第2课时 两个计数原理的综合应用
1.某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为（ ）
A.11 B.30 C.56 D.65
2.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A.243 B.252
C.261 D.279
3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（ ）
A.24种 B.4种
C.43种 D.34种
4.用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有多少种不同的涂色方案（ ）
A.1 140 B.1 520
C.1 400 D.1 280
5.某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案种数为（ ）
A.8 B.10
C.12 D.15
6.（多选）某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法正确的是（ ）
A.甲若选1份荤菜，则有6种选法
B.乙的选菜方法数为9
C.若两人分别打菜，则总的方法数为18
D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，则方法数为30
7.在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有 种（用数字作答）.
8.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有 个，其中偶数有 个.
9.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以，则甲、乙、丙、丁购物后依次结账，他们结账方式共有 种.
10.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A.6种 B.8种
C.36种 D.48种
11.（多选）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位整数有 个；其中比2 000大的四位偶数有 个.
13.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）.
14.高中学生甲到教室需要走楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶.
（1）若楼梯有4级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法；
（2）若楼梯有10级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法.
第2课时 两个计数原理的综合应用
1.B 先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30（种）不同的组队方法.
2.B 0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900（个）三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648（个），∴有重复数字的三位数有900－648＝252（个）.
3.C 第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就完成了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有43种方法，故选C.
4.D 从左到右依次涂色（也可以任选一个环作为开始），第一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以共有5×4×4×4×4＝1 280（种）涂色方法.故选D.
5.B 由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6种编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1＝4种编排方案.故编排方案共有6＋4＝10种.
6.AB 甲选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，选项A正确；乙的选菜方法数为2×3＋3＝9（种），选项B正确；两人分别打菜时，总的方法数为9×9＝81（种），选项C不正确；两人所打菜只有一份相同时，若荤菜相同，则有2×3×2＝12（种）；若素菜相同，则有3×2＝6（种）.所以若两人所打菜均为一荤一素且只有一份相同时的选法数为12＋6＝18，选项D错误.
7.240 解析：由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有5×4×3×4＝240种.
8.8 5 解析：十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8个.偶数为214，312，314，412，324，共5个.
9.20 解析：当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有3种方式，丁有4种方式，共有3×4＝12（种）方式；当乙用银联卡结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方式，丁有4种方式，共有2×4＝8（种）方式.综上，共有12＋8＝20（种）方式.
10.D 如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48（种）不同的参观路线.
11.BD 设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示.若任意两位同学之间都进行交换，需要进行5＋4＋3＋2＋1＝15（次）交换，现只进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：①由3人构成的2次交换，如a～b和a～c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人.②由4人构成的2次交换，如a～b和c～d之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，d四人.
12.300 120 解析：①分四步：第1步，千位数字有5种选取方法；第2步，百位数字有5种选取方法；第3步，十位数字有4种选取方法；第4步，个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位整数共5×5×4×3＝300（个）.
②分为三类：第1类，末位是0的有4×4×3＝48（个）；第2类，末位是2的有3×4×3＝36（个）；第3类，末位是4的有3×4×3＝36（个）.由分类加法计数原理知，共有48＋36＋36＝120（个）.
13.72 解析：①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3种颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2×2＝12（种），由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48（种）.②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2，4区域，另一种颜色涂第3，5区域，有2种着色方法.由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24（种）.综上，共有48＋24＝72（种）.
14.解：（1）用1，2，3分别表示学生甲一步迈一级、两级、三级台阶，用例举法可知学生甲有1111，121，112，13，211，22，31，共7种不同的爬楼方法.
（2）设学生甲爬n级台阶有an种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前n－1级台阶有an－1种方法；
若最后一步迈两级台阶，则前n－2级台阶有an－2种不同的方法；
若最后一步迈三级台阶，则前n－3级台阶有an－3种不同的方法，
由分类加法计数原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3（n≥4），显然a1＝1，a2＝2，a3＝4，则：a4＝a1＋a2＋a3＝7，a5＝a2＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4＋a5＋a6＝44，a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝149，a10＝a7＋a8＋a9＝274，
故该学生上10级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法.
2 / 2第2课时 两个计数原理的综合应用
题型一 组数问题
【例1】 用0，1，2，3，4五个数字.
（1）可以排成多少个三位数字的密码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【母题探究】
（变设问）由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？
通性通法
解决组数问题的方法
（1）对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解；
（2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.
提醒 数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.
【跟踪训练】
由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
（2）可以有重复数字的三位数？
题型二 抽取（分配）问题
【例2】 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A.16种 B.18种
C.37种 D.48种
通性通法
解决抽取（分配）问题的方法
（1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法；
（2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理：一般地，若抽取是有顺序的，则按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；
②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
【跟踪训练】
1.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）
A.18种 B.9种 C.6种 D.3种
2.甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为 .
题型三 涂色（种植）问题
【例3】 （1）将5种不同的颜色涂在如图所示的四个区域A，B，C，D中，每个区域涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种；
（2）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有 种不同的种植方法.
通性通法
解决涂色（种植）问题的一般思路
（1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；
（3）对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
【跟踪训练】
1.对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）
A B C
A.22种 B.18种
C.12种 D.6种
2.如图，将1个四棱锥的每个面染上1种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色.如果只有4种颜色可使用，那么不同的染色方法有（ ）
A.36种 B.48种
C.72种 D.108种
1.用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（ ）
A.6个 B.18个
C.24个 D.12个
2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择（数字可以重复）.若某车主第1个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有（ ）
A.180种 B.360种
C.720种 D.960种
3.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 种.
A B
C
D
第2课时 两个计数原理的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（个）.
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（个）.
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18（种）排法.因而有12＋18＝30（种）排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
母题探究
解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36（个）.
跟踪训练
解：（1）0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18（个）.
（2）百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择.
由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48（个）.
【例2】 C 法一（直接法） 按甲工厂分配的班情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方案共有3×3＝9（种）；第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27（种）.综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37（种）.
法二（间接法） 先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37（种）方案.
跟踪训练
1.A 由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有3×3×2×1＝18（种）.故选A.
2.2 解析：不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2（种）.
【例3】 （1）180 （2）18
解析：（1）法一 可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与D不同色时，D有3种涂法，C有2种涂法，共有5×4×3×2＝120（种）涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3＝60（种）.综上，不同的涂色方法有180种.
法二 先排B，C，D，两两不同色，有5×4×3＝60（种）方法.再排A，A只要与B，C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的涂色方法有60×3＝180（种）.
（2）法一（直接法） 若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6（种）不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18（种）.
法二（间接法） 从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24（种），其中不种黄瓜有3×2×1＝6（种），故共有24－6＝18（种）不同的种植方法.
跟踪训练
1.C 先给A选色，有3种方法；再给B选色，有2种方法；再给C选色，有2种方法，由分步乘法计数原理可得不同的染色方法共有3×2×2＝12（种）.故选C.
2.C 当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方法，共有4×3×2×1×2＝48（种）染色方法.当侧面SAB与侧面SDC不同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有1种染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（种）染色方法.则不同的染色方法共有48＋24＝72（种）.
随堂检测
1.D 先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由3×2＝6种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12个没有重复数字的三位偶数.故选D.
2.D 按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960（种）情况.
3.72 解析：先涂A，有4种选择，则B有3种选择，而为了让C与A、B都不一样，则C有2种选择，再涂D，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72（种）.
2 / 3(共48张PPT)
第2课时
两个计数原理的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 组数问题
【例1】 用0，1，2，3，4五个数字.
（1）可以排成多少个三位数字的密码？
解： 三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，
每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（个）.
（2）可以排成多少个三位数？
解： 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考
虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因
此，共有4×5×5＝100（个）.
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
解： 被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，
可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法；
另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首
位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有
2×3×3＝18（种）排法.因而有12＋18＝30（种）排法.即可以
排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
【母题探究】
（变设问）由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四
位奇数？
解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一
步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从
1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方
法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方
法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36
（个）.
通性通法
解决组数问题的方法
（1）对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）优先的
方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反
面求解；
（2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，
要善于挖掘.组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.
提醒 数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的
最高位.
【跟踪训练】
由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
解： 0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数
字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数
共有3×3×2＝18（个）.
（2）可以有重复数字的三位数？
解： 百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字
也有4种选择.
由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4
＝48（个）.
题型二 抽取（分配）问题
【例2】 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实
践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同
的分配方案有（ ）
A. 16种 B. 18种
C. 37种 D. 48种
解析： 法一（直接法） 按甲工厂分配的班情况进行分类，共分
为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方
案共有3×3＝9（种）；第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去
其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27（种）.综上所述，不同的
分配方案有1＋9＋27＝37（种）.
法二（间接法） 先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除
甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37（种）方案.
通性通法
解决抽取（分配）问题的方法
（1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图
法或图表法；
（2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类
加法计数原理或分步乘法计数原理：一般地，若抽取是有顺序
的，则按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；
②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去
所有不符合条件的抽取方法数即可.
【跟踪训练】
1. 把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个
盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共
有（ ）
A. 18种 B. 9种
解析： 由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒
子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2种选择，4号球只有
1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有
3×3×2×1＝18（种）.故选A.
C. 6种 D. 3种
2. 甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的
贺卡，则不同取法的种数为 .
解析：不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取
后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共
有2×1×1＝2（种）.
2
题型三 涂色（种植）问题
【例3】 （1）将5种不同的颜色涂在如图所示的四个区域A，B，
C，D中，每个区域涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不同，则不同
的涂色方法有 种；
180
解析： 法一 可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与
D不同色时，D有3种涂法，C有2种涂法，共有5×4×3×2＝
120（种）涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3＝
60（种）.综上，不同的涂色方法有180种.
法二 先排B，C，D，两两不同色，有5×4×3＝60（种）方法.再
排A，A只要与B，C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的涂色方
法有60×3＝180（种）.
（2）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在
三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有 种不
同的种植方法.
18
解析：法一（直接法） 若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6
（种）不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均
有3×2＝6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18
（种）.
法二（间接法） 从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2
＝24（种），其中不种黄瓜有3×2×1＝6（种），故共有24－6＝18
（种）不同的种植方法.
通性通法
解决涂色（种植）问题的一般思路
（1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理
分析；
（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线
段”等问题，用分类加法计数原理分析；
（3）对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色
问题.
【跟踪训练】
1. 对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共
边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不
同的染色方法共有（ ）
A B C
A. 22种 B. 18种
解析： 先给A选色，有3种方法；再给B选色，有2种方法；再
给C选色，有2种方法，由分步乘法计数原理可得不同的染色方法
共有3×2×2＝12（种）.故选C.
C. 12种 D. 6种
2. 如图，将1个四棱锥的每个面染上1种颜色，使每两个具有公共棱的
面染成不同颜色.如果只有4种颜色可使用，那么不同的染色方法有
（ ）
A. 36种 B. 48种
C. 72种 D. 108种
解析： 当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4种染色
方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面
SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方法，共有
4×3×2×1×2＝48（种）染色方法.当侧面SAB与侧面SDC不同
色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧
面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有1种
染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（种）染色方法.则不同的染色
方法共有48＋24＝72（种）.
1. 用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（ ）
A. 6个 B. 18个
C. 24个 D. 12个
解析： 先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由3×2＝6
种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12个没有重复数字
的三位偶数.故选D.
2. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从
字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选
择（数字可以重复）.若某车主第1个号码（从左到右）只想在数字
3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他
可选的车牌号码的所有可能情况有（ ）
A. 180种 B. 360种
C. 720种 D. 960种
解析： 按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2
个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有
5×3×4×4×4＝960（种）情况.
3. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 种.
A B
C
D
解析：先涂A，有4种选择，则B有3种
选择，而为了让C与A、B都不一样，则C有2种选择，再涂D，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72（种）.
72
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1
名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为（ ）
A. 11 B. 30
C. 56 D. 65
解析： 先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方
法，故共有6×5＝30（种）不同的组队方法.
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2. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
（ ）
A. 243 B. 252
C. 261 D. 279
解析： 0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900（个）三位
数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648（个），∴有重复数
字的三位数有900－648＝252（个）.
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3. 把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（ ）
A. 24种 B. 4种
C. 43种 D. 34种
解析： 第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也
有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投
完，就完成了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有43种方法，
故选C.
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4. 用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环
不能涂相同的颜色，共有多少种不同的涂色方案（ ）
A. 1 140 B. 1 520
C. 1 400 D. 1 280
解析： 从左到右依次涂色（也可以任选一个环作为开始），第
一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，
所以共有5×4×4×4×4＝1 280（种）涂色方法.故选D.
1
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14
5. 某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要
求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须
排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案种数为
（ ）
A. 8 B. 10
C. 12 D. 15
1
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14
解析： 由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：①甲
排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6种
编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排
乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1＝4种编排方
案.故编排方案共有6＋4＝10种.
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6. （多选）某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该
窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法正确的是
（ ）
A. 甲若选1份荤菜，则有6种选法
B. 乙的选菜方法数为9
C. 若两人分别打菜，则总的方法数为18
D. 若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，则方法数为30
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解析： 甲选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，选项A正
确；乙的选菜方法数为2×3＋3＝9（种），选项B正确；两人分别
打菜时，总的方法数为9×9＝81（种），选项C不正确；两人所打
菜只有一份相同时，若荤菜相同，则有2×3×2＝12（种）；若素
菜相同，则有3×2＝6（种）.所以若两人所打菜均为一荤一素且只
有一份相同时的选法数为12＋6＝18，选项D错误.
1
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7. 在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能
种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共
有 种（用数字作答）.
解析：由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有5×4×3×4＝
240种.
240
1
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3
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8. 在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为
“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，
4可构成无重复数字的“驼峰数”有 个，其中偶数有 个.
解析：十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6
个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8个.
偶数为214，312，314，412，324，共5个.
8
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1
2
3
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5
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14
9. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联
卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，
顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以，则甲、
乙、丙、丁购物后依次结账，他们结账方式共有 种.
解析：当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有3
种方式，丁有4种方式，共有3×4＝12（种）方式；当乙用银联卡
结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方式，丁有4种方式，共有
2×4＝8（种）方式.综上，共有12＋8＝20（种）方式.
20
1
2
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10. 一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，
则不同的参观路线共有（ ）
A. 6种 B. 8种
C. 36种 D. 48种
1
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解析： 如图所示，由题意知在A点可先参观区
域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以
按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一
步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48
（种）不同的参观路线.
1
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11. （多选）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位
同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已
知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数
为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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14
解析： 设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示.若任意
两位同学之间都进行交换，需要进行5＋4＋3＋2＋1＝15（次）交
换，现只进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有
两种情况：①由3人构成的2次交换，如a～b和a～c之间的交换
没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人.②由4人构成的2次交
换，如a～b和c～d之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的
有a，b，c，d四人.
1
2
3
4
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7
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12. 用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位整数有
个；其中比2 000大的四位偶数有 个.
解析：①分四步：第1步，千位数字有5种选取方法；第2步，百位
数字有5种选取方法；第3步，十位数字有4种选取方法；第4步，
个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复
数字的四位整数共5×5×4×3＝300（个）.②分为三类：第1类，
末位是0的有4×4×3＝48（个）；第2类，末位是2的有3×4×3＝
36（个）；第3类，末位是4的有3×4×3＝36（个）.由分类加法
计数原理知，共有48＋36＋36＝120（个）.
300
120
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域
不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法
共有 种（以数字作答）.
72
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
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14
解析：①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3种
颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2×2
＝12（种），由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48（种）.②
当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区
域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第
2，4区域，另一种颜色涂第3，5区域，有2种着色方法.由分步乘
法计数原理得有4×3×2＝24（种）.综上，共有48＋24＝72
（种）.
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
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14. 高中学生甲到教室需要走楼梯，一步可以迈一级或两级或三级
台阶.
（1）若楼梯有4级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法；
解： 用1，2，3分别表示学生甲一步迈一级、两级、三
级台阶，用例举法可知学生甲有1111，121，112，13，
211，22，31，共7种不同的爬楼方法.
1
2
3
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5
6
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（2）若楼梯有10级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法.
解： 设学生甲爬n级台阶有an种方法，考虑最后一
步：若最后一步只迈一级台阶，则前n－1级台阶有an－1种
方法；
若最后一步迈两级台阶，则前n－2级台阶有an－2种不同的
方法；
若最后一步迈三级台阶，则前n－3级台阶有an－3种不同的
方法，
1
2
3
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8
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14
由分类加法计数原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3
（n≥4），显然a1＝1，a2＝2，a3＝4，则：a4＝a1＋a2＋
a3＝7，a5＝a2＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4
＋a5＋a6＝44，a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝
149，a10＝a7＋a8＋a9＝274，
故该学生上10级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法.
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14
谢 谢 观 看！
