(共60张PPT)
第2课时
函数的最大（小）值
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察如图所示的函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：
【问题】 （1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？
知识点 函数的最大（小）值
1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最值
（1）取得最值的条件：在区间[ a ， b ]上函数 y ＝ f （ x ）的图象是
一条 的曲线；
（2）结论：函数 y ＝ f （ x ）必有最大值和最小值，函数的最值
在 或 取得.
提醒 连续可导函数，在闭区间上一定有最值.
连续不断
极值点
区间端点
2. 求函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最大值与最小值的步骤
（1）求函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内的 ；
（2）将函数 y ＝ f （ x ）的 与端点处的函数值
， 比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值.
极值
各极值
f
（ a ）
f （ b ）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值. （ √ ）
（2）函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最大值与最小值一定在区间
端点处取得. （ × ）
（3）函数 f （ x ）在区间（ a ， b ）上连续，则 f （ x ）在区间
（ a ， b ）上一定有最值，但不一定有极值. （ × ）
√
×
×
2. 连续函数 y ＝ f （ x ）在[ a ， b ]上（ ）
A. 极大值一定比极小值大
B. 极大值一定是最大值
C. 最大值一定是极大值
D. 最大值一定大于极小值
解析： 由函数的最值与极值的概念可知， y ＝ f （ x ）在[ a ，
b ]上的最大值一定大于极小值.
3. 函数 f （ x ）＝ x3－4 x ＋3在[0，3]上的最小值为 － .
解析：f'（ x ）＝ x2－4，由f'（ x ）＞0，得 x ＞2或 x ＜－2；由f'
（ x ）＜0，得－2＜ x ＜2.又 x ∈[0，3]，所以 f （ x ）在[0，2）上
单调递减，在（2，3]上单调递增，所以 f （ x ）min＝ f （2）＝ －8
＋3＝－ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 极值与最值的关系
【例1】 如图是函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
解：由题图可知， y ＝ f （ x ）在 x1， x3处
取得极小值，在 x2处取得极大值，所以极小值为 f （ x1）， f （ x3），极大值为 f （ x2）；比较极值和端点值可知函数的最小值是 f （ x3），最大值在 b 处取得，最大值为 f （ b ）.
通性通法
极值与最值的关系
（1）最值在极值点或区间端点处取得；
（2）开区间的连续函数若有最值，最值在极值点处取得.
提醒 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.
【跟踪训练】
设 f （ x ）是区间[ a ， b ]上的连续函数，且在（ a ， b ）内可导，则下
列结论中正确的是（ ）
A. f （ x ）的极值点一定是最值点
B. f （ x ）的最值点一定是极值点
C. f （ x ）在区间[ a ， b ]上可能没有极值点
D. f （ x ）在区间[ a ， b ]上可能没有最值点
解析： 根据函数的极值与最值的概念知， f （ x ）的极值点不一定
是最值点， f （ x ）的最值点不一定是极值点.连续可导函数在闭区间
上一定有最值，所以选项A、B、D都不正确，若函数 f （ x ）在区间
[ a ， b ]上单调，则函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上没有极值点，所以C
正确.
题型二 求函数的最值
角度1 求不含参数的函数的最值
【例2】 求下列各函数的最值：
（1） f （ x ）＝2 x3－6 x2＋3， x ∈[－2，4]；
解：f'（ x ）＝6 x2－12 x ＝6 x （ x －2）.
令f'（ x ）＝0，得 x ＝0或 x ＝2.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如表：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 （2，4） 4
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） －37 ↗ 极大值3 ↘ 极小值－5 ↗ 35
∴当 x ＝4时， f （ x ）取最大值35；
当 x ＝－2时， f （ x ）取最小值－37.
（2） f （ x ）＝e x （3－ x2）， x ∈[2，5].
解：∵ f （ x ）＝3e x －e xx2，
∴f'（ x ）＝3e x －（e xx2＋2e xx ）＝－e x （ x2＋2 x －3）＝－e x
（ x ＋3）（ x －1）.
∵在区间[2，5]上，f'（ x ）＝－e x （ x ＋3）（ x －1）＜0，
即函数 f （ x ）在区间[2，5]上单调递减，
∴当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得最大值 f （2）＝－e2；
当 x ＝5时，函数 f （ x ）取得最小值 f （5）＝－22e5.
通性通法
求不含参数的函数的最值的步骤
（1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（ x ）＝0的根是
否在给定区间内；
（2）判断函数的单调性，研究函数的极值；
（3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最
小值.
角度2 求含参数的函数的最值
【例3】 若 a ＞0，求函数 f （ x ）＝－ x3＋3 ax （0≤ x ≤1）的
最大值.
解：f'（ x ）＝－3 x2＋3 a ＝－3（ x2－ a ）.
因为 a ＞0，则令f'（ x ）＝0，解得 x ＝± .
因为 x ∈[0，1]，所以只考虑 x ＝ 的情况.
（1）若0＜ ＜1，即0＜ a ＜1，则当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的
变化情况如下表：
x 0 （0， ） （ ，1） 1
f'（ x ） ＋ 0 －
f （ x ） 0 单调递增 2 a 单调递减 3 a －1
由表可知，当 x ＝ 时， f （ x ）有最大值 f （ ）＝2 a .
（2）若 ≥1，即 a ≥1时，则当0≤ x ≤1时，f'（ x ）≥0，此时函数
f （ x ）在[0，1]上单调递增，所以当 x ＝1时， f （ x ）有最大值 f
（1）＝3 a －1.
综上可知，在区间[0，1]上，
若0＜ a ＜1，则 x ＝ 时， f （ x ）有最大值2 a .
若 a ≥1，则 x ＝1时， f （ x ）有最大值3 a －1.
通性通法
求含参函数的最值的步骤
（1）求函数的导函数f'（ x ）；
（2）求方程f'（ x ）＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f'
（ x ）＝0的根是否在区间[ a ， b ]内；
（3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
（4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大
值、最小值.
【跟踪训练】
1. （2024·东营月考）函数 y ＝ x － sin x ， x ∈［ ，π］的最大值是
（ ）
A. π－1 B. －1
C. π D. π＋1
解析： y'＝1－ cos x ，当 x ∈［ ，π］时，y'＞0，则函数在区
间［ ，π］上单调递增，所以 ymax＝π－ sin π＝π，故选C.
2. 已知函数 f （ x ）＝ x3－ ax2－ a2 x ，求函数 f （ x ）在[0，＋∞）上
的最小值.
解：f'（ x ）＝3 x2－2 ax － a2＝（3 x ＋ a ）（ x － a ），
令f'（ x ）＝0，得 x1＝－ ， x2＝ a .
①当 a ＞0时， f （ x ）在[0， a ）上单调递减，在[ a ，＋∞）上单
调递增.所以 f （ x ）min＝ f （ a ）＝－ a3.
②当 a ＝0时，f'（ x ）＝3 x2≥0，
f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，
所以 f （ x ）min＝ f （0）＝0.
③当 a ＜0时， f （ x ）在［0，－ ）上单调递减，在［－ ，＋
∞）上单调递增.
所以 f （ x ）min＝ f （－ ）＝ a3.
综上所述，当 a ＞0时， f （ x ）的最小值为－ a3；
当 a ＝0时， f （ x ）的最小值为0；
当 a ＜0时， f （ x ）的最小值为 a3.
题型三 由函数的最值求参数
【例4】 （1）（2024·中山月考）函数 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ＋ a 在区
间[0，2]上的最大值是3，则 a ＝（ ）
A. 3 B. 1
解析： f'（ x ）＝3 x2－2 x －1，令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－ （舍去）或 x ＝1，又 f （0）＝ a ， f （1）＝ a －1， f （2）＝ a ＋2，
则 f （2）最大，即 a ＋2＝3，所以 a ＝1.
C. 2 D. －1
（2）已知函数 f （ x ）＝ln x － ax 存在最大值0，求 a 的值.
解：∵f'（ x ）＝ － a ， x ＞0，
∴当 a ≤0时，f'（ x ）＞0恒成立，故函数 f （ x ）是增函数，不
存在最大值；
当 a ＞0时，令f'（ x ）＝0，得 x ＝ ，
∴当 x ∈（0， ）时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）单调递增；
当 x ∈（ ，＋∞）时，f'（ x ）＜0，函数 f （ x ）单调递减，
∴ f （ x ）max＝ f （ ）＝ln －1＝0，解得 a ＝ .
通性通法
已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值
的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，
探索最值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题.
【跟踪训练】
已知函数 h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1在区间[ k ，2]上的最大值是
28，求 k 的取值范围.
解：∵ h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1，
∴h'（ x ）＝3 x2＋6 x －9.
令h'（ x ）＝0，得 x1＝－3， x2＝1，
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
h'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
h （ x ） ↗ 28 ↘ －4 ↗
当 x 变化时，h'（ x ）， h （ x ）的变化情况如下表：
∴当 x ＝－3时，取极大值28；当 x ＝1时，取极小值－4.
而 h （2）＝3＜ h （－3）＝28，如果 h （ x ）在区间[ k ，2]上的最大
值为28，则 k ≤－3.
∴ k 的取值范围为（－∞，－3].
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极大值，则极大值一定是[ a ， b ]上的最
大值
B. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极小值，则极小值一定是[ a ， b ]上的最
小值
C. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极大值，则极小值一定是在 x ＝ a 和 x ＝ b
处取得
D. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上连续，则 f （ x ）在[ a ， b ]上存在最大值和
最小值
解析： 函数 f （ x ）在[ a ， b ]上的极值不一定是最值，最值也
不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数在[ a ，
b ]上一定存在最大值和最小值.
2. 函数 f （ x ）＝（ x ＋1）e x 的最小值是 .
解析：f'（ x ）＝（ x ＋2）e x ，当 x ＞－2时，f'（ x ）＞0， f （ x ）
单调递增，当 x ＜－2时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，因此当 x
＝－2时，函数有最小值，最小值为 f （－2）＝（－2＋1）e－2＝－
.
－
3. （2024·濮阳月考）若函数 f （ x ）＝ x3＋ x2＋ m 在[－2，1]上的最
大值为 ，试求 m 的值.
解：f'（ x ）＝3 x2＋3 x ＝3 x （ x ＋1），
令f'（ x ）＝0，得 x ＝0或 x ＝－1，
∵ f （－2）＝ m －2， f （－1）＝ m ＋ ， f （0）＝ m ， f （1）＝ m
＋ ，比较知 f （1）最大，
∴ m ＋ ＝ ， m ＝2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 M ， m 分别是函数 f （ x ）在[ a ， b ]上的最大值和最小值，若 M
＝ m ，则f'（ x ）（ ）
A. 等于0 B. 小于0
C. 等于1 D. 不确定
解析： 因为 M ＝ m ，所以 f （ x ）为常函数，故f'（ x ）＝0，故
选A.
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2. 函数 f （ x ）＝ x3－3 x （｜ x ｜＜1）（ ）
A. 有最大值，但无最小值
B. 有最大值，也有最小值
C. 无最大值，但有最小值
D. 既无最大值，也无最小值
解析： f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），当 x ∈（－1，
1）时，f'（ x ）＜0，所以 f （ x ）在（－1，1）上是减函数，无最
大值和最小值，故选D.
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3. （2024·梅州月考）函数 f （ x ）＝ x ＋2 cos x 在区间 上的
最小值是（ ）
A. － B. 2
C. ＋ D. ＋1
解析： f'（ x ）＝1－2 sin x ，因为 x ∈ ，所以 sin x
∈[－1，0]，所以－2 sin x ∈[0，2].所以f'（ x ）＝1－2 sin x ＞0在
上恒成立.所以 f （ x ）在 上单调递增.所以 f
（ x ）min＝ f （－ ）＝－ ＋2 cos ＝－ .
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4. 若函数 f （ x ）＝－ x3＋ mx2＋1（ m ≠0）在区间（0，2）内的极大
值为最大值，则 m 的取值范围是（ ）
A. （0，3） B. （－3，0）
C. （－∞，－3） D. （3，＋∞）
解析： 由题得f'（ x ）＝－3 x2＋2 mx ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝
或 x ＝0，因为 f （ x ）在区间（0，2）上的极大值为最大值，所以0
＜ ＜2，所以0＜ m ＜3.
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5. （多选）已知函数 y ＝ f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A. f （ a ）＜ f （ b ）＜ f （ c ）
B. f （ e ）＜ f （ d ）＜ f （ c ）
C. x ＝ c 时， f （ x ）取得最大值
D. x ＝ d 时， f （ x ）取得最小值
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解析： 由f'（ x ）的图象可知：当 x ∈（－∞， c ）∪（ e ，＋
∞）时，f'（ x ）＞0；当 x ∈（ c ， e ）时，f'（ x ）＜0.所以 f
（ x ）在（－∞， c ），（ e ，＋∞）上单调递增，在（ c ， e ）上
单调递减；对于A，因为 a ＜ b ＜ c ，所以 f （ a ）＜ f （ b ）＜ f
（ c ），A正确；对于B，因为 c ＜ d ＜ e ，所以 f （ e ）＜ f （ d ）＜
f （ c ），B正确；对于C，由单调性知 f （ c ）为极大值，当 x ＞ e
时，可能存在 f （ x0）＞ f （ c ），C错误；对于D，由单调性知 f
（ e ）＜ f （ d ），D错误.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x ln x ，则（ ）
A. f （ x ）的单调递增区间为（e，＋∞）
B. f （ x ）在（0， ）上单调递减
C. 当 x ∈（0，1]时， f （ x ）有最小值－
D. f （ x ）在定义域内无极值
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解析： 因为f'（ x ）＝ln x ＋1（ x ＞0）.令f'（ x ）＝0，解得 x
＝ .当 x ∈（0， ）时，f'（ x ）＜0；当 x ∈（ ，＋∞）时，f'
（ x ）＞0，所以 f （ x ）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）
上单调递增， x ＝ 是极小值点，所以A错误，B正确.当 x ∈（0，
1]时，根据单调性可知， f （ x ）min＝ f （ ）＝－ ，故C正确.显
然 f （ x ）有极小值 f （ ），故D错误.
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7. 函数 y ＝ 在[0，2]上的最大值是 .
解析：因为 y ＝ ，则y'＝ .当0≤ x ＜1时，y'＞0，此时函数 y
＝ 单调递增；当1＜ x ≤2时，y'＜0，此时函数 y ＝ 单调递减.
所以当 x ＝1时，函数 y ＝ 取得最大值，即 ymax＝ .
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8. （2024·南京质检）若函数 f （ x ）＝ x3－3 x － a 在区间[0，3]上的
最大值、最小值分别为 m ， n ，则 m － n ＝ .
解析：∵f'（ x ）＝3 x2－3，∴当 x ＞1或 x ＜－1时，f'（ x ）＞0；
当－1＜ x ＜1时，f'（ x ）＜0.∴ f （ x ）在[0，1]上单调递减，在
[1，3]上单调递增.∴ f （ x ）min＝ f （1）＝1－3－ a ＝－2－ a ＝ n .
又∵ f （0）＝－ a ， f （3）＝18－ a ，∴ f （0）＜ f （3）.∴ f
（ x ）max＝ f （3）＝18－ a ＝ m ，∴ m － n ＝18－ a －（－2－ a ）
＝20.
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9. 设函数 f （ x ）＝ x2e x ，若当 x ∈[－2，2]时，不等式 f （ x ）＞ m
恒成立，则 f （ x ）的最小值是 ，实数 m 的取值范围是
.
解析：f'（ x ）＝ x e x ＋ x2e x ＝ · x （ x ＋2），令f'（ x ）＝0得 x ＝
0或 x ＝－2.当 x ∈[－2，2]时，f'（ x ）， f （ x ）随 x 的变化情况如
下表：
0
（－
∞，0）
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x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（ x ） 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调递减 极小值0 单调递增
∴当 x ＝0时， f （ x ）min＝ f （0）＝0，要使 f （ x ）＞ m 对 x ∈[－
2，2]恒成立，只需 m ＜ f （ x ）min，∴ m ＜0.
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10. 已知函数 f （ x ）＝2 x ＋1－4ln x .
（1）求 f （ x ）的图象在点（1， f （1））处的切线方程；
解：因为 f （ x ）＝2 x ＋1－4ln x ， x ＞0，所以f'（ x ）
＝2－ ，所以 f （1）＝3，f'（1）＝－2.
所以 f （ x ）的图象在点（1， f （1））处的切线方程为 y －3
＝－2（ x －1），即2 x ＋ y －5＝0.
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（2）求 f （ x ）在[1，3]上的最大值与最小值.
解：由（1）知f'（ x ）＝2－ ＝ ， x ∈[1，3]，
令f'（ x ）＞0，则2＜ x ≤3；令f'（ x ）＜0，则1≤ x ＜2.
所以 f （ x ）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递
增.所以 f （ x ）min＝ f （2）＝5－4ln 2，
又 f （1）＝3， f （3）＝7－4ln 3， f （1）－ f （3）＝4
（ln 3－1）＞0，所以 f （ x ）max＝3.
所以 f （ x ）在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5－4ln 2.
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11. 已知函数 f （ x ）＝ x3－3 x －1，若对于区间[－3，2]上的任意
x1， x2都有｜ f （ x1）－ f （ x2）｜≤ t ，则实数 t 的最小值是
（ ）
A. 20 B. 18
C. 3 D. 0
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解析： 因为f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x －1）（ x ＋1）， x ∈[－
3，2]，所以 f （ x ）在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，
－1]上单调递增. f （－3）＝－19， f （－1）＝1， f （1）＝－
3， f （2）＝1，所以在区间[－3，2]上， f （ x ）max＝1， f （ x ）
min＝－19，又由题设知在[－3，2]上｜ f （ x1）－ f （ x2）｜≤ f
（ x ）max－ f （ x ）min＝20，所以 t ≥20，故选A.
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12. （2024·温州月考）已知函数 f （ x ）＝ ax3－6 ax2＋ b 在区间[－
1，2]上的最大值为3，最小值为－29（ a ＞0），则 a ， b 的值为
（ ）
A. a ＝2， b ＝－29 B. a ＝3， b ＝2
C. a ＝2， b ＝3 D. 以上都不对
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解析： 函数 f （ x ）的导数f'（ x ）＝3 ax2－12 ax ＝3 ax （ x －
4）.因为 a ＞0，所以由f'（ x ）＜0得0＜ x ＜4，此时函数单调递
减，由f'（ x ）＞0，得 x ＞4或 x ＜0，此时函数单调递增，即函数
在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，即函数在 x ＝0处
取得极大值同时也是最大值，则 f （0）＝ b ＝3，则 f （ x ）＝ ax3
－6 ax2＋3， f （－1）＝－7 a ＋3， f （2）＝－16 a ＋3，则 f （－
1）＞ f （2），即函数的最小值为 f （2）＝－16 a ＋3＝－29，计
算得出 a ＝2， b ＝3.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ ，若函数在区间（ a ， a ＋ ）（其中 a ＞0）内存在最大值，则实数 a 的取值范围为 .
解析：由题意知函数 f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞），且f'（ x ）＝－ ，当0＜ x ＜1时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增；当 x ＞1时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，即 f （ x ）在区间（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当 x ＝1时，函数 f （ x ）取得极大值，即为最大值，因为函数 f （ x ）在区间（ a ， a ＋ ）（其中 a ＞0）内存在最大值，所以解得 ＜ a ＜1.
（ ，1）
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ k ln x ， k ＜ ，求函数 f （ x ）在
上的最大值和最小值.
解：函数的定义域为（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ＋ ＝ .
①若 k ≤0，则在 上恒有f'（ x ）＜0，
所以 f （ x ）在 上单调递减.
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②若0＜ k ＜ ，则f'（ x ）＝ ＝ ，
由 k ＜ ，得 ＞e，则 x － ＜0在 上恒成立，
所以 ＜0在 上恒成立，
所以 f （ x ）在 上单调递减.
综上，当 k ＜ 时， f （ x ）在 上单调递减，
所以 f （ x ）min＝ f （e）＝ ＋ k －1， f （ x ）max＝ f （ ）＝e－ k －1.
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15. （2024·济南质检）动直线 x ＝ m （ m ＞0）与函数 f （ x ）＝ x2＋
2 x ， g （ x ）＝ln x 的图象分别交于点 A ， B ，则｜ AB ｜的最小值
为 .
＋ln 3
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解析：设 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）＝ x2＋2 x －ln x （ x ＞0），则y'＝
3 x ＋2－ ＝ ＝ （ x ＞0），当0＜ x ＜ 时，
y'＜0，当 x ＞ 时，y'＞0，所以 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）在（0， ）
上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以当 x ＝ 时， y ＝ f
（ x ）－ g （ x ）取得最小值，最小值为 ×（ ）2＋2× －ln ＝
－ln ＝ ＋ln 3，所以｜ AB ｜的最小值为 ＋ln 3.
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16. 已知函数 f （ x ）＝（ ax －2）e x 在 x ＝1处取得极值.
（1）求 a 的值；
解：f'（ x ）＝ a e x ＋（ ax －2）e x ＝（ ax ＋ a －2）e x .
由已知得f'（1）＝0，即（2 a －2）e＝0，解得 a ＝1.
（2）求函数 f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上的最小值.
解：由（1）得 f （ x ）＝（ x －2）e x ，
则f'（ x ）＝e x ＋（ x －2）e x ＝（ x －1）e x .
令f'（ x ）＝0，得 x ＝1，
当 x ∈（－∞，1）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减；
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当 x ∈（1，＋∞）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增.
①当 m ≥1时， f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上单调递增， f （ x ）min＝ f （ m ）＝（ m －2）e m ；
②当0＜ m ＜1时， m ＜1＜ m ＋1， f （ x ）在区间[ m ，1]上
单调递减，在[1， m ＋1]上单调递增， f （ x ）min＝ f （1）
＝－e；
③当 m ≤0时， m ＋1≤1， f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上单
调递减， f （ x ）min＝ f （ m ＋1）＝（ m －1）e m＋1.
综上， f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上的最小值为
f （ x ）min＝
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谢 谢 观 看！第2课时 函数的最大（小）值
1.设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'（x）（ ）
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
2.函数f（x）＝x3－3x（｜x｜＜1）（ ）
A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值
3.（2024·梅州月考）函数f（x）＝x＋2cos x在区间上的最小值是（ ）
A.－ B.2
C.＋ D.＋1
4.若函数f（x）＝－x3＋mx2＋1（m≠0）在区间（0，2）内的极大值为最大值，则m的取值范围是（ ）
A.（0，3） B.（－3，0）
C.（－∞，－3） D.（3，＋∞）
5.（多选）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.f（a）＜f（b）＜f（c） B.f（e）＜f（d）＜f（c）
C.x＝c时，f（x）取得最大值 D.x＝d时，f（x）取得最小值
6.（多选）已知函数f（x）＝xln x，则（ ）
A.f（x）的单调递增区间为（e，＋∞）
B.f（x）在（0，）上单调递减
C.当x∈（0，1]时，f（x）有最小值－
D.f（x）在定义域内无极值
7.函数y＝在[0，2]上的最大值是 .
8.（2024·南京质检）若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ .
9.设函数f（x）＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则f（x）的最小值是 ，实数m的取值范围是 .
10.已知函数f（x）＝2x＋1－4ln x.
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值.
11.已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（ ）
A.20 B.18
C.3 D.0
12.（2024·温州月考）已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29（a＞0），则a，b的值为（ ）
A.a＝2，b＝－29 B.a＝3，b＝2
C.a＝2，b＝3 D.以上都不对
13.已知函数f（x）＝，若函数在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，则实数a的取值范围为 .
14.已知函数f（x）＝＋kln x，k＜，求函数f（x）在上的最大值和最小值.
15.（2024·济南质检）动直线x＝m（m＞0）与函数f（x）＝x2＋2x，g（x）＝ln x的图象分别交于点A，B，则｜AB｜的最小值为 .
16.已知函数f（x）＝（ax－2）ex在x＝1处取得极值.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值.
第2课时 函数的最大（小）值
1.A 因为M＝m，所以f（x）为常函数，故f'（x）＝0，故选A.
2.D f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x∈（－1，1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上是减函数，无最大值和最小值，故选D.
3.A f'（x）＝1－2sin x，因为x∈，所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x∈[0，2].所以f'（x）＝1－2sin x＞0在上恒成立.所以f（x）在上单调递增.所以f（x）min＝f（－）＝－＋2cos＝－.
4.A 由题得f'（x）＝－3x2＋2mx，令f'（x）＝0，得x＝或x＝0，因为f（x）在区间（0，2）上的极大值为最大值，所以0＜＜2，所以0＜m＜3.
5.AB 由f'（x）的图象可知：当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（c，e）时，f'（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减；对于A，因为a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正确；对于B，因为c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正确；对于C，由单调性知f（c）为极大值，当x＞e时，可能存在f（x0）＞f（c），C错误；对于D，由单调性知f（e）＜f（d），D错误.
6.BC 因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0）.令f'（x）＝0，解得x＝.当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，x＝是极小值点，所以A错误，B正确.当x∈（0，1]时，根据单调性可知，f（x）min＝f（）＝－，故C正确.显然f（x）有极小值f（），故D错误.
7. 解析：因为y＝，则y'＝.当0≤x＜1时，y'＞0，此时函数y＝单调递增；当1＜x≤2时，y'＜0，此时函数y＝单调递减.所以当x＝1时，函数y＝取得最大值，即ymax＝.
8.20 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20.
9.0 （－∞，0） 解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
10.解：（1）因为f（x）＝2x＋1－4ln x，x＞0，所以f'（x）＝2－，所以f（1）＝3，f'（1）＝－2.
所以f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y－3＝－2（x－1），即2x＋y－5＝0.
（2）由（1）知f'（x）＝2－＝，x∈[1，3]，
令f'（x）＞0，则2＜x≤3；令f'（x）＜0，则1≤x＜2.
所以f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增.所以f（x）min＝f（2）＝5－4ln 2，
又f（1）＝3，f（3）＝7－4ln 3，f（1）－f（3）＝4（ln 3－1）＞0，所以f（x）max＝3.
所以f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5－4ln 2.
11.A 因为f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），x∈[－3，2]，所以f（x）在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f（－3）＝－19，f（－1）＝1，f（1）＝－3，f（2）＝1，所以在区间[－3，2]上，f（x）max＝1，f（x）min＝－19，又由题设知在[－3，2]上｜f（x1）－f（x2）｜≤f（x）max－f（x）min＝20，所以t≥20，故选A.
12.C 函数f（x）的导数f'（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4）.因为a＞0，所以由f'（x）＜0得0＜x＜4，此时函数单调递减，由f'（x）＞0，得x＞4或x＜0，此时函数单调递增，即函数在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f（0）＝b＝3，则f（x）＝ax3－6ax2＋3，f（－1）＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3，则f（－1）＞f（2），即函数的最小值为f（2）＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.
13.（，1） 解析：由题意知函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，即f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，即为最大值，因为函数f（x）在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，所以解得＜a＜1.
14.解：函数的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝＋＝.
①若k≤0，则在上恒有f'（x）＜0，
所以f（x）在上单调递减.
②若0＜k＜，则f'（x）＝＝，
由k＜，得＞e，则x－＜0在上恒成立，
所以＜0在上恒成立，
所以f（x）在上单调递减.
综上，当k＜时，f（x）在上单调递减，
所以f（x）min＝f（e）＝＋k－1，f（x）max＝f（）＝e－k－1.
15.＋ln 3 解析：设y＝f（x）－g（x）＝x2＋2x－ln x（x＞0），则y'＝3x＋2－＝＝（x＞0），当0＜x＜时，y'＜0，当x＞时，y'＞0，所以y＝f（x）－g（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，所以当x＝时，y＝f（x）－g（x）取得最小值，最小值为×（）2＋2×－ln ＝－ln ＝＋ln 3，所以｜AB｜的最小值为＋ln 3.
16.解：（1）f'（x）＝aex＋（ax－2）ex＝（ax＋a－2）ex.
由已知得f'（1）＝0，即（2a－2）e＝0，解得a＝1.
（2）由（1）得f（x）＝（x－2）ex，
则f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x－1）ex.
令f'（x）＝0，得x＝1，
当x∈（－∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
①当m≥1时，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（m）＝（m－2）em；
②当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f（x）在区间[m，1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝－e；
③当m≤0时，m＋1≤1，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递减，f（x）min＝f（m＋1）＝（m－1）em＋1.
综上，f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值为f（x）min＝
2 / 2第2课时 函数的最大（小）值
观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：
【问题】 （1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？
知识点 函数的最大（小）值
1.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最值
（1）取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条 的曲线；
（2）结论：函数y＝f（x）必有最大值和最小值，函数的最值在 或 取得.
提醒 连续可导函数，在闭区间上一定有最值.
2.求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
（1）求函数y＝f（x）在区间（a， b）内的 ；
（2）将函数y＝f（x）的 与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值.（ ）
（2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（ ）
（3）函数f（x）在区间（a，b）上连续，则f（x）在区间（a，b）上一定有最值，但不一定有极值.（ ）
2.连续函数y＝f（x）在[a，b]上（ ）
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
3.函数f（x）＝x3－4x＋3在[0，3]上的最小值为 .
题型一 极值与最值的关系
【例1】 如图是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
通性通法
极值与最值的关系
（1）最值在极值点或区间端点处取得；
（2）开区间的连续函数若有最值，最值在极值点处取得.
提醒 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.
【跟踪训练】
设f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）的极值点一定是最值点
B.f（x）的最值点一定是极值点
C.f（x）在区间[a，b]上可能没有极值点
D.f（x）在区间[a，b]上可能没有最值点
题型二 求函数的最值
角度1 求不含参数的函数的最值
【例2】 求下列各函数的最值：
（1）f（x）＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
（2）f（x）＝ex（3－x2），x∈[2，5].
通性通法
求不含参数的函数的最值的步骤
（1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（x）＝0的根是否在给定区间内；
（2）判断函数的单调性，研究函数的极值；
（3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值.
角度2 求含参数的函数的最值
【例3】 若a＞0，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值.
通性通法
求含参函数的最值的步骤
（1）求函数的导函数f'（x）；
（2）求方程f'（x）＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f'（x）＝0的根是否在区间[a，b]内；
（3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
（4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最小值.
【跟踪训练】
1.（2024·东营月考）函数y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（ ）
A.π－1 B.－1
C.π D.π＋1
2.已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小值.
题型三 由函数的最值求参数
【例4】 （1）（2024·中山月考）函数f（x）＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a＝（ ）
A.3 B.1
C.2 D.－1
（2）已知函数f（x）＝ln x－ax存在最大值0，求a的值.
通性通法
已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题.
【跟踪训练】
已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
1.下列结论正确的是（ ）
A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值
2.函数f（x）＝（x＋1）ex的最小值是 .
3.（2024·濮阳月考）若函数f（x）＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，试求m的值.
第2课时 函数的最大（小）值
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）连续不断 （2）极值点 区间端点 2.（1）极值 （2）各极值 f（a） f（b）
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.D 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f（x）在[a，b]上的最大值一定大于极小值.
3.－ 解析：f'（x）＝x2－4，由f'（x）＞0，得x＞2或x＜－2；由f'（x）＜0，得－2＜x＜2.又x∈[0，3]，所以f（x）在[0，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，所以f（x）min＝f（2）＝－8＋3＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题图可知，y＝f（x）在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f（x1），f（x3），极大值为f（x2）；
比较极值和端点值可知函数的最小值是f（x3），最大值在b处取得，最大值为f（b）.
跟踪训练
C 根据函数的极值与最值的概念知，f（x）的极值点不一定是最值点，f（x）的最值点不一定是极值点.连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A、B、D都不正确，若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则函数f（x）在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确.
【例2】 解：（1）f'（x）＝6x2－12x＝6x（x－2）.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 （2，4） 4
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） －37 ↗ 极大值3 ↘ 极小值－5 ↗ 35
∴当x＝4时，f（x）取最大值35；
当x＝－2时，f（x）取最小值－37.
（2）∵f（x）＝3ex－exx2，
∴f'（x）＝3ex－（exx2＋2exx）＝－ex（x2＋2x－3）＝－ex（x＋3）（x－1）.
∵在区间[2，5]上，f'（x）＝－ex（x＋3）·（x－1）＜0，
即函数f （x）在区间[2，5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f（x）取得最大值f（2）＝－e2；
当x＝5时，函数f（x）取得最小值f（5）＝－22e5.
【例3】 解：f'（x）＝－3x2＋3a＝－3（x2－a）.
因为a＞0，则令f'（x）＝0，解得x＝±.
因为x∈[0，1]，所以只考虑x＝的情况.
（1）若0＜＜1，即0＜a＜1，则当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x 0 （0，） （，1） 1
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 0 单调递增 2a 单调递减 3a－1
由表可知，当x＝时，f（x）有最大值f（）＝2a.
（2）若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f'（x）≥0，此时函数f（x）在[0，1]上单调递增，所以当x＝1时，f（x）有最大值f（1）＝3a－1.
综上可知，在区间[0，1]上，
若0＜a＜1，则x＝时，f（x）有最大值2a.
若a≥1，则x＝1时，f（x）有最大值3a－1.
跟踪训练
1.C y'＝1－cos x，当x∈［，π］时，y'＞0，则函数在区间［，π］上单调递增，所以ymax＝π－sin π＝π，故选C.
2.解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）·（x－a），
令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.
所以f（x）min＝f（a）＝－a3.
②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，
f（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝0.
③当a＜0时，f（x）在［0，－）上单调递减，在［－，＋∞）上单调递增.
所以f（x）min＝f（－）＝a3.
综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3；
当a＝0时，f（x）的最小值为0；
当a＜0时，f（x）的最小值为a3.
【例4】 （1）B f'（x）＝3x2－2x－1，令f'（x）＝0，解得x＝－（舍去）或x＝1，又f（0）＝a，f（1）＝a－1，f（2）＝a＋2，则f（2）最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
（2）解：∵f'（x）＝－a，x＞0，
∴当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，故函数f（x）是增函数，不存在最大值；
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝，
∴当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（，＋∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）max＝f（）＝ln－1＝0，解得a＝.
跟踪训练
解：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h'（x）＝3x2＋6x－9.
令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
h'（x） ＋ 0 － 0 ＋
h（x） ↗ 28 ↘ －4 ↗
∴当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.
而h（2）＝3＜h（－3）＝28，如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.
∴k的取值范围为（－∞，－3].
随堂检测
1.D 函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
2.－ 解析：f'（x）＝（x＋2）ex，当x＞－2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜－2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f（－2）＝（－2＋1）e－2＝－.
3.解：f'（x）＝3x2＋3x＝3x（x＋1），
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－1，
∵f（－2）＝m－2，f（－1）＝m＋，f（0）＝m，f（1）＝m＋，比较知f（1）最大，
∴m＋＝，m＝2.
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