(共58张PPT)
第2课时
组合的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 有限制条件的组合问题
【例1】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、
女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多
少种选法？
（1）至少有一名队长当选；
解： 法一
法二 采用排除法有 － ＝825（种）.
（3）既要有队长，又要有女生当选.
（2）至多有两名女生当选；
解：至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、
没有女生，故共有 · ＋ · ＋ ＝966（种）.
解：分两种情况：第一类，女队长当选，有 种；
第二类，女队长不当选，则男队长当选，有 · ＋ · ＋ ·
＋ 种.
故共有 ＋ · ＋ · ＋ · ＋ ＝790（种）.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少
种？
解：分两类情况：第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的
11名学生中选取5人，有 ＝462（种）选法.
第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的
选法有： ＋ ＝660（种）选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.
通性通法
有限制条件的组合问题主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的
先取出，“不含”的元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接
分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对
立面，确保不重不漏.
【跟踪训练】
某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从
中选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
解： 根据题意，在5名男生中任选2人， ＝10（种）
选法，在5名女生中任选2人， ＝10（种）选法，则4人中
男生、女生各2人的选法有10×10＝100（种）.
（2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，若甲、
乙都没有参加， 种选法，则 ＝140（种）符合题
意的选法.
（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，只有男
生的选法有 种，只有女生的选法有 种，则既有男生又有女
生的选法 200（种）.
题型二 与几何有关的组合问题
【例2】 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点
C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，
D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的
有多少个？
解： 法一 可作出三角形 ＋ · ＋ · ＝116（个）.
法二 可作三角形 － ＝116（个），
（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少
个四边形？
解：可作出四边形 ＋ · ＋ · ＝360（个）.
通性通法
解答几何图形组合问题的策略
（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目
多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组
合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；
（2）解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一
样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；
（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的
情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
【跟踪训练】
空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共
线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（ ）
A. 205 B. 110
C. 204 D. 200
解析： 法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行
分类，则得到所有的取法总数为 ＋ ＋ ＋ ＝205.
法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5
个点的情况，得到所有构成四面体的个数为 － ＝205.
题型三 组合中的分组、分配问题
【例3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
解： 根据分步乘法计数原理得有 ＝90种.
（2）分为三份，每份两本；
解： 分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，
这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x
种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方
法.根据分步乘法计数原理可得 ＝x ，所以x＝
＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
解： 这是“不均匀分组”问题，一共有 ＝60种
方法.
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
解： 在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
＝360种方法.
通性通法
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除
以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组
后再分配.
【跟踪训练】
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒
子中.
（1）有多少种放法？
解： 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球
一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256种放法.
（2）每盒至多1个球，有多少种放法？
（3）恰好有1个空盒，有多少种放法？
解：这是全排列问题，共有 ＝24种放法.
解：法一 先将4个小球分为3组，有 种方法，再将3组小
球投入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，故共有
· ＝144种放法.
法二 先取4个球中的2个“捆”在一起，有 种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，所以共有 ＝144种放法.
解： 1个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，
当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的
投放方法有2种，故共有2 ＝8（种）.
（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相
同，有多少种放法？
1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则
这2个球同色的不同取法有（ ）
A. 27种 B. 24种
C. 21种 D. 18种
解析： 分两类：一类是2个白球有 ＝15（种）取法，另一类
是2个黑球有 ＝6（种）取法，所以共有15＋6＝21（种）取法.
2. 在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则
数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为（ ）
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
解析： 根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取
出的数字中必须有5，6，7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的
取法有 ＝6种.
3. 把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至
少各一人，则不同的分配方案有（ ）
A. 80种 B. 120种
C. 140种 D. 50种
解析： 当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时， ＝20
（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中
只有1人时，有 ＝30（种）不同的分配方案；当甲组中有2
人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有 ＝30（种）不同的分
配方案.故共有20＋30＋30＝80（种）不同的分配方案.
4. 在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两
组平行线相互不平行.
（1）它们共能构成 个平行四边形；
解析： 第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构
成一个平行四边形，故共有 ＝1 260（个）.
（2）共有 个交点.
解析： 第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个
交点，所以共有 ＝80（个）.
1 260
80
用隔板法解相同元素的分配问题
1. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同
的分法？
2. 将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则
不同的名额分配方法共有 种（用数字作答）.
3. 从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队，每班至少1位同学，则不
同的名额分配方案共有 种（用数字作答）.
【问题探究】
上述三个问题可归结为以下两个问题：
1. 把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1），要求每个
盒子非空，有多少种不同放法？
解：先将n个小球排成一列，然后在它们之间形成的（n－1）个空
（不含两端的）中插入（m－1）块隔板，便将n个小球分割成m
组，每组至少有1个小球，这m组小球依次放入m个不同的盒子，
（m－1）块隔板的一种插法就对应了n个相同小球投入m个不同
盒子的一种放法，故不同的放法共有 种.
2. 将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，可以有
空盒的不同放法有多少种？
解：法一 将m个盒子排成一排（并在一起的两盒子的外壁视
为一块隔板），除去两端的盒子的外壁，共有（m－1）块隔
板；再把n个相同的小球投放到m个不同的盒子中，不同的放法
对应着n个球和（m－1）块隔板的不同排法，于是问题转化为
从（n＋m－1）个位置中选出n个位置放球，共有不同放法
＝ 种.
法二 “将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，
允许有空盒子”的放法种数，等于“将n＋m个相同的小球投放到m
（n≥m）个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根
据法一可知，共 种不同放法.
方法总结
相同元素的分配问题用“隔板法”
“隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组
数以及各组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板
的空位数；③插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔
板，利用组合数求解不同的分法种数.
【迁移应用】
1. 将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的
种数.
（1）每个盒子都不空；
解： 需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可
用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放
法对应着一种分法，故共有 ＝10种.
（2）恰有1个盒子空；
解： 恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入
其中的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个
小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有 ＝40种.
（3）恰有2个盒子空.
解： 恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入
其中的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5
个空隙中的任意1处，故共有 ＝30种.
2. 某校准备参加2024年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年
级的1～4班，每班至少一个名额.
（1）不同的分配方案共有多少种？
解： 问题相当于将16个小球串成一串，插入3块隔板，
截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插
法种数为 ＝ ＝455.故不同的分配方案共有455种.
（2）若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多
少种？
解： 问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个
小球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至
少有1个小球的分配方法种数问题.即相当于将10个小球串成
一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入隔
板，插法种数为 ＝84，因此不同的分配方案共有84种.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果
要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A. 14 B. 24
C. 28 D. 48
解析： 用间接法得不同选法有 －1＝14种，故选A.
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2. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以
按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜和白米
饭；（2）任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭
配方法共有（ ）
A. 210种 B. 420种
C. 56种 D. 22种
解析： 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为
所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有 ＋ ＝210
（种）.
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3. 如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三
个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点
为顶点的三角形的个数为（ ）
A. 30 B. 42
C. 54 D. 56
解析： 利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线
的情况，所以符合条件的三角形的个数为 － － ＝42.
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4. 2025年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”62周年纪念
日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿
服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活
动，则不同的分配方法数是（ ）
A. 8 B. 12
C. 14 D. 20
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解析： 将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方
案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有 ＝8种，②
两所敬老院各安排两名志愿者，则有 ＝6种，故共有8＋6＝14
种方案.故选C.
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5. （多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生
物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴
趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化
学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高
考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、
地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
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解析： 对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余
的四科中任选2科，根据分步乘法计数原理，可得选法总数为
种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有 种选
法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有 种选
法，由分步乘法计数原理，可得选法共有 种，所以B正确；对
于C中，先从物理和历史中选1门，有 种选法，若从政治和地理
中只选1门，再从化学和生物中选1门，有 种选法，若政治和
地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类加法
计数原理，可得共有 ＋ ，所以C正确；对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有 种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类加法计数原理，可得选法总数为 ＋1，所以D错误.故选A、B、C.
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6. （多选）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进
社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本
次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班
都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
C. 若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D. 若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
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解析： 若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每
个班级至少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故A错误；若1
班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个
班级至少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故B正确；若每个
班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个
名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至
少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故
有 ＝126种，故C错误，D正确.故选B、D.
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7. 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排
列方法有 种.
解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位
置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全
相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有 ＝56种排法.
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8. 某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上
最少有1名队长，那么共有 种不同的选法.
解析：若只有1名队长入选，则选法种数为 · ；若两名队长均
入选，则选法种数为 ，故不同选法有 · ＋ ＝714
（种）.
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9. 现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2
张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
解析：6位游客选2人去A风景区，有 种，余下4位游客选2人去B
风景区，有 种，余下2人去C，D风景区，有 种，所以分配方
案共有 ＝180（种）.
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解：可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有
种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有
种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有
种选法.
根据分类加法计数原理，一共有 ＋ ＋ ＝42
（种）不同的选法.
10. 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语
翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）.现在要从中挑选5
名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语
翻译工作，则有多少种不同的选法？
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11. 已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，
则所有线段在圆内的交点有（ ）
A. 36个 B. 72个
C. 63个 D. 126个
解析： 此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有
四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为 ＝126（个）.
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12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙
两道题中任选一题作答，选甲题者答对得100分，答错得－100
分；选乙题者答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，
则这4位同学不同得分情况的种数是 .
解析：4位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答甲
题，2人答对，2人答错，有 种情况；②4人都选择答乙题，2人
答对，2人答错，有 种情况；③2人答甲题且1人对1人错，2人
答乙题且1人对1人错，有 ×2×2种情况.综上，共有 ＋ ＋
×2×2＝6 ＝36种情况.
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13. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则
不同的分配方案有 种（用数字作答）.
解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，
其分法有 种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其
分法有 种.所以满足条件的分配方案有 · ＝36（种）.
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14. 已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平
面？
解： 所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有 · 个.
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有 · 个.
③α，β本身，有2个.
故所作的平面最多有 · ＋ · ＋2＝98（个）.
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（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
解： 所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有 · 个.
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有 · 个.
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有 · 个.
故最多可作出的三棱锥有 · ＋ · ＋ · ＝194
（个）.
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（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？
解： 当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等.所以体
积不相同的三棱锥最多有 ＋ ＋ · ＝114（个）.故
最多有114个体积不同的三棱锥.
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15. 设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）｜xi∈{－1，0，1}，i＝1，
2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤｜x1｜＋｜x2｜＋｜
x3｜＋｜x4｜＋｜x5｜≤2”的元素个数为（ ）
A. 40 B. 50
C. 60 D. 70
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解析：
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16. 一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球.
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取
法有多少种？
解： 从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个
数少的取法，可分三类：
第一类，红球取4个时，有 种方法；
第二类，红球取3个、白球取1个时，有 种方法；
第三类，红球取2个、白球取2个时，有 种方法.
由分类加法计数原理可知，共有 ＋ ＋ ＝115
（种）取法.
1
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（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5
个球，使总分不少于7的取法有多少种？
解： 设取红球x个、白球y个，依题意知，
且0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得
或或这样使总分不少于7的取法可以分
为三类：
第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为 ；
第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为 ；
第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为 .
由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法 ＋
＋ ＝186（种）.
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谢 谢 观 看！第2课时 组合的综合应用
1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A.14 B.24
C.28 D.48
2.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有（ ）
A.210种 B.420种
C.56种 D.22种
3.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A.30 B.42
C.54 D.56
4.2025年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”62周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（ ）
A.8 B.12
C.14 D.20
5.（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A.若任意选科，选法总数为
B.若化学必选，选法总数为
C.若政治和地理至多选一门，选法总数为＋
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为＋
6.（多选）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
7.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方法有 种.
8.某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有 种不同的选法.
9.现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）.现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（ ）
A.36个 B.72个
C.63个 D.126个
12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题者答对得100分，答错得－100分；选乙题者答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 .
13.将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）.
14.已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？
15.设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）｜xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤｜x1｜＋｜x2｜＋｜x3｜＋｜x4｜＋｜x5｜≤2”的元素个数为（ ）
A.40 B.50
C.60 D.70
16.一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球.
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有多少种？
（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？
第2课时 组合的综合应用
1.A 用间接法得不同选法有－1＝14种，故选A.
2.A 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有＋＝210（种）.
3.B 利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为－－＝42.
4.C 将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有＝8种，②两所敬老院各安排两名志愿者，则有＝6种，故共有8＋6＝14种方案.故选C.
5.ABC 对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，根据分步乘法计数原理，可得选法总数为种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有种选法，由分步乘法计数原理，可得选法共有种，所以B正确；对于C中，先从物理和历史中选1门，有种选法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类加法计数原理，可得共有＋，所以C正确；对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类加法计数原理，可得选法总数为＋1，所以D错误.故选A、B、C.
6.BD 若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126种，故C错误，D正确.故选B、D.
7.56 解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有＝56种排法.
8.714 解析：若只有1名队长入选，则选法种数为·；若两名队长均入选，则选法种数为，故不同选法有·＋＝714（种）.
9.180 解析：6位游客选2人去A风景区，有种，余下4位游客选2人去B风景区，有种，余下2人去C，D风景区，有种，所以分配方案共有＝180（种）.
10.解：可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有种选法.
根据分类加法计数原理，一共有＋＋＝42（种）不同的选法.
11.D 此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为＝126（个）.
12.36 解析：4位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答甲题，2人答对，2人答错，有种情况；②4人都选择答乙题，2人答对，2人答错，有种情况；③2人答甲题且1人对1人错，2人答乙题且1人对1人错，有×2×2种情况.综上，共有＋＋×2×2＝6＝36种情况.
13.36 解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有种.所以满足条件的分配方案有·＝36（种）.
14.解：（1）所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有·个.
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有·个.
③α，β本身，有2个.
故所作的平面最多有·＋·＋2＝98（个）.
（2）所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有·个.
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有·个.
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有·个.
故最多可作出的三棱锥有·＋·＋·＝194（个）.
（3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等.所以体积不相同的三棱锥最多有＋＋·＝114（个）.故最多有114个体积不同的三棱锥.
15.B
16.解：（1）从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少的取法，可分三类：
第一类，红球取4个时，有种方法；
第二类，红球取3个、白球取1个时，有种方法；
第三类，红球取2个、白球取2个时，有种方法.
由分类加法计数原理可知，共有＋＋＝115（种）取法.
（2）设取红球x个、白球y个，依题意知，且0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得或或这样使总分不少于7的取法可以分为三类：
第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为；
第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为；
第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为.
由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法＋＋＝186（种）.
2 / 2第2课时 组合的综合应用
题型一 有限制条件的组合问题
【例1】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）至少有一名队长当选；
（2）至多有两名女生当选；
（3）既要有队长，又要有女生当选.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
通性通法
有限制条件的组合问题主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
【跟踪训练】
某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
（2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
题型二 与几何有关的组合问题
【例2】 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
通性通法
解答几何图形组合问题的策略
（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；
（2）解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；
（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
【跟踪训练】
空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（ ）
A.205 B.110
C.204 D.200
题型三 组合中的分组、分配问题
【例3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
通性通法
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
【跟踪训练】
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多1个球，有多少种放法？
（3）恰好有1个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
1.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有（ ）
A.27种 B.24种
C.21种 D.18种
2.在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为（ ）
A.6 B.12
C.18 D.24
3.把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有（ ）
A.80种 B.120种
C.140种 D.50种
4.在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行.
（1）它们共能构成 个平行四边形；
（2）共有 个交点.
用隔板法解相同元素的分配问题
1.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？
2.将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有 种（用数字作答）.
3.从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队，每班至少1位同学，则不同的名额分配方案共有 种（用数字作答）.
【问题探究】
上述三个问题可归结为以下两个问题：
1.把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1），要求每个盒子非空，有多少种不同放法？
2.将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，可以有空盒的不同放法有多少种？
方法总结
相同元素的分配问题用“隔板法”
“隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板的空位数；③插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数.
【迁移应用】
1.将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数.
（1）每个盒子都不空；
（2）恰有1个盒子空；
（3）恰有2个盒子空.
2.某校准备参加2024年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
（1）不同的分配方案共有多少种？
（2）若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
第2课时 组合的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一
法二 采用排除法有－＝825（种）.
（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有·＋·＋＝966（种）.
（3）分两种情况：第一类，女队长当选，有种；
第二类，女队长不当选，则男队长当选，有·＋·＋·＋种.
故共有＋·＋·＋·＋＝790（种）.
母题探究
解：分两类情况：第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有＝462（种）选法.
第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：＋＝660（种）选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.
跟踪训练
解：（1）根据题意，在5名男生中任选2人，有＝10（种）选法，在5名女生中任选2人，有＝10（种）选法，则4人中男生、女生各2人的选法有10×10＝100（种）.
（2）根据题意，在10人中任选4人，有种选法，若甲、乙都没有参加，有种选法，则有－＝140（种）符合题意的选法.
（3）根据题意，在10人中任选4人，有种选法，只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，则既有男生又有女生的选法有－－＝200（种）.
【例2】 解：（1）法一 可作出三角形＋·＋·＝116（个）.
法二 可作三角形－＝116（个），
（2）可作出四边形＋·＋·＝360（个）.
跟踪训练
A 法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为＋＋＋＝205.
法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为－＝205.
【例3】 解：（1）根据分步乘法计数原理得有＝90种.
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得＝x，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
（3）这是“不均匀分组”问题，一共有＝60种方法.
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有＝360种方法.
跟踪训练
解：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256种放法.
（2）这是全排列问题，共有＝24种放法.
（3）法一 先将4个小球分为3组，有种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，故共有·＝144种放法.
法二 先取4个球中的2个“捆”在一起，有种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有＝144种放法.
（4）1个球的编号与盒子编号相同的选法有种，
当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的投放方法有2种，故共有2＝8（种）.
随堂检测
1.C 分两类：一类是2个白球有＝15（种）取法，另一类是2个黑球有＝6（种）取法，所以共有15＋6＝21（种）取法.
2.A 根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5，6，7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有＝6种.
3.A 当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有＝20（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有＝30（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有＝30（种）不同的分配方案.故共有20＋30＋30＝80（种）不同的分配方案.
4.（1）1 260 （2）80 解析：（1）第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有＝1 260（个）.
（2）第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有＝80（个）.
拓视野 用隔板法解相同元素的分配问题
问题探究
1.解：先将n个小球排成一列，然后在它们之间形成的（n－1）个空（不含两端的）中插入（m－1）块隔板，便将n个小球分割成m组，每组至少有1个小球，这m组小球依次放入m个不同的盒子，（m－1）块隔板的一种插法就对应了n个相同小球投入m个不同盒子的一种放法，故不同的放法共有种.
2.解：法一 将m个盒子排成一排（并在一起的两盒子的外壁视为一块隔板），除去两端的盒子的外壁，共有（m－1）块隔板；再把n个相同的小球投放到m个不同的盒子中，不同的放法对应着n个球和（m－1）块隔板的不同排法，于是问题转化为从（n＋m－1）个位置中选出n个位置放球，共有不同放法＝种.
法二 “将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，允许有空盒子”的放法种数，等于“将n＋m个相同的小球投放到m（n≥m）个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根据法一可知，共种不同放法.
迁移应用
1.解：（1）需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放法对应着一种分法，故共有＝10种.
（2）恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有＝40种.
（3）恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5个空隙中的任意1处，故共有＝30种.
2.解：（1）问题相当于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为＝＝455.故不同的分配方案共有455种.
（2）问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至少有1个小球的分配方法种数问题.即相当于将10个小球串成一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为＝84，因此不同的分配方案共有84种.
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