(共64张PPT)
5.3.2
函数的极值与最大（小）值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必
要条件和充分条件 数学抽象、
直观想象
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给
定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最
小值 数学运算
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 逻辑推理、
数学运算
第1课时 函数的极值
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起
伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的
最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群
山之中的最低处，它却是其附近的最低点.
【问题】 在数学上，这种现象如何来刻画呢？
知识点 极小值、极大值的概念
极小值 极大值
图
象
极小值 极大值
定
义 函数 y ＝ f （ x ）在点 x ＝ a 处的
函数值 f （ a ）比它在点 x ＝ a
附近其他点处的函数值都 ，f'（ a ）＝0；而且在点 x ＝ a 附近的左侧 ，右侧 ，把 叫做函数 y ＝ f （ x ）的极小值点， 叫做函数 y ＝ f （ x ）的极小值 函数 y ＝ f （ x ）在点 x ＝ b 处的
函数值 f （ b ）比它在点 x ＝ b 附
近其他点处的函数值都 ，
f'（ b ）＝0；而且在点 x ＝ b 附近
的左侧 ，右侧f'
（ x ） 0，把 叫做函
数 y ＝ f （ x ）的极大值点，
叫做函数 y ＝ f （ x ）的
极大值
极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称
为
小
f'
（ x ）＜0
f'（ x ）＞
0
a
f
（ a ）
大
f'（ x ）＞0
＜
b
f
（ b ）
极值点
极值
提醒 （1）极值点不是点；
（2）极值是函数的局部性质；
（3）函数的极值不唯一；
（4）极大值与极小值两者的大小不确定；
（5）极值点出现在区间的内部，端点不可能是极值点.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）导数为0的点一定是极值点. （ × ）
（2）函数的极大值一定大于极小值. （ × ）
（3）函数 y ＝ f （ x ）一定有极大值和极小值. （ × ）
（4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值. （ √ ）
×
×
×
√
2. 已知函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象如图所示，则函数 f （ x ）
有（ ）
A. 两个极大值，一个极小值
B. 两个极大值，无极小值
C. 一个极大值，一个极小值
D. 一个极大值，两个极小值
解析： 由题图可知导函数f'（ x ）有三个零点，且 x1＜0， x2＝
0， x3＞0，当 x ＜ x1时，f'（ x ）＜0，当 x1＜ x ＜0时，f'（ x ）＞0，
所以函数 f （ x ）在 x ＝ x1处取得极小值；当 x1＜ x ＜ x2时，f'（ x ）
＞0，当 x2＜ x ＜ x3时，f'（ x ）＞0，所以函数 f （ x ）在 x ＝ x2处无
极值；当 x ＞ x3时，f'（ x ）＜0，所以函数 f （ x ）在 x ＝ x3处取得
极大值，故选C.
3. 已知函数 f （ x ）＝2 x3＋ ax2＋36 x －24在 x ＝2处有极值，则 a
＝ .
解析：∵f'（ x ）＝6 x2＋2 ax ＋36，且在 x ＝2处有极值，
∴f'（2）＝0，即24＋4 a ＋36＝0，解得 a ＝－15.
－15
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 极值的图象特征
【例1】 （2024·济宁月考）函数 f （ x ）的定义域为R，导函数 y ＝f'
（ x ）的图象如图所示，则函数 f （ x ）（ ）
A. 无极大值点，有四个极小值点
B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点
D. 有四个极大值点，无极小值点
解析： 设 y ＝f'（ x ）的图象与 x 轴的交点从左到右的横坐标依次为
x1， x2， x3， x4.由导数与函数极值的关系知， f （ x ）在 x ＝ x1， x ＝
x3处取得极大值，在 x ＝ x2， x ＝ x4处取得极小值.故函数 f （ x ）有两
个极大值点，两个极小值点.
通性通法
解决函数极值与函数、导函数图象关系的注意点
（1）对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，
在哪个区间上为负，图象在哪个点处与 x 轴相交，在交点附近导
函数的值是怎样变化的；
（2）对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪
个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）的定义域为（ a ， b ），其导函数f'（ x ）在（ a ，
b ）上的图象如图所示，则函数 f （ x ）在（ a ， b ）上的极小值点共
有（ ）
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 4个
解析： 根据极小值点存在的条件：①f'（ x0）＝0，②在 x ＝ x0的左
侧f'（ x ）＜0，在 x ＝ x0的右侧f'（ x ）＞0，可以判断出函数 f （ x ）的
极小值点共有1个.
题型二 利用导数求函数的极值
角度1 求不含参数的函数的极值
【例2】 求下列函数的极值：
（1） f （ x ）＝（ x3－1）2＋1；
解：∵ f （ x ）＝（ x3－1）2＋1＝ x6－2 x3＋2，
∴f'（ x ）＝6 x5－6 x2＝6 x2（ x3－1）.
令f'（ x ）＝0，得 x ＝0或 x ＝1.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（ x ） － 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调递减 2 单调递减 1 单调递增
∴当 x ＝1时， f （ x ）有极小值，为 f （1）＝1， f （ x ）无
极大值.
（2） f （ x ）＝ .
解：函数 f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）
＝ .
令f'（ x ）＝0，得 x ＝e.
当 x 变化时，f'（ x ）与 f （ x ）的变化情况如表所示：
x （0，e） e （e，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 －
f （ x ） 单调递增 单调递减
因此， x ＝e是函数 f （ x ）的极大值点，极大值为 f （e）＝ ，
函数 f （ x ）没有极小值.
通性通法
函数极值和极值点的求解步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求方程f'（ x ）＝0的根；
（3）用方程f'（ x ）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区
间，并列成表格；
（4）由f'（ x ）在方程f'（ x ）＝0的根左右的符号，来判断 f （ x ）在
这个根处取极值的情况.
角度2 求含参数的函数的极值
【例3】 已知函数 f （ x ）＝ x － a ln x （ a ∈R），求函数 f （ x ）的
极值.
解：由f'（ x ）＝1－ ＝ （ x ＞0）知，
（1）当 a ≤0时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）为（0，＋∞）上的增函
数，函数 f （ x ）无极值；
（2）当 a ＞0时，由f'（ x ）＝0，解得 x ＝ a ，
又当 x ∈（0， a ）时，f'（ x ）＜0，当 x ∈（ a ，＋∞）时，f'
（ x ）＞0，
∴函数 f （ x ）在 x ＝ a 处取得极小值，且极小值为 f （ a ）＝ a －
a ln a ，无极大值.
综上，当 a ≤0时，函数 f （ x ）无极值；当 a ＞0时，函数 f （ x ）
在 x ＝ a 处取得极小值 a － a ln a ，无极大值.
通性通法
求含参数函数极值的基本思路
求含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问
题，讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'（ x ）的零点有影响，若
有影响，则需要分类讨论；二是看零点附近的符号是否与参数有关，
若有关，则需要分类讨论.
【跟踪训练】
求函数 f （ x ）＝ x3－3 ax ＋ b （ a ≠0）的极值.
解：f'（ x ）＝3（ x2－ a ）（ a ≠0），
当 a ＜0时，f'（ x ）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函
数，此时函数没有极值；
当 a ＞0时，令f'（ x ）＝0，得 x ＝－ 或 x ＝ .
当 x 变化时，f'（ x ）与 f （ x ）的变化情况如下表：
x （－∞，
－ ） － （－ ，
） （ ，
＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调 递增 极大值 f （－ ） 单调 递减 极小值 f （ ） 单调
递增
∴ f （ x ）的极大值为 f （－ ）＝2 a ＋ b ，
极小值为 f （ ）＝－2 a ＋ b .
题型三 由极值求参数值（范围）
【例4】 （1）（2024·阳江月考）已知函数 f （ x ）的导数f'（ x ）＝
a （ x ＋1）（ x － a ），若 f （ x ）在 x ＝ a 处取到极大值，则 a 的取值
范围是（ ）
A. （－∞，－1） B. （0，＋∞）
C. （0，1） D. （－1，0）
解析：若 a ＜－1，∵f'（ x ）＝ a （ x ＋1）（ x － a ），∴ f （ x ）在（－∞， a ）上单调递减，在（ a ，－1）上单调递增，∴ f （ x ）在 x ＝ a 处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜ a ＜0，则 f （ x ）在（－1， a ）上单调递增，在（ a ，＋∞）上单调递减，从而在 x ＝ a 处取得极大值.若 a ＞0，则 f （ x ）在（－1， a ）上单调递减，在（ a ，＋∞）上单调递增， f （ x ）在 x ＝ a 处取得极小值，与题意矛盾，故选D.
（2）已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2在 x ＝1处取得极值10，试
求 a 的值.
解：∵ f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2，∴f'（ x ）＝3 x2＋2 ax＋ b .
由题意得
即解得或
当时，f'（ x ）＝3 x2－6 x ＋3＝3（ x －1）2≥0，故函
数 f （ x ）是增函数，无极值，不符合题意.∴ a ＝4.
通性通法
由函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存
在的条件：
（1）极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号，利用待
定系数法列方程（不等式）求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待
定系数法求解后必须验证根的合理性.
【跟踪训练】
设 a ∈R，若函数 y ＝e x ＋ ax ， x ∈R有大于零的极值点，则
（ ）
A. a ＜－ B. a ＞－1
C. a ＜－1 D. a ＞－
解析： y'＝e x ＋ a ，由题意知 a ＜0.∵函数有大于零的极值点，设 x
＝ x0为其极值点，∴ ＋ a ＝0，又 x0＞0，∴ a ＜－1，故选C.
1. 已知函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象如图所示，若 f （ x ）在 x ＝ x0处有极值，则 x0＝（ ）
A. －3 B. 0
C. 3 D. 7
解析：由f'（ x ）的图象知 x ＝0时，f'（0）＝0；－3＜ x ＜0时，f'（ x ）＞0；0＜ x ＜3时，f'（ x ）＜0.故0是极值点.虽然有f'（7）＝0，但在7的两侧，f'（ x ）＜0，7不是极值点.
2. （2024·三门峡月考）函数 f （ x ）＝ x3－ x2－3 x ＋6的极大值为
，极小值为 .
解析：f'（ x ）＝ x2－2 x －3，令f'（ x ）＞0，得 x ＜－1或 x ＞3，令
f'（ x ）＜0得－1＜ x ＜3，故 f （ x ）在（－∞，－1），（3，＋
∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故 f （ x ）的极大值
为 f （－1）＝ ，极小值为 f （3）＝－3.
－3
3. 已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋27在 x ＝－1处有极大值，在 x ＝
3处有极小值，则 a ＝ ， b ＝ .
解析：f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋ b ，依题意知－1和3是方程f'（ x ）＝0
的两根，故解得
－3
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数中存在极值的是（ ）
A. y ＝ B. y ＝ x －e x
C. y ＝2 D. y ＝ x3
解析： 对于 y ＝ x －e x ，y'＝1－e x ，令y'＝0，得 x ＝0.在区间
（－∞，0）上，y'＞0；在区间（0，＋∞）上，y'＜0.故当 x ＝0
时，函数 y ＝ x －e x 取得极大值.
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2. 已知函数 f （ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的极小值点组成的集
合为（ ）
A. { x1， x2， x3}
B. { x1， x3}
C. { x1， x2， x4}
D. { x3}
解析： 若 x0是函数 f （ x ）的极小值点，则函数 f （ x ）在 x0左侧
邻近区域单调递减，在 x0右侧邻近区域单调递增，题图中的 x1与 x3
都满足上述条件，即 x1与 x3都是极小值点.故选B.
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3. 设函数 f （ x ）＝ x ＋ ，则 f （ x ）的极大值点和极小值点分别为
（ ）
A. x ＝－2， x ＝2 B. x ＝2， x ＝－2
C. x ＝5， x ＝－3 D. x ＝－5， x ＝3
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解析： 易知函数 f （ x ）的定义域是{ x ｜ x ≠0}，由题意f'（ x ）
＝1－ ＝ ，当 x ＜－2或 x ＞2时，f'（ x ）＞0，当－2
＜ x ＜0或0＜ x ＜2时，f'（ x ）＜0，所以 f （ x ）在（－∞，－2）
和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，0）和（0，2）上单调递
减，所以极大值点是 x ＝－2，极小值点是 x ＝2.
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4. （2024·青岛月考）若函数 y ＝2 x ＋ a ln x 在区间（1，2）上有极值
点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. （－4，－2）
B. （2，4）
C. （－∞，－4）∪（－2，＋∞）
D. （－∞，2）∪（4，＋∞）
解析： 函数 y ＝ f （ x ）＝2 x ＋ a ln x 在区间（1，2）上有极值
点，所以f'（ x ）＝2＋ 在区间（1，2）上有变号零点.所以f'（1）
f'（2）＜0，所以（2＋ a ）（2＋ ）＜0，解得－4＜ a ＜－2.
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5. （多选）如图为函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象，则下列判断正确的是（ ）
A. f （ x ）在 x ＝1处取得极大值
B. x ＝－1是 f （ x ）的极小值点
C. f （ x ）在（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增
D. x ＝2是 f （ x ）的极小值点
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解析： 当 x ＝1时，f'（1）≠0，所以 x ＝1不是 f （ x ）的极值
点，所以A错误；当 x ∈（－3，－1）时，f'（ x ）＜0，当 x ∈（－
1，2）时，f'（ x ）＞0，所以 f （ x ）在（－3，－1）上单调递减，
在（－1，2）上单调递增，所以 x ＝－1是 f （ x ）的极小值点，所
以B正确；当 x ∈（2，4）时，f'（ x ）＜0，所以 f （ x ）在（2，
4）上单调递减，所以 x ＝2是 f （ x ）的极大值点，所以C正确，D
错误.
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6. （多选）对于函数 f （ x ）＝ x3－3 x2，下列给出的选项中正确的是
（ ）
A. f （ x ）是增函数，无极值
B. f （ x ）是减函数，无极值
C. f （ x ）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减
区间为（0，2）
D. f （0）＝0是极大值， f （2）＝－4是极小值
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解析： f'（ x ）＝3 x2－6 x .令f'（ x ）＝3 x2－6 x ＞0，得 x ＞2
或 x ＜0；令f'（ x ）＝3 x2－6 x ＜0，得0＜ x ＜2，所以函数 f （ x ）
在区间（－∞，0）和（2，＋∞）上单调递增，在区间（0，2）上
单调递减.当 x ＝0和 x ＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.
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7. 若可导函数 f （ x ）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上
单调递减，则f'（1）＝ .
解析：由题意可知，当 x ＜1时，f'（ x ）＞0，当 x ＞1时，f'（ x ）
＜0，所以f'（1）＝0.
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8. （2024·龙岩月考）已知 a 为函数 f （ x ）＝ x3－12 x 的极小值点，则
a ＝ .
解析：∵ f （ x ）＝ x3－12 x ，∴f'（ x ）＝3 x2－12＝3（ x －2）（ x
＋2），令f'（ x ）＝0，解得 x ＝±2，当 x ∈（－∞，－2）时，f'
（ x ）＞0； x ∈（－2，2）时，f'（ x ）＜0， x ∈（2，＋∞）时，
f'（ x ）＞0，则 f （ x ）的一个极小值点为2，此时 a ＝2.
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9. 函数 f （ x ）＝ ax －1－ln x （ a ≤0）在定义域内的极值点的个数
为 .
解析：函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ a － ＝
，所以当 a ≤0时，f'（ x ）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以
函数 f （ x ）在（0，＋∞）上为减函数，所以 f （ x ）在（0，＋
∞）上没有极值点.
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10. 求下列函数的极值：
（1） f （ x ）＝ x2－2ln x ；
解： f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝2 x － ，
令f'（ x ）＝0，得 x ＝1或 x ＝－1（舍去），
当 x ∈（0，1）时，f'（ x ）＜0；
当 x ∈（1，＋∞）时，f'（ x ）＞0，
所以 f （ x ）有极小值 f （1）＝1，无极大值.
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（2） f （ x ）＝ .
解： f （ x ）的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），
f'（ x ）＝ ，令f'（ x ）＝0，得 x1＝－1， x2＝2，
x ，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如表：
x （－∞， －1） －1 （－1，
1） （1，
2） 2 （2，
＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f （ x ） 单调递增 － 单调递减 单调递增 3 单调递增
所以 f （ x ）有极大值 f （－1）＝－ ，无极小值.
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11. 若函数 y ＝e x －2 mx 有小于零的极值点，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. m ＜ B. 0＜ m ＜
C. m ＞ D. 0＜ m ＜1
解析： 由 y ＝e x －2 mx ，得y'＝e x －2 m .因为函数 y ＝e x －2 mx
有小于零的极值点，所以e x －2 m ＝0有小于零的实根，即 m ＝ e x
有小于零的实根，因为 x ＜0，所以0＜ e x ＜ ，所以0＜ m ＜ .
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12. （多选）定义在R上的函数 f （ x ），已知 x0（ x0≠0）是它的极大
值点，则以下结论正确的是（ ）
A. － x0是 f （－ x ）的一个极大值点
B. － x0是－ f （ x ）的一个极小值点
C. x0是－ f （ x ）的一个极大值点
D. － x0是－ f （－ x ）的一个极小值点
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解析： x0（ x0≠0）是 f （ x ）的极大值点，就是存在正数
m ，使得在（ x0－ m ， x0）上，f'（ x ）＞0，在（ x0， x0＋ m ）
上，f'（ x ）＜0.设 g （ x ）＝ f （－ x ），g'（ x ）＝－f'（－ x ），
当－ x0＜ x ＜－ x0＋ m 时， x0－ m ＜－ x ＜ x0，f'（－ x ）＞0，g'
（ x ）＜0，同理当－ x0－ m ＜ x ＜－ x0时，g'（ x ）＞0，所以－ x0
是 f （－ x ）的一个极大值点，从而－ x0是－ f （－ x ）的一个极小
值点， x0是－ f （ x ）的一个极小值点.不能判定－ x0是不是－ f
（ x ）的极值点.
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13. （2024·丽水质检）若函数 f （ x ）＝ x3＋ x2－ ax －4在区间（－
1，1）上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为 .
解析：因为f'（ x ）＝3 x2＋2 x － a ，函数 f （ x ）在区间（－1，
1）上恰有一个极值点，即f'（ x ）＝0在（－1，1）内恰有一个
根.又函数f'（ x ）＝3 x2＋2 x － a 的对称轴为 x ＝－ ，所以应满足
即解得1≤ a ＜5.
[1，5）
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14. 设 x ＝1与 x ＝2是函数 f （ x ）＝ a ln x ＋ bx2＋ x 的两个极值点.
（1）试确定常数 a 和 b 的值；
解：∵ f （ x ）＝ a ln x ＋ bx2＋ x ，
∴f'（ x ）＝ ＋2 bx ＋1.
由极值点的必要条件可知：f'（1）＝f'（2）＝0，
∴ a ＋2 b ＋1＝0且 ＋4 b ＋1＝0，
解得， a ＝－ ， b ＝－ .
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（2）判断 x ＝1， x ＝2是函数 f （ x ）的极大值点还是极小值点，
并说明理由.
解：由（1）可知 f （ x ）＝－ ln x － x2＋ x ，
且其定义域是（0，＋∞），
f'（ x ）＝－ x－1－ x ＋1＝－ .
当 x ∈（0，1）∪（2，＋∞）时，f'（ x ）＜0；
当 x ∈（1，2）时，f'（ x ）＞0；
所以 x ＝1是函数 f （ x ）的极小值点， x ＝2是函数 f （ x ）的极大值点.
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15. （多选）函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行
的《高等数学》与《数学分析》教科书中，对“初等函数”给出
了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限
次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子
表示的函数，如函数 f （ x ）＝ xx （ x ＞0），我们可以作变形： f
（ x ）＝ xx ＝ ＝e xln x ＝e t （ t ＝ x ln x ），所以 f （ x ）可看作
是由函数 h （ t ）＝e t 和 t ＝ x ln x 复合而成的，即 f （ x ）＝ xx （ x
＞0）为初等函数.根据以上材料，关于初等函数 h （ x ）＝ （ x
＞0）的说法正确的是（ ）
A. 无极小值 B. 有极小值1
C. 无极大值 D. 有极大值
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解析： 根据材料知， h （ x ）＝ ＝ ＝ ，所以h'
（ x ）＝ ·（ ln x ）'＝ ·（－ ln x ＋ ）＝ （1
－ln x ），令h'（ x ）＝0得 x ＝e，当0＜ x ＜e时，h'（ x ）＞0，此
时函数 h （ x ）单调递增，当 x ＞e时，h'（ x ）＜0，此时函数 h
（ x ）单调递减.所以 h （ x ）有极大值且为 h （e）＝ ，无极小
值.故选A、D.
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16. 设函数 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ＋ a （ a ∈R）.
（1）求 f （ x ）的极值；
解： f （ x ）的定义域为R.
f'（ x ）＝3 x2－2 x －1＝（3 x ＋1）（ x －1）.
令f'（ x ）＝0，得 x ＝－ 或 x ＝1.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
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x （－∞，
－ ） － （－ ，
1） 1 （1，＋
∞）
f '（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 f （ x ）的极大值是 f （－ ）＝ ＋ a ，极小值是 f（1）＝ a －1.
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（2）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴仅有一个
交点？
解：函数 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ＋ a ＝（ x －1）2（ x ＋1）＋ a －1，由此可知， x 取足够大的正数时，有 f （ x ）＞0，
x 取足够小的负数时，有 f （ x ）＜0，
所以曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴至少有一个交点.
由（1）知 f （ x ）极大值＝ f （－ ）＝ ＋ a ，
f （ x ）极小值＝ f （1）＝ a －1.
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因为曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴仅有一个交点，
所以 f （ x ）极大值＜0或 f （ x ）极小值＞0，即 ＋ a ＜0或 a －1
＞0，
所以 a ＜－ 或 a ＞1，
所以当 a ∈（－∞，－ ）∪（1，＋∞）时，曲线 y ＝ f
（ x ）与 x 轴仅有一个交点.
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谢 谢 观 看！第1课时 函数的极值
1.下列函数中存在极值的是（ ）
A.y＝ B.y＝x－ex
C.y＝2 D.y＝x3
2.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点组成的集合为（ ）
A.{x1，x2，x3} B.{x1，x3}
C.{x1，x2，x4} D.{x3}
3.设函数f（x）＝x＋，则f（x）的极大值点和极小值点分别为（ ）
A.x＝－2，x＝2 B.x＝2，x＝－2
C.x＝5，x＝－3 D.x＝－5，x＝3
4.（2024·青岛月考）若函数y＝2x＋aln x在区间（1，2）上有极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－4，－2）
B.（2，4）
C.（－∞，－4）∪（－2，＋∞）
D.（－∞，2）∪（4，＋∞）
5.（多选）如图为函数f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列判断正确的是（ ）
A.f（x）在x＝1处取得极大值
B.x＝－1是f（x）的极小值点
C.f（x）在（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增
D.x＝2是f（x）的极小值点
6.（多选）对于函数f（x）＝x3－3x2，下列给出的选项中正确的是（ ）
A.f（x）是增函数，无极值
B.f（x）是减函数，无极值
C.f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2）
D.f（0）＝0是极大值，f（2）＝－4是极小值
7.若可导函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，则f'（1）＝ .
8.（2024·龙岩月考）已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝ .
9.函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数为 .
10.求下列函数的极值：
（1）f（x）＝x2－2ln x；
（2）f（x）＝.
11.若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A.m＜ B.0＜m＜
C.m＞ D.0＜m＜1
12.（多选）定义在R上的函数f（x），已知x0（x0≠0）是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）
A.－x0是f（－x）的一个极大值点
B.－x0是－f（x）的一个极小值点
C.x0是－f（x）的一个极大值点
D.－x0是－f（－x）的一个极小值点
13.（2024·丽水质检）若函数f（x）＝x3＋x2－ax－4在区间（－1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为 .
14.设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由.
15.（多选）函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教科书中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数f（x）＝xx（x＞0），我们可以作变形：f（x）＝xx＝＝exln x＝et（t＝xln x），所以f（x）可看作是由函数h（t）＝et和t＝xln x复合而成的，即f（x）＝xx（x＞0）为初等函数.根据以上材料，关于初等函数h（x）＝（x＞0）的说法正确的是（ ）
A.无极小值 B.有极小值1
C.无极大值 D.有极大值
16.设函数f（x）＝x3－x2－x＋a（a∈R）.
（1）求 f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
第1课时 函数的极值
1.B 对于y＝x－ex，y'＝1－ex，令y'＝0，得x＝0.在区间（－∞，0）上，y'＞0；在区间（0，＋∞）上，y'＜0.故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值.
2.B 若x0是函数f（x）的极小值点，则函数f（x）在x0左侧邻近区域单调递减，在x0右侧邻近区域单调递增，题图中的x1与x3都满足上述条件，即x1与x3都是极小值点.故选B.
3.A 易知函数f（x）的定义域是{x｜x≠0}，由题意f'（x）＝1－＝，当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，0）和（0，2）上单调递减，所以极大值点是x＝－2，极小值点是x＝2.
4.A 函数y＝f（x）＝2x＋aln x在区间（1，2）上有极值点，所以f'（x）＝2＋在区间（1，2）上有变号零点.所以f'（1）f'（2）＜0，所以（2＋a）（2＋）＜0，解得－4＜a＜－2.
5.BC 当x＝1时，f'（1）≠0，所以x＝1不是f（x）的极值点，所以A错误；当x∈（－3，－1）时，f'（x）＜0，当x∈（－1，2）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（－3，－1）上单调递减，在（－1，2）上单调递增，所以x＝－1是f（x）的极小值点，所以B正确；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（2，4）上单调递减，所以x＝2是f（x）的极大值点，所以C正确，D错误.
6.CD f'（x）＝3x2－6x.令f'（x）＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；令f'（x）＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，所以函数f（x）在区间（－∞，0）和（2，＋∞）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减.当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.
7.0 解析：由题意可知，当x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，所以f'（1）＝0.
8.2 解析：∵f（x）＝x3－12x，∴f'（x）＝3x2－12＝3（x－2）（x＋2），令f'（x）＝0，解得x＝±2，当x∈（－∞，－2）时，f'（x）＞0；x∈（－2，2）时，f'（x）＜0，x∈（2，＋∞）时，f'（x）＞0，则f（x）的一个极小值点为2，此时a＝2.
9.0 解析：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝a－＝，所以当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点.
10.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x－，
令f'（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去），
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，
所以f（x）有极小值f（1）＝1，无极大值.
（2）f（x）的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），
f'（x）＝，
令f'（x）＝0，得x1＝－1，x2＝2，
x，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x （－∞，－1） －1 （－1，1） （1，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f（x） 单调 递增 － 单调 递减 单调 递增 3 单调 递增
所以f（x）有极大值f（－1）＝－，无极小值.
11.B 由y＝ex－2mx，得y'＝ex－2m.因为函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，所以ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根，因为x＜0，所以0＜ex＜，所以0＜m＜.
12.AD x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，就是存在正数m，使得在（x0－m，x0）上，f'（x）＞0，在（x0，x0＋m）上，f'（x）＜0.设g（x）＝f（－x），g'（x）＝－f'（－x），当－x0＜x＜－x0＋m时，x0－m＜－x＜x0，f'（－x）＞0，g'（x）＜0，同理当－x0－m＜x＜－x0时，g'（x）＞0，所以－x0是f（－x）的一个极大值点，从而－x0是－f（－x）的一个极小值点，x0是－f（x）的一个极小值点.不能判定－x0是不是－f（x）的极值点.
13.[1，5） 解析：因为f'（x）＝3x2＋2x－a，函数f（x）在区间（－1，1）上恰有一个极值点，即f'（x）＝0在（－1，1）内恰有一个根.又函数f'（x）＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－，所以应满足即解得1≤a＜5.
14.解：（1）∵f（x）＝aln x＋bx2＋x，
∴f'（x）＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f'（1）＝f'（2）＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解得，a＝－，b＝－.
（2）由（1）可知f（x）＝－ln x－x2＋x，
且其定义域是（0，＋∞），
f'（x）＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈（0，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0；
所以x＝1是函数f（x）的极小值点，
x＝2是函数f（x）的极大值点.
15.AD 根据材料知，h（x）＝＝＝，所以h'（x）＝·（ln x）'＝·（－ln x＋）＝（1－ln x），令h'（x）＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，当x＞e时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减.所以h（x）有极大值且为h（e）＝，无极小值.故选A、D.
16.解：（1）f（x）的定义域为R.
f'（x）＝3x2－2x－1＝（3x＋1）（x－1）.
令f'（x）＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－） － （－，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以f（x）的极大值是f（－）＝＋a，极小值是f（1）＝a－1.
（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0，
x取足够小的负数时，有f（x）＜0，
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点.
由（1）知f（x）极大值＝f（－）＝＋a，
f（x）极小值＝f（1）＝a－1.
因为曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，
所以f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，
所以a＜－或a＞1，
所以当a∈（－∞，－）∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点.
2 / 25.3.2 函数的极值与最大（小）值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 数学抽象、直观想象
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值 数学运算
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 逻辑推理、数学运算
第1课时 函数的极值
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点.
【问题】 在数学上，这种现象如何来刻画呢？
知识点 极小值、极大值的概念
极小值 极大值
图象
定义 函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都 ，f'（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，把 叫做函数y＝f（x）的极小值点， 叫做函数y＝f（x）的极小值 函数y＝f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值都 ，f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧f'（x） 0，把 叫做函数y＝f（x）的极大值点， 叫做函数y＝f（x）的极大值
极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为
提醒 （1）极值点不是点；
（2）极值是函数的局部性质；
（3）函数的极值不唯一；
（4）极大值与极小值两者的大小不确定；
（5）极值点出现在区间的内部，端点不可能是极值点.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）导数为0的点一定是极值点.（ ）
（2）函数的极大值一定大于极小值.（ ）
（3）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（ ）
（4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（ ）
2.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）有（ ）
A.两个极大值，一个极小值
B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值
D.一个极大值，两个极小值
3.已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则a＝ .
题型一 极值的图象特征
【例1】 （2024·济宁月考）函数f（x）的定义域为R，导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（ ）
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点
通性通法
解决函数极值与函数、导函数图象关系的注意点
（1）对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的；
（2）对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）上的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）上的极小值点共有（ ）
A.3个 B.2个
C.1个 D.4个
题型二 利用导数求函数的极值
角度1 求不含参数的函数的极值
【例2】 求下列函数的极值：
（1）f（x）＝（x3－1）2＋1；
（2）f（x）＝.
通性通法
函数极值和极值点的求解步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求方程f'（x）＝0的根；
（3）用方程f'（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
（4）由f'（x）在方程f'（x）＝0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况.
角度2 求含参数的函数的极值
【例3】 已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值.
通性通法
求含参数函数极值的基本思路
求含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问题，讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
【跟踪训练】
求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值.
题型三 由极值求参数值（范围）
【例4】 （1）（2024·阳江月考）已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1） B.（0，＋∞）
C.（0，1） D.（－1，0）
（2）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a的值.
通性通法
由函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：
（1）极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号，利用待定系数法列方程（不等式）求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
【跟踪训练】
设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（ ）
A.a＜－ B.a＞－1
C.a＜－1 D.a＞－
1.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，若f（x）在x＝x0处有极值，则x0＝（ ）
A.－3 B.0
C.3 D.7
2.（2024·三门峡月考）函数f（x）＝x3－x2－3x＋6的极大值为 ，极小值为 .
3.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝ ，b＝ .
第1课时 函数的极值
【基础知识·重落实】
知识点
小 f'（x）＜0 f'（x）＞0 a f（a） 大 f'（x）＞0 ＜ b f（b） 极值点 极值
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.C 由题图可知导函数f'（x）有三个零点，且x1＜0，x2＝0，x3＞0，当x＜x1时，f'（x）＜0，当x1＜x＜0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x1处取得极小值；当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，当x2＜x＜x3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x2处无极值；当x＞x3时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在x＝x3处取得极大值，故选C.
3.－15 解析：∵f'（x）＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f'（2）＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15.
【典型例题·精研析】
【例1】 C 设y＝f'（x）的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，x3，x4.由导数与函数极值的关系知，f（x）在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值.故函数f（x）有两个极大值点，两个极小值点.
跟踪训练
C 根据极小值点存在的条件：①f'（x0）＝0，②在x＝x0的左侧f'（x）＜0，在x＝x0的右侧f'（x）＞0，可以判断出函数f（x）的极小值点共有1个.
【例2】 解：（1）∵f（x）＝（x3－1）2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f'（x）＝6x5－6x2＝6x2（x3－1）.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 2 单调递减 1 单调递增
∴当x＝1时，f（x）有极小值，为f（1）＝1，f（x）无极大值.
（2）函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝.
令f'（x）＝0，得x＝e.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如表所示：
x （0，e） e （e，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 单调递减
因此，x＝e是函数f（x）的极大值点，极大值为f（e）＝，函数f（x）没有极小值.
【例3】 解：由f'（x）＝1－＝（x＞0）知，
（1）当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
（2）当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝a，
又当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
跟踪训练
解：f'（x）＝3（x2－a）（a≠0），
当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函数，此时函数没有极值；
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－） － （－， ） （，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 极大值 f（－） 单调 递减 极小值 f（） 单调 递增
∴f（x）的极大值为f（－）＝2a＋b，
极小值为f（）＝－2a＋b.
【例4】 （1）D 若a＜－1，∵f'（x）＝a（x＋1）（x－a），∴f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜a＜0，则f（x）在（－1，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值.若a＞0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，f（x）在x＝a处取得极小值，与题意矛盾，故选D.
（2）解：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f'（x）＝3x2＋2ax＋b.
由题意得
即解得
或
当时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，故函数f（x）是增函数，无极值，不符合题意.
∴a＝4.
跟踪训练
C y'＝ex＋a，由题意知a＜0.∵函数有大于零的极值点，设x＝x0为其极值点，∴＋a＝0，又x0＞0，∴a＜－1，故选C.
随堂检测
1.B 由f'（x）的图象知x＝0时，f'（0）＝0；－3＜x＜0时，f'（x）＞0；0＜x＜3时，f'（x）＜0.故0是极值点.虽然有f'（7）＝0，但在7的两侧，f'（x）＜0，7不是极值点.
2. －3 解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3.
3.－3 －9 解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋b，依题意知－1和3是方程f'（x）＝0的两根，故解得
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