数学探究 杨辉三角的性质与应用
一、杨辉三角性质的探究
1.结合杨辉三角与二项式（a＋b）n的展开式的二项式系数如图①，发现有如下规律：
且具有如下性质：
（1）第n行的n＋1个数是二项式（a＋b）n的展开式的系数；
（2）当行数n为偶数时，最大；
（3）当行数n为奇数时，和最大.
2.对杨辉三角中的数从不同视角采用圈一圈、连一连、算一算等方法，结合数学探究中的猜想、实验、证明等手段得到各数字之间存在如下性质：
（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即＝，如图②；
（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋；
（3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如图③；
（4）第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，如图④；
（5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（）2＋（）2＋（）2＋…＋（）2＝，如图⑤；
（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即＋＋＋…＋＝，如图⑥.
二、杨辉三角性质的应用
【例】 如图称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一.
杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数.
（1）求杨辉三角中第10行的各数之和；
（2）求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和.
通性通法
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
【跟踪训练】
1.在杨辉三角中，除每行两边的数都是1外，其余每一个数都是它“肩上”两个数的和，它的开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
A.58 B.62
C.63 D.64
2.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项式系数的规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}，则a14＝ ；若数列{an}的前n项和为Sn，则S67＝ .
数学探究 杨辉三角的性质与应用
【例】 解：（1）杨辉三角中第10行的各数之和为＋＋＋…＋＝210＝1 024.
（2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为
＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋
＝…＝＋＝＝＝560.
跟踪训练
1.B 根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项，，满足＝且＝，化简得＝且＝，解得k＝27，n＝62，故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.
2.4 2 048 解析：由题意可得a14＝4.由杨辉三角可知，行数与该行的项数相等，则第k行最后一项在数列{an}中的项数为.设a67位于第k（k∈N*）行，则＜67≤，解得k＝12，且第11行最后一项在数列{an}中的项数为＝66，∴a67位于杨辉三角的第12行第1个，而第一行各项的和为20＝1，第二行各项的和为21＝2，第三行各项的和为22＝4，依此类推，第k行各项的和为2k－1，∴S67＝（20＋21＋22＋…＋210）＋＝＋1＝211＝2 048.
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数学探究
杨辉三角的性质与应用
一、杨辉三角性质的探究
1. 结合杨辉三角与二项式（a＋b）n的展开式的二项式系数如图①，
发现有如下规律：
（2）当行数n为偶数时， 最大；
（3）当行数n为奇数时， 和 最大.
且具有如下性质：
（1）第n行的n＋1个数是二项式（a＋b）n的展开式的系数；
2. 对杨辉三角中的数从不同视角采用圈一圈、连一连、算一算等方
法，结合数学探究中的猜想、实验、证明等手段得到各数字之间存
在如下性质：
（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即 ＝
，如图②；
（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即 ＝ ＋
；
（3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即 ＋ ＋ ＋…
＝ ＋ ＋ ＋…，如图③；
（4）第n行数的和为2n，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n，如图
④；
（5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（ ）2＋
（ ）2＋（ ）2＋…＋（ ）2＝ ，如图⑤；
（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等
于最后一个数斜右下方的那个数，即 ＋ ＋ ＋…
＋ ＝ ，如图⑥.
二、杨辉三角性质的应用
【例】 如图称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排
列，是我国古代数学伟大成就之一.
杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3
个数，…，第10行有11个数.
（1）求杨辉三角中第10行的各数之和；
解： 杨辉三角中第10行的各数之和
为 ＋ ＋ ＋…＋ ＝210＝1
024.
（2）求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和.
解： 杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋
＝…＝ ＋ ＝ ＝ ＝560.
通性通法
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
【跟踪训练】
1. 在杨辉三角中，除每行两边的数都是1外，其余每一个数都是它
“肩上”两个数的和，它的开头几行如图所示，那么在杨辉三角中
出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
A. 58
B. 62
C. 63
D. 64
解析： 根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得
连续三项 ， ， 满足 ＝ 且 ＝ ，化简得
＝ 且 ＝ ，解得k＝27，n＝62，故第62行会出现满足条件的
三个相邻的数.
2. 我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示
的三角形解释二项式系数的规律，现把杨辉三角中的数从上到下，
从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，
1，4，6，4，1，…，记作数列{an}，则a14＝ ；若数列{an}
的前n项和为Sn，则S67＝ .
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解析：由题意可得a14＝4.由杨辉三角可知，行数与该行的项数相
等，则第k行最后一项在数列{an}中的项数为 .设a67位于
第k（k∈N*）行，则 ＜67≤ ，解得k＝12，且
第11行最后一项在数列{an}中的项数为 ＝66，∴a67位于杨辉
三角的第12行第1个，而第一行各项的和为20＝1，第二行各项的和
为21＝2，第三行各项的和为22＝4，依此类推，第k行各项的和为
2k－1，∴S67＝（20＋21＋22＋…＋210）＋ ＝ ＋1＝211＝
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