第2课时 排列的综合应用
1.将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（ ）
A.1 260 B.120
C.240 D.720
2.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（ ）
A.18 B.24
C.36 D.48
3.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军.但都不是最差的.”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ）
A.27种 B.72种
C.36种 D.54种
4.从6人中选4人分别到北京、上海、广州、西安四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去北京游览，则不同的选择方案共有（ ）
A.300种 B.240种
C.114种 D.96种
5.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字且大于201 345的正整数的个数为（ ）
A.478 B.479
C.480 D.481
6.（多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120
D.男女生相间排法总数为72
7.高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有 种不同的排法.
8.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种.（用数字作答）
9.五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、徵、羽，如果将这五个音排成一排，宫、羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有 种.
10.某班有A，B，C等7名班委，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.
（1）若正、副班长两个职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
（2）若正、副班长两个职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
11.4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（ ）
A.12种 B.14种
C.16种 D.24种
12.某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）
A.126 B.360
C.600 D.630
13.（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有（ ）
A.（）2 B.＋（）2
C.－2＋ D.＋＋
14.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
（2）2个唱歌节目互不相邻；
（3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
15.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD（边长为3个单位长度）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位长度，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（ ）
A.21种 B.24种
C.25种 D.27种
16.从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个，组成没有重复数字的三位数.
（1）这样的三位数一共有多少个？
（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？
（3）所有这些三位数的和是多少？
第2课时 排列的综合应用
1.D 相当于3个元素排10个位置，不同的分法有＝720（种）.
2.C 5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3·＝36（种）.
3.C 根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名，先排甲、乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为·＝36.故选C.
4.B 先从除甲、乙外的4人中选取1人去北京，再从其余5人中选3人去上海、广州、西安，共有不同的选择方案·＝240（种）.
5.B 以1开头的没有重复数字的六位数的个数为＝120，由于201 345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，所有的没有重复数字的六位数的个数为5＝600，故没有重复数字且大于201 345的正整数的个数为600－120－1＝479.故选B.
6.AD 3男3女排成一排共计有＝720（种）不同的排法；男生甲排在两端的共有2＝240（种）不同的排法；男生甲、乙相邻的排法总数为＝240；男女生相间排法总数2＝72.
7.3 600 解析：不同排法的种数为＝3 600.
8.36 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有＝12（种）方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36（种）选法.
9.32 解析：五个位置从左到右依次记为位置一、二、三、四、五.根据角音所在的位置分两类：第一类，角音排在位置一或五，由插空法可得不同的排列顺序有2＝24（种）；第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有2＝8（种）.根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有24＋8＝32（种）.
10.解：（1）从A，B，C三人中任选两人担任正、副班长，有种方法，再安排其余5种职务，有种方法，根据分步乘法计数原理知，共有＝720种分工方案.
（2）7人担任7种职务的分工方案有种，A，B，C三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种，因此A，B，C三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有－＝3 600种.
11.B 法一（间接法） 若不考虑限制条件，4名队员全排列共有＝24（种）排法，减去甲跑第一棒有＝6（种）排法，乙跑第四棒有＝6（种）排法，再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒有＝2（种）排法，共有－2＋＝14（种）不同的出场顺序.
法二（直接法） 若甲跑第四棒，则其余三人全排列，有种排法；若甲跑第二（或三）棒，则乙跑第一、三（或一、二）棒，其余两人全排列，有种排法.根据分类加法计数原理，共有＋＝6＋8＝14（种）排法.
12.D 按两个班共选择活动项数分三类.第一类，两个班共选择2项活动，有种方法；第二类，两个班共选择3项活动，有种方法；第三类，两个班共选择4项活动，有种方法.则活动安排方案的种数为＋＋＝630.故选D.
13.BCD 间接法：总共有种，减去1在个位或0在第一位的共有2种，加上0在第一位且1在个位的种，共有－2＋种，故C正确；直接法：（1）若1在第一位，共有种；若1不在第一位，则先排第一位，有种，再排第五位，有种，最后排中间三个位置，有种，共有＋（）2种；（2）若有1，若1在第一位，共有种；若1在第2，第3，第4位，共有种；若没有1，第1位有种，剩下有种，共有种，故有＋＋种.故选B、C、D.
14.解：（1）先排唱歌节目有种排法，再排其他节目有种排法，所以共有·＝1 440（种）排法.
（2）先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有种排法，再从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有种插入方法，所以共有·＝30 240（种）排法.
（3）把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有种排法，故所求排法共有··＝2 880（种）排法.
15.C 由题意知正方形ABCD（边长为3个单位长度）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，表示三次骰子的点数之和是12，列举出三个点数之和为12的组合：1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4.共有6种.前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5每种可以排列出＝6（种）结果，共有3＝3×6＝18（种）结果.3，3，6；5，5，2这2种组合各有3种结果.共有2×3＝6（种）结果.4，4，4有1种结果.根据分类加法计数原理知共有18＋6＋1＝25（种）结果.
16.解：（1）根据题意，从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个组成三位数，有＝60种情况，即有60个符合题意的三位数.
（2）根据题意，个位数字为2的三位数有＝12个，
同理：个位数字为3，4，7，9的三位数都有12个，
则所有这些三位数的个位上的数字之和为（2＋3＋4＋7＋9）×12＝25×12＝300.
（3）根据题意，由（2）的结论，所有这些三位数的个位上的数字之和为300，
同理：这些三位数的十位，百位上的数字之和都为300，
故所有这些三位数的和为300×100＋300×10＋300＝33 300.
2 / 2第2课时 排列的综合应用
题型一 数字排列问题
【例1】 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4 310的四位偶数.
通性通法
数字排列问题的常用方法
主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论.
提醒 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.
【跟踪训练】
从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数.
（1）求可以组成多少个大于500的三位数；
（2）求可以组成多少个三位数.
题型二 “相邻”与“不相邻”问题
【例2】 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数.
（1）选其中5人排成一排；
（2）全体站成一排，男、女各站在一起；
（3）全体站成一排，男生不能站在一起.
通性通法
处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略
（1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列；
（2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中.
【跟踪训练】
为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（ ）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
题型三 特殊元素或特殊位置问题
【例3】 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站右端，也不站左端；（2）甲、乙站在两端；
（3）甲不站左端，乙不站右端.
通性通法
“特殊”优先原则
处理特殊元素或特殊位置问题的解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出全排列数，再减去不符合要求的排列数.
【跟踪训练】
5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？
1.用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A.24 B.48
C.60 D.72
2.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A.144 B.72
C.36 D.12
3.喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备合影留念（排成一排）.
（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种不同的排法？
（2）要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种不同的排法？
圆排列问题
【问题探究】
有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？
【探究归纳】
所谓圆排列，即n个不同的事物围成一个圆时总的排法数.
从最简单的做起：当圆排列只有一个人时，显然只有一种排法，即（1－1）！，两个人时也只有一种排法，即（2－1）！.为了清晰表示这种情况，用简单的图形（如图）表示，可以基于下面的思路：三个人圆排列时，
可以看成是在前面两个人圆排列的基础上再加一个人，两个人圆排列时有（2－1）！种排法，同时两个人之间形成两个空隙，第三个人只需在两个空隙中任选一个空隙坐下即可，故三个人的圆排列有2×（2－1）！＝（3－1）！种.同理，四个人圆排列时，可以看成是在三个人圆排列的基础上再加一个人，三个人的圆排列有（3－1）！种，同时三个人之间会形成三个空隙，第四个人可以从三个空隙中任选一个坐下，故四个人的圆排列有3×（3－1）！＝（4－1）！种.依次类推，n个人圆排列时，可以看成是在（n－1）个人圆排列的基础上再加一个人，（n－1）个人的圆排列有（n－2）！种，同时（n－1）个人之间会形成（n－1）个空隙，第n个人可以从（n－1）个空隙中任选一个坐下，故n个人的圆排列有（n－1）×（n－2）！＝（n－1）！种，综上可以得到以下结论：
结论 第一类（人排列），n个人站成一圈，不同的站法一共有（n－1）！种；
第二类（项链排列），如果排成一圈的是某种可以翻转的物体（如珍珠、无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要乘以2.因此，这时求排列数，需要在正常情况下的圆排列数再除以2，即不同的排法一共有（n≥3）种.
【迁移应用】
1.有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，则这5对夫妇恰好都被安排到一起相邻而坐的坐法数为（ ）
A. B. C.×25 D.×25
2.6颗不同颜色的钻石，可以穿成 种钻石圈.
第2课时 排列的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）第一步，排个位，有种排法；
第二步，排十万位，有种排法；
第三步，排其他位，有种排法.
故共有＝288个六位奇数.
（2）十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.
第一类，当个位排0时，有个；
第二类，当个位不排0时，有个.
故符合题意的六位数共有＋＝504个.
（3）分三种情况，
①当千位上排1，3时，有个；
②当千位上排2时，有个；
③当千位上排4时，
形如40××，42××的各有个；
形如41××的有个；
形如43××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有＋＋2＋＋2＝110个.
跟踪训练
解：（1）百位选5，7，9中的一张，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.所以大于500的三位数的个数为＝3×4×3＝36.
（2）百位不能选0，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.即所有三位数的个数为＝4×4×3＝48.
【例2】 解：（1）从7个元素中选出5个进行排列，有＝2 520种排法.
（2）男生站在一起，有种排法，
女生站在一起，有种排法，
全体男生、女生各视为一个元素，有种排法，
由分步乘法计数原理知，共有＝288种排法.
（3）先安排女生共有种排法，
男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法，故共有＝1 440种排法.
跟踪训练
C 因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共种，再排其内部顺序种，所以不同的安排方案有＝120×2＝240种.故选C.
【例3】 解：（1）法一（位置分析法） 因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种站法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知共有＝480种站法.
法二（元素分析法） 因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知，共有＝480种站法.
法三（间接法） 在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2，于是共有－2＝480种站法.
（2）首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有＝48种站法.
（3）法一（间接法） 甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，而甲在左端且乙在右端的站法有种，故共有－2＋＝504种站法.
法二（直接法） 从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一类，甲站右端有种站法；第二类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有种站法，故共有＋＝504种站法.
跟踪训练
解：法一（先满足特殊位置） 由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有种方法，余下的四人可任意站，有种方法，所以符合要求的排法有＝480（种）.
法二（先满足特殊元素） 老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有种方法.5名学生在余下的五个位置中任意排列，有种排法.因此符合题意的排法有＝480（种）.
法三（间接法） 由于六个人任意排有种排法，但实际必须减去老师排在排头的种方法和排在排尾的种方法，因而有－2＝480（种）排法.
随堂检测
1.C 根据题意分两种情况：当个位数为0时，有＝24（个），当个位数为2或4时，有2·＝36（个），所以无重复数字的四位偶数有24＋36＝60（个）.故选C.
2.A 先将老师全排列，有种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有种排法，故共有＝144（种）排法.
3.解：（1）把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素与灰太狼、红太狼进行排列，排法种数为.因为喜羊羊家族的四位成员交换顺序会产生不同排列，所以不同的排法共有＝144（种）.
（2）第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入喜羊羊家族的四位成员形成的空（包括两端）中，有种排法，不同的排法共有＝480（种）.
拓视野 圆排列问题
问题探究
提示：为了更方便的说明这个问题，我们先将10人编号为1～10，然后以他们的编号按照顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.
分别以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到10种排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；…；10，1，2，3，4，5，6，7，8，9.这就是说，这个圆排列对应了10个排列.因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数再除以10就可以了，即不同的坐法有＝362 880种.
迁移应用
1.D 要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组，然后让这5组人围坐成一圈，于是有种坐法.考虑到组内两人还有顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有×25种坐法.
2.60 解析：首先，6颗钻石圆排列有（6－1）！种情况；其次，钻石圈可以翻转，没有顺时针与逆时针的区别.因此，可以穿成＝60种钻石圈.
3 / 3(共55张PPT)
第2课时
排列的综合应用
目录
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 数字排列问题
【例1】 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列
条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
解： 第一步，排个位，有 种排法；
第二步，排十万位，有 种排法；
第三步，排其他位，有 种排法.
故共有 ＝288个六位奇数.
（2）个位数字不是5的六位数；
解： 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，
因此需分两类.
第一类，当个位排0时，有 个；
第二类，当个位不排0时，有 个.
故符合题意的六位数共有 ＋ ＝504个.
（3）不大于4 310的四位偶数.
解： 分三种情况，
①当千位上排1，3时，有 个；
②当千位上排2时，有 个；
③当千位上排4时，
形如40××，42××的各有 个；
形如41××的有 个；
形如43××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有 ＋ ＋2 ＋ ＋2＝110个.
通性通法
数字排列问题的常用方法
主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位
置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类
讨论.
提醒 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类
和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.
【跟踪训练】
从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三
位数.
（1）求可以组成多少个大于500的三位数；
解： 百位选5，7，9中的一张，有 种排法；十位和个位
从剩余4张中选2张排列，有 种排法.所以大于500的三位数的
个数为 ＝3×4×3＝36.
（2）求可以组成多少个三位数.
解： 百位不能选0，有 种排法；十位和个位从剩余4张
中选2张排列，有 种排法.即所有三位数的个数为 ＝
4×4×3＝48.
题型二 “相邻”与“不相邻”问题
【例2】 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队
方案的种数.
（1）选其中5人排成一排；
解： 从7个元素中选出5个进行排列，有 ＝2 520种排法.
（2）全体站成一排，男、女各站在一起；
解： 男生站在一起，有 种排法，
女生站在一起，有 种排法，
全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法，
由分步乘法计数原理知，共有 ＝288种排法.
（3）全体站成一排，男生不能站在一起.
解： 先安排女生共有 种排法，
男生在4个女生隔成的五个空中安排共有 种排法，故共有
＝1 440种排法.
通性通法
处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略
（1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体
参与其他元素排列；
（2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素
的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中.
【跟踪训练】
为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”
“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（ ）
A. 60种 B. 120种
C. 240种 D. 480种
解析： 因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把
“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共 种，再排
其内部顺序 种，所以不同的安排方案有 ＝120×2＝240种.故
选C.
题型三 特殊元素或特殊位置问题
【例3】 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站右端，也不站左端；
解： 法一（位置分析法） 因为甲不站左右两端，故先从
甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有 种站法；再让
剩下的4个人站在中间的四个位置上，有 种站法，由分步乘
法计数原理知共有 ＝480种站法.
法二（元素分析法） 因为甲不能站左右两端，故先让甲排在
除左右两端之外的任一位置上，有 种站法；再让余下的5个
人站在其他5个位置上，有 种站法，由分步乘法计数原理
知，共有 ＝480种站法.
法三（间接法） 在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，
有 种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左
端或右端的排列数2 ，于是共有 －2 ＝480种站法.
（2）甲、乙站在两端；
解： 首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 种站
法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有 种站法，根据
分步乘法计数原理，共有 ＝48种站法.
（3）甲不站左端，乙不站右端.
解： 法一（间接法） 甲在左端的站法有 种，乙在右
端的站法有 种，而甲在左端且乙在右端的站法有 种，故共
有 －2 ＋ ＝504种站法.
法二（直接法） 从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一
类，甲站右端有 种站法；第二类，甲站在中间4个位置之
一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有
种站法，故共有 ＋ ＝504种站法.
通性通法
“特殊”优先原则
处理特殊元素或特殊位置问题的解题原则是谁“特殊”谁优先.
一般从以下三种思路考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元
素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，
再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出
全排列数，再减去不符合要求的排列数.
【跟踪训练】
5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多
少种？
解：法一（先满足特殊位置） 由于排头和排尾两个位置有限制要
求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有 种方法，余
下的四人可任意站，有 种方法，所以符合要求的排法有 ＝480
（种）.
法二（先满足特殊元素） 老师既然不能排在两端，于是可以从中间
四个位置中任选一个，有 种方法.5名学生在余下的五个位置中任
意排列，有 种排法.因此符合题意的排法有 ＝480（种）.
法三（间接法） 由于六个人任意排有 种排法，但实际必须减去
老师排在排头的 种方法和排在排尾的 种方法，因而有 －2
＝480（种）排法.
1. 用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A. 24 B. 48
C. 60 D. 72
解析： 根据题意分两种情况：当个位数为0时，有 ＝24
（个），当个位数为2或4时，有2 · ＝36（个），所以无重复
数字的四位偶数有24＋36＝60（个）.故选C.
2.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排
法种数为（ ）
A. 144 B. 72
C. 36 D. 12
解析： 先将老师全排列，有 种排法，形成4个空，将3名学生
插入4个空中，有 种排法，故共有 ＝144（种）排法.
3. 喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们
握手言和，准备合影留念（排成一排）.
（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种不同的排
法？
解： 把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素与灰太狼、
红太狼进行排列，排法种数为 .因为喜羊羊家族的四位成
员交换顺序会产生不同排列，所以不同的排法共有 ＝
144（种）.
（2）要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种不同的排法？
解： 第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有 种
排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入喜羊羊家族的四位成
员形成的空（包括两端）中，有 种排法，不同的排法共有
＝480（种）.
圆排列问题
【问题探究】
有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？
提示：为了更方便的说明这个问题，我们先将10人编号为1～10，然
后以他们的编号按照顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.
分别以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10号作为开头将这个圆排列打
开，就可以得到10种排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；…；
10，1，2，3，4，5，6，7，8，9.这就是说，这个圆排列对应了10个
排列.因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数再除以10就可以
了，即不同的坐法有 ＝362 880种.
【探究归纳】
所谓圆排列，即n个不同的事物围成一个圆时总的排法数.
从最简单的做起：当圆排列只有一个人时，显然只有一种排法，即
（1－1）！，两个人时也只有一种排法，即（2－1）！.为了清晰表
示这种情况，用简单的图形（如图）表示，可以基于下面的思路：三
个人圆排列时，
可以看成是在前面两个人圆排列的基础上再加一个人，两个人圆排列
时有（2－1）！种排法，同时两个人之间形成两个空隙，第三个人只
需在两个空隙中任选一个空隙坐下即可，故三个人的圆排列有2×（2
－1）！＝（3－1）！种.同理，四个人圆排列时，可以看成是在三个
人圆排列的基础上再加一个人，三个人的圆排列有（3－1）！种，同
时三个人之间会形成三个空隙，第四个人可以从三个空隙中任选一个
坐下，故四个人的圆排列有3×（3－1）！＝（4－1）！种.依次类
推，n个人圆排列时，可以看成是在（n－1）个人圆排列的基础上再
加一个人，（n－1）个人的圆排列有（n－2）！
种，同时（n－1）个人之间会形成（n－1）个空隙，第n个人可以从
（n－1）个空隙中任选一个坐下，故n个人的圆排列有（n－1）×
（n－2）！＝（n－1）！种，综上可以得到以下结论：
结论 第一类（人排列），n个人站成一圈，不同的站法一共有（n
－1）！种；
第二类（项链排列），如果排成一圈的是某种可以翻转的物体（如珍
珠、无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆
圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要乘以2.因
此，这时求排列数，需要在正常情况下的圆排列数再除以2，即不同
的排法一共有 （n≥3）种.
【迁移应用】
1. 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就
餐，则这5对夫妇恰好都被安排到一起相邻而坐的坐法数为（ ）
A. B.
C. ×25 D. ×25
解析： 要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组，
然后让这5组人围坐成一圈，于是有 种坐法.考虑到组内两人还
有顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有 ×25
种坐法.
2.6颗不同颜色的钻石，可以穿成 种钻石圈.
解析：首先，6颗钻石圆排列有（6－1）！种情况；其次，钻石圈
可以翻转，没有顺时针与逆时针的区别.因此，可以穿成 ＝
60种钻石圈.
60
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分
法种数是（ ）
A. 1 260 B. 120
C. 240 D. 720
解析： 相当于3个元素排10个位置，不同的分法有 ＝720
（种）.
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2.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（ ）
A. 18 B. 24
C. 36 D. 48
解析： 5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有
3 · ＝36（种）.
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3. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5
名的名次.甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得
到冠军.但都不是最差的.”从回答分析，5人的名次排列的不同情
况可能有（ ）
A. 27种 B. 72种
C. 36种 D. 54种
解析： 根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一
名，先排甲、乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为 ·
＝36.故选C.
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4. 从6人中选4人分别到北京、上海、广州、西安四个城市游览，要求
每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两
人不去北京游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 300种 B. 240种
C. 114种 D. 96种
解析： 先从除甲、乙外的4人中选取1人去北京，再从其余5人
中选3人去上海、广州、西安，共有不同的选择方案 · ＝240
（种）.
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5. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字且大于201 345的
正整数的个数为（ ）
A. 478 B. 479
C. 480 D. 481
解析： 以1开头的没有重复数字的六位数的个数为 ＝120，由
于201 345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，所有
的没有重复数字的六位数的个数为5 ＝600，故没有重复数字且
大于201 345的正整数的个数为600－120－1＝479.故选B.
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6. （多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 共计有720种不同的排法
B. 男生甲排在两端的共有120种排法
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120
D. 男女生相间排法总数为72
解析： 3男3女排成一排共计有 ＝720（种）不同的排法；
男生甲排在两端的共有2 ＝240（种）不同的排法；男生甲、乙
相邻的排法总数为 ＝240；男女生相间排法总数2 ＝72.
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7. 高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和
1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有 种不同的排法.
解析：不同排法的种数为 ＝3 600.
3 600
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8. 从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与
体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共
有 种.（用数字作答）
解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有 ＝12
（种）方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36（种）选法.
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9. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、
徵、羽，如果将这五个音排成一排，宫、羽两个音不相邻，且位于
角音的同侧，则不同的排列顺序有 种.
解析：五个位置从左到右依次记为位置一、二、三、四、五.根据
角音所在的位置分两类：第一类，角音排在位置一或五，由插空法
可得不同的排列顺序有2 ＝24（种）；第二类，角音排在位置
二或四，则不同的排列顺序有2 ＝8（种）.根据分类加法计数
原理，可得不同的排列顺序共有24＋8＝32（种）.
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10. 某班有A，B，C等7名班委，有7种不同的职务，现对7名班委进
行职务具体分工.
（1）若正、副班长两个职务只能从A，B，C三人中选两人担
任，有多少种分工方案？
解： 从A，B，C三人中任选两人担任正、副班长，
有 种方法，再安排其余5种职务，有 种方法，根据分
步乘法计数原理知，共有 ＝720种分工方案.
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（2）若正、副班长两个职务至少要选A，B，C三人中的一人担
任，有多少种分工方案？
解： 7人担任7种职务的分工方案有 种，A，B，C
三人中无一人担任正、副班长的分工方案有 种，因此
A，B，C三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有
－ ＝3 600种.
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11.4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不
能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（ ）
A. 12种 B. 14种
C. 16种 D. 24种
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解析： 法一（间接法） 若不考虑限制条件，4名队员全排列
共有 ＝24（种）排法，减去甲跑第一棒有 ＝6（种）排法，
乙跑第四棒有 ＝6（种）排法，再加上甲跑第一棒且乙跑第四
棒有 ＝2（种）排法，共有 －2 ＋ ＝14（种）不同的出
场顺序.
法二（直接法） 若甲跑第四棒，则其余三人全排列，有 种排
法；若甲跑第二（或三）棒，则乙跑第一、三（或一、二）棒，
其余两人全排列，有 种排法.根据分类加法计数原理，共
有 ＋ ＝6＋8＝14（种）排法.
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12. 某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，
某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活
动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且
同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种
数为（ ）
A. 126 B. 360
C. 600 D. 630
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解析： 按两个班共选择活动项数分三类.第一类，两个班共选
择2项活动，有 种方法；第二类，两个班共选择3项活动，有
种方法；第三类，两个班共选择4项活动，有 种方法.则
活动安排方案的种数为 ＋ ＋ ＝630.故选D.
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13. （多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重
复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，
下列表示正确的有（ ）
A. （ ）2
B. ＋（ ）2
C. －2 ＋
D. ＋ ＋
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解析： 间接法：总共有 种，减去1在个位或0在第一位
的共有2 种，加上0在第一位且1在个位的 种，共有 －
2 ＋ 种，故C正确；直接法：（1）若1在第一位，共有
种；若1不在第一位，则先排第一位，有 种，再排第五位，有
种，最后排中间三个位置，有 种，共有 ＋（ ）2
种；（2）若有1，若1在第一位，共有 种；若1在第2，第3，第
4位，共有 种；若没有1，第1位有 种，剩下有 种，
共有 种，故有 ＋ ＋ 种.故选B、C、D.
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14. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈
节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有
多少种？
（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
解： 先排唱歌节目有 种排法，再排其他节目有
种排法，所以共有 · ＝1 440（种）排法.
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（2）2个唱歌节目互不相邻；
解： 先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有 种排法，
再从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有 种
插入方法，所以共有 · ＝30 240（种）排法.
（3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
解： 把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺
节目排列，共有 种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有
种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有 种排
法，故所求排法共有 · · ＝2 880（种）排法.
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15. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的
正方形ABCD（边长为3个单位长度）的顶点A处，然后通过掷骰
子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度，如果
掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行
走i个单位长度，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好
又回到点A处的所有不同走法共有（ ）
A. 21种 B. 24种
C. 25种 D. 27种
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解析： 由题意知正方形ABCD（边长为3个单位长度）的周长
是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，表示三次骰子的
点数之和是12，列举出三个点数之和为12的组合：1，5，6；2，
4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4.共有6种.前三种组
合1，5，6；2，4，6；3，4，5每种可以排列出 ＝6（种）结
果，共有3 ＝3×6＝18（种）结果.3，3，6；5，5，2
这2种组合各有3种结果.共有2×3＝6（种）结果.4，4，4有1种结
果.根据分类加法计数原理知共有18＋6＋1＝25（种）结果.
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16. 从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个，组成没有重复数字的三
位数.
（1）这样的三位数一共有多少个？
解： 根据题意，从2，3，4，7，9这五个数字中任取3
个组成三位数，有 ＝60种情况，即有60个符合题意的三
位数.
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（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？
解： 根据题意，个位数字为2的三位数有 ＝12个，
同理：个位数字为3，4，7，9的三位数都有12个，
则所有这些三位数的个位上的数字之和为（2＋3＋4＋7＋
9）×12＝25×12＝300.
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（3）所有这些三位数的和是多少？
解： 根据题意，由（2）的结论，所有这些三位数的个
位上的数字之和为300，
同理：这些三位数的十位，百位上的数字之和都为300，
故所有这些三位数的和为300×100＋300×10＋300＝33
300.
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谢 谢 观 看！
