第1课时 两个计数原理及其简单应用
1.音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，不同的选法种数为（ ）
A.21 B.30
C.160 D.240
2.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中纯虚数的个数为（ ）
A.0 B.3
C.6 D.36
3.阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ）
A.50 B.60 C.125 D.243
4.某班小张等4名同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（ ）
A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
5.（多选）已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆的个数用式子表示为（ ）
A.4＋4＋4＋4＋4＋4 B.4＋4＋4＋4
C.3×4 D.3×4×2
6.（多选）设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为（ ）
A.20 B.27
C.32 D.30
7.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有 种.
8.某校高三教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层走到第四层的方法共有 种（用数字作答）.
9.甲、乙、丙3个班各有3名、5名、2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种推选方法.
10.用10元、5元和1元的现金来支付20元钱的书款，不同的支付方法有（ ）
A.3种 B.5种
C.9种 D.12种
11.（多选）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A.18 B.19
C.24 D.26
12.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，则有 种不同的选法.
13.设a，b，c∈{1，2，3，4}，若以a，b，c为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有 个.
14.用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
（1）写出这个数列的前11项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若an＝341，求n.
第1课时 两个计数原理及其简单应用
1.A 依题意一共有10＋8＋3＝21种选法.
2.C 由复数a＋bi为纯虚数，所以a＝0，此时b有6种取法，故纯虚数共有6个.
3.D 由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是35＝243.故选D.
4.C 小张的报名方法有2种，其他3名同学的报名方法各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54（种）不同的报名方法，故选C.
5.AD 法一 完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取方法；第3步，确定r有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2（个）.
法二 由分类加法计数原理得，当a＝1时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4（个）；当a＝2时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4（个）；当a＝3时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4（个），故方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆共有4＋4＋4＋4＋4＋4（个）.
6.ABC 东面上山的种数为2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝27，北面上山的种数为4×（2＋3＋3）＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32.
7.7 解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7（种）.
8.8 解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有2×2×2＝23＝8种.
9.31 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6（种）选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10（种）选法.综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31（种）推选方法.
10.C 只用一种币值有2张10元；4张5元；20张1元，共3种.用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种.用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理可知，共有3＋5＋1＝9（种）.
11.AB 第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19，故选A、B.
12.20 解析：由题意可知，有1人既会钢琴又会小号（记为甲），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人.本题可分两类：第1类，甲入选，此时，只需从其他8人中任选1人，故这类选法共有8种.第2类，甲不入选，此时，选法共有6×2＝12（种）.因此共有8＋12＝20（种）不同的选法.
13.12 解析：设a，b是腰长，根据腰长分四类：第1类，当a＝b＝1时，c＜a＋b＝2，则c＝1； 第2类，当a＝b＝2时，c＜a＋b＝4，则c＝1，2，3；第3类，当a＝b＝3时，c＜a＋b＝6，则c＝1，2，3，4；第4类，当a＝b＝4时，c＜a＋b＝8，则c＝1，2，3，4.因此符合条件的三角形的个数为1＋3＋4＋4＝12.
14.解：（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
（2）这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64（项）.
（3）比an＝341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）.
所以n＝44＋1＝45.
2 / 2第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 数学抽象、逻辑推理
2.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题 数学建模、数学运算
第1课时 两个计数原理及其简单应用
杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.一名志愿者从成都赴杭州为亚运会服务，从成都到杭州每天有6个航班，4列火车.
【问题】 （1）该志愿者从成都到杭州的方案可以分为几类？
（2）在这几类中各有几种方法？
（3）该志愿者从成都到杭州共有多少种不同的方法？
知识点一 分类加法计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
2.分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
提醒 分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.
知识点二 分步乘法计数原理
1.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
提醒 分步乘法计数原理中每一步得到的只是其中某一步的结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事.
【想一想】
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（ ）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（ ）
（3）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（ ）
（4）从甲地经丙地到乙地是分步问题.（ ）
2.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为（ ）
A.6 B.5
C.3 D.2
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A.7 B.12
C.64 D.81
题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 某校高三年级共有三个班，各班人数如下表：
男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
通性通法
利用分类加法计数原理的解题流程
【跟踪训练】
1.某中学需从2024年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（ ）
A.6 B.5
C.3 D.2
2.已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为 .
题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】 从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为（ ）
A.50 B.100
C.150 D.200
【母题探究】
1.（变条件）本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的条数又为多少？
2.（变条件，变设问）若从本例的六个数字中选2个作为椭圆＋＝1的参数m，n.则可以组成椭圆的个数是多少？
通性通法
利用分步乘法计数原理的解题流程
【跟踪训练】
1.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A.6种 B.24种
C.64种 D.81种
2.在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种.
题型三 两个计数原理的简单应用
【例3】 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
通性通法
1.使用两个计数原理的原则
使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决.
2.应用两个计数原理解题的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么；
（2）思考如何完成这件事；
（3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类；
（4）选择计数原理进行计算.
【跟踪训练】
集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取一个元素作为点P（x，y）的坐标.
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？
1.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同.从两个袋子里各取一个球，不同取法的种数为（ ）
A.182 B.14
C.48 D.91
2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ）
A.3 B.9
C.24 D.以上都不对
3.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有 条不同的路.
第1课时 两个计数原理及其简单应用
【基础知识·重落实】
知识点一
1.m＋n 2.m1＋m2＋…＋mn
知识点二
1.m×n 2.m1×m2×…×mn
想一想
提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.B 由分类加法计数原理可得不同的选法种数为3＋2＝5.
3.B 第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4×3＝12（种）不同的配法.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案.
第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，不同选法的种数为50＋60＋55＝165.
（2）从高三（1）班男生、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案.
第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同选法的种数为30＋30＋20＝80.
跟踪训练
1.B 选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B.
2.11 解析：分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面.
【例2】 B 由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100.
母题探究
1.解：需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40（条）抛物线.
2.解：据条件知m＞0，n＞0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆的个数为3×2＝6.
跟踪训练
1.D 每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝81（种）.故选D.
2.6 解析：由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个开关中的任意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光.因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为2×3＝6.
【例3】 解：（1）分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法.
（2）分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法.
（3）分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的选法.
所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法.
跟踪训练
解：（1）一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12（个）不同的点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12（个）不同的点.
由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24.
（2）第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数，同样可分为两类，类似于（1），得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8.
随堂检测
1.C 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48.故选C.
2.B 根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9.
3.16 解析：如果由甲地经乙地到丁地，则有2×4＝8种不同的路线；如果由甲地经丙地到丁地，则有4×2＝8种不同的路线.因此，从甲地到丁地共有8＋8＝16种不同的路线.
4 / 4(共55张PPT)
第1课时
两个计数原理及其简单应用
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解分类加法计数原理、分
步乘法计数原理及其意义 数学抽象、逻辑推理
2.能利用两个计数原理解决一些简单的实
际问题 数学建模、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022
年第19届亚运会.一名志愿者从成都赴杭州为亚运会服务，从成都到
杭州每天有6个航班，4列火车.
【问题】 （1）该志愿者从成都到杭州的方案可以分为几类？
（2）在这几类中各有几种方法？
（3）该志愿者从成都到杭州共有多少种不同的方法？
知识点一 分类加法计数原理
1. 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，
在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝
种不同的方法.
m
＋n
2. 分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方
法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn
种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种
不同的方法.
提醒 分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它是独
立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成
这件事.
m1＋m2＋…＋mn
知识点二 分步乘法计数原理
1. 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的
方法.
m×n
2. 分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2
步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完
成这件事共有N＝ 种不同的方法.
提醒 分步乘法计数原理中每一步得到的只是其中某一步的结果，
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件
事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事.
m1×m2×…×mn
【想一想】
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这
件事，若能完成，则是分类，否则，是分步.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.
（ × ）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.
（ √ ）
（3）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任
何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成
后，这件事情才算完成. （ √ ）
（4）从甲地经丙地到乙地是分步问题. （ √ ）
×
√
√
√
2. 从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的
选法种数为（ ）
A. 6 B. 5
C. 3 D. 2
解析： 由分类加法计数原理可得不同的选法种数为3＋2＝5.
3. 现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件
上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A. 7 B. 12
C. 64 D. 81
解析： 第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的
选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.
故共有4×3＝12（种）不同的配法.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 某校高三年级共有三个班，各班人数如下表：
男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的
选法？
解： 从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类
不同的方案.
第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会
主席，不同选法的种数为50＋60＋55＝165.
解：从高三（1）班男生、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案.
第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从高三（1）班男生、高三（2）班男
生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，
不同选法的种数为30＋30＋20＝80.
（2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选
1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
通性通法
利用分类加法计数原理的解题流程
【跟踪训练】
1. 某中学需从2024年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选
聘1人，则不同的选法种数为（ ）
A. 6 B. 5
C. 3 D. 2
解析：B 选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有
3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计
数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B.
2. 已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以
确定不同的平面个数为 .
解析：分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的7个点可
以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以
确定4个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝
11个不同的平面.
11
题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】 从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数
字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线
的条数为（ ）
A. 50 B. 100
C. 150 D. 200
解析： 由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种
选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的
条数为5×5×4＝100.
【母题探究】
1. （变条件）本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的
条数又为多少？
解：需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5
种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40（条）
抛物线.
2. （变条件，变设问）若从本例的六个数字中选2个作为椭圆 ＋
＝1的参数m，n.则可以组成椭圆的个数是多少？
解：据条件知m＞0，n＞0，且m≠n，故需分两步完成，第一步
确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆
的个数为3×2＝6.
通性通法
利用分步乘法计数原理的解题流程
【跟踪训练】
1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则
不同的报名方式有（ ）
A. 6种 B. 24种
C. 64种 D. 81种
解析： 每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝
81（种）.故选D.
2. 在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使
灯泡发光的方法有 种.
解析：由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个开关中的任
意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能
发光.因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光
的方法种数为2×3＝6.
6
题型三 两个计数原理的简单应用
【例3】 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
解： 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画
中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根
据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法.
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同
的选法？
解： 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种
不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70（种）
不同的选法.
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的
选法？
解： 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，
由分步乘法计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）
不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）
不同的选法.
所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法.
通性通法
1. 使用两个计数原理的原则
使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入
手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，
逐类解决；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后
逐步解决.
2. 应用两个计数原理解题的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么；
（2）思考如何完成这件事；
（3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后
分类；
（4）选择计数原理进行计算.
【跟踪训练】
集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取
一个元素作为点P（x，y）的坐标.
（1）可以得到多少个不同的点？
解： 一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个
不同，则表示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12
（个）不同的点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12
（个）不同的点.
由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24.
（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？
解： 第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A，B
中的正数，同样可分为两类，类似于（1），得适合题意的不同
点的个数为2×2＋2×2＝8.
1. 一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相
同.从两个袋子里各取一个球，不同取法的种数为（ ）
A. 182 B. 14
C. 48 D. 91
解析： 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48.故
选C.
2. 从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内
汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通
工具的不同走法数为（ ）
A. 3 B. 9
C. 24 D. 以上都不对
解析： 根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工
具的不同走法数为3＋4＋2＝9.
3. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙
地有4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有 条
不同的路.
16
解析：如果由甲地经乙地到丁地，则有2×4＝8种不同的路线；如
果由甲地经丙地到丁地，则有4×2＝8种不同的路线.因此，从甲地
到丁地共有8＋8＝16种不同的路线.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任
选一首歌曲进行播放，不同的选法种数为（ ）
A. 21 B. 30
C. 160 D. 240
解析： 依题意一共有10＋8＋3＝21种选法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成
复数a＋bi，其中纯虚数的个数为（ ）
A. 0 B. 3
C. 6 D. 36
解析： 由复数a＋bi为纯虚数，所以a＝0，此时b有6种取法，
故纯虚数共有6个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同
的选法种数是（ ）
A. 50 B. 60
C. 125 D. 243
解析： 由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅
读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是
35＝243.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 某班小张等4名同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每名
同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法
有（ ）
A. 27种 B. 36种
C. 54种 D. 81种
解析： 小张的报名方法有2种，其他3名同学的报名方法各有3
种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54（种）不同的报
名方法，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多选）已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则
方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆的个数用式子表
示为（ ）
A. 4＋4＋4＋4＋4＋4 B. 4＋4＋4＋4
C. 3×4 D. 3×4×2
解析： 法一 完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确
定a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取方法；
第3步，确定r有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，方程
（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2（个）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
法二 由分类加法计数原理得，当a＝1时，b＝4，5，6，7，r＝8或
9，有4＋4（个）；当a＝2时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4
（个）；当a＝3时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4（个），故
方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆共有4＋4＋4＋4＋4
＋4（个）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A. 20 B. 27
C. 32 D. 30
解析： 东面上山的种数为2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的
种数为3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝
27，北面上山的种数为4×（2＋3＋3）＝32，故只从一面上山，而
从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32.
6. （多选）设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条
路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能
为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共
有 种.
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次
有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7（种）.
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 某校高三教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第
一层走到第四层的方法共有 种（用数字作答）.
解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二
层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层
都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有
2×2×2＝23＝8种.
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 甲、乙、丙3个班各有3名、5名、2名三好学生，现准备推选2名来
自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种推
选方法.
解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原
理，有3×5＝15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步
乘法计数原理，有3×2＝6（种）选法；③乙班选1名，丙班选1
名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10（种）选法.综上，根据
分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31（种）推选方法.
31
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 用10元、5元和1元的现金来支付20元钱的书款，不同的支付方法
有（ ）
A. 3种 B. 5种
C. 9种 D. 12种
解析： 只用一种币值有2张10元；4张5元；20张1元，共3种.
用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，
5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种.用三种币
值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理可
知，共有3＋5＋1＝9（种）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. （多选）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的
最大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不
同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表
示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A. 18 B. 19
C. 24 D. 26
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二
条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内
传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量
为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋
6＝19，故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种，其中7人会
钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，则
有 种不同的选法.
解析：由题意可知，有1人既会钢琴又会小号（记为甲），只会钢
琴的有6人，只会小号的有2人.本题可分两类：第1类，甲入选，
此时，只需从其他8人中任选1人，故这类选法共有8种.第2类，甲
不入选，此时，选法共有6×2＝12（种）.因此共有8＋12＝20
（种）不同的选法.
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 设a，b，c∈{1，2，3，4}，若以a，b，c为三条边的长构成一
个等腰三角形，则这样的三角形有 个.
解析：设a，b是腰长，根据腰长分四类：第1类，当a＝b＝1
时，c＜a＋b＝2，则c＝1； 第2类，当a＝b＝2时，c＜a＋b
＝4，则c＝1，2，3；第3类，当a＝b＝3时，c＜a＋b＝6，则
c＝1，2，3，4；第4类，当a＝b＝4时，c＜a＋b＝8，则c＝
1，2，3，4.因此符合条件的三角形的个数为1＋3＋4＋4＝12.
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数
由小到大排成一个数列{an}.
（1）写出这个数列的前11项；
解： 111，112，113，114，121，122，123，124，
131，132，133.
（2）这个数列共有多少项？
解： 这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数
的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64
（项）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（3）若an＝341，求n.
解： 比an＝341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）.
所以n＝44＋1＝45.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看！
