6.2.2 排列数
第1课时 排列数公式
1.某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（ ）
A.25种 B.55种
C.种 D.53种
2.已知3＝4，则n＝（ ）
A.5 B.7
C.10 D.14
3.89×90×91×92×…×100可表示为（ ）
A. B.
C. D.
4.某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起的聊天次数为（ ）
A.20 B.15
C.10 D.5
5.（多选）满足不等式＞12的n的值可能为（ ）
A.12 B.11
C.10 D.8
6.（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A. B.
C. D.－
7.计算＋＝ .
8.已知＝89，则n＝ .
9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 种不同的招聘方案（用数字作答）.
10.（1）解不等式：3≤2＋6；
（2）解方程：3＝4.
11.（多选）下列等式一定成立的是（ ）
A.＝（n－2） B.＝
C.n＝ D.＝
12.化简：＋＋＋…＋＝ .
13.若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方式有 种.
14.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，则原有 个车站；现在有 个车站.
15.已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作为圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径.求：
（1）可以作多少个不同的圆？
（2）经过原点的圆有多少个？
（3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？
第1课时 排列数公式
1.C 不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有种.
2.B 由×3＝×4，得（11－n）·（10－n）＝12，解得n＝7，n＝14（舍）.
3.C 89×90×91×92×…×100＝＝＝.
4.A 由题意得共需发起的聊天次数为＝5×4＝20.
5.ABC 由排列数公式得＞12，则（n－5）（n－6）＞12，解得n＞9或n＜2（舍去）.又n∈N*，结合选项，所以n可以取10，11，12.
6.CD ①（直接法）：因为末位数字排法有种，其他位置排法有种，共有×个.
②（间接法）：－×.故选C、D.
7.726 解析：由条件得得n＝3，所以＋＝＋＝726.
8.15 解析：根据题意，＝89，则＝90，变形可得＝90，则有＝90×，变形可得：（n－5）（n－6）＝90，解可得：n＝15或n＝－4（舍），故n＝15.
9.60 解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60（种）.
10.解：（1）由题意可知，x∈N*且x≥3，
因为＝x（x－1）（x－2），＝（x＋1）x，＝x（x－1），
所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋6x（x－1），整理得（3x－2）（x－5）≤0，
所以≤x≤5.又x∈N*且x≥3，
所以原不等式的解集为{3，4，5}.
（2）3＝4可化为3×＝4×，即3×＝4×，化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13，由题意知解得1＜x≤8，故原方程的解为x＝6.
11.ACD A中，右边＝（n－2）（n－1）n＝＝左边；C中，左边＝n（n－1）（n－2）×…×2＝n（n－1）（n－2）×…×2×1＝＝右边；D中，左边＝·＝＝＝右边；只有B不正确.
12.1－ 解析：因为＝－＝－，所以＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.
13.11 解析：单词中含4个字母，其全排列有＝24个，但其中两个字母一样，因此排列方法种数为＝12，其中只有一种组合是正确的，因此错误拼写方式有12－1＝11种.
14.15 17 解析：由题意可知，原有车票的种数是种，现有车票的种数是种，所以－＝62，即（n＋m）（n＋m－1）－n（n－1）＝62，所以m（2n＋m－1）＝62＝2×31，因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，所以解得m＝2，n＝15，故原有15个车站，现有17个车站.
15.解：（1）可分两步完成：第一步，选r，因为r＞0，所以r有种选法，第二步，选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法，所以由分步乘法计数原理可得有·＝448个不同的圆.
（2）若圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，则a，b，r满足a2＋b2＝r2，
满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，
考虑a，b的顺序，有2种情况，
即符合题意的圆有2＝4个.
（3）圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10，
则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a，b取10，0时，r有7种情况，
当a，b取3，7或4，6时，r不可取0，有6种情况，
考虑a，b的顺序，有种情况，
所以满足题意的圆共有（＋2）＝38个.
2 / 26.2.2 排列数
新课程标准解读 核心素养
1.能利用计数原理推导排列数公式 逻辑推理
2.能运用排列数公式解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
第1课时 排列数公式
在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍……
【问题】 这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
知识点 排列数及排列数公式
排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示
全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝ .规定0！＝
排列数 公式 乘积式 ＝ （m，n∈N*，且m≤n）
阶乘式 ＝ （m，n∈N*，且m≤n）
提醒 “排列”和“排列数”的区别：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，排列不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；排列数是一个数.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在式子中，m，n的值都可以为0.（ ）
（2）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种.（ ）
（3）若＝9×10×11×12，则m＝4.（ ）
（4）排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数小1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数.（ ）
2.若＝10×9×…×5，则m＝ .
3.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，求不同的送书方法的种数.
题型一 排列数与排列数公式
【例1】 计算下列各式：
（1）2＋；（2）.
通性通法
排列数的计算方法
（1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用；
（2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量.
【跟踪训练】
1.7×8×9×…×15可表示为（ ）
A. B. C. D.
2.＝ .
题型二 排列数的计算与证明
【例2】 （1）解方程：＝140；
（2）求证：－＝m.
通性通法
排列数的第二个公式＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用.
【跟踪训练】
1.不等式＜6的解集为（ ）
A.[2，8] B.[2，6] C.（7，12） D.{8}
2.求证：＝（n＋1）.
题型三 无约束条件的排列问题
【例3】 将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？
通性通法
无约束条件的排列问题
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为，从n个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是.
【跟踪训练】
用排列数表示下列问题：
（1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
1.－＝（ ）
A.480 B.520
C.600 D.1 320
2.一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的次序种数为（ ）
A.4 B.44
C.24 D.48
3.不等式－n＜7的解集为 .
4.用0～9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数.
第1课时 排列数公式
【基础知识·重落实】
知识点
不同排列 n！ n！ 1
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.6
3.解：此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有＝20（种）不同的送书方法.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）2＋＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72.
（2）原式＝
＝＝＝.
跟踪训练
1.D 7×8×9×…×15＝＝.
2.－
解析：＝＝＝－＝－.
【例2】 解：（1）因为所以x≥3，x∈N*.
由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）.
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝（舍去）.
所以原方程的解为x＝3.
（2）证明：∵－＝－＝·（－1）＝·＝m·＝m，∴－＝m.
跟踪训练
1.D 由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8②，由①②及x∈N*，得x＝8.
2.证明：因为＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
（n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以＝（n＋1）.
【例3】 解：完成这件事可以分为两步.
第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有种方法；
第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有种方法.
根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有×＝576（种）.
跟踪训练
解：（1）本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数，即为没有重复数字的三位数的个数.
（2）这是6个元素的全排列问题，其排列数，即为一天的课程的排法种数.
随堂检测
1.C ＝12×11×10＝1 320，＝10×9×8＝720，故－＝1 320－720＝600.
2.C 由题意可知，不同的次序种数为＝4×3×2×1＝24.
3.{3，4} 解析：由－n＜7，得（n－1）·（n－2）－n＜7，整理，得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n＝3或n＝4.
4.648 解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为×＝9×9×8＝648.
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第1课时 排列数公式
新课程标准解读 核心素养
1.能利用计数原理推导排列数公式 逻辑推理
2.能运用排列数公式解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍……
【问题】 这29位名人大家的排列顺序有
多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
知识点 排列数及排列数公式
排列数
定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排
列数
符号表
示
全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列
不同
排列
阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表
示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成
＝ .规定0！＝
排列
数 公式 乘积式 ＝
（m，n∈N*，且m≤n）
阶乘式 ＝ （m，n∈N*，且m≤n）
n！
n！
1
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
提醒 “排列”和“排列数”的区别：“排列”和“排列数”是两个
不同的概念，排列不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的
一件事）；排列数是一个数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在式子 中，m，n的值都可以为0. （ × ）
（2）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种.
（ × ）
（3）若 ＝9×10×11×12，则m＝4. （ √ ）
（4）排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它
前面一个因数小1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因
数. （ √ ）
×
×
√
√
2. 若 ＝10×9×…×5，则m＝ .
3. 从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，求不同的送书方
法的种数.
解：此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共
有 ＝20（种）不同的送书方法.
6
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 排列数与排列数公式
【例1】 计算下列各式：
（1）2 ＋ ；
解： 2 ＋ ＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72.
（2） .
解： 原式＝
＝ ＝ ＝ .
通性通法
排列数的计算方法
（1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续
正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总
个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列
数公式的逆用；
（2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提
取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量.
【跟踪训练】
1.7×8×9×…×15可表示为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 7×8×9×…×15＝ ＝ .
2. ＝ － .
解析： ＝ ＝ ＝－ ＝－ .
－
题型二 排列数的计算与证明
【例2】 （1）解方程： ＝140 ；
解： 因为所以x≥3，x∈N*.
由 ＝140 得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x
（x－1）（x－2）.
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝ （舍去）.
所以原方程的解为x＝3.
（2）求证： － ＝m .
解： 证明：∵ － ＝ － ＝
·（ －1）＝ · ＝m· ＝
m ，∴ － ＝m .
通性通法
排列数的第二个公式 ＝ 适用于与排列数有关的证明、
解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，
同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用.
【跟踪训练】
1. 不等式 ＜6 的解集为（ ）
A. [2，8] B. [2，6]
C. （7，12） D. {8}
解析： 由 ＜6 ，得 ＜6× ，化简得x2－
19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8
②，由①②及x∈N*，得x＝8.
2. 求证： ＝（n＋1） .
证明：因为 ＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
（n＋1） ＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
所以 ＝（n＋1） .
题型三 无约束条件的排列问题
【例3】 将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配
一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？
解：完成这件事可以分为两步.
第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中
取出4个元素的排列问题，有 种方法；
第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有 种方法.
根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有 × ＝576（种）.
通性通法
无约束条件的排列问题
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有
特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m
个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为 ，从n
个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是 .
【跟踪训练】
用排列数表示下列问题：
（1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的
三位数？
解： 本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三
个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数 ，即
为没有重复数字的三位数的个数.
（2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
解： 这是6个元素的全排列问题，其排列数 ，即为一天
的课程的排法种数.
1. － ＝（ ）
A. 480 B. 520
C. 600 D. 1 320
解析： ＝12×11×10＝1 320， ＝10×9×8＝720，故
－ ＝1 320－720＝600.
2. 一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的
次序种数为（ ）
A. 4 B. 44
C. 24 D. 48
解析： 由题意可知，不同的次序种数为 ＝4×3×2×1＝24.
3. 不等式 －n＜7的解集为 .
解析：由 －n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得
n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5
且n∈N*，所以n＝3或n＝4.
4. 用0～9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数.
解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1
个，有 种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下
的9个数字中取出2个，有 种取法.根据分步乘法计数原理，所求
的三位数的个数为 × ＝9×9×8＝648.
{3，4}
648
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（ ）
A. 25种 B. 55种
C. 种 D. 53种
解析： 不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法
有 种.
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2. 已知3 ＝4 ，则n＝（ ）
A. 5 B. 7
C. 10 D. 14
解析： 由 ×3＝ ×4，得（11－n）·（10－n）
＝12，解得n＝7，n＝14（舍）.
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3. 89×90×91×92×…×100可表示为（ ）
A. B.
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解析： 89×90×91×92×…×100＝ ＝ ＝ .
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4. 某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起
的聊天次数为（ ）
A. 20 B. 15
C. 10 D. 5
解析： 由题意得共需发起的聊天次数为 ＝5×4＝20.
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5. （多选）满足不等式 ＞12的n的值可能为（ ）
A. 12 B. 11
C. 10 D. 8
解析： 由排列数公式得 ＞12，则（n－5）（n－
6）＞12，解得n＞9或n＜2（舍去）.又n∈N*，结合选项，所以n
可以取10，11，12.
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6. （多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶
数的个数为（ ）
A. B.
C. D. －
解析： ①（直接法）：因为末位数字排法有 种，其他位置
排法有 种，共有 × 个.
②（间接法）： － × .故选C、D.
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7. 计算 ＋ ＝ .
解析：由条件得得n＝3，所以 ＋ ＝ ＋
＝726.
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8. 已知 ＝89，则n＝ .
解析：根据题意， ＝89，则 ＝90，变形可得 ＝90 ，
则有 ＝90× ，变形可得：（n－5）（n－6）＝90，
解可得：n＝15或n＝－4（舍），故n＝15.
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9. 有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招
聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共
有 种不同的招聘方案（用数字作答）.
解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位
置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的
排列问题.所以不同的招聘方案共有 ＝5×4×3＝60（种）.
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10. （1）解不等式：3 ≤2 ＋6 ；
解： 由题意可知，x∈N*且x≥3，
因为 ＝x（x－1）（x－2）， ＝（x＋1）x，
＝x（x－1），
所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋
6x（x－1），整理得（3x－2）（x－5）≤0，
所以 ≤x≤5.又x∈N*且x≥3，
所以原不等式的解集为{3，4，5}.
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（2）解方程：3 ＝4 .
解： 3 ＝4 可化为3× ＝4× ，即
3× ＝4× ，化简得x2－19x＋78＝
0，解得x＝6或x＝13，由题意知解得1＜
x≤8，故原方程的解为x＝6.
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11. （多选）下列等式一定成立的是（ ）
A. ＝（n－2） B. ＝
C. n ＝ D. ＝
解析： A中，右边＝（n－2）（n－1）n＝ ＝左边；C
中，左边＝n（n－1）（n－2）×…×2＝n（n－1）（n－2）
×…×2×1＝ ＝右边；D中，左边＝ · ＝
＝ ＝右边；只有B不正确.
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12. 化简： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 1－ .
解析：因为 ＝ － ＝ － ，所以 ＋ ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ .
1－
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13. 若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼
写方式有 种.
解析：单词中含4个字母，其全排列有 ＝24个，但其中两个字
母一样，因此排列方法种数为 ＝12，其中只有一种组合是正确
的，因此错误拼写方式有12－1＝11种.
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14. 一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知
m＞1，客运车票增加了62种，则原有 个车站；现在
有 个车站.
解析：由题意可知，原有车票的种数是 种，现有车票的种数是
种，所以 － ＝62，即（n＋m）（n＋m－1）－
n（n－1）＝62，所以m（2n＋m－1）＝62＝2×31，因为m＜
2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，所以解得
m＝2，n＝15，故原有15个车站，现有17个车站.
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15. 已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.从0，3，4，
5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作为圆心的
横坐标、纵坐标和圆的半径.求：
（1）可以作多少个不同的圆？
解： 可分两步完成：第一步，选r，因为r＞0，所以r
有 种选法，第二步，选a，b，在剩余8个数中任取2个，
有 种选法，所以由分步乘法计数原理可得有 · ＝448
个不同的圆.
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（2）经过原点的圆有多少个？
解： 若圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，则
a，b，r满足a2＋b2＝r2，
满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，
考虑a，b的顺序，有2 种情况，
即符合题意的圆有2 ＝4个.
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（3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？
解： 圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10，
则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a，b取10，0时，r有7种情况，
当a，b取3，7或4，6时，r不可取0，有6种情况，
考虑a，b的顺序，有 种情况，
所以满足题意的圆共有 （ ＋2 ）＝38个.
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