培优课 二项式定理的综合应用
1.在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A.30 B.20
C.15 D.10
2.（x3－2x2＋x）3的展开式中x6的系数为（ ）
A.－1 B.1
C.－20 D.20
3.9192被100除所得的余数为（ ）
A.1 B.81
C.－81 D.992
4.在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（ ）
A.第11项 B.第13项
C.第18项 D.第20项
5.（＋x）（1－）4的展开式中x的系数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.12
6.（多选）对于二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有（ ）
A.存在n∈N*，使展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项
7.（＋＋）5（x＞0）的展开式中的常数项为 .
8.设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝ .
9.若（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ .
10.设的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝ .
11.求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除.
12.已知（ax2＋）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1.
（1）求n和a的值；
（2）求（2x－1）（ax2＋）n的展开式中的常数项.
13.当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋）n＜3.
培优课 二项式定理的综合应用
1.C 因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝xk，所以x（1＋x）6的展开式中含x3的项为x3＝15x3，所以含x3项的系数为15.
2.C （x3－2x2＋x）3＝x3（x－1）6，因此所求x6的系数即为（x－1）6的展开式中x3的系数，由二项式定理知系数为（－1）3＝－20.
3.B 9192＝（90＋1）92＝×9092＋×9091＋…＋×902＋×90＋.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得的余数为81.
4.D （1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数为＋＋＝＋＋＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
5.C 根据题意，所给式子的展开式中含x的项，由（1－）4展开式中的常数项乘（＋x）中的x以及（1－）4展开式中的含x2的项乘（＋x）中的两部分合并而成，所以所求系数为1＋1×2＝3.
6.AD （＋）n的展开式的通项为Tr＋1＝·3r·，r＝0，1，2，…，n，（＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝·x4k－n，k＝0，1，2，…，n.则二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为·3r···x4k－n，未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k，令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×3×＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×30×x3××x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误.
7. 解析：（＋＋）5（x＞0）可化为（＋）10，因而Tr＋1＝·（）10－r·（）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为·（）5＝.
8. 解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n ①.令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n ②.①＋②得3n＋1＝2（a0＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝.
9.2 解析：（x＋）10的展开式的通项为Tr＋1＝x10－r（）r＝x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为，所以（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为－a＝30，解得a＝2.
10.2 解析：由5＞＞＝4，得的整数部分为4，则＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即x4＋4x3＋16x2＋64x＋256＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋16x3＋96x2＋256x＝2.
11.证明：32n＋2－8n－9
＝（8＋1）n＋1－8n－9
＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8＋－8n－9
＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8（n＋1）＋1－8n－9
＝8n＋1＋8n＋…＋82.
上式中的每一项都含有82，故原式能被64整除.
12.解：（1）由条件可得
解得
（2）（2x－1）（ax2＋）n＝（2x－1）·（－2x2＋x－1）7.
∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝（－2x2）7－k（x－1）k
＝（－2）7－kx14－3k.
∴当14－3k＝－1，
即k＝5时，2x·（－2）2x－1＝168；
当14－3k＝0，即k＝时，舍去.
∴所求的常数项为168.
13.证明：（1＋）n＝＋×＋（）2＋…＋（）n＝1＋1＋×＋×＋…＋×
＝2＋×＋…＋×＜2＋＋…＋＜2＋＋＋…＋＝2＋＝3－（）n－1＜3.
显然（1＋）n＝1＋1＋×＋×＋…＋×＞2.
所以2＜（1＋）n＜3.
1 / 1 二项式定理的综合应用
题型一 求两个多项式乘积的特定项问题
【例1】 （1）（x2＋1）（2x－）6的展开式中常数项为 ；
（2）（2022·新高考Ⅰ卷13题）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）.
通性通法
两个二项式乘积的展开式中特定项问题
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解再相乘，求和即得.
【跟踪训练】
1.若（2x－）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为 .
2.已知（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－240，则a＝ .
题型二 三项展开式问题
【例2】 （2024·青岛月考）（1＋x＋x2）5展开式中所有项的系数和是 ，含x3的项的系数是 .
通性通法
解决三项展开式问题的方法
【跟踪训练】
1.（x＋2＋）3展开式中的常数项为（ ）
A.6 B.15
C.20 D.28
2.（x－2y＋z）8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系数是 .（用数字作答）
题型三 有关整除或求余数问题
【例3】 （1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（ ）
A.一 B.二
C.三 D.四
（2）用二项式定理证明1110－1能被100整除.
通性通法
整除性问题或求余数问题的处理方法
（1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式；
（2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了.
【跟踪训练】
已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值为 .
培优课 二项式定理的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）－100 （2）－28
解析：（1）（2x－）6展开式的通项为Tk＋1＝·（2x）6－k（－x－1）k＝（－1）k·26－kx6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23＋22＝－160＋60＝－100.
（2）（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝x2y6，令r＝5，得T5＋1＝x3y5，所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28.
跟踪训练
1.－15 解析：由（2x－）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝32，故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）kx5－kyk，故x2y4的项为＋（－1·2，k1＝4，k2＝3，即（－1）4x2y4＋（－1）32x2y4＝－15x2y4.
2.4 解析：（x＋）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k（）k＝2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝（舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－a22＝－240，解得a＝4.
【例2】 243 30 解析：令x＝1，则所有项的系数和是（1＋1＋12）5＝243；
法一 因为（1＋x＋x2）5的通项为（1＋x）5－rx2r（r＝0，1，2，3，4，5），所以当r＝0时，需求（1＋x）5展开式中的x3项为x3；当r＝1时，需求（1＋x）4展开式中的x项为x；所以含x3的项的系数是＋＝20＋10＝30.
法二 （1＋x＋x2）5是5个式子（1＋x＋x2）连乘，欲求含x3＝x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子（1＋x＋x2）中选三个括号提供x，两个括号提供1；或者一个括号提供x，一个括号提供x2，三个括号提供1即可，所以含x3的项的系数是＋＝10＋20＝30.
跟踪训练
1.C 因为（x＋2＋）3＝［］3＝，所以展开式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即＝20.故选C.
2.45 －4 480 解析：因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝（x－2y）8＋（x－2y）7z＋…＋（x－2y）z7＋z8，由二项式定理可知，（x＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋z）连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中选定三个（x－2y＋z）内提供x，在剩下的5个（x－2y＋z）中选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最后两个（x－2y＋z）提供z，则x3y3z2的系数是·（－2）3·＝－4 480.
【例3】 （1）A 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝（7＋1）10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一.
（2）证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1
＝（1010＋×109＋…＋×10＋1）－1
＝1010＋×109＋×108＋…＋102
＝100（108＋×107＋×106＋…＋1）.
故1110－1能被100整除.
跟踪训练
8 解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋119×（－1）＋…＋（－1）10]＋a＝3（1110－119＋…－×11）＋3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所以a＝8.
2 / 2(共34张PPT)
培优课
二项式定理的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 求两个多项式乘积的特定项问题
【例1】 （1）（x2＋1）（2x－ ）6的展开式中常数项为
；
解析： （2x－ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ ·（2x）6－k
（－x－1）k＝（－1）k·26－k x6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，
令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23 ＋22 ＝－160
＋60＝－100.
－
100
（2）（2022·新高考Ⅰ卷13题） （x＋y）8的展开式中x2y6的系
数为 （用数字作答）.
解析： （x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝ x8－ryr，r＝0，
1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝ x2y6，令r＝5，得T5＋1＝
x3y5，所以 （x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 －
＝－28.
－28
通性通法
两个二项式乘积的展开式中特定项问题
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解再相乘，求和即得.
【跟踪训练】
1. 若（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋2y）（x
－y）n的展开式中x2y4的系数为 .
解析：由（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝
32，故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）k x5－kyk，故
x2y4的项为（－1 ＋（－1 2 ，
k1＝4，k2＝3，即（－1）4 x2y4＋（－1）32 x2y4＝－15x2y4.
－15
2. 已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则a
＝ .
解析：（x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝
2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝
（舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开
式中x2的系数为－a 22＝－240，解得a＝4.
4
题型二 三项展开式问题
【例2】 （2024·青岛月考）（1＋x＋x2）5展开式中所有项的系数和
是 ，含x3的项的系数是 .
解析：令x＝1，则所有项的系数和是（1＋1＋12）5＝243；
243
30
法一 因为（1＋x＋x2）5的通项为 （1＋x）5－rx2r（r＝0，1，
2，3，4，5），所以当r＝0时，需求（1＋x）5展开式中的x3项为
x3；当r＝1时，需求（1＋x）4展开式中的x项为 x；所以含x3的项
的系数是 ＋ ＝20＋10＝30.
法二 （1＋x＋x2）5是5个式子（1＋x＋x2）连乘，欲求含x3＝
x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子（1＋x＋x2）中选三个括号
提供x，两个括号提供1；或者一个括号提供x，一个括号提供x2，三
个括号提供1即可，所以含x3的项的系数是 ＋ ＝10＋20
＝30.
通性通法
解决三项展开式问题的方法
【跟踪训练】
1. （x＋2＋ ）3展开式中的常数项为（ ）
A. 6 B. 15
C. 20 D. 28
解析： 因为（x＋2＋ ）3＝［ ］3＝ ，所以
展开式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即 ＝
20.故选C.
2. （x－2y＋z）8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系数
是 .（用数字作答）
解析：因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝ （x－2y）8
＋ （x－2y）7z＋…＋ （x－2y）z7＋ z8，由二项式定理
可知，（x＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展
开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋
z）连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中
选定三个（x－2y＋z）内提供x，在剩下的5个（x－2y＋z）中
选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最后两个（x－2y＋z）
提供z，则x3y3z2的系数是 · （－2）3· ＝－4 480.
45
－4 480
题型三 有关整除或求余数问题
【例3】 （1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期
（ ）
A. 一 B. 二
C. 三 D. 四
解析： 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为
810＝（7＋1）10＝710＋ ×79＋…＋ ×7＋1＝7M＋1
（M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一.
证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1
＝（1010＋ ×109＋…＋ ×10＋1）－1
＝1010＋ ×109＋ ×108＋…＋102
＝100（108＋ ×107＋ ×106＋…＋1）.
故1110－1能被100整除.
（2）用二项式定理证明1110－1能被100整除.
通性通法
整除性问题或求余数问题的处理方法
（1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式；
（2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数
（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项
式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了.
【跟踪训练】
已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值为 .
解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋ 119×（－
1）＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119＋…－ ×11）＋
3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为
0≤a＜11，所以a＝8.
8
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A. 30 B. 20
C. 15 D. 10
解析： 因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝ xk，所以x
（1＋x）6的展开式中含x3的项为 x3＝15x3，所以含x3项的系数
为15.
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2. （x3－2x2＋x）3的展开式中x6的系数为（ ）
A. －1 B. 1
C. －20 D. 20
解析： （x3－2x2＋x）3＝x3（x－1）6，因此所求x6的系数即
为（x－1）6的展开式中x3的系数，由二项式定理知系数为 （－
1）3＝－20.
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3.9192被100除所得的余数为（ ）
A. 1 B. 81
C. －81 D. 992
解析： 9192＝（90＋1）92＝ ×9092＋ ×9091＋…＋
×902＋ ×90＋ .前91项均能被100整除，剩下两项为92×90
＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得
的余数为81.
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4. 在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首
项为－2，公差为3的等差数列的（ ）
A. 第11项 B. 第13项
C. 第18项 D. 第20项
解析： （1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的
系数为 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝55，以－2为首项，3为公
差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an
＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
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5. （ ＋x）（1－ ）4的展开式中x的系数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 12
解析： 根据题意，所给式子的展开式中含x的项，由（1－
）4展开式中的常数项乘（ ＋x）中的x以及（1－ ）4展开
式中的含x2的项乘（ ＋x）中的 两部分合并而成，所以所求系数
为1＋1×2＝3.
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6. （多选）对于二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*），以下判
断正确的有（ ）
A. 存在n∈N*，使展开式中有常数项
B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C. 对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D. 存在n∈N*，使展开式中有x的一次项
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解析： （ ＋ ）n的展开式的通项为Tr＋1＝ ·3r· ，
r＝0，1，2，…，n，（ ＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝ ·x4k
－n，k＝0，1，2，…，n.则二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为 ·3r· · ·x4k－n，未知数x的次数为 ＋4k－n＝－ － ＋4k，令－ － ＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×3× ＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－ － ＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×30×x3× ×x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误.
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7. （ ＋ ＋ ）5（x＞0）的展开式中的常数项为 .
解析：（ ＋ ＋ ）5（x＞0）可化为（ ＋ ）10，因而Tr＋1
＝ ·（ ）10－r·（ ）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开
式中的常数项为 ·（ ）5＝ .
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解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n①.令x＝－
1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n②.①＋②得3n＋1＝2（a0
＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝ .
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9. 若（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ .
解析：（x＋ ）10的展开式的通项为Tr＋1＝ x10－r（ ）r＝
x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为 ；令10－2r
＝6，解得r＝2，所以x6的系数为 ，所以（x2－a）（x＋ ）10
的展开式中x6的系数为 －a ＝30，解得a＝2.
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10. 设 的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝ .
解析：由5＞ ＞ ＝4，得 的整数部分为4，则
＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即 x4＋4 x3＋16 x2
＋64 x＋256 ＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋
16x3＋96x2＋256x＝2.
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11. 求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除.
证明：32n＋2－8n－9
＝（8＋1）n＋1－8n－9
＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋ 8＋ －8n－9
＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋8（n＋1）＋1－8n－9
＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82.
上式中的每一项都含有82，故原式能被64整除.
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12. 已知（ax2＋ ）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项
系数和为－1.
（1）求n和a的值；
解： 由条件可得
解得
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（2）求（2x－1）（ax2＋ ）n的展开式中的常数项.
解： （2x－1）（ax2＋ ）n＝（2x－1）（－2x2＋x
－1）7.
∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝ （－2x2）7－k
（x－1）k＝ （－2）7－kx14－3k.
∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x· （－2）2x－1＝168；
当14－3k＝0，即k＝ 时，舍去.
∴所求的常数项为168.
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13. 当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋ ）n＜3.
证明：（1＋ ）n＝ ＋ × ＋ （ ）2＋…＋ （ ）n＝
1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ ×
＝2＋ × ＋…＋ ×
＜2＋ ＋…＋ ＜2＋ ＋ ＋…＋
＝2＋ ＝3－（ ）n－1＜3.
显然（1＋ ）n＝1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ × ＞2.
所以2＜（1＋ ）n＜3.
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