一、两个计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还要考虑步与步之间的连贯性.
【例1】 （1）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米跑、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A.（34，34） B.（43，34）
C.（34，43） D.（，）
（2）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色.如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法共有 种.
反思感悟
应用两个计数原理计数的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么；
（2）思考如何完成这件事；
（3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类；
（4）选择计数原理进行计算.
【跟踪训练】
（2024·驻马店一中月考）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999；则
（1）4位“回文数”有 个；
（2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有 个.
二、排列与组合
排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合问题常用的方法有：（1）合理分类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排除；（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序.
【例2】 （1）（多选）某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是（ ）
A.若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序
B.若女生甲在女生乙的前面，则有2 520种不同的出场顺序
C.若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序
D.若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序
（2）暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中A营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有 种.
反思感悟
解决排列、组合问题的注意点
（1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与“不邻”通常采用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部的排列，插空法要注意与“相间排列”的区别；
（2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素的组合问题常采用直接法和间接法，一般来说用直接法分类复杂时，用间接法处理，即正难则反.
【跟踪训练】
一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有 种.
三、二项式定理
二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于解决二项式相应展开式中项的系数问题.
【例3】 （1）在（－1＋）（1＋）6的展开式中，的系数为（ ）
A.－60 B.60
C.－80 D.80
（2）在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），若f（3，2，2）＝，则a的值为 .
反思感悟
1.处理几个多项式的和、积的展开式或三项式甚至多项式特定项问题，都是转化为二项式问题，体现了转化与化归的数学思想.
2.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切数值都成立.因此，可以将a，b设定为一些特殊值，在使用赋值法时，令a，b取何值，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.
【跟踪训练】
已知二项式（a－2x）7＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a7（x－1）7，其中a＞0，且此二项式的x3项的系数是－22 680.则实数a＝ ；（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ （结果可保留幂的形式）.
章末复习与总结
【例1】 （1）C （2）420 解析：（1）每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军，根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果.故选C.
（2）以S→A→B→C→D的顺序分步染色.第1步，对S点染色，有5种方法.第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法.第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法.第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（3＋2×2）＝420种.
跟踪训练
（1）90 （2）9×10n 解析：（1）4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个数数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位“回文数”有9×10＝90（个）.
（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2，3，4，…，n，n＋1位数字，共有10×10×10×…×10＝10n（种）选法，故2n＋1（n∈N*）位“回文数”有9×10n个.
【例2】 （1）BCD （2）160
解析：（1）若3个女生不相邻，则有＝1 440种不同的出场顺序，A错误；若女生甲在女生乙的前面，则有＝2 520种不同的出场顺序，B正确；若4位男生相邻，则有＝576种不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再增加两个教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形成8个空，插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学生节目和刚插入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教师节目，有9种情况，所以这两位教师共有8×9＝72种不同的出场顺序，D正确.故选B、C、D.
（2）间接法：N＝－－＝160.
跟踪训练
35 解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ 表示灯亮；○表示灯灭）
○ ○ ○ ○
再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有＝5种方法；若分成两组，有＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有＝10种方法，所以共有35种方法.
【例3】 （1）C （2）
解析：（1）∵（1＋）6展开式的通项为Tr＋1＝（）r＝2r··，∴原式的展开式中含的项为（－1）×24·＋×23·＝－，∴的系数为－80.故选C.
（2）因为在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），所以xmynzk项的系数f（m，n，k）＝am（－1）n，即f（m，n，k）＝（－1）nam，由f（3，2，2）＝，可得（－1）2a3＝，即35×6a3＝，所以a＝.
跟踪训练
3 解析：二项式（a－2x）7的展开式中含x3的项为a4（－2x）3＝－280a4x3，∴－280a4＝－22 680，则a4＝81，又a＞0，解得a＝3.∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7（x－1）7.令x＝2，则a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x＝0，则a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可得：a0＋a2＋a4＋a6＝；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝.∴（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝×＝.
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章末复习与总结
一、两个计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，
在进行计数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此
在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还
要考虑步与步之间的连贯性.
【例1】 （1）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方
案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米跑、跳远、铅球3项比
赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ C ）
A. （34，34） B. （43，34）
C. （34，43）
C
解析： 每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军，根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果.故选C.
（2）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色.如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法共有 种.
420
解析： 以S→A→B→C→D的顺序分步染色.第1步，对S点染色，有5种方法.第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法.第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法.第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（3＋2×2）＝420种.
反思感悟
应用两个计数原理计数的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么；
（2）思考如何完成这件事；
（3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后
分类；
（4）选择计数原理进行计算.
【跟踪训练】
（2024·驻马店一中月考）“回文数”是指从左到右与从右到左读都
一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9
个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111，
121，…，191，202，…，999；则
（1）4位“回文数”有 个；
解析： 4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个
位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个数数字，共有9种
选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位“回文
数”有9×10＝90（个）.
90
（2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有 个.
解析： 第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二
步，分别选左边第2，3，4，…，n，n＋1位数字，共有
10×10×10×…×10＝10n（种）选法，故2n＋1（n∈N*）位
“回文数”有9×10n个.
9×10n
二、排列与组合
排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着
举足轻重的作用，解决排列与组合问题常用的方法有：（1）合理分
类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排
除；（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）
均分除序，定序除序.
【例2】 （1）（多选）某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3
名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的
是（ BCD ）
BCD
A. 若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序
B. 若女生甲在女生乙的前面，则有2 520种不同的出场顺序
C. 若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序
D. 若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同
的出场顺序
解析： 若3个女生不相邻，则有 ＝1 440种不同的出场
顺序，A错误；若女生甲在女生乙的前面，则有 ＝2 520种
不同的出场顺序，B正确；若4位男生相邻，则有 ＝576种
不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再增加两个
教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形成8个空，
插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学生节目和刚插
入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教师节目，有9种情
况，所以这两位教师共有8×9＝72种不同的出场顺序，D正确.
故选B、C、D.
（2）暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个
夏令营，其中A营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛
不能在同一夏令营，则不同的安排方案有 种.
160
解析：间接法：N＝ － － ＝160.
反思感悟
解决排列、组合问题的注意点
（1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特
殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与
“不邻”通常采用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部
的排列，插空法要注意与“相间排列”的区别；
（2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些
元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔
除，再从剩下的元素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素
的组合问题常采用直接法和间接法，一般来说用直接法分类复
杂时，用间接法处理，即正难则反.
【跟踪训练】
一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路
灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两
个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有 种.
35
解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ 表示灯亮；○表示
灯灭）
○ ○ ○ ○
再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有 ＝5种方法；若
分成两组，有 ＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有 ＝10
种方法，所以共有35种方法.
三、二项式定理
二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证
明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于解决二项式相应
展开式中项的系数问题.
【例3】 （1）在（－1＋ ）（1＋ ）6的展开式中， 的系数为
（ C ）
A. －60 B. 60
C. －80 D. 80
C
解析： ∵（1＋ ）6展开式的通项为Tr＋1＝ （ ）r＝
2r· · ，∴原式的展开式中含 的项为（－1）×24 · ＋
×23 · ＝－ ，∴ 的系数为－80.故选C.
（2）在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，
n，k），若f（3，2，2）＝ ，则a的值为 .
解析： 因为在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的
系数为f（m，n，k），所以xmynzk项的系数f（m，n，k）＝
am （－1）n ，即f（m，n，k）＝（－1）n
am ，由f（3，2，2）＝ ，可得（－1）2
a3 ＝ ，即35×6a3＝ ，所以a＝ .
反思感悟
1. 处理几个多项式的和、积的展开式或三项式甚至多项式特定项问
题，都是转化为二项式问题，体现了转化与化归的数学思想.
2. 二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切数值都成
立.因此，可以将a，b设定为一些特殊值，在使用赋值法时，令
a，b取何值，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时
也取其他值.
3
解析：二项式（a－2x）7的展开式中含x3的项为 a4（－2x）3＝－
280a4x3，∴－280a4＝－22 680，则a4＝81，又a＞0，解得a＝3.
∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7（x－
1）7.令x＝2，则a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x＝0，则
a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可得：a0＋a2＋
a4＋a6＝ ；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝ .∴（a0＋a2
＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ × ＝ .
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