模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，则该数列的公差为（ ）
A. B.1 C. D.2
2.设函数f（x）＝ax3＋b，若f'（－1）＝3，则a＝（ ）
A.－1 B. C.1 D.
3.在数列{an}中，a1＝，an＝（－1）n·2an－1（n≥2），则a5＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
4.曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为（ ）
A.（1－e）x－y＋1＝0 B.（1－e）x－y－1＝0
C.（e－1）x－y＋1＝0 D.（e－1）x－y－1＝0
5.已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（ ）
A.（－∞，1）和（，4） B.（0，）
C.（0，4） D.（0，1）和（4，＋∞）
6.已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋an·an＋1，则Tn＝（ ）
A.16×（1－） B.16×（1－）
C.×（1－） D.×（1－）
7.函数y＝（2x－1）ex的图象大致是（ ）
8.定义在（1，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x－1）f'（x）－f（x）＞x2－2x对任意x∈（1，＋∞）恒成立.若f（2）＝3，则不等式f（x）＞x2－x＋1的解集为（ ）
A.（1，2） B.（2，＋∞） C.（1，3） D.（3，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若{an}是公比为q（q≠0）的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A.若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列 B.若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列
C.若q＞0，则S4＋S6＞2S5 D.若bn＝，则{bn}是等比数列
10.以下不等式成立的是（ ）
A.x＞sin x，x∈（0，）
B.x－1≥ln x，x∈（0，＋∞）
C.ex－x－1≥0，x∈R
D.ln x＋1－ex＞0，x∈（0，＋∞）
11.设函数f（x）＝，则下列选项正确的是（ ）
A.f（x）为奇函数
B.f（x）的图象关于点（0，1）对称
C.f（x）的最大值为＋1
D.f（x）的最小值为－＋1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知递增等比数列{an}满足a2＋a3＝6a1，则{an}的前三项依次是 .（填出满足条件的一组即可）
13.若函数f（x）＝x2－4x＋aln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围为 .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，则k＝ ，ak＝ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2＋aln x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若a＝1，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值.
16.（本小题满分15分）下列三个条件：①a1＝1，a1a5＝；②S3＝9，S5＝25；③Sn＝n2.从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中并解答.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0， .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求实数a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤－－2.
19.（本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，a3，…，an为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0，②｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝1.
（1）若等比数列{an}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q；
（2）若一个等差数列{an}既为2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”{ai}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n），求证：｜Sk｜≤.
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1.A 因为等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，所以解得d＝，a1＝，所以该数列的公差为.
2.C ∵f'（x）＝3ax2，∴f'（－1）＝3a＝3，∴a＝1.
3.B ∵a1＝，an＝（－1）n·2an－1，∴a2＝（－1）2×2×＝，a3＝（－1）3×2×＝－，a4＝（－1）4×2×（－）＝－，a5＝（－1）5×2×（－）＝.
4.C 由于y'＝e－，所以y'｜x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为y－e＝（e－1）·（x－1），即（e－1）x－y＋1＝0.
5.D g'（x）＝＝，令g'（x）＜0，即f'（x）－f（x）＜0，由图可得x∈（0，1）∪（4，＋∞），故函数g（x）的单调递减区间（0，1）和（4，＋∞），故选D.
6.C 设数列{an}的公比为q，由题意可知当n≥2时，＝q2，即数列{an·an＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝得q＝，所以a1＝4，a1·a2＝8，所以Tn＝＝×（1－）.
7.A 因为当x＜时，y＝（2x－1）ex＜0，所以D错误；又y'＝（2x＋1）ex，所以当x＜－时，y'＜0，即y＝（2x－1）ex在区间（－∞，－）上单调递减，所以C错误；又当x＞时，u＝（2x＋1）ex的导数u'＝（2x＋3）ex＞0，所以y'＝（2x＋1）ex单调递增，即y＝（2x－1）ex随x的增大越来越陡，所以B错误.
8.B 由（x－1）f'（x）－f（x）＞x2－2x，得（x－1）f'（x）－f（x）＋1＞（x－1）2，即－1＞0，即［－x］'＞0对任意x∈（1，＋∞）恒成立，令g（x）＝－x，则g（x）在（1，＋∞）上单调递增，∵f（2）＝3，∴g（2）＝0，∴f（x）＞x2－x＋1等价于－x＞0，即g（x）＞g（2），∴x＞2.∴不等式f（x）＞x2－x＋1的解集为（2，＋∞）.
9.ABD 在等比数列中，an＋1－an＝an（q－1），当a1＞0，0＜q＜1时，显然有an（q－1）＜0，故{an}为递减数列，故A正确；当a1＜0，0＜q＜1时，显然有an（q－1）＞0，故{an}为递增数列，故B正确；若等比数列{an}的公比q＝1，则S4＋S6＝10a1，2S5＝10a1，则S4＋S6＝2S5，故C不正确；等比数列{an}的公比为q（q≠0），若bn＝，则{bn}是等比数列，公比为，故D正确.
10.ABC 对于A，令f（x）＝x－sin x，x∈（0，），由f'（x）＝1－cos x＞0，则f（x）在（0，）上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0 x＞sin x，不等式成立；由两个经典不等式，易知B、C正确；对于D，令f（x）＝ln x＋1－ex，x∈（0，＋∞），当x＝1时，f（1）＝1－e＜0，所以不等式不成立.
[WT][WTBX]11.BCD f（x）＝＋1，不满足f（－x）＝－f（x），故A项错误；令g（x）＝，则g（－x）＝＝＝－g（x），所以g（x）为奇函数，则f（x）关于点（0，1）对称，B项正确；设f（x）＝＋1的最大值为M，则g（x）的最大值为M－1，设f（x）＝＋1的最小值为N，则g（x）的最小值为N－1，当x＞0时，g（x）＝，所以g'（x）＝，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，当x＞1时，g'（x）＜0，所以当0＜x＜1时，g（x）单调递增，当x＞1时，g（x）单调递减，所以g（x）在x＝1处取得最大值，最大值为g（1）＝，由于g（x）为奇函数，所以g（x）在x＝－1处取得最小值，最小值为g（－1）＝－，所以f（x）的最大值为M＝＋1，最小值为N＝－＋1，故C、D项正确.故选B、C、D.
12.1，2，4（答案不唯一） 解析：设{an}的公比为q，因为a2＋a3＝6a1，所以a1q＋a1q2＝6a1，所以q＋q2＝6，解得q＝－3或q＝2，又数列{an}为递增数列，所以q＝2，所以只要填写首项为正数，公比为2的等比数列的前三项均可，如1，2，4.
13.（－∞，0] 解析：由f（x）＝x2－4x＋aln x可知，f'（x）＝2x－4＋＝（x＞0），令g（x）＝2x2－4x＋a＝2（x－1）2＋a－2，由f（x）有唯一的极值点，可得g（0）≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为（－∞，0].
14.28 解析：因为＋＋…＋＝＝－，＋＋…＋＝＝，所以数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首项为，公差为的等差数列，所以该数列的前m项和Tm＝＋1＋＋…＋＝.令Tm＝＝14，解得m＝7，所以ak＝，k＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
15.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
当a＝－1时，f'（x）＝x－＝，
令f'（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去），
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）当a＝1时，易知函数f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝，
f（x）max＝f（e）＝e2＋1.
16.解：（1）若选条件①：由a1＝1，a1a5＝，
得a1（a1＋4d）＝（a1＋d）2，即1＋4d＝（1＋d）2，∴d2＝2d.
∵d≠0，∴d＝2.∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
若选条件②：设等差数列{an}的首项为a1，
由S3＝9，S5＝25，得解得
∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
若选条件③：当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1.
显然当n＝1时也满足an＝2n－1，∴an＝2n－1.
（2）由（1）知an＝2n－1，
∴bn＝＝＝（－），
则Tn＝（1－＋－＋…＋－）＝（1－）＝.
17.解：（1）∵当x＝5时，y＝11，
∴由函数式y＝＋10（x－6）2，
得＋10＝11，∴a＝2.
（2）由（1）知该商品每日的销售量y＝＋10（x－6）2，
设商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），则
f（x）＝（x－3）［＋10（x－6）2］＝2＋10（x－3）（x－6）2，3＜x＜6，
f'（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]
＝30（x－4）（x－6），
令f'（x）＝0，得x＝4，
当3＜x＜4时，f'（x）＞0，函数 f（x）在（3，4）上单调递增；
当4＜x＜6时，f'（x）＜0，函数f（x）在（4，6）上单调递减，
∴当x＝4时，函数f（x）取得最大值f（4）＝42，
∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.
18.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
若a＜0，则当x∈时，f'（x）＞0；
当x∈时，f'（x）＜0.
故f（x）在上单调递增，在（－，＋∞）上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.
所以f（x）≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.
设g（x）＝ln x－x＋1，则g'（x）＝－1.
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0.所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
故当x＝1时，g（x）取得极大值且为最大值，最大值为g（1）＝0.
所以当x＞0时，g（x）≤0.
从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，即f（x）≤－－2.
19.解：（1）若q≠1，则由①a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝＝0，
由a1≠0，所以1－q2k＝0，得q＝－1，
由②得a1＝或a1＝－，满足题意.
若q＝1，由①得，a1·2k＝0，得a1＝0，不合题意，舍去.
综上所述q＝－1.
（2）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k∈N*）的公差为d（d＞0）.
因为a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝0，所以＝0.
所以a1＋a2k＝ak＋ak＋1＝0.
因为d＞0，所以由ak＋ak＋1＝0，得ak＜0，ak＋1＞0.
由题中的①②得a1＋a2＋a3＋…＋ak＝－，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k＝，
两式相减得k2·d＝1，即d＝.
又a1k＋d＝－，得a1＝.
所以an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）·＝.
（3）证明：记a1，a2，a3，…，an中非负项和为A，负项和为B.
则A＋B＝0，A－B＝1，得A＝，B＝－.
因为－＝B≤Sk≤A＝，所以｜Sk｜≤.
3 / 3(共41张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知等差数列{ an }中， a2＝1， a3＋ a5＝4，则该数列的公差为
（ ）
A. B. 1
解析： 因为等差数列{ an }中， a2＝1， a3＋ a5＝4，所以
解得 d ＝ ， a1＝ ，所以该数列的公差为 .
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C. D. 2
2. 设函数 f （ x ）＝ ax3＋ b ，若f'（－1）＝3，则 a ＝（ ）
A. －1 B.
C. 1 D.
解析： ∵f'（ x ）＝3 ax2，∴f'（－1）＝3 a ＝3，∴ a ＝1.
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3. 在数列{ an }中， a1＝ ， an ＝（－1） n ·2 an－1（ n ≥2），则 a5＝
（ ）
A. － B.
解析： ∵ a1＝ ， an ＝（－1） n ·2 an－1，∴ a2＝（－1）2×2×
＝ ， a3＝（－1）3×2× ＝－ ， a4＝（－1）4×2×（－ ）＝
－ ， a5＝（－1）5×2×（－ ）＝ .
C. － D.
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4. 曲线 y ＝e x －ln x 在点（1，e）处的切线方程为（ ）
A. （1－e） x － y ＋1＝0
B. （1－e） x － y －1＝0
C. （e－1） x － y ＋1＝0
D. （e－1） x － y －1＝0
解析： 由于y'＝e－ ，所以y'｜ x＝1＝e－1，故曲线 y ＝e x －ln x
在点（1，e）处的切线方程为 y －e＝（e－1）·（ x －1），即（e－
1） x － y ＋1＝0.
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5. 已知函数 f （ x ）与f'（ x ）的图象如图所示，则函数 g （ x ）＝
的单调递减区间为（ ）
A. （－∞，1）和（ ，4）
B. （0， ）
C. （0，4）
D. （0，1）和（4，＋∞）
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解析： g'（ x ）＝ ＝ ，令g'
（ x ）＜0，即f'（ x ）－ f （ x ）＜0，由图可得 x ∈（0，1）∪
（4，＋∞），故函数 g （ x ）的单调递减区间（0，1）和（4，＋
∞），故选D.
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6. 已知数列{ an }是等比数列， a2＝2， a5＝ ，令 Tn ＝ a1· a2＋ a2· a3
＋…＋ an · an＋1，则 Tn ＝（ ）
A. 16×（1－ ） B. 16×（1－ ）
C. ×（1－ ） D. ×（1－ ）
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解析： 设数列{ an }的公比为 q ，由题意可知当 n ≥2时，
＝ q2，即数列{ an · an＋1}是以 q2为公比的等比数列，由 a2＝2， a5＝
得 q ＝ ，所以 a1＝4， a1· a2＝8，所以 Tn ＝ ＝
×（1－ ）.
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7. 函数 y ＝（2 x －1）e x 的图象大致是（ ）
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解析： 因为当 x ＜ 时， y ＝（2 x －1）e x ＜0，所以D错误；又
y'＝（2 x ＋1）e x ，所以当 x ＜－ 时，y'＜0，即 y ＝（2 x －1）e x
在区间（－∞，－ ）上单调递减，所以C错误；又当 x ＞ 时， u
＝（2 x ＋1）e x 的导数u'＝（2 x ＋3）e x ＞0，所以y'＝（2 x ＋1）e x
单调递增，即 y ＝（2 x －1）e x 随 x 的增大越来越陡，所以B错误.
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8. 定义在（1，＋∞）上的函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），且（ x －
1）f'（ x ）－ f （ x ）＞ x2－2 x 对任意 x ∈（1，＋∞）恒成立.若 f
（2）＝3，则不等式 f （ x ）＞ x2－ x ＋1的解集为（ ）
A. （1，2） B. （2，＋∞）
C. （1，3） D. （3，＋∞）
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解析：由（ x －1）f'（ x ）－ f （ x ）＞ x2－2 x ，得（ x －1）f'（ x ）－ f （ x ）＋1＞（ x －1）2，即 －1＞0，即［ － x ］'＞0对任意 x ∈（1，＋∞）恒成立，令 g （ x ）＝ － x ，则 g （ x ）在（1，＋∞）上单调递增，∵ f （2）＝3，∴ g （2）＝0，∴ f （ x ）＞ x2－ x ＋1等价于 － x ＞0，即 g （ x ）＞ g （2），∴ x ＞2.∴不等式 f （ x ）＞ x2－ x ＋1的解集为（2，＋∞）.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 若{ an }是公比为 q （ q ≠0）的等比数列，记 Sn 为{ an }的前 n 项和，
则下列说法正确的是（ ）
A. 若 a1＞0，0＜ q ＜1，则{ an }为递减数列
B. 若 a1＜0，0＜ q ＜1，则{ an }为递增数列
C. 若 q ＞0，则 S4＋ S6＞2 S5
D. 若 bn ＝ ，则{ bn }是等比数列
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解析：在等比数列中， an＋1－ an ＝ an （ q －1），当 a1＞0，0＜ q ＜1时，显然有 an （ q －1）＜0，故{ an }为递减数列，故A正确；当 a1＜0，0＜ q ＜1时，显然有 an （ q －1）＞0，故{ an }为递增数列，故B正确；若等比数列{ an }的公比 q ＝1，则 S4＋ S6＝10 a1，2 S5＝10 a1，则 S4＋ S6＝2 S5，故C不正确；等比数列{ an }的公比为 q （ q ≠0），若 bn ＝ ，则{ bn }是等比数列，公比为 ，故D正确.
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10. 以下不等式成立的是（ ）
A. x ＞ sin x ， x ∈（0， ）
B. x －1≥ln x ， x ∈（0，＋∞）
C. e x － x －1≥0， x ∈R
D. ln x ＋1－e x ＞0， x ∈（0，＋∞）
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解析：对于A，令 f （ x ）＝ x － sin x ， x ∈（0， ），由f'（ x ）＝1－ cos x ＞0，则 f （ x ）在（0， ）上单调递增，则 f （ x ）＞ f （0）＝0 x ＞ sin x ，不等式成立；由两个经典不等式，易知B、C正确；对于D，令 f （ x ）＝ln x ＋1－e x ， x ∈（0，＋∞），当 x ＝1时， f （1）＝1－e＜0，所以不等式不成立.
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11. 设函数 f （ x ）＝ ，则下列选项正确的是（ ）
A. f （ x ）为奇函数
B. f （ x ）的图象关于点（0，1）对称
C. f （ x ）的最大值为 ＋1
D. f （ x ）的最小值为－ ＋1
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解析： f （ x ）＝ ＋1，不满足 f （－ x ）＝－ f （ x ），故A项错误；令 g （ x ）＝ ，则 g （－ x ）＝ ＝ ＝－ g （ x ），所以 g （ x ）为奇函数，则 f （ x ）关于点（0，1）对称，B项正确；设 f （ x ）＝ ＋1的最大值为 M ，则 g （ x ）的最大值为 M －1，设 f （ x ）＝ ＋1的最小值为 N ，则 g （ x ）的最小值为 N －1，当 x ＞0时， g （ x ）＝ ，所以g'（ x ）＝ ，
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当0＜ x ＜1时，g'（ x ）＞0，当 x ＞1时，g'（ x ）＜0，所以当0＜ x ＜1时， g （ x ）单调递增，当 x ＞1时， g （ x ）单调递减，所以 g （ x ）在 x ＝1处取得最大值，最大值为 g （1）＝ ，由于 g （ x ）为奇函数，所以 g （ x ）在 x ＝－1处取得最小值，最小值为 g （－1）＝－ ，所以 f （ x ）的最大值为 M ＝ ＋1，最小值为 N ＝－ ＋1，故C、D项正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知递增等比数列{ an }满足 a2＋ a3＝6 a1，则{ an }的前三项依次
是 .（填出满足条件的一组即可）
解析：设{ an }的公比为 q ，因为 a2＋ a3＝6 a1，所以 a1 q ＋ a1 q2＝6
a1，所以 q ＋ q2＝6，解得 q ＝－3或 q ＝2，又数列{ an }为递增数
列，所以 q ＝2，所以只要填写首项为正数，公比为2的等比数列
的前三项均可，如1，2，4.
1，2，4（答案不唯一）
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13. 若函数 f （ x ）＝ x2－4 x ＋ a ln x 有唯一的极值点，则实数 a 的取值
范围为 .
解析：由 f （ x ）＝ x2－4 x ＋ a ln x 可知，f'（ x ）＝2 x －4＋ ＝
（ x ＞0），令 g （ x ）＝2 x2－4 x ＋ a ＝2（ x －1）2＋ a
－2，由 f （ x ）有唯一的极值点，可得 g （0）≤0，即 a ≤0，则
实数 a 的取值范围为（－∞，0].
（－∞，0]
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14. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，数列{ an }为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，…， ， ，…， ，…，若 Sk ＝14，则 k
＝ ， ak ＝ .
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解析：因为 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ － ， ＋
＋…＋ ＝ ＝ ，所以数列 ， ＋ ， ＋ ＋
，…， ＋ ＋…＋ 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以该数列的前 m 项和 Tm ＝ ＋1＋ ＋…＋ ＝ .令 Tm ＝
＝14，解得 m ＝7，所以 ak ＝ ， k ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝28.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ x2＋ a ln x .
（1）若 a ＝－1，求函数 f （ x ）的极值，并指出是极大值还是极小值；
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解：函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），
当 a ＝－1时，f'（ x ）＝ x － ＝ ，
令f'（ x ）＝0，得 x ＝1或 x ＝－1（舍去），
当 x ∈（0，1）时，f'（ x ）＜0，函数 f （ x ）单调递减；
当 x ∈（1，＋∞）时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）单调递增，
所以 f （ x ）在 x ＝1处取得极小值，极小值为 ，无极大值.
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（2）若 a ＝1，求函数 f （ x ）在[1，e]上的最大值和最小值.
解：当 a ＝1时，易知函数 f （ x ）在[1，e]上单调递增，
所以 f （ x ）min＝ f （1）＝ ，
f （ x ）max＝ f （e）＝ e2＋1.
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16. （本小题满分15分）下列三个条件：① a1＝1， a1 a5＝ ；② S3
＝9， S5＝25；③ Sn ＝ n2.从这三个条件中任选一个补充在下面的
问题中并解答.
已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且公差 d ≠0， .
（1）求数列{ an }的通项公式；
解：若选条件①：由 a1＝1， a1 a5＝ ，
得 a1（ a1＋4 d ）＝（ a1＋ d ）2，即1＋4 d ＝（1＋ d ）2，
∴ d2＝2 d .
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∵ d ≠0，∴ d ＝2.∴ an ＝1＋2（ n －1）＝2 n －1.
若选条件②：设等差数列{ an }的首项为 a1，
由 S3＝9， S5＝25，得解得
∴ an ＝1＋2（ n －1）＝2 n －1.
若选条件③：当 n ＝1时， a1＝ S1＝1；
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝ n2－（ n －1）2＝2 n －1.
显然当 n ＝1时也满足 an ＝2 n －1，∴ an ＝2 n －1.
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（2）记 bn ＝ ，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：由（1）知 an ＝2 n －1，
∴ bn ＝ ＝ ＝ （ － ），
则 Tn ＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ （1－
）＝ .
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17. （本小题满分15分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每
日的销量 y （单位：千克）与销售价格 x （单位：元/千克）满足
关系式 y ＝ ＋10（ x －6）2，其中3＜ x ＜6， a 为常数.已知销
售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求实数 a 的值；
解：∵当 x ＝5时， y ＝11，
∴由函数式 y ＝ ＋10（ x －6）2，
得 ＋10＝11，∴ a ＝2.
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（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商
场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
解：由（1）知该商品每日的销售量 y ＝ ＋10（ x －6）2，
设商场每日销售该商品所获得的利润为 f （ x ），则
f （ x ）＝（ x －3）［ ＋10（ x －6）2］＝2＋10（ x －
3）（ x －6）2，3＜ x ＜6，
f'（ x ）＝10[（ x －6）2＋2（ x －3）（ x －6）]
＝30（ x －4）（ x －6），
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令f'（ x ）＝0，得 x ＝4，
当3＜ x ＜4时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）在（3，4）上单调
递增；
当4＜ x ＜6时，f'（ x ）＜0，函数 f （ x ）在（4，6）上单调
递减，
∴当 x ＝4时，函数 f （ x ）取得最大值 f （4）＝42，
∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的
利润最大，最大值为42元.
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ln x ＋ ax2＋（2 a ＋1） x .
（1）讨论 f （ x ）的单调性；
解： f （ x ）的定义域为（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ＋2 ax ＋2 a ＋1＝ .
若 a ≥0，则当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ）＞0，
故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.
若 a ＜0，则当 x ∈ 时，f'（ x ）＞0；
当 x ∈ 时，f'（ x ）＜0.
故 f （ x ）在 上单调递增，在（－ ，＋∞）上单调递减.
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（2）当 a ＜0时，证明 f （ x ）≤－ －2.
解：证明：由（1）知，当 a ＜0时， f （ x ）在 x ＝－
处取得最大值，最大值为 f ＝ln －1－ .
所以 f （ x ）≤－ －2等价于ln －1－ ≤－ －2，
即ln ＋ ＋1≤0.
设 g （ x ）＝ln x － x ＋1，则g'（ x ）＝ －1.
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当 x ∈（0，1）时，g'（ x ）＞0；当 x ∈（1，＋∞）时，g'（ x ）＜0.所以 g （ x ）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
故当 x ＝1时， g （ x ）取得极大值且为最大值，最大值为 g
（1）＝0.
所以当 x ＞0时， g （ x ）≤0.
从而当 a ＜0时，ln ＋ ＋1≤0，
即 f （ x ）≤－ －2.
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19. （本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列 a1， a2，
a3，…， an 为 n （ n ＝2，3，4，…）阶“期待数列”：
① a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ＝0，②｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜
an ｜＝1.
（1）若等比数列{ an }为2 k （ k ∈N*）阶“期待数列”，求公比q ；
解：若 q ≠1，则由① a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 k ＝ ＝0，
由 a1≠0，所以1－ q2 k ＝0，得 q ＝－1，
由②得 a1＝ 或 a1＝－ ，满足题意.
若 q ＝1，由①得， a1·2 k ＝0，得 a1＝0，不合题意，舍去.
综上所述 q ＝－1.
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（2）若一个等差数列{ an }既为2 k （ k ∈N*）阶“期待数列”又是
递增数列，求该数列的通项公式；
解：设等差数列 a1， a2， a3，…， a2 k （ k ∈N*）的公
差为 d （ d ＞0）.
因为 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 k ＝0，所以 ＝0.
所以 a1＋ a2 k ＝ ak ＋ ak＋1＝0.
因为 d ＞0，所以由 ak ＋ ak＋1＝0，得 ak ＜0， ak＋1＞0.
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由题中的①②得 a1＋ a2＋ a3＋…＋ ak ＝－ ， ak＋1＋ ak＋2＋
ak＋3＋…＋ a2 k ＝ ，
两式相减得 k2· d ＝1，即 d ＝ .
又 a1 k ＋ d ＝－ ，得 a1＝ .
所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝ ＋（ n －1）· ＝ .
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（3）记 n 阶“期待数列”{ ai }的前 k 项和为 Sk （ k ＝1，2，
3，…， n ），求证：｜ Sk ｜≤ .
解：证明：记 a1， a2， a3，…， an 中非负项和为 A ，
负项和为 B .
则 A ＋ B ＝0， A － B ＝1，得 A ＝ ， B ＝－ .
因为－ ＝ B ≤ Sk ≤ A ＝ ，所以｜ Sk ｜≤ .
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