6.3.1 二项式定理(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第三册

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名称 6.3.1 二项式定理(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第三册
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-04 22:27:44

文档简介

6.3.1 二项式定理
1.(x+)9的展开式中的第4项是(  )
A.56x3 B.84x3
C.56x4 D.84x4
2.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(  )
A.-840 B.840
C.210 D.-210
3.若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-…+210=(  )
A.32 B.-32
C.1 024 D.512
4.若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84,则实数a=(  )
A.2 B.5
C.1 D.
5.使 (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(  )
A.4 B.5
C.6 D.7
6.(多选)对于(2x-)6的展开式,下列说法正确的是(  )
A.展开式共有6项
B.展开式中的常数项是240
C.展开式中x-3的系数为-160
D.展开式中x-6的系数为60
7.在(x2-)9的展开式中,第6项的二项式系数为    ,第3项的系数为    .
8.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3项的系数为    .
9.设(x-)6(a>0)的展开式中含x3项的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a=    .
10.在二项式(-)n的展开式中,前3项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第4项;
(2)求展开式的常数项.
11.(a-)6的展开式中(即分子a的指数和分母b的指数相同)项的系数为(  )
A.-15 B.15
C.-20 D.20
12.(多选)对于二项式(n∈N*),以下判断正确的有(  )
A.存在n∈N*,展开式中有常数项
B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*,展开式中没有含x的项
D.存在n∈N*,展开式中有含x的项
13.(x+)100的展开式中,系数为有理数的共有    项.
14.已知在(-)10的展开式中满足a>0,且常数项为.
(1)求a的值;
(2)从展开式中的所有项中任取三项,取出的三项中既有有理项也有无理项,求共有多少种不同的取法.
15.若对 x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a+b=(  )
A.-1 B.0
C.2 D.3
16.已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.
(1)求:a1-a2+a3,a1-a2+a3-a4;
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.
6.3.1 二项式定理
1.B 由展开式的通项知T4=x6()3=84x3.
2.B 在通项公式Tk+1=(-y)kx10-k中,令k=4,得x6y4的系数为(-)4=840.
3.A a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10,当a=2-时,(a-2)10=32.
4.C 二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式,通项公式为Tr+1=()7-r(2x)r=2ra7-rx-7+2r,令-7+2r=-3,解得r=2,代入得×22a5=84,解得a=1,故选C.
5.B Tr+1=(3x)n-r=3n-r,当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时成立.
6.BCD 因为n=6,故(2x-)6的展开式共有7项,故选项A错误;(2x-)6的展开式的通项公式为Tk+1=(2x)6-k(-1)k·(x-2)k=(-1)k26-kx6-3k,当k=2时,展开式的常数项为(-1)2·24·=240,故选项B正确;令6-3k=-3,得k=3,展开式中x-3的系数为(-1)323=-160,故选项C正确;令6-3k=-6,得k=4,展开式中x-6的系数为(-1)422=60,故选项D正确.
7.126 9 解析:由二项式定理及展开式的通项可得,第6项的二项式系数为=126.由题意可知,T3=·(x2)7·(-)2=9x12,故第3项的系数为9.
8.10 解析:(1-x)5中x3的系数为-=-10,-(1-x)6中x3的系数为-·(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中x3的系数为10.
9.2 解析:(x-)6(a>0)的展开式的通项Tk+1=x6-k(-)k=(-a)k.令6-=3,得k=2,∴A=a2=15a2;令6-=0,得k=4,∴B=a4=15a4.∵B=4A,∴15a4=4×15a2,又a>0,∴a=2.
10.解:Tr+1=()n-r(-)r=(-)r,
由前三项系数的绝对值成等差数列,得+(-)2=2×,
解这个方程得n=8或n=1(舍去).
(1)展开式的第4项为:T4=(-)3=-7.
(2)当-r=0,即r=4时,常数项为(-)4=.
11.B 通项公式Tr+1=a6-r(-1)r,由可得=6-r,故r=4,所以系数为(-1)4=15.故选B.
12.AD 设二项式(n∈N*)展开式的通项为Tk+1,则Tk+1=(x3)k=x4k-n,不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则当k=1时,展开式中有含x的项,故C错误,D正确.
13.17 解析:(x+)100的展开式的通项Tk+1=x100-k··.若Tk+1的系数为有理数,则,均为整数,即k为6的整数倍.由0≤k≤100,k∈N,知k的可能取值为0,6,12,…,96,共17个,即系数为有理数的共有17项.
14.解:(1)展开式的通项为
Tk+1=(-1)k()10-k,
令20-k=0,解得k=8,
即k=8时,
常数项为T9=(-1)8()2=,
解得a=1.
(2)令20-k=m,m∈Z,又0≤k≤10,k∈N,
解得k=0,2,4,6,8,10,
即展开式中的有理项共有6项,无理项有5项,
所以从展开式中的所有项中任取三项,取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有+=135种.
15.C 由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,a+b=2.故选C.
16.解:(1)a1-a2+a3=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2,
a1-a2+a3-a4=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.
(2)归纳概括的结论为:
若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则
a1-a2+a3-a4+…+(-1)nan+1·
=a1(1-q)n,n为正整数.
证明:a1-a2+a3-a4+…+(-1)nan+1·
=a1-a1q+a1q2-a1q3+…+(-1)na1qn
=a1[-q+q2-q3+…+(-1)nqn]=a1(1-q)n.
2 / 26.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
新课程标准解读 核心素养
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算
  观察以下各式:
(a+b)1=a+b,
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,

【问题】 (1)它们的系数之间有何规律?
(2)各项系数与我们学过的组合数有何联系?
(3)那么(a+b)n的展开式又是什么?
                                                                   
                                                                   
知识点 二项式定理
二项式定理 (a+b)n=          (n∈N*)
二项展开式 右边的多项式
二项式系数 各项的系数      
二项展开 式的通项 =       
提醒 二项展开式的特点:①展开式共有n+1项;②各项中a,b的次数和都等于二项式的幂指数n;③字母a按降幂排列,次数由n递减到0,字母b按升幂排列,次数由0递增到n.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(  )
(2)an-rbr是(a+b)n展开式中的第r项.(  )
(3)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(  )
2.(2x-3)4的展开式中的第3项为(  )
A.-216 B.-216x
C.216 D.216x2
3.在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为   (用数字作答).
 
题型一 二项式定理的正用、逆用
【例1】 (1)求的展开式;
(2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 
通性通法
运用二项式定理解题的策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时要注意二项展开式的特点,前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开;
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
提醒 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是(a-b)n的形式.
【跟踪训练】
1.已知3n+3n-1+3n-2+…+3+=1 024,则n=    .
2.化简:(x+)4-(x-)4.
题型二 求二项展开式中的特定项
【例2】 在二项式(x-)12的展开式中,求:(1)第4项;
(2)常数项;
(3)有理项.
通性通法
求二项展开式特定项的步骤
【跟踪训练】
1.二项式(2x2-)6的展开式的中间项是    . 
2.若(x-)6展开式的常数项为60,则常数a的值为    .
题型三 二项式系数与项的系数问题
【例3】 已知(-)n的二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数.
通性通法
1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
2.求二项式系数可直接代入求解.求二项展开式某项的系数可以分为两步完成:(1)根据所给出的条件和通项公式,建立方程来确定指数,求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n为正整数,r为非负整数,n≥r);(2)根据所求的指数,求所求解的项或项的系数.
【跟踪训练】
1.若(1-2x)n的展开式中x3的系数为-160,则正整数n的值为(  )
A.5 B.6
C.7 D.8
2.已知( -)n的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,则n的值为    .
1.在(x-)10的展开式中,含x6的项的系数是(  )
A.-27 B.27
C.-9 D.9
2.在的展开式中常数项是(  )
A.-28 B.-7
C.7 D.28
3.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为    .
4.在(x-)8的展开式中.
(1)求第3项;(2)求含项的系数.
6.3.1 二项式定理
【基础知识·重落实】
知识点
an+b1bk+…+bn (k=0,1,2,…,n) bk
自我诊断
1.(1)× (2)× (3)√
2.D T3=(2x)2(-3)2=216x2.
3.60 解析:(1-2x)6的展开式的通项Tk+1=(-2)kxk,当k=2时,T3=(-2)2x2=60x2,所以x2的系数为60.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)法一 =(3)4+(3)3·+(3)2·+(3)· +=81x2+108x+54++.
法二 ==(1+3x)4=·[1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4]=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2.
(2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1·(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
跟踪训练
1.5 解析:3n+3n-1+…+3+=3n·10+3n-1·11+…+31·1n-1+30·1n=(3+1)n=4n=1 024=210,即22n=210,解得n=5.
2.解:原式=x4+x3·+x2·()2+x()3+()4-[x4-x3·+x2·()2-x·()3+()4]=2[x3·+x·()3]=8x2+.
【例2】 解:二项展开式的第r+1项是Tr+1=x12-r·(-)r=(-1)r.
(1)令r=3,则T4=(-1)3=-220x8.
(2)令12-r=0,则r=9,从而常数项为(-1)9=-220.
(3)若求展开式中的有理项,则12-r为整数,即r=0,3,6,9,12,故有理项分别为T1=x12,T4=-x8=-220x8,T7=x4=924x4,T10=-=-220,T13=x-4.
跟踪训练
1.-x3 解析:二项式展开式的通项为Tk+1=(2x2)6-k·(-)k=(-)k26-kx12-3k,二项展开式一共有7项,所以第4项为中间项,即k=3,T4=(-)326-3x12-3×3=-x3.
2.4 解析:(x-)6的展开式的通项是Tr+1=x6-r·(-)rx-2r=x6-3r(-)r,令6-3r=0,得r=2,即当r=2时,Tr+1为常数项,即常数项是a,根据已知得a=60,解得a=4.
【例3】 解:(1)∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3,
∴∶=8∶3,
∴=,∴n=10.
(2)(-)n=(-)10,其通项公式为Tk+1=(-2)kx5-k,
令5-k=3,可得k=2,
∴展开式中x3项的系数为(-2)2×=180.
展开式中含x3项的二项式系数为=45.
跟踪训练
1.B (1-2x)n的展开式的通项为Tk+1=1n-k·(-2x)k=(-2)kxk,又展开式中x3的系数为-160,则(-2)3=-160,则=20,解得n=6.
2.6 解析:因为( -)n的二项展开式为Tr+1=()n-r(-)r,所以它的第二项的系数为T2=(-2),该二项式的展开式中第二项的二项式系数为,由( -)n的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,所以-(-2)=18 n=6.
随堂检测
1.D 含x6的项是T5=x6(-)4=9x6.
2.C Tr+1=··=(-1)r···,当8-r=0,即r=6,则T7=(-1)6··=7.
3.x4 解析:(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)·(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4.
4.解:(1)(x-)8=(x-2x-2)8,
所以第3项为T3=x8-2(-2x-2)2=(-2)2x6x-4=4x2=112x2.
(2)Tr+1=x8-r(-2x-2)r=(-1)r2rx8-3r,
令8-3r=-1,解得r=3,
所以T4=(-1)323x-1=-.
所以含项的系数为-448.
1 / 7(共54张PPT)
6.3.1 二项式定理
新课程标准解读 核心素养
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  观察以下各式:
(a+b)1=a+b,
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,

【问题】 (1)它们的系数之间有何规律?
(2)各项系数与我们学过的组合数有何联系?
(3)那么(a+b)n的展开式又是什么?
知识点 二项式定理
二项式定理 (a+b)n=
(n∈N*)
二项展开式 右边的多项式
二项式系数 各项的系数
二项展开 式的通项
an+
b1 bk+…+ bn 
(k=0,1,2,…,n) 
bk 
提醒 二项展开式的特点:①展开式共有n+1项;②各项中a,b的
次数和都等于二项式的幂指数n;③字母a按降幂排列,次数由n递减
到0,字母b按升幂排列,次数由0递增到n.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响. ( × )
(2) an-rbr是(a+b)n展开式中的第r项. ( × )
(3)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相
同. ( √ )
×
×

2. (2x-3)4的展开式中的第3项为(  )
A. -216 B. -216x
C. 216 D. 216x2
解析: T3= (2x)2(-3)2=216x2.
3. 在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 (用数字作答).
解析:(1-2x)6的展开式的通项Tk+1= (-2)kxk,当k=2
时,T3= (-2)2x2=60x2,所以x2的系数为60.
60 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二项式定理的正用、逆用
【例1】 (1)求 的展开式;
解: 法一  = (3 )4+ (3 )3·
+ (3 )2 + (3 )· + =81x2+
108x+54+ + .
法二  = = (1+3x)4= ·[1+ ·3x+
(3x)2+ (3x)3+ (3x)4]= (1+12x+54x2+108x3+
81x4)= + +54+108x+81x2.
(2)化简: (x+1)n- (x+1)n-1+ (x+1)n-2-…
+(-1)k (x+1)n-k+…+(-1)n .
解:原式= (x+1)n+ (x+1)n-1(-1)+ (x+1)n-2(-1)2+…+ (x+1)n-k(-1)k+…+ (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
通性通法
运用二项式定理解题的策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,
展开时要注意二项展开式的特点,前一个字母是降幂,后一个
字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情
况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开;
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求
解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的
系数.
提醒 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是(a
-b)n的形式.
【跟踪训练】
1. 已知 3n+ 3n-1+ 3n-2+…+ 3+ =1 024,则n
= .
解析: 3n+ 3n-1+…+ 3+ = 3n·10+ 3n-1·11
+…+ 31·1n-1+ 30·1n=(3+1)n=4n=1 024=210,即
22n=210,解得n=5.
5 
2. 化简:(x+ )4-(x- )4.
解:原式= x4+ x3· + x2·( )2+ x( )3+ ( )
4-[ x4- x3· + x2·( )2- x·( )3+ ( )4]=
2[ x3· + x·( )3]=8x2+ .
题型二 求二项展开式中的特定项
【例2】 在二项式(x- )12的展开式中,求:(1)第4项;
解:二项展开式的第r+1项是Tr+1= x12-r·(- )r=(-1)
r .
(1)令r=3,则T4=(-1)3 =-220x8.
解:令12- r=0,则r=9,从而常数项为(-1)9 =-220.
解:若求展开式中的有理项,则12- r为整数,即r=0,3,6,
9,12,故有理项分别为T1=x12,T4=- x8=-220x8,T7= x4
=924x4,T10=- =-220,T13=x-4.
(2)常数项;
(3)有理项.
通性通法
求二项展开式特定项的步骤
【跟踪训练】
1. 二项式(2x2- )6的展开式的中间项是  - x3 .
解析:二项式展开式的通项为Tk+1= (2x2)6-k·(- )k=
(- )k26-k x12-3k,二项展开式一共有7项,所以第4项为中间
项,即k=3,T4=(- )326-3 x12-3×3=- x3.
- x3 
2. 若(x- )6展开式的常数项为60,则常数a的值为 .
解析:(x- )6的展开式的通项是Tr+1= x6-r·(- )rx-
2r= x6-3r(- )r,令6-3r=0,得r=2,即当r=2时,Tr
+1为常数项,即常数项是 a,根据已知得 a=60,解得a=4.
4 
题型三 二项式系数与项的系数问题
【例3】 已知( - )n的二项展开式中,第4项的二项式系数与
第3项的二项式系数的比为8∶3.
(1)求n的值;
解: ∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为
8∶3,
∴ ∶ =8∶3,∴ = ,∴n=10.
(2)求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数.
解: ( - )n=( - )10,其通项公式为Tk+1
=(-2)k x5-k,
令5-k=3,可得k=2,
∴展开式中x3项的系数为(-2)2× =180.
展开式中含x3项的二项式系数为 =45.
通性通法
1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数
及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数
均有关.
2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分
为两步完成:(1)根据所给出的条件和通项公式,建立方程来确
定指数,求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n为正整
数,r为非负整数,n≥r);(2)根据所求的指数,求所求解的
项或项的系数.
【跟踪训练】
1. 若(1-2x)n的展开式中x3的系数为-160,则正整数n的值为
(  )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析:  (1-2x)n的展开式的通项为Tk+1= 1n-k·(-2x)
k=(-2)k xk,又展开式中x3的系数为-160,则(-2)3 =
-160,则 =20,解得n=6.
2. 已知( - )n的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大
18,则n的值为 .
解析:因为( - )n的二项展开式为Tr+1= ( )n-r
(- )r,所以它的第二项的系数为T2= (-2),该二项式的
展开式中第二项的二项式系数为 ,由( - )n的展开式中
第二项的二项式系数比该项的系数大18,所以 - (-2)=
18 n=6.
6 
1. 在(x- )10的展开式中,含x6的项的系数是(  )
解析:  含x6的项是T5= x6(- )4=9 x6.
2. 在 的展开式中常数项是(  )
A. -28 B. -7 C. 7 D. 28
解析:  Tr+1= · · =(-1)
r· · · ,当8- r=0,即r=6,则T7=(-1)
6· · =7.
3. 代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化
简为 .
解析:(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=
(x+1)4+ (x+1)3(-1)1+ (x+1)2(-1)2+
(x+1)·(-1)3+ (-1)4=[(x+1)-1]4=x4.
x4 
4. 在(x- )8的展开式中.
(1)求第3项;
解: (x- )8=(x-2x-2)8,
所以第3项为T3= x8-2(-2x-2)2=(-2)2 x6x-4=
4 x2=112x2.
解: Tr+1= x8-r(-2x-2)r=(-1)r2r x8-3r,
令8-3r=-1,解得r=3,
所以T4=(-1)323 x-1=- .
所以含 项的系数为-448.
(2)求含 项的系数.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. (x+ )9的展开式中的第4项是(  )
A. 56x3 B. 84x3
C. 56x4 D. 84x4
解析:  由展开式的通项知T4= x6( )3=84x3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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13
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16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
2. (x- y)10的展开式中x6y4的系数是(  )
A. -840 B. 840
C. 210 D. -210
解析:  在通项公式Tk+1= (- y)kx10-k中,令k=4,
得x6y4的系数为 (- )4=840.
3. 若实数a=2- ,则a10-2 a9+22 a8-…+210=(  )
A. 32 B. -32
C. 1 024 D. 512
解析:  a10-2 a9+22 a8-…+210=(a-2)10,当a=2
- 时,(a-2)10=32.
4. 若二项式(2x+ )7的展开式中 的系数是84,则实数a=
(  )
A. 2
C. 1
解析:  二项式(2x+ )7的展开式即( +2x)7的展开
式,通项公式为Tr+1= ( )7-r(2x)r= 2ra7-rx-7+2r,
令-7+2r=-3,解得r=2,代入得 ×22a5=84,解得a=
1,故选C.
5. 使 (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为
(  )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析:  Tr+1= (3x)n-r = 3n-r ,当Tr+1是
常数项时,n- r=0,当r=2,n=5时成立.
6. (多选)对于(2x- )6的展开式,下列说法正确的是(  )
A. 展开式共有6项
B. 展开式中的常数项是240
C. 展开式中x-3的系数为-160
D. 展开式中x-6的系数为60
解析:  因为n=6,故(2x- )6的展开式共有7项,故选
项A错误;(2x- )6的展开式的通项公式为Tk+1= (2x)6-
k(-1)k·(x-2)k=(-1)k 26-kx6-3k,当k=2时,展开式
的常数项为(-1)2·24· =240,故选项B正确;令6-3k=-
3,得k=3,展开式中x-3的系数为(-1)3 23=-160,故选项
C正确;令6-3k=-6,得k=4,展开式中x-6的系数为(-1)
4 22=60,故选项D正确.
7. 在(x2- )9的展开式中,第6项的二项式系数为 ,第3项
的系数为 .
解析:由二项式定理及展开式的通项可得,第6项的二项式系数为
=126.由题意可知,T3= ·(x2)7·(- )2=9x12,故第3
项的系数为9.
126 
9 
8. 在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3项的系数为 .
解析:(1-x)5中x3的系数为- =-10,-(1-x)6中x3的
系数为- ·(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中
x3的系数为10.
10 
9. 设(x- )6(a>0)的展开式中含x3项的系数为A,常数项为
B. 若B=4A,则a= .
解析:(x- )6(a>0)的展开式的通项Tk+1= x6-k(-
)k=(-a)k .令6- =3,得k=2,∴A=a2 =
15a2;令6- =0,得k=4,∴B=a4 =15a4.∵B=4A,
∴15a4=4×15a2,又a>0,∴a=2.
2 
10. 在二项式( - )n的展开式中,前3项系数的绝对值成等差
数列.
(1)求展开式的第4项;
(1)展开式的第4项为:T4=(- )3 =-7 .
解:Tr+1= ( )n-r(- )r=(- )r ,
由前三项系数的绝对值成等差数列,得 +(- )2 =
2× ,
解这个方程得n=8或n=1(舍去).
(2)求展开式的常数项.
解:当 - r=0,即r=4时,常数项为(- )4 = .
11. (a- )6的展开式中 (即分子a的指数和分母b的指数相
同)项的系数为(  )
A. -15 B. 15
C. -20 D. 20
解析:  通项公式Tr+1= a6-r(-1)r ,由 可得 =6
-r,故r=4,所以系数为(-1)4 =15.故选B.
12. (多选)对于二项式 (n∈N*),以下判断正确的有
(  )
A. 存在n∈N*,展开式中有常数项
B. 对任意n∈N*,展开式中没有常数项
C. 对任意n∈N*,展开式中没有含x的项
D. 存在n∈N*,展开式中有含x的项
解析:  设二项式 (n∈N*)展开式的通项为Tk+
1,则Tk+1= (x3)k= x4k-n,不妨令n=4,则当k
=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则当k
=1时,展开式中有含x的项,故C错误,D正确.
13. ( x+ )100的展开式中,系数为有理数的共有 项.
解析:( x+ )100的展开式的通项Tk+1= x100-
k· · .若Tk+1的系数为有理数,则 , 均为整数,即k
为6的整数倍.由0≤k≤100,k∈N,知k的可能取值为0,6,
12,…,96,共17个,即系数为有理数的共有17项.
17 
14. 已知在( - )10的展开式中满足a>0,且常数项为 .
(1)求a的值;
解: 展开式的通项为Tk+1=(-1)k( )10-
k ,
令20- k=0,解得k=8,
即k=8时,常数项为T9=(-1)8( )2 = ,
解得a=1.
(2)从展开式中的所有项中任取三项,取出的三项中既有有理项
也有无理项,求共有多少种不同的取法.
解: 令20- k=m,m∈Z,又0≤k≤10,k∈N,
解得k=0,2,4,6,8,10,
即展开式中的有理项共有6项,无理项有5项,
所以从展开式中的所有项中任取三项,取出的三项中既有有
理项也有无理项的取法共有 + =135种.
15. 若对 x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+
2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a
+b=(  )
A. -1 B. 0 C. 2 D. 3
解析:  由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+
2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)
5=(x+1)5,所以a=b=1,a+b=2.故选C.
16. 已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.
(1)求:a1 -a2 +a3 ,a1 -a2 +a3 -a4 ;
解: a1 -a2 +a3 =a1-2a1q+a1q2=a1(1-
q)2,
a1 -a2 +a3 -a4 =a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1
(1-q)3.
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加
以证明.
解: 归纳概括的结论为:
若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则
a1 -a2 +a3 -a4 +…+(-1)nan+1·
=a1(1-q)n,n为正整数.
证明:a1 -a2 +a3 -a4 +…+(-1)nan+1·
=a1 -a1q +a1q2 -a1q3 +…+(-1)na1qn
=a1[-q +q2 -q3 +…+(-1)nqn ]=a1
(1-q)n.
谢 谢 观 看!