(共58张PPT)
第3课时
利用导数解决与函数有关的问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数画函数的大致图象
【例1】 已知 f （ x ）＝（ a － x ＋1）e x ，其中 a ＞0，试画出函数
f （ x ）的大致图象.
解：∵ f （ x ）＝（ a － x ＋1）e x ，∴f'（ x ）＝（ a － x ）e x ，
则当 x ＜ a 时，f'（ x ）＞0， f （ x ）在（－∞， a ）上
单调递增；
当 x ＞ a 时，f'（ x ）＜0， f （ x ）在（ a ，＋∞）上单
调递减，所以 f （ x ）在 x ＝ a 处取得最大值 f （ a ）＝e a ，
且当 x →＋∞时， f （ x ）→－∞，当 x →－∞时， f （ x ）
→0，则 f （ x ）＝（ a － x ＋1）e x 的大致图象如图所示.
通性通法
利用导数画函数大致图象的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）利用导数确定函数的单调性与极值；
（3）确定 f （ x ）的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（4）画出 f （ x ）的大致图象.
【跟踪训练】
试画出函数 f （ x ）＝ 的图象.
解：∵ f （ x ）＝ ，
∴f'（ x ）＝ （ x ＞0），
令 g （ x ）＝1＋ －ln x ，
则g'（ x ）＝－ － ＝－ ＜0，
∴ g （ x ）在（0，＋∞）上是减函数，
又 g （e）＝ ＞0， g （e2）＝1＋ －ln e2＝ －1＜0，
∴存在 x0∈（e，e2），使得 g （ x0）＝0，
∴当 x ∈（0， x0）时， g （ x ）＞0，f'（ x ）＞0，
f （ x ）单调递增，
当 x ∈（ x0，＋∞）时， g （ x ）＜0，f'（ x ）＜0，
f （ x ）单调递减，
且当 x →0时， f （ x ）→－∞，当 x →＋∞时， f （ x ）
→0，故 f （ x ）的图象如图所示.
题型二 利用导数研究函数的零点与方程的根
【例2】 判断函数 f （ x ）＝e x （ x2－2 x ＋1）－ x 的零点个数.
解：由 f （ x ）＝0，得 x2－2 x ＋1＝ .
令 g （ x ）＝ ，则函数 f （ x ）＝e x （ x2－2 x ＋
1）－ x 的零点等价于函数 y ＝ x2－2 x ＋1与 y ＝
g （ x ）图象的交点，
g'（ x ）＝ ，令g'（ x ）＞0，得 x ＜1，
令g'（ x ）＜0，得 x ＞1，
所以 g （ x ）在（－∞，1）上单调递增，
在（1，＋∞）上单调递减，
所以 g （ x ）max＝ g （1）＝ ，
又 g （0）＝0，
作出函数 y ＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2与 y ＝ g （ x ）
的图象，如图所示，数形结合可得函数 f （ x ）有2个零点.
通性通法
利用导数确定函数零点或方程根的个数的方法
（1）数形结合：将函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交
点，利用导数画出函数的大致图象，进而得到函数零点的个
数；
（2）利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，
然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值
的符号，进而判断函数在该区间上的零点个数.
【跟踪训练】
（2024·郑州月考）若函数 f （ x ）＝ ax3－ bx ＋4，当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得极值－ .
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解：f'（ x ）＝3 ax2－ b ，由题意得
解得经检验满足题意，所以 f （ x ）＝ x3－4 x ＋4.
（2）若方程 f （ x ）＝ k 有3个不同的实数根，求实数 k 的取值范围.
解：由（1）可得f'（ x ）＝ x2－4＝（ x －2）（ x ＋2）.
令f'（ x ）＝0，得 x ＝2或 x ＝－2.
所以当 x ＜－2或 x ＞2时，f'（ x ）＞0；
当－2＜ x ＜2时，f'（ x ）＜0.
所以当 x ＝－2时， f （ x ）取得极大值 ，
当 x ＝2时， f （ x ）取得极小值－ .
函数 f （ x ）＝ x3－4 x ＋4的大致图象如图所示.
要使方程 f （ x ）＝ k 有3个不同的实数根，由图可知，实数 k 的取值范围是（－ ， ）.
题型三 生活中的优化问题
【例3】 （2024·宁波月考）某小型电子产品厂经过市场调研，生产
某小型电子产品需要年投入固定成本2万元，每生产 x 万件，需另投入
流动成本 W （ x ）万元，在年产量不足4万件时， W （ x ）＝ x3＋2
x ；在年产量不小于4万件时， W （ x ）＝7 x ＋ －27.每件产品售价
6元.通过市场分析，生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 P （ x ）（万元）关于年产量 x （万件）的函数解析
式；（年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
解：由题意，当 x ＜4时， P （ x ）＝6 x －2－（ x3＋2 x ）
＝－ x3＋4 x －2；
当 x ≥4时， P （ x ）＝6 x －2－（7 x ＋ －27）＝25－ x －
，所以年利润 P （ x ）关于 x 的函数解析式为
P （ x ）＝
（2）年产量为多少万件时，在这一商品的生产中所获利润最大？最
大利润是多少？
解：由（1）知 P （ x ）＝
①当0＜ x ＜4时， P （ x ）＝－ x3＋4 x －2，可得P'（ x ）
＝－ x2＋4，令P'（ x ）＝0，解得 x ＝2，
所以当 x ∈（0，2）时，P'（ x ）＞0；当 x ∈（2，4）时，
P'（ x ）＜0，
所以 P （ x ）在（0，2）上单调递增，在（2，4）上单调递
减，所以 P （ x ）max＝ P （2）＝ ；
②当 x ≥4时， P （ x ）＝25－（ x ＋ ）≤25－2
＝5，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝10时取等号.
因为 ＜5，所以当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元.
通性通法
1. 利用导数解决实际问题时，要注意以下几点
（1）当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找
出变量间的关系式；
（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；
（3）所得的结果要符合问题的实际意义.
2. 要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法等.
【跟踪训练】
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池
的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表
面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元
/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）.
（1）将 V 表示成 r 的函数 V （ r ），并求该函数的定义域；
解：（1）由已知得，蓄水池侧面的建造成本为100·2π rh ＝
200π rh （元），底面的建造成本为160π r2（元），
所以蓄水池的总建造成本为200π rh ＋160π r2＝12 000π，
所以 h ＝ （300－4 r2），
从而 V （ r ）＝π r2 h ＝ （300 r －4 r3）.
由 h ＞0且 r ＞0，可得0＜ r ＜5 ，故函数 V （ r ）的定义域为
（0，5 ）.
（2）讨论函数 V （ r ）的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的
体积最大.
解：因为 V （ r ）＝ （300 r －4 r3），所以V'（ r ）＝ （300－12 r2）.令V'（ r ）＝0，解得 r ＝5（负值舍去）.
当 r ∈（0，5）时，V'（ r ）＞0，故 V （ r ）在（0，5）上单调
递增；
当 r ∈（5，5 ）时，V'（ r ）＜0，故 V （ r ）在（5，5 ）
上单调递减.由此可知， V （ r ）在 r ＝5处取得极大值，也是最大值，此时 h ＝8，即当 r ＝5， h ＝8时，该蓄水池的体积最大.
1. 已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单位：万
件）的函数关系式为 y ＝－ x3＋81 x －234，则使该生产厂家获得
最大年利润的年产量为（ ）
A. 13万件 B. 11万件
C. 9万件 D. 7万件
解析： y'＝－ x2＋81，令y'＝0，解得 x ＝9或 x ＝－9（舍去），
当0＜ x ＜9时，y'＞0；当 x ＞9时，y'＜0.所以当 x ＝9时， y 取得极
大值同时为最大值.
2. （2024·揭阳月考）函数 f （ x ）＝（ x －1）e x 的图象大致为
（ ）
解析： 由f'（ x ）＝ x e x ，可得函数 f （ x ）的减区间为（－∞，
0），增区间为（0，＋∞），当 x ＜0时， f （ x ）＜0，故选A.
3. 已知函数 f （ x ）＝（ x2＋ a ）e x 有最小值，则函数 y ＝f'（ x ）的零
点个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 不确定
解析： 由题意得f'（ x ）＝（ x2＋2 x ＋ a ）e x ，因为函数 f （ x ）
有最小值，且e x ＞0，所以函数存在单调递减区间，即f'（ x ）＜0
有解，所以 x2＋2 x ＋ a ＝0有两个不等实根，所以函数 y ＝f'（ x ）
的零点个数为2.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ x3－12 x －16的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1
解析： 由题意得f'（ x ）＝3 x2－12＝3（ x ＋2）·（ x －2），令f'
（ x ）＞0，得 x ＞2或 x ＜－2；令f'（ x ）＜0，得－2＜ x ＜2，所以
函数的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞），单调递减区
间为（－2，2），所以函数的极大值为 f （－2）＝0，极小值为 f
（2）＝－32，当 x →－∞时， f （ x ）＜0，当 x →＋∞时， f （ x ）
＞0，所以函数的零点个数为2.
C. 2 D. 3
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2. 若函数 f （ x ）＝ln x ＋ － a 在区间（1，e）上只有一个零点，则
实数 a 的取值范围为（ ）
A. a ≤1 B. a ＞e
C. 1＜ a ＜ ＋1 D. ＜ a ＜1
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解析： 令ln x ＋ － a ＝0，则ln x ＋ ＝ a ，因为函数 f （ x ）＝ln
x ＋ － a 在区间（1，e）上只有一个零点，则函数 g （ x ）＝ln x ＋
与函数 h （ x ）＝ a 的图象只有一个交点，又g'（ x ）＝ － ＝
＞0， x ∈（1，e），所以 g （ x ）＝ln x ＋ 在（1，e）上单调
递增，故 g （ x ）∈（1，1＋ ），所以1＜ a ＜ ＋1.
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3. （2024·泰安月考）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使
其体积最大，则高应为（ ）
A. cm B. cm
C. cm D. cm
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解析： 设圆锥的高为 h cm，0＜ h ＜20，∴ V圆锥＝ π（202－
h2） h ＝ π（400－ h2） h ，∴V'＝ π（400－3 h2），令V'＝0得 h ＝
，当 h ∈ 时，V'＞0，当 h ∈ 时，V'＜0，
故当 h ＝ 时，体积最大.
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4. 函数 f （ x ）＝e x ＋ ax （ a ＜0）的图象可以是（ ）
解析： 由题可知， a ＜0，所以当 x ＜0时， f （ x ）＞0，又f'
（ x ）＝e x ＋ a ，令f'（ x ）＞0，则 x ＞ln（－ a ），令f'（ x ）＜0，
则 x ＜ln（－ a ），所以函数 f （ x ）在（－∞，ln（－ a ））上单调
递减，在（ln（－ a ），＋∞）上单调递增，故选B.
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5. （2024·洛阳月考）设函数 f （ x ）＝若函数 y
＝ f （ x ）－ b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是（ ）
A. （0，1） B. [0，1）
C. [0，1] D. [0，1]∪{－e－2}
解析：当 x ＞0时，函数 f （ x ）＝ln x 单调递增；当 x ≤0时， f（ x ）＝e x （ x ＋1），则f'（ x ）＝e x （ x ＋2）＝0时， x ＝－2，所以当 x ＜－2时，f'（ x ）＜0，－2＜ x ≤0时，f'（ x ）＞0，故当 x ≤0时， f （ x ）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，0）上单调递增，
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所以 f （ x ）在 x ＝－2处取极小值，
极小值为 f （－2）＝－e－2，又当
x ＝0时， f （ x ）＝1，当 x →－∞，
f （ x ）→0，作出函数 f （ x ）的图
象如图，因为函数 y ＝ f （ x ）－ b 有两个零点，所以函数 y ＝ f （ x ）与 y ＝ b 有两个交点，所以当 b ∈[0，1]∪{－e－2}时函数 y ＝ f （ x ）与 y ＝ b 有两个交点，所以实数 b 的取值范围为[0，1]∪{－e－2}.故选D.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝ ，则下列结论正确的是
（ ）
A. 函数 f （ x ）存在两个不同的零点
B. 函数 f （ x ）既存在极大值又存在极小值
C. 当－e＜ k ＜0时，方程 f （ x ）＝ k 有且只有两个实根
D. 若 x ∈[ t ，＋∞）时， f （ x ）max＝ ，则 t 的最小值为2
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解析：A项，由 f （ x ）＝0，得 x2＋ x －1＝0，
解得 x ＝ ，所以A正确；B项，f'（ x ）
＝－ ＝－ ，当f'（ x ）＞0时，－1＜ x ＜2；当f'（ x ）＜0时， x ＜－1或 x ＞2，所以函数的单调递减区间为
（－∞，－1），（2，＋∞），函数的单调递增区间为（－1，2），所以 f （－1）是函数的极小值， f （2）是函数的极大值，所以B正确；
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C项，当 x 趋向于＋∞时， f （ x ）趋向于0，根据
B项可知，函数的最小值是 f （－1）＝－e，当 x
＝2时， f （2）＝ ，画出函数 f （ x ）的图象，
如图所示，易知，当－e＜ k ＜0时，方程 f （ x ）＝ k 有且只有两个实根，所以C正确；D项，由 f （2）＝ ，根据图象可知， t 的最大值是2，所以D不正确.
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7. 已知函数 f （ x ）＝3ln x － x2＋2 x －3ln 3－ ，则方程 f （ x ）＝0
的解的个数是 .
解析：因为 f （ x ）＝3ln x － x2＋2 x －3ln 3－ （ x ＞0），所以f'
（ x ）＝ － x ＋2＝ ＝ .令f'（ x ）＝0，得 x ＝
3或 x ＝－1（舍去），当 x ∈（0，3）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单
调递增；当 x ∈（3，＋∞）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，
所以 f （ x ）max＝ f （3）＝3ln 3－ ＋6－3ln 3－ ＝0.所以方程 f
（ x ）＝0只有一个解.
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8. 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反
比，而每月库存货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比.如果在
距离车站10千米处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为2万元和8万
元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千
米处.
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解析：依题意可设每月土地占用费 y1＝ ，每月库存货物的运费 y2
＝ k2 x ，其中 x 是仓库到车站的距离.由2＝ ，得 k1＝20；由8＝10
k2，得 k2＝ .因此两项费用之和为 y ＝ ＋ .y'＝－ ＋ .令y'＝
－ ＋ ＝0，得 x ＝5（ x ＝－5舍去），且当 x ＞5时，y'＞0；当0
＜ x ＜5时，y'＜0，故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和
最小.
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9. （2024·金华月考）已知曲线 f （ x ）＝－ x3＋3 x2＋9 x ＋ a 与 x 轴只
有一个交点，则实数 a 的取值范围为 .
解析：f'（ x ）＝－3 x2＋6 x ＋9.令f'（ x ）
＝0，解得 x ＝－1或 x ＝3.当f'（ x ）＞0
时，－1＜ x ＜3；当f'（ x ）＜0时， x ＜
－1或 x ＞3，所以当 x ＝－1时， f （ x ）
取得极小值 f （－1）＝ a －5；当 x ＝3时，
f （ x ）取得极大值 f （3）＝ a ＋27.画出大致图象，要使 f （ x ）的图象与 x 轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图①）或极小值大于0（如图②），所以 a ＋27＜0或 a －5＞0，解得 a ＜－27或 a ＞5，故实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ＜－27或 a ＞5}.
{ a ｜ a ＜－27或 a ＞5}
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10. 如图所示，四边形 ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去
阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使
得 A ， B ， C ， D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱
柱形状的包装盒.点 E ， F 在边 AB 上，是被切去的一个等腰直角
三角形的斜边的两个端点.设 AE ＝ FB ＝ x （cm）.某厂商要求包
装盒的容积 V （cm3）最大，
试问 x 应取何值？并求出此
时包装盒的高与底面边长的
比值.
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解：∵ V （ x ）＝（ x ）2×（60－2 x ）×
＝ x2×（60－2 x ）＝－2 x3＋60 x2（0＜ x ＜30）.
∴V'（ x ）＝－6 x2＋120 x ＝－6 x ·（ x －20）.
令V'（ x ）＝0，得 x ＝0（舍去）或 x ＝20.
∵当0＜ x ＜20时，V'（ x ）＞0；
当20＜ x ＜30时，V'（ x ）＜0.
∴ V （ x ）在 x ＝20时取极大值也是最大值.
此时底面边长为 x ＝20 （cm），高为 （30－ x ）＝10
（cm），
即高与底面边长的比值为 .
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11. （2024·泉州月考）方程 x2＝e x 的实根个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析：设 f （ x ）＝e x － x2，f'（ x ）＝e x －2 x ，令 g （ x ）＝f'（ x ）＝e x －2 x ，则g'（ x ）＝e x －2，令g'（ x ）＝0，则 x ＝ln 2，当 x ＜ln 2时，g'（ x ）＜0；当 x ＞ln 2时，g'（ x ）＞0，所以 g （ x ）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，所以当 x ＝ln 2时， g （ x ）取得极小值，也是最小值，为f'（ x ）的最小值，f'（ x ）min＝f'（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，即f'（ x ）＞0在（－∞，＋∞）上恒成立，所以 f （ x ）＝e x － x2在（－∞，＋∞）上是增函数，又 f （0）＝1＞0， f （－1）＝ －1＜0，所以函数 f （ x ）＝e x － x2存在唯一的零点，即方程 x2＝e x 只有1个实根.
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12. （多选）函数 f （ x ）＝ln（ ax ）－ x 的图象可能是（ ）
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解析：①当 a ＞0时， f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ －1＝ ，令f'（ x ）＝0，解得 x ＝1， x ∈（0，1）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增， x ∈（1，＋∞）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，所以 f （ x ）max＝ f （1）＝ln a －1.当0＜ a ＜e时， f （1）＜0，选项B符合；当 a ＞e时， f （1）＞0，选项C符合；当 a ＝e时， f （1）＝0，没有满足要求的图象.②当 a ＜0时， f （ x ）的定义域为（－∞，0），此时 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减，当 x →－∞时， f （ x ）→＋∞，当 x →0时， f （ x ）→－∞，选项A符合.故选A、B、C.
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13. 若方程2 x3－6 x2＋4＋ m ＝0有三个不同的实数根，则 m 的取值范
围是 .
解析：设 f （ x ）＝2 x3－6 x2＋4， x ∈R，令f'（ x ）＝6 x2－12 x ＝
0，解得 x ＝0或2，则f'（ x ）， f （ x ）随 x 的变化如下表，
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f '（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调 递增 极大 值4 单调 递减 极小 值－4 单调
递增
（－4，4）
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则当 x ＝0时，函数有极大值 f （0）＝4；当 x ＝2时，函数有极小
值 f （2）＝－4，又当 x →－∞时， f （ x ）→－∞，当 x →＋∞
时， f （ x ）→＋∞，所以当－4＜ m ＜4时，2 x3－6 x2＋4＋ m ＝0
有三个不同的实数根.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ln x ＋ ， m ∈R，讨论函数 g （ x ）＝f'（ x ）
－ 零点的个数.
解：由题意知 g （ x ）＝f'（ x ）－ ＝ － －
（ x ＞0），
令 g （ x ）＝0，得 m ＝－ x3＋ x （ x ＞0）.
设φ（ x ）＝－ x3＋ x （ x ＞0），
则φ'（ x ）＝－ x2＋1＝－（ x －1）（ x ＋1），
当 x ∈（0，1）时，φ'（ x ）＞0，φ（ x ）在（0，1）上单调递增；
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当 x ∈（1，＋∞）时，φ'（ x ）＜0，φ（ x ）在（1，＋∞）上单调递减.
所以 x ＝1是φ（ x ）的唯一极值点且是极大值点，
因此 x ＝1也是φ（ x ）的最大值点，
所以φ（ x ）的最大值为φ（1）＝ .
又φ（0）＝0，且 x →＋∞时，φ（ x ）→－∞，
结合 y ＝φ（ x ）的图象（如图），
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可知①当 m ＞ 时，函数 g （ x ）无零点；
②当 m ＝ 时，函数 g （ x ）有且只有一个零点；
③当0＜ m ＜ 时，函数 g （ x ）有两个零点；
④当 m ≤0时，函数 g （ x ）有且只有一个零点.
综上所述，当 m ＞ 时，函数 g （ x ）无零点；
当 m ＝ 或 m ≤0时，函数 g （ x ）有且只有一个零点；
当0＜ m ＜ 时，函数 g （ x ）有两个零点.
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15. （2024·深圳月考）已知方程｜ln x ｜＝ ax 有三个实数解，则实数
a 的取值范围为 .
（0， ）
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解析：因为方程｜ln x ｜＝ ax 有三个实数解，
所以函数 y ＝｜ln x ｜与 y ＝ ax 的图象有三个
交点，作出 y ＝｜ln x ｜的图象如图，当 a ≤0
时，函数 y ＝｜ln x ｜与 y ＝ ax 的图象至多有1
个交点，不符合题意；当 a ＞0时，设 y ＝ln x 与 y ＝ ax 相切于点 P （ x0， y0），则 y0＝ln x0＝ ax0，又因为对 y ＝ln x ，y'＝ ，所以 a ＝
，所以 x0＝e， a e＝1，所以 a ＝ ，所以函数 y ＝｜ln x ｜与 y ＝ ax 的图象有三个交点时0＜ a ＜ .
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16. 给定函数 f （ x ）＝e x － x .
（1）判断函数 f （ x ）的单调性，并求出 f （ x ）的值域；
解：函数 f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝e x －1，
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝0.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，＋∞）
f'（ x ） － 0 ＋
f （ x ） 单调递减 1 单调递增
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所以 f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，
＋∞）上单调递增.
当 x ＝0时， f （ x ）的极小值 f （0）＝1，也是最小值，故函
数 f （ x ）的值域为[1，＋∞）.
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（2）画出函数 f （ x ）的大致图象；
解：由（1）可知，函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点 f （－1）＝ ＋1，
f （2）＝e2－2， f （0）＝1，
当 x →＋∞时， f （ x ）→＋∞，f'（ x ）→＋∞；
当 x →－∞时，指数函数 y ＝e x 越来越小，趋向于0，因此函数 f （ x ）图象上的点逐渐趋向于直线 y ＝－ x ，根据上述信息，画出函数 f （ x ）的大致图象如图所示.
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（3）求出方程 f （ x ）＝ m （ m ∈R）在区间[－1，2]上的根
的个数.
解：截取函数 f （ x ）在区间[－1，2]上的图象如图所示.
由图象知，当 f （0）＜ m ≤ f （－1），即
当 m ∈（1， ＋1］时， f （ x ）与 y ＝ m
恰有两个不同的交点，即当 m ∈（1， ＋
1］时，方程 f （ x ）＝ m 在区间[－1，2]
上恰有两个不同的实根；
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同理，当 m ＝1或 ＋1＜ m ≤e2－2时，方
程 f （ x ）＝ m 在区间[－1，2]上有唯一的
实根；
当 m ＜1或 m ＞e2－2时，方程 f （ x ）＝ m
在区间[－1，2]上无实根.
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谢 谢 观 看！第3课时 利用导数解决与函数有关的问题
1.函数f（x）＝x3－12x－16的零点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.若函数f（x）＝ln x＋－a在区间（1，e）上只有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.a≤1 B.a＞e
C.1＜a＜＋1 D.＜a＜1
3.（2024·泰安月考）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为（ ）
A. cm B. cm
C. cm D. cm
4.函数f（x）＝ex＋ax（a＜0）的图象可以是（ ）
5.（2024·洛阳月考）设函数f（x）＝若函数y＝f（x）－b有两个零点，则实数b的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.[0，1）
C.[0，1]
D.[0，1]∪{－e－2}
6.（多选）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（ ）
A.函数f（x）存在两个不同的零点
B.函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2
7.已知函数f（x）＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，则方程f（x）＝0的解的个数是 .
8.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处.
9.（2024·金华月考）已知曲线f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为 .
10.如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝x（cm）.某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
11.（2024·泉州月考）方程x2＝ex的实根个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
12.（多选）函数f（x）＝ln（ax）－x的图象可能是（ ）
13.若方程2x3－6x2＋4＋m＝0有三个不同的实数根，则m的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝ln x＋，m∈R，讨论函数g（x）＝f'（x）－零点的个数.
15.（2024·深圳月考）已知方程｜ln x｜＝ax有三个实数解，则实数a的取值范围为 .
16.给定函数f（x）＝ex－x.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的值域；
（2）画出函数f（x）的大致图象；
（3）求出方程f（x）＝m（m∈R）在区间[－1，2]上的根的个数.
第3课时 利用导数解决与函数有关的问题
1.C 由题意得f'（x）＝3x2－12＝3（x＋2）·（x－2），令f'（x）＞0，得x＞2或x＜－2；令f'（x）＜0，得－2＜x＜2，所以函数的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞），单调递减区间为（－2，2），所以函数的极大值为f（－2）＝0，极小值为f（2）＝－32，当x→－∞时，f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＞0，所以函数的零点个数为2.
2.C 令ln x＋－a＝0，则ln x＋＝a，因为函数f（x）＝ln x＋－a在区间（1，e）上只有一个零点，则函数g（x）＝ln x＋与函数h（x）＝a的图象只有一个交点，又g'（x）＝－＝＞0，x∈（1，e），所以g（x）＝ln x＋在（1，e）上单调递增，故g（x）∈（1，1＋），所以1＜a＜＋1.
3.B 设圆锥的高为h cm，0＜h＜20，∴V圆锥＝π（202－h2）h＝π（400－h2）h，∴V'＝π（400－3h2），令V'＝0得h＝，当h∈时，V'＞0，当h∈时，V'＜0，故当h＝时，体积最大.
4.B 由题可知，a＜0，所以当x＜0时，f（x）＞0，又f'（x）＝ex＋a，令f'（x）＞0，则x＞ln（－a），令f'（x）＜0，则x＜ln（－a），所以函数f（x）在（－∞，ln（－a））上单调递减，在（ln（－a），＋∞）上单调递增，故选B.
5.D 当x＞0时，函数f（x）＝ln x单调递增；当x≤0时，f（x）＝ex（x＋1），则f'（x）＝ex（x＋2）＝0时，x＝－2，所以当x＜－2时，f'（x）＜0，－2＜x≤0时，f'（x）＞0，故当x≤0时，f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，0）上单调递增，所以f（x）在x＝－2处取极小值，极小值为f（－2）＝－e－2，又当x＝0时，f（x）＝1，当x→－∞，f（x）→0，作出函数f（x）的图象如图，
因为函数y＝f（x）－b有两个零点，所以函数y＝f（x）与y＝b有两个交点，所以当b∈[0，1]∪{－e－2}时函数y＝f（x）与y＝b有两个交点，所以实数b的取值范围为[0，1]∪{－e－2}.故选D.
6.ABC A项，由f（x）＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝，所以A正确；B项，f'（x）＝－＝－，当f'（x）＞0时，－1＜x＜2；当f'（x）＜0时，x＜－1或x＞2，所以函数的单调递减区间为（－∞，－1），（2，＋∞），函数的单调递增区间为（－1，2），所以f（－1）是函数的极小值，f（2）是函数的极大值，所以B正确；C项，当x趋向于＋∞时，f（x）趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f（－1）＝－e，当x＝2时，f（2）＝，画出函数f（x）的图象，如图所示，易知，当－e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根，所以C正确；D项，由f（2）＝，根据图象可知，t的最大值是2，所以D不正确.
7.1 解析：因为f（x）＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－（x＞0），所以f'（x）＝－x＋2＝＝.令f'（x）＝0，得x＝3或x＝－1（舍去），当x∈（0，3）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（3，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（3）＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0.所以方程f（x）＝0只有一个解.
8.5 解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离.由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋.y'＝－＋.令y'＝－＋＝0，得x＝5（x＝－5舍去），且当x＞5时，y'＞0；当0＜x＜5时，y'＜0，故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.
9.{a｜a＜－27或a＞5} 解析：f'（x）＝－3x2＋6x＋9.令f'（x）＝0，解得x＝－1或x＝3.当f'（x）＞0时，－1＜x＜3；当f'（x）＜0时，x＜－1或x＞3，所以当x＝－1时，f（x）取得极小值f（－1）＝a－5；当x＝3时，f（x）取得极大值f（3）＝a＋27.画出大致图象，要使f（x）的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图①）或极小值大于0（如图②），
所以a＋27＜0或a－5＞0，解得a＜－27或a＞5，故实数a的取值范围为{a｜a＜－27或a＞5}.
10.解：∵V（x）＝（x）2×（60－2x）×
＝x2×（60－2x）＝－2x3＋60x2（0＜x＜30）.
∴V'（x）＝－6x2＋120x＝－6x·（x－20）.
令V'（x）＝0，得x＝0（舍去）或x＝20.
∵当0＜x＜20时，V'（x）＞0；
当20＜x＜30时，V'（x）＜0.
∴V（x）在x＝20时取极大值也是最大值.
此时底面边长为x＝20（cm），高为（30－x）＝10（cm），
即高与底面边长的比值为.
11.B 设f（x）＝ex－x2，f'（x）＝ex－2x，令g（x）＝f'（x）＝ex－2x，则g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0，则x＝ln 2，当x＜ln 2时，g'（x）＜0；当x＞ln 2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，所以当x＝ln 2时，g（x）取得极小值，也是最小值，为f'（x）的最小值，f'（x）min＝f'（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，即f'（x）＞0在（－∞，＋∞）上恒成立，所以f（x）＝ex－x2在（－∞，＋∞）上是增函数，又f（0）＝1＞0，f（－1）＝－1＜0，所以函数f（x）＝ex－x2存在唯一的零点，即方程x2＝ex只有1个实根.
12.ABC ①当a＞0时，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－1＝，令f'（x）＝0，解得x＝1，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝ln a－1.当0＜a＜e时，f（1）＜0，选项B符合；当a＞e时，f（1）＞0，选项C符合；当a＝e时，f（1）＝0，没有满足要求的图象.②当a＜0时，f（x）的定义域为（－∞，0），此时f（x）在（－∞，0）上单调递减，当x→－∞时，f（x）→＋∞，当x→0时，f（x）→－∞，选项A符合.故选A、B、C.
13.（－4，4） 解析：设f（x）＝2x3－6x2＋4，x∈R，令f'（x）＝6x2－12x＝0，解得x＝0或2，则f'（x），f（x）随x的变化如下表，
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值4 单调递减 极小值－4 单调递增
则当x＝0时，函数有极大值f（0）＝4；当x＝2时，函数有极小值f（2）＝－4，又当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以当－4＜m＜4时，2x3－6x2＋4＋m＝0有三个不同的实数根.
14.解：由题意知g（x）＝f'（x）－＝－－（x＞0），
令g（x）＝0，得m＝－x3＋x（x＞0）.
设φ（x）＝－x3＋x（x＞0），
则φ'（x）＝－x2＋1＝－（x－1）·（x＋1），
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（1，＋∞）上单调递减.
所以x＝1是φ（x）的唯一极值点且是极大值点，
因此x＝1也是φ（x）的最大值点，
所以φ（x）的最大值为φ（1）＝.
又φ（0）＝0，且x→＋∞时，φ（x）→－∞，结合y＝φ（x）的图象（如图），
可知①当m＞时，函数g（x）无零点；
②当m＝时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点.
综上所述，当m＞时，函数g（x）无零点；
当m＝或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点.
15.（0，）
解析：因为方程｜ln x｜＝ax有三个实数解，所以函数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象有三个交点，作出y＝｜ln x｜的图象如图，当a≤0时，函数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象至多有1个交点，不符合题意；当a＞0时，设y＝ln x与y＝ax相切于点P（x0，y0），则y0＝ln x0＝ax0，又因为对y＝ln x，y'＝，所以a＝，所以x0＝e，ae＝1，所以a＝，所以函数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象有三个交点时0＜a＜.
16.解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－1，
令f'（x）＝0，解得x＝0.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 1 单调递增
所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增.
当x＝0时，f（x）的极小值f（0）＝1，也是最小值，故函数f（x）的值域为[1，＋∞）.
（2）由（1）可知，函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点f（－1）＝＋1，f（2）＝e2－2，f（0）＝1，
当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞；
当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f（x）图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f（x）的大致图象如图所示.
（3）截取函数f（x）在区间[－1，2]上的图象如图所示.
由图象知，当f（0）＜m≤f（－1），即当m∈（1，＋1］时，f（x）与y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈（1，＋1］时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根；
同理，当m＝1或＋1＜m≤e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根；
当m＜1或m＞e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上无实根.
2 / 2第3课时 利用导数解决与函数有关的问题
题型一 利用导数画函数的大致图象
【例1】 已知f（x）＝（a－x＋1）ex，其中a＞0，试画出函数f（x）的大致图象.
通性通法
利用导数画函数大致图象的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）利用导数确定函数的单调性与极值；
（3）确定f（x）的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（4）画出f（x）的大致图象.
【跟踪训练】
试画出函数f（x）＝的图象.
题型二 利用导数研究函数的零点与方程的根
【例2】 判断函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）－x的零点个数.
通性通法
利用导数确定函数零点或方程根的个数的方法
（1）数形结合：将函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点，利用导数画出函数的大致图象，进而得到函数零点的个数；
（2）利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值的符号，进而判断函数在该区间上的零点个数.
【跟踪训练】
（2024·郑州月考）若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）取得极值－.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.
题型三 生活中的优化问题
【例3】 （2024·宁波月考）某小型电子产品厂经过市场调研，生产某小型电子产品需要年投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W（x）万元，在年产量不足4万件时，W（x）＝x3＋2x；在年产量不小于4万件时，W（x）＝7x＋－27.每件产品售价6元.通过市场分析，生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）年产量为多少万件时，在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
通性通法
1.利用导数解决实际问题时，要注意以下几点
（1）当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；
（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；
（3）所得的结果要符合问题的实际意义.
2.要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法等.
【跟踪训练】
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）.
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
2.（2024·揭阳月考）函数f（x）＝（x－1）ex的图象大致为（ ）
3.已知函数f（x）＝（x2＋a）ex有最小值，则函数y＝f'（x）的零点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.不确定
第3课时 利用导数解决与函数有关的问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：∵f（x）＝（a－x＋1）ex，
∴f'（x）＝（a－x）ex，
则当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）在（－∞，a）上单调递增；
当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）在（a，＋∞）上单调递减，
所以f（x）在x＝a处取得最大值f（a）＝ea，且当x→＋∞时，f（x）→－∞，当x→－∞时，f（x）→0，
则f（x）＝（a－x＋1）ex的大致图象如图所示.
跟踪训练
解：∵f（x）＝，
∴f'（x）＝（x＞0），
令g（x）＝1＋－ln x，
则g'（x）＝－－＝－＜0，
∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数，
又g（e）＝＞0，g（e2）＝1＋－ln e2＝－1＜0，
∴存在x0∈（e，e2），使得g（x0）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x0，＋∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
且当x→0时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→0，故f（x）的图象如图所示.
【例2】 解：由f（x）＝0，得x2－2x＋1＝.
令g（x）＝，则函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）－x的零点等价于函数y＝x2－2x＋1与y＝g（x）图象的交点，
g'（x）＝，令g'（x）＞0，得x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，
所以g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
所以g（x）max＝g（1）＝，
又g（0）＝0，
作出函数y＝x2－2x＋1＝（x－1）2与y＝g（x）的图象，如图所示，数形结合可得函数f（x）有2个零点.
跟踪训练
解：（1）f'（x）＝3ax2－b，
由题意得
解得经检验满足题意，
所以f（x）＝x3－4x＋4.
（2）由（1）可得f'（x）＝x2－4＝（x－2）·（x＋2）.
令f'（x）＝0，得x＝2或x＝－2.
所以当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0；
当－2＜x＜2时，f'（x）＜0.
所以当x＝－2时，f（x）取得极大值，当x＝2时，f（x）取得极小值－.
函数f（x）＝x3－4x＋4的大致图象如图所示.
要使方程f（x）＝k有3个不同的实数根，由图可知，实数k的取值范围是（－，）.
【例3】 解：（1）由题意，当x＜4时，P（x）＝6x－2－（x3＋2x）＝－x3＋4x－2；
当x≥4时，P（x）＝6x－2－（7x＋－27）＝25－x－，
所以年利润P（x）关于x的函数解析式为P（x）＝
（2）由（1）知P（x）＝
①当0＜x＜4时，P（x）＝－x3＋4x－2，可得P'（x）＝－x2＋4，令P'（x）＝0，解得x＝2，
所以当x∈（0，2）时，P'（x）＞0；当x∈（2，4）时，P'（x）＜0，
所以P（x）在（0，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减，所以P（x）max＝P（2）＝；
②当x≥4时，P（x）＝25－（x＋）≤25－2＝5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号.
因为＜5，所以当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元.
跟踪训练
解：（1）由已知得，蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh（元），底面的建造成本为160πr2（元），
所以蓄水池的总建造成本为200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝（300－4r2），从而V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）.
由h＞0且r＞0，可得0＜r＜5，故函数V（r）的定义域为（0，5）.
（2）因为V（r）＝（300r－4r3），
所以V'（r）＝（300－12r2）.令V'（r）＝0，解得r＝5（负值舍去）.
当r∈（0，5）时，V'（r）＞0，故V（r）在（0，5）上单调递增；
当r∈（5，5）时，V'（r）＜0，故V（r）在（5，5）上单调递减.
由此可知，V（r）在r＝5处取得极大值，也是最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
随堂检测
1.C y'＝－x2＋81，令y'＝0，解得x＝9或x＝－9（舍去），当0＜x＜9时，y'＞0；当x＞9时，y'＜0.所以当x＝9时，y取得极大值同时为最大值.
2.A 由f'（x）＝xex，可得函数f（x）的减区间为（－∞，0），增区间为（0，＋∞），当x＜0时，f（x）＜0，故选A.
3.C 由题意得f'（x）＝（x2＋2x＋a）ex，因为函数f（x）有最小值，且ex＞0，所以函数存在单调递减区间，即f'（x）＜0有解，所以x2＋2x＋a＝0有两个不等实根，所以函数y＝f'（x）的零点个数为2.
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