6.3.2 二项式系数的性质
1.在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
2.在(3x2-)n的展开式中,所有二项式系数和为64,则n=( )
A.6 B.7
C.8 D.9
3.(x2-)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开式的常数项是( )
A.-15 B.-20
C.15 D.20
4.在(x-)2 024的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S=( )
A.23 035 B.-23 035
C.23 030 D.-23 030
5.(多选)下列关于(x-1)11的说法正确的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最大
6.(多选)对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9.则下列结论成立的是( )
A.a2=-144
B.a0=1
C.a0+a1+a2+…+a9=1
D.a0-a1+a2-a3+…-a9=-39
7.已知展开式的各项系数和为243,则展开式中含x7的项的二项式系数为 .
8.在的二项展开式中,常数项是8,则实数a= ,第 项的二项式系数最大.
9.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)= .
10.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于(x2+)5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.
11.若(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024(x∈R),则++…+=( )
A.2 B.0
C.-2 D.-1
12.(多选)在(x+2)n(n∈N*)的展开式中,若含x2的项的二项式系数为21,则下列结论正确的是( )
A.n=7
B.展开式中的常数项是64
C.展开式中二项式系数的最大值是35
D.展开式中各项系数的和是2 187
13.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)= .
14.已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m,n的值;
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和;
(3)求(1+m)n(1-x)的展开式中含x2项的系数.
15.已知(2x-1)n的二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则+++…+= .
16.已知(ax-)n(a∈R,n∈N*)的展开式中,前三项的二项式系数之和为16,所有项的系数之和为1.
(1)求n和a的值;
(2)展开式中是否存在常数项?若存在,求出常数项;若不存在,请说明理由;
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
6.3.2 二项式系数的性质
1.B 第6项的二项式系数为,又=,所以第16项符合条件.
2.A 由题意可知:2n=64 n=6,故选A.
3.C 因为只有第4项的二项式系数最大,得n=6,所以(x2-)n的展开式的通项为Tk+1=(x2)6-k(-)k=(-1)kx12-3k.令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数项是(-1)4=15.故选C.
4.B 因为S=,当x=时,S=-=-23 035.
5.AC (x-1)11的展开式中的二项式系数之和为211=2 048,所以A正确;因为n=11为奇数,所以展开式中有12项,中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大,所以B不正确,C正确;展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,所以D不正确.故选A、C.
6.ACD 对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,所以a2=-×22=-144,故A正确;令x=1,可得a0=-1,故B不正确;令x=2,可得a0+a1+a2+…+a9=1,故C正确;令x=0,可得a0-a1+a2-a3+…-a9=-39,故D正确.
7.10 解析:∵展开式的各项系数和为243,∴令x=1,可得3n=243,解得n=5.∴展开式的通项Tr+1=25-rx15-4r,r∈{0,1,…,5}.令15-4r=7,得r=2,∴展开式中含x7的项的二项式系数为=10.
8.-1 3 解析:在的二项展开式中,常数项是8,由二项展开式通项可知Tk+1=(2x)4-k=·24-k·(-a)k·,所以当k=3时为常数项,代入可得·24-3·(-a)3=8,解得a=-1,由二项式定理可知展开式共有5项,则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大.
9.-256 解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=25=32,两式相加可得2(a0+a2+a4)=32,两式相减可得2(a1+a3+a5)=-32,则a0+a2+a4=16,a1+a3+a5=-16,所以(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.
10.解:由(x2+)5得
Tr+1=·()r
=()5-r,
令Tr+1为常数项,则20-5r=0,
所以r=4,常数项T5=·=16.
又(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,由此得到2n=16,n=4.
所以(a2+1)4展开式中系数最大项是中间项T3=a4=54,
解得a=±.
11.D (1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024,令x=0,得a0=1,令x=,得a0+++…+=0,所以++…+=-1.
12.ACD 在(x+2)n(n∈N*)的展开式中,含x2的项的二项式系数为==21,即n2-n-42=0,∵n∈N*,∴n=7,A正确;展开式中常数项为T8=27=128,B错误;展开式中二项式系数的最大值是==35,C正确;令x=1可得展开式中各项系数的和是37=2 187,D正确.故选A、C、D.
13.7 解析:令x=-1,得28=a0+a1+a2+…+a11+a12,令x=-3,得0=a0-a1+a2-…-a11+a12,∴28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.
14.解:(1)由题意可得2n=256,解得n=8,
∴展开式的通项为Tk+1=mk,
∴含x项的系数为m2=112,
解得m=2或m=-2(舍去).
故m,n的值分别为2,8.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为+++=28-1=128.
(3)∵(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2)8,
∴含x2项的系数为24-22=1 008.
15.255 解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B.则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….由已知,B-A=38.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n.∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.由二项式系数的性质,可得+++…+=2n-=28-1=255.
16.解:(1)由题意得,++=16,
即1+n+=16.
解得n=5,或n=-6(舍去),
所以n=5.
因为所有项的系数之和为1,令x=1,
所以(a-1)5=1,解得a=2.
(2)不存在.理由如下:
因为(ax-)n=(2x-)5,
所以Tk+1=(2x)5-k(-)k=(-1)k25-k(k∈N*).
令5-=0,解得k= N,所以展开式中不存在常数项.
(3)由二项式系数的性质知,展开式中中间两项的二项式系数最大,
二项式系数最大的两项为T3=(-1)2·25-2x5-3=80x2,T4=(-1)3·25-3=-40.
2 / 26.3.2 二项式系数的性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解杨辉三角各行数字特点,归纳二项式系数间的关系 逻辑推理
2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题 数学运算
我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图所示的三角形解释(a+b)n的展开式的各项系数.
【问题】 观察上图,你能借助二项式系数的性质分析上图中的数吗?
知识点 二项式系数的性质
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由 得到.直线 将函数f(r)=的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.
2.增减性与最大值
(1)当k<时,随k的增加而 ;由对称性知,二项式系数的后半部分随k的增加而 ;
(2)当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
(1)+++…+= ;
(2)+++…=+++…= .
【想一想】
二项展开式中系数最大项就是二项式系数的最大项,对吗?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)二项展开式中各项系数和等于二项式系数和.( )
(2)二项展开式的二项式系数和为++…+.( )
(3)+++=28-1.( )
2.在(x+y)n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则n=( )
A.4 B.6
C.8 D.10
3.(1+x)n(n∈N*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=( )
A.7 B.8
C.10 D.11
4.(2x-1)6展开式中各项系数的和为 ;各项的二项式系数的和为 .
题型一 各二项式系数的和
【例1】 已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.512 B.210
C.211 D.212
通性通法
(a+b)n的展开式中各二项式系数的和为2n,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于2n-1.
【跟踪训练】
已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64,x3y3的系数为-160,求实数m的值.
题型二 二项展开式的各项系数的和
【例2】 已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值.
(1)a0+a1+a2+…+a5;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
【母题探究】
(变设问)在本例条件下,求下列各式的值:
(1)a1+a2+a3+a4+a5;
(2)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.
通性通法
二项展开式的各项系数的和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可;
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
【跟踪训练】
设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值:
(1)a0;
(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99;
(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.
题型三 二项式系数性质的应用
【例3】 已知(+2x)n的展开式前三项的二项式系数的和等于37,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数;
(2)展开式中系数最大的项.
通性通法
1.二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论:
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第k+1项最大,应用解出k,即得出系数最大的项.
【跟踪训练】
1.(多选)已知(x-)9,则该展开式中二项式系数最大的项可以是( )
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
2.已知(+)n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,求该展开式中系数最大的项.
1.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是( )
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
A.8 B.6
C.4 D.2
2.二项式(x-1)n的展开式中奇数项的二项式系数和是64,则n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为( )
A. B. C.- D.-
4.已知二项式(1-x)8,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数最小的项.
6.3.2 二项式系数的性质
【基础知识·重落实】
知识点
1.= r= 2.(1)增大 减小
(2) 3.(1)2n (2)2n-1
想一想
提示:不对.
自我诊断
1.(1)× (2)× (3)√
2.D 3.C
4.1 64 解析:令x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.
【典型例题·精研析】
【例1】 A ∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴=,解得n=10,各二项式系数之和为210,∵奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等,∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29=512.
跟踪训练
解:由题意得,2n=64,解得n=6,
而(x-my)6的通项公式为Tk+1=x6-k(-my)k,0≤k≤6,k∈N,
所以x3y3的系数为(-m)3=-160,
解得m=2.
【例2】 解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
(2)令x=-1,得(-3)5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.
由(2x-1)5的通项Tr+1=(-1)r×25-rx5-r知a1,a3,a5为负值,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
(3)由(1)(2)得a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=(-3)5,
两式相加得2(a1+a3+a5)=1-35,
所以a1+a3+a5==-121.
母题探究
解:(1)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,
所以a0=25·(-1)0=32.
又a0+a1+a2+…+a5=1,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.
(2)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数,得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.
令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
跟踪训练
解:(1)令x=0,则a0=2100.
(2)令x=1可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100, ①
故a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.
(3)令x=-1可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100. ②
①②联立可得a1+a3+…+a99=.
(4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=[(2-)(2+)]100=1100=1.
【例3】 解:(1)由(+2x)n的展开式前三项的二项式系数的和等于37,即++=37,解得n=8,即二项式为(+2x)8,
所以展开式中第5项的二项式系数最大,T5=()4×24x4=x4,
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为.
(2)设二项展开式的第r+1项的系数最大,
则
解得7≤r≤8,所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项,
即T8=()1×27x7=28x7,T9=()0×28x8=28x8.
跟踪训练
1.BC 由题意知,展开式中二项式系数最大为和,故二项式系数最大的项是第5项和第6项.
2.解:由题意可知+1=6,解得n=10,故展开式的通项为Tr+1=2r.
设第r+1项的系数最大,
则
即解得≤r≤.
∵r∈N,∴r=7,
∴展开式中的系数最大的项为T8=27=15 360.
随堂检测
1.B 由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.
2.C 二项式(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,∴2n-1=64,∴n=7.故选C.
3.B (2-3x)15的展开式中共有16项,中间的两项为第8项和第9项,这两项的二项式系数相等且最大,为=,故选B.
4.解:(1)因为(1-x)8的展开式中共有9项,所以中间一项(第5项)的二项式系数最大,所以展开式中二项式系数最大的项为(-x)4=70x4.
(2)二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小,T4=(-x)3=-56x3,T6=(-x)5=-56x5,所以展开式中系数最小的项是-56x3和-56x5.
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6.3.2
二项式系数的性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解杨辉三角各行数字特点,归纳二项式系数
间的关系 逻辑推理
2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有
关的问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列,如南宋数学家
杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图所示的三
角形解释(a+b)n的展开式的各项系数.
【问题】 观察上图,你能借助二项式系数的性质分析上图中的
数吗?
知识点 二项式系数的性质
1. 对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质
可直接由 得到.直线 将函数f(r)C
的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.
=
r=
2. 增减性与最大值
(1)当k< 时, 随k的增加而 ;由对称性知,二项
式系数的后半部分 随k的增加而 ;
(2)当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇
数时,中间的两项 与 相等,且同时取
得最大值.
增大
减小
3. 各二项式系数的和
(1) + + +…+ = ;
(2) + + +…= + + +…= .
2n
2n-1
【想一想】
二项展开式中系数最大项就是二项式系数的最大项,对吗?
提示:不对.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)二项展开式中各项系数和等于二项式系数和. ( × )
(2)二项展开式的二项式系数和为 + +…+ .
( × )
(3) + + + =28-1. ( √ )
×
×
√
2. 在(x+y)n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则n=( )
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
3. (1+x)n(n∈N*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则
n=( )
A. 7 B. 8
C. 10 D. 11
4. (2x-1)6展开式中各项系数的和为 ;各项的二项式系数的
和为 .
解析:令x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.
1
64
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 各二项式系数的和
【例1】 已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相
等,则奇数项的二项式系数和为( )
A. 512 B. 210
C. 211 D. 212
解析: ∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相
等,∴ = ,解得n=10,各二项式系数之和为210,∵奇数项的
二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等,∴(1+2x)10的
展开式中奇数项的二项式系数和为 ×210=29=512.
通性通法
(a+b)n的展开式中各二项式系数的和为2n,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于2n-1.
【跟踪训练】
已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64,x3y3的系数为-
160,求实数m的值.
解:由题意得,2n=64,解得n=6,
而(x-my)6的通项公式为Tk+1= x6-k·(-my)k,0≤k≤6,
k∈N,
所以x3y3的系数为 (-m)3=-160,
解得m=2.
题型二 二项展开式的各项系数的和
【例2】 已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下
列各式的值.
(1)a0+a1+a2+…+a5;
解: 令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
解: 令x=-1,得(-3)5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.
由(2x-1)5的通项Tr+1= (-1)r×25-rx5-r知a1,a3,
a5为负值,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+
a4-a5=35=243.
(3)a1+a3+a5.
解: 由(1)(2)得a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=(-3)5,
两式相加得2(a1+a3+a5)=1-35,
所以a1+a3+a5= =-121.
【母题探究】
(变设问)在本例条件下,求下列各式的值:
(1)a1+a2+a3+a4+a5;
解: 因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,
所以a0= 25·(-1)0=32.
又a0+a1+a2+…+a5=1,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.
(2)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.
解: 因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+
a5,所以两边求导数,得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2
+2a3x+a4.
令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
通性通法
二项展开式的各项系数的和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,
n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需
令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求
其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可;
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开
式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= ,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= .
【跟踪训练】
设(2- x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的
值:
(1)a0;
解: 令x=0,则a0=2100.
(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;
解: 令x=1可得a0+a1+a2+…+a100=(2- )100,①
故a1+a2+…+a100=(2- )100-2100.
(3)a1+a3+a5+…+a99;
解: 令x=-1可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+
)100. ②
①②联立可得a1+a3+…+a99= .
(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.
解: 原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+
a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0+
a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=
[(2- )(2+ )]100=1100=1.
题型三 二项式系数性质的应用
【例3】 已知( +2x)n的展开式前三项的二项式系数的和等于
37,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数;
解: 由( +2x)n的展开式前三项的二项式系数的和等
于37,即 + + =37,解得n=8,即二项式为( +
2x)8,
所以展开式中第5项的二项式系数最大,T5= ( )4×24x4=
x4,
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
(2)展开式中系数最大的项.
解: 设二项展开式的第r+1项的系数最大,
则
解得7≤r≤8,所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项,
即T8= ( )1×27x7=28x7,T9= ( )0×28x8=28x8.
通性通法
1. 二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中
的n进行讨论:
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2. 展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,需要
根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,
b∈R)的展开式中系数最大的项,一般采用待定系数法.设展开式
中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第k+1项最大,应用
解出k,即得出系数最大的项.
【跟踪训练】
1. (多选)已知(x- )9,则该展开式中二项式系数最大的项可以
是( )
A. 第4项 B. 第5项
C. 第6项 D. 第7项
解析: 由题意知,展开式中二项式系数最大为 和 ,故
二项式系数最大的项是第5项和第6项.
2. 已知( + )n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,求
该展开式中系数最大的项.
解:由题意可知 +1=6,解得n=10,故展开式的通项为Tr+1=
2r .设第r+1项的系数最大,
则即
解得 ≤r≤ .
∵r∈N,∴r=7,
∴展开式中的系数最大的项为T8= 27 =15 360 .
1. 观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是( )
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
解析: 由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.
2. 二项式(x-1)n的展开式中奇数项的二项式系数和是64,则n=
( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析: 二项式(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数和
等于偶数项的二项式系数和,∴2n-1=64,∴n=7.故选C.
3. 在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为( )
A. B.
C. - D. -
解析: (2-3x)15的展开式中共有16项,中间的两项为第8项
和第9项,这两项的二项式系数相等且最大,为 = ,故选B.
4. 已知二项式(1-x)8,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
解: 因为(1-x)8的展开式中共有9项,所以中间一项
(第5项)的二项式系数最大,所以展开式中二项式系数最大
的项为 (-x)4=70x4.
(2)展开式中系数最小的项.
解: 二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由
题意知第4项和第6项系数相等且最小,T4= (-x)3=-
56x3,T6= (-x)5=-56x5,所以展开式中系数最小的
项是-56x3和-56x5.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数
相同的项是( )
A. 第15项 B. 第16项
C. 第17项 D. 第18项
解析: 第6项的二项式系数为 ,又 = ,所以第16项
符合条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
2. 在(3x2- )n的展开式中,所有二项式系数和为64,则n=
( )
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析: 由题意可知:2n=64 n=6,故选A.
3. (x2- )n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开
式的常数项是( )
A. -15 B. -20
C. 15 D. 20
解析: 因为只有第4项的二项式系数最大,得n=6,所以(x2
- )n的展开式的通项为Tk+1= (x2)6-k(- )k=(-1)
k x12-3k.令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数项是(-
1)4 =15.故选C.
4. 在(x- )2 024的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,
当x= 时,S=( )
A. 23 035 B. -23 035
C. 23 030 D. -23 030
解析: 因为S= ,当x= 时,S=
- =-23 035.
5. (多选)下列关于(x-1)11的说法正确的是( )
A. 展开式中的二项式系数之和为2 048
B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最大
解析: (x-1)11的展开式中的二项式系数之和为211=2
048,所以A正确;因为n=11为奇数,所以展开式中有12项,中间
两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大,所以B不正确,
C正确;展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,所以D不正
确.故选A、C.
6. (多选)对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x
-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9.则下列结论成立的是
( )
A. a2=-144
B. a0=1
C. a0+a1+a2+…+a9=1
D. a0-a1+a2-a3+…-a9=-39
解析: 对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2
(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-
1)]9,所以a2=- ×22=-144,故A正确;令x=1,可得a0=
-1,故B不正确;令x=2,可得a0+a1+a2+…+a9=1,故C正
确;令x=0,可得a0-a1+a2-a3+…-a9=-39,故D正确.
7. 已知 展开式的各项系数和为243,则展开式中含x7的项
的二项式系数为 .
解析:∵ 展开式的各项系数和为243,∴令x=1,可得
3n=243,解得n=5.∴ 展开式的通项Tr+1= 25-rx15
-4r,r∈{0,1,…,5}.令15-4r=7,得r=2,∴展开式中含x7
的项的二项式系数为 =10.
10
8. 在 的二项展开式中,常数项是8,则实数a= ,
第 项的二项式系数最大.
解析:在 的二项展开式中,常数项是8,由二项展开式
通项可知Tk+1= (2x)4-k = ·24-k·(-a)
k· ,所以当k=3时为常数项,代入可得 ·24-3·(-a)3=
8,解得a=-1,由二项式定理可知展开式共有5项,则根据二项
式系数可知第3项二项式系数最大.
-1
3
9. 已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2
+a4)(a1+a3+a5)= .
解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=-1,得a0
-a1+a2-a3+a4-a5=25=32,两式相加可得2(a0+a2+a4)=
32,两式相减可得2(a1+a3+a5)=-32,则a0+a2+a4=16,
a1+a3+a5=-16,所以(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.
-256
解:由( x2+ )5得Tr+1= ( )5-r·( )r=( )5
-r ,
令Tr+1为常数项,则20-5r=0,
所以r=4,常数项T5= · =16.
又(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,由此得到2n=
16,n=4.
所以(a2+1)4展开式中系数最大项是中间项T3= a4=54,
解得a=± .
10. 已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于( x2+ )5的展
开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,
求a的值.
11. 若(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024(x∈R),则 +
+…+ =( )
A. 2 B. 0
C. -2 D. -1
解析: (1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024,令x=0,
得a0=1,令x= ,得a0+ + +…+ =0,所以 +
+…+ =-1.
12. (多选)在(x+2)n(n∈N*)的展开式中,若含x2的项的二项
式系数为21,则下列结论正确的是( )
A. n=7
B. 展开式中的常数项是64
C. 展开式中二项式系数的最大值是35
D. 展开式中各项系数的和是2 187
解析: 在(x+2)n(n∈N*)的展开式中,含x2的项的二
项式系数为 = =21,即n2-n-42=0,
∵n∈N*,∴n=7,A正确;展开式中常数项为T8=27=128,B
错误;展开式中二项式系数的最大值是 = =35,C正确;令
x=1可得展开式中各项系数的和是37=2 187,D正确.故选A、
C、D.
13. 若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+
2)12,则log2(a1+a3+…+a11)= .
解析:令x=-1,得28=a0+a1+a2+…+a11+a12,令x=-
3,得0=a0-a1+a2-…-a11+a12,∴28=2(a1+a3+…+
a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=
log227=7.
7
14. 已知(1+m )n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为
256,展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m,n的值;
解: 由题意可得2n=256,解得n=8,
∴展开式的通项为Tk+1= mk ,
∴含x项的系数为 m2=112,
解得m=2或m=-2(舍去).
故m,n的值分别为2,8.
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和;
解: 展开式中偶数项的二项式系数之和为 + +
+ =28-1=128.
(3)求(1+m )n(1-x)的展开式中含x2项的系数.
解: ∵(1+2 )8(1-x)=(1+2 )8-x(1
+2 )8,
∴含x2项的系数为 24- 22=1 008.
15. 已知(2x-1)n的二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数
的和小38,则 + + +…+ = .
解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系
数和为A,偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…,B=a0
+a2+a4+a6+….由已知,B-A=38.令x=-1,得a0-a1+a2
-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)
-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n.
∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.由二项式系数的性质,可
得 + + +…+ =2n- =28-1=255.
255
16. 已知(ax- )n(a∈R,n∈N*)的展开式中,前三项的二项
式系数之和为16,所有项的系数之和为1.
(1)求n和a的值;
解: 由题意得, + + =16,
即1+n+ =16.
解得n=5,或n=-6(舍去),所以n=5.
因为所有项的系数之和为1,令x=1,
所以(a-1)5=1,解得a=2.
(2)展开式中是否存在常数项?若存在,求出常数项;若不存
在,请说明理由;
解: 不存在.理由如下:
因为(ax- )n=(2x- )5,
所以Tk+1= (2x)5-k(- )k=(-1)k 25-
k (k∈N*).
令5- =0,解得k= N,所以展开式中不存在常数项.
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
解: 由二项式系数的性质知,展开式中中间两项的二
项式系数最大,
二项式系数最大的两项为T3=(-1)2· 25-2x5-3=
80x2,T4=(-1)3· 25-3 =-40 .
谢 谢 观 看!