一、导数的概念及运算
1.导数的概念是由“以直代曲”的思想方法近似表示，然后利用“无穷逼近”的极限思想精确表达的一个数学概念，正确理解导数的概念是中学数学学科素养的一大提升.
2.在导数的概念建立之后，利用定义会求简单初等函数的导数，领悟极限算法的基本思想，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，会求简单的复合函数的导数.
【例1】 （1）（2024·驻马店月考）函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A.y'＝2xcos 2x－x2sin 2x
B.y'＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C.y'＝x2cos 2x－2xsin 2x
D.y'＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
（2）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝－x3＋2f'（1）x＋ex，则f'（1）＝ .
反思感悟
求函数导数的一般方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和或差的形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
【跟踪训练】
当函数y＝（a＞0）在x＝x0处的导数为0时，x0＝（ ）
A.a B.±a C.－a D.a2
二、导数的几何意义
导数的几何意义是由曲线的割线逼近切线变化过程的数学表示，即函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是该函数图象在该点（x0，f（x0））处的切线斜率.
【例2】 （1）设曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与曲线y＝（x＞0）上点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ；
（2）（2022·新高考Ⅱ卷14题）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， .
反思感悟
利用导数的几何意义可以求曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0），要明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的区别.
【跟踪训练】
曲线y＝在点（－1，－3）处的切线方程为 .
三、函数的单调性与导数
利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的.
【例3】 已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2－ax＋1.
（1）若a＝1，求f（x）的单调递增区间；
（2）已知f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
反思感悟
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间；
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的单调区间.
四、利用导数研究函数的极值、最值
导数是求极值和最值的有力工具.函数的极值是一个局部性概念，一般通过确定函数的定义域，用方程f'（x）＝0的根和不可导点的x值依次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格结合在每个区间上的单调性求极值；对于函数的最值问题，求在[a，b]上连续且在（a，b）内可导的函数f（x）的最值，可将过程简化，即不用判断极值是极大值还是极小值，而直接与区间端点函数值作比较即可.
【例4】 （1）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）·ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（ ）
A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1
（2）当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（ ）
A.－1 B.－ C. D.1
反思感悟
1.可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.
2.求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值.
3.函数在区间（a，b）上有唯一极值点，则这个极值点也是最大（小）值点.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝，若函数f（x）在x＝－1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值.
五、导数的实际应用
利用导数解决实际问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；
（2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论.
【例5】 某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A、B两种小商品.当投资额为x（x≥0）千元时，在销售A、B商品中所获得的收益分别为f（x）与g（x）（单位：千元），其中f（x）＝2x，g（x）＝5ln（2x＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售A、B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投入（ ）
A.4千元 B.3千元
C.2千元 D.1千元
反思感悟
1.在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑是否使实际问题有意义，不符合题意的值应舍去.
2.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x）＝0的情况.如果函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可知这就是最大（小）值.
3.注意实际问题中自变量的取值范围.
【跟踪训练】
工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p＝（c为常数，且0＜c＜6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝×100%）
章末复习与总结
【例1】 （1）B （2）3－e
解析：（1）y'＝（x2）'cos 2x＋x2（cos 2x）'＝2xcos 2x＋x2（－sin 2x）·（2x）'＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
（2）由题意可得f'（x）＝－3x2＋2f'（1）＋ex.令x＝1得f'（1）＝－3＋2f'（1）＋e，解得f'（1）＝3－e.
跟踪训练
B y'＝（）'＝＝，由－a2＝0得x0＝±a.
【例2】 （1）（1，1） （2）y＝x y＝－x
解析：（1）由y'＝ex，知曲线y＝ex在点（0，1）处的切线斜率k1＝e0＝1.设P（m，n），又y＝（x＞0）的导数y'＝－，曲线y＝（x＞0）在点P处的切线斜率k2＝－.依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1，则点P的坐标为（1，1）.
（2）先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
跟踪训练
y＝5x＋2 解析：y'＝'＝＝，所以y'｜x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5（x＋1），即y＝5x＋2.
【例3】 解：（1）由题可知，f'（x）＝x2＋（a－1）x－a＝（x＋a）（x－1），
当a＝1时，f'（x）＝（x＋1）（x－1），由f'（x）＞0得x＜－1或x＞1，故f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞）.
（2）由（1）可知f'（x）＝（x＋a）（x－1），
若f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，则f'（x）≥0对x∈（1，＋∞）恒成立，
即（x＋a）（x－1）≥0对x∈（1，＋∞）恒成立，
结合x－1＞0，从而x＋a≥0，即a≥－x对 x∈（1，＋∞）恒成立，于是a≥－1，即实数a的取值范围为[－1，＋∞）.
跟踪训练
解：函数f（x）＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f'（x）＝ex－a，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，即f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，令f'（x）＝ex－a＞0，解得x＞ln a，令f'（x）＝ex－a＜0，解得x＜ln a，
即f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增，
所以当a≤0时，f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a），单调递增区间为（ln a，＋∞）.
【例4】 （1）A （2）B 解析：（1）f'（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）·ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.∵x＝－2是f（x）的极值点，∴f'（－2）＝0，即（4－2a－4＋a－1）·e－3＝0，得a＝－1.∴f（x）＝（x2－x－1）·ex－1，f'（x）＝（x2＋x－2）ex－1.由f'（x）＞0，得x＜－2或x＞1；由f'（x）＜0，得－2＜x＜1.∴f（x）在（－∞，－2）和（1，＋∞）上单调递增，在（－2，1）上单调递减，∴f（x）的极小值为f（1）＝－1.
（2）由题意知，f（1）＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f'（x）＝－（x＞0），∵f（x）的定义域为（0，＋∞），∴易得f'（1）＝a－b＝0，∴a＝－2，∴f'（2）＝－＝－.故选B.
跟踪训练
解：因为f（x）＝，则f'（x）＝＝，
由题意可得f'（－1）＝＝0，解得a＝4，经检验，当a＝4时x＝－1为函数f（x）的极大值，符合题意.
故f（x）＝，f'（x）＝，当x变化时f'（x），f（x）的变化列表如下：
x （－∞，－1） －1 （－1，4） 4 （4，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（4，＋∞），单调递减区间为（－1，4）.
当x＜时，f（x）＞0；当x＞时，f（x）＜0.
所以，f（x）max＝f（－1）＝1，f（x）min＝f（4）＝－.
【例5】 B 设投入销售B商品x千元（0≤x≤5），则投入销售A商品的资金为（5－x）千元，设获得的总收益为S（x）（单位：千元），则S（x）＝2（5－x）＋5ln（2x＋1）＝5ln（2x＋1）－2x＋10（0≤x≤5），S'（x）＝－2，令S'（x）＝0，得x＝2，当0≤x＜2时，S'（x）＞0，函数S（x）单调递增；当2＜x≤5时，S'（x）＜0，函数S（x）单调递减，所以当x＝2时，函数S（x）取得极大值，也是最大值，所以当投入销售B商品的资金为2千元，投入销售A商品的资金为3千元时，总收益最大，故选B.
跟踪训练
解：（1）当x＞c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0；
当0＜x≤c时，p＝，
∴y＝·x·3－·x·＝.
∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为
y＝（c为常数，且0＜c＜6）.
（2）由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0.
当0＜x≤c时，∵y＝，
∴y'＝·＝，
令y'＝0，得x＝3或x＝9（舍去），
∴①当0＜c＜3时，y'＞0，∴y在区间（0，c]上单调递增，∴y最大值＝f（c）＝.
②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，c）上，y'＜0，
∴y在（0，3）上单调递增，在（3，c）上单调递减.
∴y最大值＝f（3）＝.
综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.
2 / 3(共32张PPT)
章末复习与总结
一、导数的概念及运算
1. 导数的概念是由“以直代曲”的思想方法近似表示，然后利用“无
穷逼近”的极限思想精确表达的一个数学概念，正确理解导数的概
念是中学数学学科素养的一大提升.
2. 在导数的概念建立之后，利用定义会求简单初等函数的导数，领悟
极限算法的基本思想，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法
则，会求简单的复合函数的导数.
【例1】 （1）（2024·驻马店月考）函数 y ＝ x2 cos 2 x 的导数为
（ B ）
A. y'＝2 x cos 2 x － x2 sin 2 x
B. y'＝2 x cos 2 x －2 x2 sin 2 x
C. y'＝ x2 cos 2 x －2 x sin 2 x
D. y'＝2 x cos 2 x ＋2 x2 sin 2 x
解析：y'＝（ x2）' cos 2 x ＋ x2（ cos 2 x ）'＝2 x cos 2 x ＋
x2（－ sin 2 x ）·（2 x ）'＝2 x cos 2 x －2 x2 sin 2 x .
B
（2）已知函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），且满足关系式 f （ x ）
＝－ x3＋2f'（1） x ＋e x ，则f'（1）＝ .
解析：由题意可得f'（ x ）＝－3 x2＋2f'（1）＋e x .令 x
＝1得f'（1）＝－3＋2f'（1）＋e，解得f'（1）＝3－e.
3－e
反思感悟
求函数导数的一般方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和或差的形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
【跟踪训练】
当函数 y ＝ （ a ＞0）在 x ＝ x0处的导数为0时， x0＝（ ）
A. a B. ± a
C. － a D. a2
解析： y'＝（ ）'＝ ＝ ，由 － a2＝0得
x0＝± a .
二、导数的几何意义
导数的几何意义是由曲线的割线逼近切线变化过程的数学表示，即函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数就是该函数图象在该点（ x0， f （ x0））处的切线斜率.
【例2】 （1）设曲线 y ＝e x 在点（0，1）处的切线与曲线 y ＝ （ x
＞0）上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为 ；
（1，1）
解析：由y'＝e x ，知曲线 y ＝e x 在点（0，1）处的切线斜率
k1＝e0＝1.设 P （ m ， n ），又 y ＝ （ x ＞0）的导数y'＝－ ，
曲线 y ＝ （ x ＞0）在点 P 处的切线斜率 k2＝－ .依题意 k1 k2
＝－1，所以 m ＝1，从而 n ＝1，则点 P 的坐标为（1，1）.
（2）（2022·新高考Ⅱ卷14题）曲线 y ＝ln ｜ x ｜过坐标原点的两条切
线的方程为 y ＝ x ， y ＝－ x .
y ＝ x
y ＝－ x
解析：先求当 x ＞0时，曲线 y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为（ x0， y0），则由y'＝ ，得切线斜率为 ，又切线的斜率为 ，所以 ＝ ，解得 y0＝1，代入 y ＝ln x ，得 x0＝e，所以切线斜率为 ，切线方程为 y ＝ x .同理可求得当 x ＜0时的切线方程为 y ＝－ x .综上可知，两条切线方程为 y ＝ x ， y ＝－ x .
反思感悟
利用导数的几何意义可以求曲线上任意一点处的切线方程 y － y0
＝f'（ x0）（ x － x0），要明确“过点 P （ x0， y0）的曲线 y ＝ f （ x ）
的切线方程”与“在点 P （ x0， y0）处的曲线 y ＝ f （ x ）的切线方
程”的区别.
【跟踪训练】
曲线 y ＝ 在点（－1，－3）处的切线方程为 .
解析：y'＝ '＝ ＝ ，所以y'｜ x＝－1＝
＝5，所以切线方程为 y ＋3＝5（ x ＋1），即 y ＝5 x ＋2.
y ＝5 x ＋2
三、函数的单调性与导数
利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按
照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而
掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的.
【例3】 已知函数 f （ x ）＝ x3＋ （ a －1） x2－ ax ＋1.
（1）若 a ＝1，求 f （ x ）的单调递增区间；
解：由题可知，f'（ x ）＝ x2＋（ a －1） x － a ＝（ x ＋ a ）
（ x －1），
当 a ＝1时，f'（ x ）＝（ x ＋1）（ x －1），由f'（ x ）＞0得 x ＜
－1或 x ＞1，故 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，－1），
（1，＋∞）.
（2）已知 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数 a 的取
值范围.
解：由（1）可知f'（ x ）＝（ x ＋ a ）（ x －1），
若 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递增，则f'（ x ）≥0对 x ∈
（1，＋∞）恒成立，
即（ x ＋ a ）（ x －1）≥0对 x ∈（1，＋∞）恒成立，
结合 x －1＞0，从而 x ＋ a ≥0，即 a ≥－ x 对 x ∈（1，＋∞）
恒成立，于是 a ≥－1，即实数 a 的取值范围为[－1，＋∞）.
反思感悟
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（ x ）＞0或f'（ x ）＜0求出
单调区间；
（2）当方程f'（ x ）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的
定义域划分为几个区间，确定各区间f'（ x ）的符号，从而确定
单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（ x ）的结构特
征，利用图象与性质确定f'（ x ）的符号，从而确定单调区间.
提醒 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用
“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝e x － ax － a ， a ∈R，求 f （ x ）的单调区间.
解：函数 f （ x ）＝e x － ax － a 的定义域为R，
求导得f'（ x ）＝e x － a ，
当 a ≤0时，f'（ x ）＞0恒成立，即 f （ x ）在R上是增函数；
当 a ＞0时，令f'（ x ）＝e x － a ＞0，解得 x ＞ln a ，令f'（ x ）＝e
x － a ＜0，解得 x ＜ln a ，即 f （ x ）在（－∞，ln a ）上单调递减，在（ln a ，＋∞）上单调递增，
所以当 a ≤0时， f （ x ）在R上是增函数；
当 a ＞0时， f （ x ）的单调递减区间为（－∞，ln a ），单调递增
区间为（ln a ，＋∞）.
四、利用导数研究函数的极值、最值
导数是求极值和最值的有力工具.函数的极值是一个局部性概
念，一般通过确定函数的定义域，用方程f'（ x ）＝0的根和不可
导点的 x 值依次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格结
合在每个区间上的单调性求极值；对于函数的最值问题，求在
[ a ， b ]上连续且在（ a ， b ）内可导的函数 f （ x ）的最值，可
将过程简化，即不用判断极值是极大值还是极小值，而直接与区
间端点函数值作比较即可.
【例4】 （1）若 x ＝－2是函数 f （ x ）＝（ x2＋ ax －1）·e x－1的极值
点，则 f （ x ）的极小值为（ ）
A. －1 B. －2e－3
解析：f'（ x ）＝（2 x ＋ a ）e x－1＋（ x2＋ ax －1）·e x－1＝[ x2＋（ a ＋2） x ＋ a －1]e x－1.∵ x ＝－2是 f （ x ）的极值点，∴f'（－2）＝0，即（4－2 a －4＋ a －1）·e－3＝0，得 a ＝－1.∴ f （ x ）＝（ x2－ x －1）·e x－1，f'（ x ）＝（ x2＋ x －2）e x－1.由f'（ x ）＞0，得 x ＜－2或 x ＞1；由f'（ x ）＜0，得－2＜ x ＜1.∴ f （ x ）在（－∞，－2）和（1，＋∞）上单调递增，在（－2，1）上单调递减，∴ f （ x ）的极小值为 f （1）＝－1.
C. 5e－3 D. 1
（2）当 x ＝1时，函数 f （ x ）＝ a ln x ＋ 取得最大值－2，则f'（2）
＝（ ）
A. －1 B. －
C. D. 1
解析： 由题意知， f （1）＝ a ln 1＋ b ＝ b ＝－2.求导得f'（ x ）＝
－ （ x ＞0），∵ f （ x ）的定义域为（0，＋∞），∴易得f'
（1）＝ a － b ＝0，∴ a ＝－2，∴f'（2）＝ － ＝－ .故选B.
反思感悟
1. 可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极
值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.
2. 求函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上的最值时，在得到极值的基础
上，结合区间端点的函数值 f （ a ）， f （ b ）与 f （ x ）的各极值进
行比较得到函数的最值.
3. 函数在区间（ a ， b ）上有唯一极值点，则这个极值点也是最大
（小）值点.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ ，若函数 f （ x ）在 x ＝－1处取得极值，求
f （ x ）的单调区间，以及最大值和最小值.
解：因为 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ＝
，由题意可得f'（－1）＝ ＝0，解得 a ＝4，经检验，当 a ＝4时 x ＝－1为函数 f （ x ）的极大值，符合题意.
故 f （ x ）＝ ，f'（ x ）＝ ，当 x 变化时f'（ x ），
f （ x ）的变化列表如下：
x （－∞， －1） －1 （－1，4） 4 （4，
＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，－1），（4，＋∞），单
调递减区间为（－1，4）.
当 x ＜ 时， f （ x ）＞0；当 x ＞ 时， f （ x ）＜0.
所以， f （ x ）max＝ f （－1）＝1， f （ x ）min＝ f （4）＝－ .
五、导数的实际应用
利用导数解决实际问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，
写出实际问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f （ x ）；
（2）求函数的导数f'（ x ），解方程f'（ x ）＝0；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为
最大（小）值；
（4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下
结论.
【例5】 某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售 A 、 B 两种小商
品.当投资额为 x （ x ≥0）千元时，在销售 A 、 B 商品中所获得的收益
分别为 f （ x ）与 g （ x ）（单位：千元），其中 f （ x ）＝2 x ， g
（ x ）＝5ln（2 x ＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售 A 、 B 两
种小商品，为使总收益最大，则 A 商品需投入（ ）
A. 4千元 B. 3千元
C. 2千元 D. 1千元
解析： 设投入销售 B 商品 x 千元（0≤ x ≤5），则投入销售 A 商品
的资金为（5－ x ）千元，设获得的总收益为 S （ x ）（单位：千
元），则 S （ x ）＝2（5－ x ）＋5ln（2 x ＋1）＝5ln（2 x ＋1）－2 x ＋
10（0≤ x ≤5）， S '（ x ）＝ －2，令 S '（ x ）＝0，得 x ＝2，当
0≤ x ＜2时， S '（ x ）＞0，函数 S （ x ）单调递增；当2＜ x ≤5时， S '
（ x ）＜0，函数 S （ x ）单调递减，所以当 x ＝2时，函数 S （ x ）取得
极大值，也是最大值，所以当投入销售 B 商品的资金为2千元，投入
销售 A 商品的资金为3千元时，总收益最大，故选B.
反思感悟
1. 在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑是否使实际问题有意
义，不符合题意的值应舍去.
2. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（ x ）＝0
的情况.如果函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点值比
较，也可知这就是最大（小）值.
3. 注意实际问题中自变量的取值范围.
【跟踪训练】
工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x （万件）间的关系为 p ＝
（ c 为常数，且0＜ c ＜6）.已知每生产1件合格产
品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.
（1）将日盈利额 y （万元）表示为日产量 x （万件）的函数；
解：当 x ＞ c 时， p ＝ ， y ＝ · x ·3－ · x · ＝0；
当0＜ x ≤ c 时， p ＝ ，
∴ y ＝ · x ·3－ · x · ＝ .
∴日盈利额 y （万元）与日产量 x （万件）的函数关系为
y ＝（ c 为常数，且0＜ c ＜6）.
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝
×100%）
解：由（1）知，当 x ＞ c 时，日盈利额为0.
当0＜ x ≤ c 时，∵ y ＝ ，
∴y'＝ · ＝ ，
令y'＝0，得 x ＝3或 x ＝9（舍去），
∴①当0＜ c ＜3时，y'＞0，∴ y 在区间（0， c ]上单调递
增，∴ y最大值＝ f （ c ）＝ .
②当3≤ c ＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3， c ）上，y'
＜0，
∴ y 在（0，3）上单调递增，在（3， c ）上单调递减.
∴ y最大值＝ f （3）＝ .
综上，若0＜ c ＜3，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最
大；若3≤ c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.
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