(共50张PPT)
第2课时 函数单调性的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 含参数函数的单调性
【例1】 讨论函数 f （ x ）＝ ax2＋ x －（ a ＋1）ln x （ a ≥0）的单
调性.
解：函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ax ＋1－ ＝ .
①当 a ＝0时，f'（ x ）＝ ，
由f'（ x ）＞0，得 x ＞1，由f'（ x ）＜0，得0＜ x ＜1.
∴ f （ x ）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.
②当 a ＞0时，f'（ x ）＝ ，
∵ a ＞0，∴ ＞0.
由f'（ x ）＞0，得 x ＞1，由f'（ x ）＜0，得0＜ x ＜1.
∴ f （ x ）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.
综上所述，当 a ≥0时， f （ x ）在（0，1）内单调递减，在（1，＋
∞）内单调递增.
通性通法
讨论含参函数的单调性的关键点
（1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'
（ x ）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分
类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结；
（2）求含参函数 y ＝ f （ x ）的单调区间，实质上就是解含参数的不
等式f'（ x ）＞0，f'（ x ）＜0.
【跟踪训练】
设函数 f （ x ）＝e x － ax －2（ a ∈R），求 f （ x ）的单调区间.
解： f （ x ）的定义域为（－∞，＋∞），f'（ x ）＝e x － a .
若 a ≤0，则f'（ x ）＞0，
所以 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数.
若 a ＞0，则当 x ∈（－∞，ln a ）时，f'（ x ）＜0；
当 x ∈（ln a ，＋∞）时，f'（ x ）＞0.
所以 f （ x ）在（－∞，ln a ）上单调递减，在（ln a ，＋∞）上单调递增.
综上所述，当 a ≤0时，函数 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函
数；
当 a ＞0时， f （ x ）的单调递减区间为（－∞，ln a ），
单调递增区间为（ln a ，＋∞）.
题型二 根据函数的单调性求参数
【例2】 已知函数 f （ x ）＝ x3－ ax －1为R上的增函数，求实数 a 的
取值范围.
解：由已知得f'（ x ）＝3 x2－ a ，
因为 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，
所以f'（ x ）＝3 x2－ a ≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，
即 a ≤3 x2对 x ∈R恒成立，因为3 x2≥0，所以只需 a ≤0.
又因为 a ＝0时，f'（ x ）＝3 x2≥0， f （ x ）＝ x3－1在R上是增函数，
所以 a ≤0.即 a 的取值范围为（－∞，0].
【母题探究】
1. （变条件）若函数 f （ x ）＝ x3－ ax －1在（－1，1）上单调递减，
求 a 的取值范围.
解：由题意可知f'（ x ）＝3 x2－ a ≤0在（－1，1）上恒成立，所以
即
所以 a ≥3.
即 a 的取值范围是[3，＋∞）.
2. （变条件）若函数 f （ x ）＝ x3－ ax －1的单调递减区间为（－1，
1），求 a 的值.
解：f'（ x ）＝3 x2－ a ，①当 a ≤0时，f'（ x ）≥0，
所以 f （ x ）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意.
②当 a ＞0时，令3 x2－ a ＝0，得 x ＝± ，
当－ ＜ x ＜ 时，f'（ x ）＜0.
所以 f （ x ）在（－ ， ）上单调递减，
所以 f （ x ）的单调递减区间为（－ ， ），
所以 ＝1，即 a ＝3.
通性通法
由函数的单调性求参数的技巧
（1）转化为导数不等式恒成立问题：若 f （ x ）在区间上单调递增
（减），则f'（ x ）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函
数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意；
（2）若 f （ x ）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：
①转化为单调函数求参数，再求其补集；
②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数.
【跟踪训练】
1. （2024·青岛月考）若函数 f （ x ）＝ ax －ln x 在[1，2]上单调递
增，则 a 的取值范围是（ ）
A. （－∞，1] B. [1，＋∞）
C. ［ ，＋∞） D. （－∞， ］
解析： f'（ x ）＝ a － .因为 f （ x ）在[1，2]上单调递增，所以
f'（ x ）≥0对 x ∈[1，2]恒成立，即 a ≥ 对 x ∈[1，2]恒成立，所
以 a ≥（ ）max＝1，即 a ∈[1，＋∞）.
2. 若函数 f （ x ）＝ x3－12 x 在区间（ k －1， k ＋1）上不单调，则实
数 k 的取值范围是（ ）
A. （－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）
B. （－3，－1）∪（1，3）
C. （－2，2）
D. 不存在这样的实数 k
解析： 由题意得，f'（ x ）＝3 x2－12＝0在区间（ k －1， k ＋
1）上至少有一个实数根.又f'（ x ）＝3 x2－12＝0的根为±2，且f'
（ x ）在 x ＝2或－2两侧异号，而区间（ k －1， k ＋1）的区间长度
为2，故只有2或－2在区间（ k －1， k ＋1）内，∴ k －1＜2＜ k ＋1
或 k －1＜－2＜ k ＋1，∴1＜ k ＜3或－3＜ k ＜－1，故选B.
题型三 函数单调性的应用
【例3】 （1）（2024·郑州月考）已知函数 f （ x ）＝ ＋ln x ，则
（ ）
A. f （e）＜ f （π）＜ f （2.7）
B. f （π）＜ f （e）＜ f （2.7）
C. f （e）＜ f （2.7）＜ f （π）
D. f （2.7）＜ f （e）＜ f （π）
解析：函数 f （ x ）＝ ＋ln x 的定义域为（0，＋∞）.∵f'（ x ）＝（ ＋ln x ）'＝（ ）'＋（ln x ）'＝ ＋ ＞0，
∴ f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴ f （2.7）＜ f （e）＜ f （π），故选D.
（2）已知函数 f （ x ）＝4 x ＋3 sin x ， x ∈（－1，1），若 f （1－ a ）
＋ f （1－ a2）＜0成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. （0，1）
B. （1， ）
C. （－2，－ ）
D. （－∞，－2）∪（1，＋∞）
解析：∵ f （ x ）＝4 x ＋3 sin x ， x ∈（－1，1），∴f'（ x ）＝4
＋3 cos x ＞0在 x ∈（－1，1）上恒成立，∴ f （ x ）在（－1，1）上单调递增.又 f （ x ）＝4 x ＋3 sin x ， x ∈（－1，1）是奇函数，∴不等式 f （1－ a ）＋ f （1－ a2）＜0可化为 f （1－ a ）＜ f （ a2－1）.结合函数 f （ x ）的定义域可知， a 要满足
解得1＜ a ＜ .
通性通法
比较大小及求函数不等式解集的一般思路
（1）在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调
性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式
的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.
（2）对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调
性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域.
【跟踪训练】
1. 已知实数 x ， y 满足2 x ＋2 x ＜2 y ＋2 y ，则（ ）
A. x ＞ y B. x ＝ y
C. x ＜ y D. x ， y 的大小不确定
解析： 设 f （ t ）＝2 t ＋2 t ，所以f'（ t ）＝2＋2 t ln 2＞0，所以函
数 f （ t ）是增函数，由题意得 f （ x ）＜ f （ y ），所以 x ＜ y .
2. 如图所示的是函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d 的图象，f'（ x ）为函数 f （ x ）的导函数，则不等式 x ·f'（ x ）＜0的解集为 .
{ x ｜ x ＜
－ 或0＜ x ＜ }
解析：由 f （ x ）的图象知， f （ x ）在（－∞，－ ）和（ ，
＋∞）上单调递增，在（－ ， ）上单调递减，所以当 x ∈
（－∞，－ ）∪（ ，＋∞）时，f'（ x ）＞0；当 x ∈（－
， ）时，f'（ x ）＜0.所以 x ·f'（ x ）＜0的解集为{ x ｜ x ＜－
或0＜ x ＜ }.
1. 设函数 f （ x ）＝2 x ＋ sin x ，则（ ）
A. f （1）＞ f （2） B. f （1）＜ f （2）
C. f （1）＝ f （2） D. 以上都不正确
解析： f'（ x ）＝2＋ cos x ＞0，故 f （ x ）是R上的增函数，故 f
（1）＜ f （2）.
2. 若函数 f （ x ）＝－ cos x ＋ ax 为增函数，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A. [－1，＋∞） B. [1，＋∞）
C. （－1，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 由题意可得，f'（ x ）＝ sin x ＋ a ≥0恒成立，故 a ≥－
sin x 恒成立，因为－1≤－ sin x ≤1，所以 a ≥1.
3. （2024·温州月考）已知函数 f （ x ）＝ ，若 f （ a ＋3）＞ f
（2 a ），则 a 的取值范围是 .
解析：由函数 f （ x ）＝ ，可得f'（ x ）＝ ＞0，即 f
（ x ）为R上的增函数，故由 f （ a ＋3）＞ f （2 a ）可得 a ＋3＞2
a ，∴ a ＜3.
（－∞，3）
4. 已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2－ a2 x ＋2（ a ＞0）.求函数 f （ x ）的单
调区间.
解：f'（ x ）＝3 x2＋2 ax － a2＝（ x ＋ a ）（3 x － a ），
由f'（ x ）＝0得 x ＝－ a 或 x ＝ .
又 a ＞0，由f'（ x ）＜0，得－ a ＜ x ＜ ，
由f'（ x ）＞0，得 x ＜－ a 或 x ＞ ，
故 f （ x ）的单调递减区间为 ，单调递增区间为
和 .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）＝3 x － ax （ a ∈R），则“ a ＜0”是“函数 f
（ x ）为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 因为 f （ x ）＝3 x － ax ，所以f'（ x ）＝3 x ln 3－ a ，所以
当 a ≤0时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）在定义域上是增函数.因为
（－∞，0） （－∞，0]，所以“ a ＜0”是“函数 f （ x ）为增函
数”的充分不必要条件.故选A.
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2. 若 f （ x ）＝ x3－ ax2的单调递减区间是（0，2），则正数 a 的值是
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： f'（ x ）＝ x2－2 ax ，令f'（ x ）＜0，由于 a ＞0，故解得0
＜ x ＜2 a ，故2 a ＝2，即 a ＝1.
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3. 若函数 f （ x ）＝ x3－2 ax2－（ a －2） x ＋5恰好有三个单调区间，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. －1≤ a ≤2 B. －2≤ a ≤1
C. a ＞2或 a ＜－1 D. a ＞1或 a ＜－2
解析： 若函数 f （ x ）有3个单调区间，则f'（ x ）＝4 x2－4 ax －
（ a －2）有2个零点，故Δ＝16 a2＋16（ a －2）＞0，解得 a ＞1或 a
＜－2.
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4. （2024·温州期中）已知函数 f （ x ）＝ ，当1＜ x ＜3时，下列关
系正确的是（ ）
A. f （ ）＜ f （ x ）＜[ f （ x ）]2
B. f （ x ）＜ f （ ）＜[ f （ x ）]2
C. [ f （ x ）]2＜ f （ ）＜ f （ x ）
D. [ f （ x ）]2＜ f （ x ）＜ f （ ）
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解析： 由题意得f'（ x ）＝ ，当1＜ x ＜3时，f'（ x ）
＞0，所以 f （ x ）在（1，3）上单调递增.又1＜ ＜ x ＜3，所以 f
（ ）＜ f （ x ）.由 f （ x ）在（1，3）上单调递增，可知当 x ∈
（1，3）时， f （ x ）＞ f （1）＝e，所以[ f （ x ）]2＞ f （ x ）.综上
f （ ）＜ f （ x ）＜[ f （ x ）]2.
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5. （多选）已知定义在R上的函数 f （ x ），其导函数 y ＝f'（ x ）的大
致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A. f （ b ）＞ f （ a ） B. f （ d ）＞ f （ e ）
C. f （ a ）＞ f （ d ） D. f （ c ）＞ f （ e ）
解析：由题图可得，当 x ∈（－∞， c ）∪（ e ，＋∞）
时，f'（ x ）＞0，当 x ∈（ c ， e ）时，f'（ x ）＜0，故 f （ x ）在（－∞， c ），（ e ，＋∞）上单调递增，在（ c ， e ）上单调递减，所以 f （ b ）＞ f （ a ）， f （ d ）＞ f （ e ）， f （ c ）＞ f （ e ）.
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6. （多选）若函数 f （ x ）＝ x2－9ln x ，在区间[ m －1， m ＋1]上单
调，则实数 m 的取值可以是（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ x － ＝
；由f'（ x ）≥0得函数 f （ x ）的单调递增区间为[3，＋∞）；
由f'（ x ）≤0得函数 f （ x ）的单调递减区间为（0，3]；因为 f
（ x ）在区间[ m －1， m ＋1]上单调，所以或 m －
1≥3，解得1＜ m ≤2或 m ≥4；结合选项可得A、C正确.
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7. 函数 f （ x ）＝ x3－ （2 a ＋1） x2＋（ a2＋ a ） x ＋4（ a ∈R）的
单调递减区间是 .
解析：f'（ x ）＝ x2－（2 a ＋1） x ＋ a2＋ a ＝[ x －（ a ＋1）]（ x －
a ），令f'（ x ）＜0，得 a ＜ x ＜ a ＋1，故 f （ x ）的单调递减区间
是（ a ， a ＋1）.
（ a ， a ＋1）
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8. 若 f （ x ）＝ x3－ ax2＋4在（0，2）内单调递减，则实数 a 的取值范
围是 .
解析：f'（ x ）＝3 x2－2 ax ，∵ f （ x ）在（0，2）内单调递减，
∴∴∴ a ≥3.
[3，＋∞）
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9. （2024·厦门月考）若函数 f （ x ）＝2 x － sin x ，则满足 f （2 x －
1）＞ f （ x ＋1）的实数 x 的取值范围是 .
解析：∵f'（ x ）＝2－ cos x ＞0，∴ f （ x ）＝2 x － sin x 在R
上是增函数，又∵ f （2 x －1）＞ f （ x ＋1），∴2 x －1＞ x ＋
1，解得 x ＞2.
（2，＋∞）
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10. 已知函数 f （ x ）＝ a ln x ＋ x ，讨论 f （ x ）的单调性.
解：∵ f （ x ）＝ a ln x ＋ x （ x ＞0），
∴f'（ x ）＝ ＋1＝ （ x ＞0），
若 a ≥0，则f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）在（0，＋∞）上为增
函数；
若 a ＜0，则当 x ∈（－ a ，＋∞）时，f'（ x ）＞0，当 x ∈
（0，－ a ）时，f'（ x ）＜0，
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∴ f （ x ）在（－ a ，＋∞）上单调递增，在（0，－ a ）上单
调递减.
综上，当 a ≥0时， f （ x ）在（0，＋∞）上为增函数；
当 a ＜0时， f （ x ）在区间（－ a ，＋∞）上单调递增，在区
间（0，－ a ）上单调递减.
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11. 已知函数 f （ x ）＝ ax －e x 在（0，1）上不是单调函数，则实数 a
的取值范围是（ ）
A. （0，1） B. （0，e）
C. （1，e） D. （－∞，e）
解析： f'（ x ）＝ a －e x .因为 f （ x ）＝ ax －e x 在（0，1）上不
单调，所以f'（ x ）＝0在（0，1）上有解，又f'（ x ）在（0，1）
上单调递减，所以f'（0）＝ a －1＞0，f'（1）＝ a －e＜0，故 a ∈
（1，e）.故选C.
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12. （2024·广州月考）已知函数 f （ x ）＝2 sin x －e x ＋e－ x ，则关于 x
的不等式 f （ x2－4）＋ f （3 x ）＜0的解集为（ ）
A. （－4，1） B. （－1，4）
C. （－∞，－4）∪（1，＋∞） D. [－1，4]
解析： f （－ x ）＝－2 sin x －e－ x ＋e x ，∵ f （－ x ）＋ f （ x ）
＝0，∴ f （ x ）为奇函数，则f'（ x ）＝2 cos x －（e x ＋e－ x ），
∵2 cos x ≤2，e x ＋e－ x ≥2，∴f'（ x ）≤0， f （ x ）为减函数，又
f （ x2－4）＋ f （3 x ）＜0，则 f （ x2－4）＜－ f （3 x ）＝ f （－3
x ），∴ x2－4＞－3 x ，∴ x ＞1或 x ＜－4.故选C.
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13. 已知奇函数 f （ x ）的定义域为R，且 ＞0，则 f （ x ）的单调递减区间为 ；满足以上条件的一个函数是
.
（－1，1）
f
（ x ）＝ x3－ x （答案不唯一）
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解析：由 ＞0，可得f'（ x ）（ x2－1）＞0，所以
或所以当 x ＜－1或 x ＞1时，f'（ x ）
＞0，当－1＜ x ＜1时，f'（ x ）＜0，所以 f （ x ）的单调递减区间
为（－1，1）.满足条件的一个函数可以为 f （ x ）＝ x3－ x .
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ax2＋ln（ x ＋1）.
（1）当 a ＝－ 时，求函数 f （ x ）的单调区间；
解：当 a ＝－ 时， f （ x ）＝－ x2＋ln（ x ＋1）（ x ＞－1），则f'（ x ）＝－ x ＋ ＝－ （ x ＞－1）.
令f'（ x ）＞0，解得－1＜ x ＜1；
令f'（ x ）＜0，解得 x ＞1.
故函数 f （ x ）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区
间是（1，＋∞）.
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（2）若函数 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数 a 的取
值范围.
解：因为函数 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递减，
所以f'（ x ）＝2 ax ＋ ≤0对任意 x ∈[1，＋∞）恒成立，
即 a ≤－ 对任意 x ∈[1，＋∞）恒成立.
令 g （ x ）＝－ ， x ∈[1，＋∞），易求得g'（ x ）＞0在[1，＋∞）上恒成立，所以 g （ x ）在[1，＋∞）上单调递增，因此 g （ x ）min＝ g （1）＝－ ，故 a ≤－ .
即实数 a 的取值范围是 .
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15. 已知函数 f （ x ）＝e｜ x｜＋ cos x ，则不等式 f （2 x ）≤ f （ x －1）
的解集为 .
{ x ｜－1≤ x ≤ }
解析：函数 f （ x ）的定义域为R， f （－ x ）＝e｜－ x｜＋ cos （－
x ）＝e｜ x｜＋ cos x ＝ f （ x ），所以函数 f （ x ）为偶函数.当 x ≥0
时， f （ x ）＝e x ＋ cos x ，f'（ x ）＝e x － sin x ≥1－ sin x ≥0，所
以函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，由 f （2 x ）≤ f （ x
－1）可得 f （｜2 x ｜）≤ f （｜ x －1｜），所以｜2 x ｜≤｜ x －
1｜，则有4 x2≤（ x －1）2，得3 x2＋2 x －1≤0，解得－1≤ x ≤ .
所以不等式的解集为{ x ｜－1≤ x ≤ }.
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16. （2024·宁波月考）设函数 f （ x ）＝（ x ＋ a ）ln x ， g （ x ）＝ .
已知曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线与直线2 x － y ＝
0平行.
（1）求 a 的值；
解：由题意知，曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处
的切线斜率为2，所以f'（1）＝2，
又f'（ x ）＝ln x ＋ ＋1，
所以 a ＋1＝2，解得 a ＝1.
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（2）是否存在自然数 k ，使得方程 f （ x ）＝ g （ x ）在（ k ， k ＋
1）内存在唯一的根？如果存在，求出 k ；如果不存在，请
说明理由.
解：存在.
设 h （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）＝（ x ＋1）ln x － ，
当 x ∈（0，1]时， h （ x ）＜0，
又 h （2）＝3ln 2－ ＝ln 8－ ＞0，
所以存在 x0∈（1，2），使得 h （ x0）＝0.
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因为h'（ x ）＝ln x ＋ ＋1＋ ，
当 x ∈（1，2）时，h'（ x ）＞1－ ＞0，
当 x ∈[2，＋∞）时，h'（ x ）＞0，
所以当 x ∈（1，＋∞）时， h （ x ）单调递增.
所以当 k ＝1时，方程 f （ x ）＝ g （ x ）在（ k ， k ＋1）内存
在唯一的根.
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谢 谢 观 看！第2课时 函数单调性的应用
1.已知函数f（x）＝3x－ax（a∈R），则“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若f（x）＝x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a的值是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若函数f（x）＝x3－2ax2－（a－2）x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1
C.a＞2或a＜－1 D.a＞1或a＜－2
4.（2024·温州期中）已知函数f（x）＝，当1＜x＜3时，下列关系正确的是（ ）
A.f（）＜f（x）＜[f（x）]2 B.f（x）＜f（）＜[f（x）]2
C.[f（x）]2＜f（）＜f（x） D.[f（x）]2＜f（x）＜f（）
5.（多选）已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A.f（b）＞f（a） B.f（d）＞f（e）
C.f（a）＞f（d） D.f（c）＞f（e）
6.（多选）若函数f（x）＝x2－9ln x，在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值可以是（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
7.函数f（x）＝x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4（a∈R）的单调递减区间是 .
8.若f（x）＝x3－ax2＋4在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是 .
9.（2024·厦门月考）若函数f（x）＝2x－sin x，则满足f（2x－1）＞f（x＋1）的实数x的取值范围是 .
10.已知函数f（x）＝aln x＋x，讨论f（x）的单调性.
11.已知函数f（x）＝ax－ex在（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（0，e）
C.（1，e） D.（－∞，e）
12.（2024·广州月考）已知函数f（x）＝2sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f（x2－4）＋f（3x）＜0的解集为（ ）
A.（－4，1） B.（－1，4）
C.（－∞，－4）∪（1，＋∞） D.[－1，4]
13.已知奇函数f（x）的定义域为R，且＞0，则f（x）的单调递减区间为 ；满足以上条件的一个函数是 .
14.已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）.
（1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围.
15.已知函数f（x）＝e｜x｜＋cos x，则不等式f（2x）≤f（x－1）的解集为 .
16.（2024·宁波月考）设函数f（x）＝（x＋a）ln x，g（x）＝.已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x－y＝0平行.
（1）求a的值；
（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.
第2课时 函数单调性的应用
1.A 因为f（x）＝3x－ax，所以f'（x）＝3xln 3－a，所以当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函数.因为（－∞，0） （－∞，0]，所以“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的充分不必要条件.故选A.
2.A f'（x）＝x2－2ax，令f'（x）＜0，由于a＞0，故解得0＜x＜2a，故2a＝2，即a＝1.
3.D 若函数f（x）有3个单调区间，则f'（x）＝4x2－4ax－（a－2）有2个零点，故Δ＝16a2＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2.
4.A 由题意得f'（x）＝，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，3）上单调递增.又1＜＜x＜3，所以f（）＜f（x）.由f（x）在（1，3）上单调递增，可知当x∈（1，3）时，f（x）＞f（1）＝e，所以[f（x）]2＞f（x）.综上f（）＜f（x）＜[f（x）]2.
5.ABD 由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）.
6.AC f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝；由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3]；因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4；结合选项可得A、C正确.
7.（a，a＋1） 解析：f'（x）＝x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调递减区间是（a，a＋1）.
8.[3，＋∞） 解析：f'（x）＝3x2－2ax，∵f（x）在（0，2）内单调递减，∴∴∴a≥3.
9.（2，＋∞） 解析：∵f'（x）＝2－cos x＞0，∴f（x）＝2x－sin x在R上是增函数，又∵f（2x－1）＞f（x＋1），∴2x－1＞x＋1，解得x＞2.
10.解：∵f（x）＝aln x＋x（x＞0），
∴f'（x）＝＋1＝（x＞0），
若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数；
若a＜0，则当x∈（－a，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（0，－a）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（－a，＋∞）上单调递增，在（0，－a）上单调递减.
综上，当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上为增函数；
当a＜0时，f（x）在区间（－a，＋∞）上单调递增，在区间（0，－a）上单调递减.
11.C f'（x）＝a－ex.因为f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（0，1）上有解，又f'（x）在（0，1）上单调递减，所以f'（0）＝a－1＞0，f'（1）＝a－e＜0，故a∈（1，e）.故选C.
12.C f（－x）＝－2sin x－e－x＋ex，∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，则f'（x）＝2cos x－（ex＋e－x），∵2cos x≤2，ex＋e－x≥2，∴f'（x）≤0，f（x）为减函数，又f（x2－4）＋f（3x）＜0，则f（x2－4）＜－f（3x）＝f（－3x），∴x2－4＞－3x，∴x＞1或x＜－4.故选C.
13.（－1，1） f（x）＝x3－x（答案不唯一）
解析：由＞0，可得f'（x）（x2－1）＞0，所以或所以当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0，当－1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（－1，1）.满足条件的一个函数可以为f（x）＝x3－x.
14.解：（1）当a＝－时，f（x）＝－x2＋ln（x＋1）（x＞－1），
则f'（x）＝－x＋＝－（x＞－1）.
令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1；
令f'（x）＜0，解得x＞1.
故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
（2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立.
令g（x）＝－，x∈[1，＋∞），
易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立，
所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增，
因此g（x）min＝g（1）＝－，故a≤－.
即实数a的取值范围是.
15.{x｜－1≤x≤} 解析：函数f（x）的定义域为R，f（－x）＝e｜－x｜＋cos（－x）＝e｜x｜＋cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数.当x≥0时，f（x）＝ex＋cos x，f'（x）＝ex－sin x≥1－sin x≥0，所以函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，由f（2x）≤f（x－1）可得f（｜2x｜）≤f（｜x－1｜），所以｜2x｜≤｜x－1｜，则有4x2≤（x－1）2，得3x2＋2x－1≤0，解得－1≤x≤.所以不等式的解集为{x｜－1≤x≤}.
16.解：（1）由题意知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f'（1）＝2，
又f'（x）＝ln x＋＋1，
所以a＋1＝2，解得a＝1.
（2）存在.
设h（x）＝f（x）－g（x）＝（x＋1）ln x－，
当x∈（0，1]时，h（x）＜0，
又h（2）＝3ln 2－＝ln 8－＞0，
所以存在x0∈（1，2），使得h（x0）＝0.
因为h'（x）＝ln x＋＋1＋，
当x∈（1，2）时，h'（x）＞1－＞0，
当x∈[2，＋∞）时，h'（x）＞0，
所以当x∈（1，＋∞）时，h（x）单调递增.
所以当k＝1时，方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根.
2 / 2第2课时 函数单调性的应用
题型一 含参数函数的单调性
【例1】 讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性.
通性通法
讨论含参函数的单调性的关键点
（1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结；
（2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0.
【跟踪训练】
设函数f（x）＝ex－ax－2（a∈R），求f（x）的单调区间.
题型二 根据函数的单调性求参数
【例2】 已知函数f（x）＝x3－ax－1为R上的增函数，求实数a的取值范围.
【母题探究】
1.（变条件）若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围.
2.（变条件）若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值.
通性通法
由函数的单调性求参数的技巧
（1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意；
（2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：
①转化为单调函数求参数，再求其补集；
②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数.
【跟踪训练】
1.（2024·青岛月考）若函数f（x）＝ax－ln x在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A.（－∞，1] B.[1，＋∞）
C.［，＋∞） D.（－∞，］
2.若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）
B.（－3，－1）∪（1，3）
C.（－2，2）
D.不存在这样的实数k
题型三 函数单调性的应用
【例3】 （1）（2024·郑州月考）已知函数f（x）＝＋ln x，则（ ）
A.f（e）＜f（π）＜f（2.7） B.f（π）＜f（e）＜f（2.7）
C.f（e）＜f（2.7）＜f（π） D.f（2.7）＜f（e）＜f（π）
（2）已知函数f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.（0，1） B.（1，）
C.（－2，－） D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
通性通法
比较大小及求函数不等式解集的一般思路
（1）在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.
（2）对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域.
【跟踪训练】
1.已知实数x，y满足2x＋2x＜2y＋2y，则（ ）
A.x＞y B.x＝y
C.x＜y D.x，y的大小不确定
2.如图所示的是函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f'（x）＜0的解集为 .
1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（ ）
A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2）
C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确
2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－1，＋∞） B.[1，＋∞）
C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞）
3.（2024·温州月考）已知函数f（x）＝，若f（a＋3）＞f（2a），则a的取值范围是 .
4.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2（a＞0）.求函数f（x）的单调区间.
第2课时 函数单调性的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ax＋1－＝.
①当a＝0时，f'（x）＝，
由f'（x）＞0，得x＞1，
由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.
②当a＞0时，f'（x）＝，
∵a＞0，∴＞0.
由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.
跟踪训练
解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a.
若a≤0，则f'（x）＞0，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数.
若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0；
当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a），
单调递增区间为（ln a，＋∞）.
【例2】 解：由已知得f'（x）＝3x2－a，
因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
所以f'（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，f（x）＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.即a的取值范围为（－∞，0].
母题探究
1.解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立，所以即
所以a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞）.
2.解：f'（x）＝3x2－a，①当a≤0时，f'（x）≥0，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意.
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f'（x）＜0.
所以f（x）在（－，）上单调递减，
所以f（x）的单调递减区间为（－，），
所以＝1，即a＝3.
跟踪训练
1.B f'（x）＝a－.因为f（x）在[1，2]上单调递增，所以f'（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即a≥对x∈[1，2]恒成立，所以a≥（）max＝1，即a∈[1，＋∞）.
2.B 由题意得，f'（x）＝3x2－12＝0在区间（k－1，k＋1）上至少有一个实数根.又f'（x）＝3x2－12＝0的根为±2，且f'（x）在x＝2或－2两侧异号，而区间（k－1，k＋1）的区间长度为2，故只有2或－2在区间（k－1，k＋1）内，∴k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，∴1＜k＜3或－3＜k＜－1，故选B.
【例3】 （1）D （2）B 解析：（1）函数f（x）＝＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋ln x）'＝（）'＋（ln x）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D.
（2）∵f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3cos x＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增.又f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a）＋f（1－a2）＜0可化为f（1－a）＜f（a2－1）.结合函数f（x）的定义域可知，a要满足解得1＜a＜.
跟踪训练
1.C 设f（t）＝2t＋2t，所以f'（t）＝2＋2tln 2＞0，所以函数f（t）是增函数，由题意得f（x）＜f（y），所以x＜y.
2.{x｜x＜－或0＜x＜}
解析：由f（x）的图象知，f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，）上单调递减，所以当x∈（－∞，－）∪（，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－，）时，f'（x）＜0.所以x·f'（x）＜0的解集为{x｜x＜－或0＜x＜}.
随堂检测
1.B f'（x）＝2＋cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜f（2）.
2.B 由题意可得，f'（x）＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.
3.（－∞，3） 解析：由函数f（x）＝，可得f'（x）＝＞0，即f（x）为R上的增函数，故由f（a＋3）＞f（2a）可得a＋3＞2a，∴a＜3.
4.解：f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）·（3x－a），
由f'（x）＝0得x＝－a或x＝.
又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜，
由f'（x）＞0，得x＜－a或x＞，
故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（－∞，－a）和.
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