令y'＞0，得x＞；令y'＜0，得0＜x＜.∴函数y＝xln x在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增.
跟踪训练
ABD 由奇函数的定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，y'＝6x2＋4＞0，所以y＝2x3＋4x在（0，1）上单调递增；对于选项B，y'＝1－cos（－x）≥0，且y'不恒为0，所以y＝x＋sin（－x）在（0，1）上单调递增；对于选项D，y'＝2xln 2＋2－xln 2＞0，所以y＝2x－2－x在（0，1）上单调递增.故选A、B、D.
【例2】 解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－8x＋4.
令3x2－8x＋4＝0，解得x＝或x＝2.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，） （，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 f（） 单调递减 f（2） 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，）和（2，＋∞），单调递减区间为（，2）.
（2）法一（列表法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
令f'（x）＝0，得x＝.
列表如下：
x （0，） （，1） （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － －
f（x） 单调递增 f（） 单调递减 单调递减
所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，1），（1，＋∞）.
法二（解不等式法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
由f'（x）＞0，得ln x＋1＜0，所以0＜x＜.
由f'（x）＜0，得ln x＋1＞0，所以x＞.
又因为x≠1，所以＜x＜1或x＞1.
所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，1）和（1，＋∞）.
跟踪训练
解：（1）函数f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.
f'（x）＝＝.因为x∈（－∞，2）∪（2，＋∞），所以ex＞0，（x－2）2＞0.
令f'（x）＝0可得x＝3，则f'（x）在各区间的正负，以及f（x）的单调性如表所示：
x （－∞，2） （2，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） － － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递减 f（3）＝e3 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为（3，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）和（2，3）.
（2）函数f（x）＝2x2－ln x的定义域为（0，＋∞）.
f'（x）＝4x－＝.
因为x＞0，所以2x＋1＞0，由f'（x）＞0，解得x＞，所以函数f（x）的单调递增区间为（，＋∞）；
由f'（x）＜0，解得x＜，
又x∈（0，＋∞），所以函数f（x）的单调递减区间为（0，）.
【例3】 解：
当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0，可知函数f（x）在区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调递增；当0＜x＜7时，f'（x）＜0，可知函数f（x）在区间（0，7）上单调递减；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）的大致形状如图所示.
跟踪训练
1.D 因为函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调递减，所以当x＞0时f'（x）＜0，当x＜0时f'（x）＜0.
2.C 由导函数的图象可知，当x＜0时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增；当0＜x＜x1时，f'（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞x1时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增.结合选项易知C正确.
随堂检测
1.B ∵f'（x）＝cos x－2＜0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
2.D 由导函数不是常数函数，排除A；由导函数f'（x）的图象可知，f'（x）≥0，当且仅当x＝0时，f'（x）＝0，所以函数f（x）是增函数，故排除C；又f'（0）＝0，故排除B；满足条件的只有D.故选D.
3.（－1，1） 解析：对f（x）求导得f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），令f'（x）＜0，解得－1＜x＜1.故f（x）的单调递减区间为（－1，1）.
4.证明：由题意，得f'（x）＝＝.
∵0＜x＜2，∴ln x＜ln 2＜1，∴1－ln x＞0，
∴f'（x）＝＞0.
根据导数与函数单调性的关系，可知函数f（x）＝在区间（0，2）上单调递增.
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