章末检测（六） 计数原理
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图所示，由电键组A、B组成的串联电路中，要接通电源使电灯发光的方法有（ ）
A.4种 B.5种
C.6种 D.7种
2.在（a＋b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
3.用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为（ ）
A.24 B.46
C.48 D.120
4.若＝18，则m＝（ ）
A.9 B.8
C.7 D.6
5.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（ ）
A. B.
C. D.
6.在（x2＋3x＋2）5的展开式中x的系数为（ ）
A.140 B.240
C.360 D.800
7.对任意的实数x，x6＝a0＋a1（x－2）1＋a2（x－2）2＋…＋a6（x－2）6，则a2＝（ ）
A.60 B.120
C.240 D.480
8.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b（modm），比如：35≡25（mod10）.已知：n＝－10＋102－103＋…＋1010，满足n≡p（mod7），则p可以是（ ）
A.26 B.31
C.32 D.37
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列问题属于排列问题的是（ ）
A.从10人中选2人分别去种树和扫地
B.从10人中选2人去扫地
C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算
10.带有编号1，2，3，4，5的五个球，则下列说法正确的是（ ）
A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法
B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有·种放法
D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有·种不同的放法
11.二项式（x－）8的展开式中x2的系数是－7，则下列选项正确的是（ ）
A.a＝
B.展开式中含x6项的系数是－4
C.展开式中含x－1项
D.展开式中常数项为40
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若＝（n∈N*），则n＝ .
13.第33届夏季奥运会预计于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个
项目仅能由A，B两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有 种.
14.已知（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，其中a0，a1，a2，…，a50∈R，若ak＜0，k∈{0，1，2，…，50}，则实数k的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知（－）n的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等.
（1）求n；
（2）求展开式中含x的项的系数.
16.（本小题满分15分）有2名男生和3名女生排队，按下列要求各有多少种排法，依题意列式作答：
（1）若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
（2）若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.
17.（本小题满分15分）在（3x－2y）20的展开式中，求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数绝对值最大的项.
18.（本小题满分17分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：
乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票价（元） 3 5 7
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
19.（本小题满分17分）已知f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*）.
（1）当n＝3时，求f（x）的展开式中含x3项的系数；
（2）证明：f（x）的展开式中含xn项的系数为（n＋1）；
（3）定义：ai＝a1＋a2＋…＋an，化简：（i＋1）.
章末检测（六） 计数原理
1.C 要想通电，则需满足电路通畅，则并联电路中，至少有一个键闭合，利用分步乘法计数原理，可得共有2×3＝6种方法.故选C.
2.B 因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故＋1＝4，即n＝6.
3.D 完成这件事需要分三步：第一步：确定百位数，有6种方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120（个）三位数，所以这个数列的项数为120.故选D.
4.D 由＝m（m－1）（m－2）（m－3）＝18·，且m≥4，m∈N*，得m－3＝3，m＝6.
5.B 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；第二步，从6名女选手中选出2名且与已选好的男选手配对，有种.故有种.
6.B 由（x2＋3x＋2）5＝（x＋1）5（x＋2）5，知（x＋1）5的展开式中x的系数为，常数项为1，（x＋2）5的展开式中x的系数为·24，常数项为25.因此原式中x的系数为·25＋·24＝240.
7.C ∵x6＝[（x－2）＋2]6＝（x－2）6＋（x－2）5·2＋（x－2）4·22＋（x－2）3·23＋（x－2）2·24＋（x－2）1·25＋·26，∴a2＝·24＝240.故选C.
8.D 因为n＝－10＋102－103＋…＋1010＝（1－10）10＝（7＋2）10，而n＝（7＋2）10＝·710＋·79·2＋…＋·7·29＋·210，因此n除以7的余数为·210＝1 024除以7的余数2，而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题意，37除以7的余数为2，即D满足.故选D.
9.AD 对于A，从10人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题.
10.ACD 五个球投入4个不同的盒子里共有45种放法，A选项对，若要放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有·种放法，B选项错，D选项对，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有·种放法，C选项对，故选A、C、D.
11.AB 二项式（x－）8的展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－r（－）r＝（－a）rx8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所以展开式中x2的系数（－a）3＝－7，解得a＝，故A正确；二项式（x－）8即为（x－）8，展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－2r.令8－2r＝6，解得r＝1，所以展开式中含x6项的系数是－＝－4，故B正确；令8－2r＝－1，解得r＝，不为整数，故展开式中不含x－1项，故C错误；令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式中常数项为（－）4＝，故D错误.故选A、B.
12.4 解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得n＝－4（舍去）或n＝4.
13.300 解析：首先电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地举办，且各自承办其中一项有＝2种安排；再次5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则有＋＝150种，故总数为2×150＝300种不同的安排方法.
14.23 解析：因为（1＋2 024x）50的展开式中xk的系数为·2 024k，（2 024－x）50的展开式中xk的系数为2 02450－k（－1）k，所以（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50的展开式中xk的系数为2 024k＋2 02450－k（－1）k＝2 024k[1＋2 02450－2k·（－1）k]，k＝0，1，2，…，50.要使ak＜0，则k为奇数，且2 02450－2k＞1，所以50－2k＞0，则k＜25，则k的最大值为23.
15.解：（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得＝，解得n＝11.
（2）由（1）知，展开式的第r＋1项为Tr＋1＝（）11－r（－）r＝（－2）r，令＝1，得r＝3，此时T3＋1＝（－2）3x＝－1 320x.所以展开式中含x的项的系数为－1 320.
16.解：（1）先将3名女生进行排列，有＝6种情况，再将2名男生插空，有＝12种情况，故2名男同学不相邻，共有6×12＝72种排法.
（2）先将两名男生进行排列，有＝2种情况，再选出1名女生放在男同学中间，有＝3种情况，将两名男同学和这名女同学看成一个整体和剩余的2名女同学进行全排列，共有＝6种情况，故若2名男同学中间必须有1人，共有2×3×6＝36种排法.
17.解：（1）二项式（3x－2y）20的展开式有21项，展开式的通项为Tk＋1＝（3x）20－k（－2y）k，
其二项式系数最大的项为第11项，T11＝·（3x）10·（－2y）10＝·610·x10y10.
（2）设系数绝对值最大的项是第k＋1（k∈N*）项，
则
即解得7≤k≤8，
所以k＝8，系数绝对值最大的项为T9＝·312·28·x12·y8.
18.解：（1）若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有＝24（种），
故甲、乙下地铁的方案共有24种.
（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有＝15（种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：
①甲P4站下，乙下地铁方式有种；②甲P5站下，乙下地铁方式有种；③甲P6站下，乙只能从P7下地铁，共有1种方式，共有＋＋1＝6（种），
依据分类加法计数原理，得15＋6＝21（种），
故甲比乙先下地铁的方案共有21种.
19.解：（1）当n＝3时，f（x）＝（1＋x）4＋2（1＋x）5＋3（1＋x）6，
∴f（x）的展开式中含x3项的系数为＋2＋3＝84.
（2）证明：∵f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*），
故f（x）的展开式中含xn项的系数为＋2＋3＋…＋n＝＋2＋3＋…＋n.
∵k＝k＝
＝（n＋1）＝（n＋1），
（3）（i＋1）＝2＋3＋…＋n＋（n＋1），①
（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2， ②
在①②中分别添加，则得1＋（i＋1）＝＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）， ③
1＋（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2＋， ④
③＋④得2（1＋（i＋1））＝（n＋2）（＋＋＋…＋＋）＝（n＋2）2n，
∴（i＋1）＝（n＋2）2n－1－1.
1 / 3(共34张PPT)
章末检测（六）
计数原理
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图所示，由电键组A、B组成的串联电路中，要接通电源使电灯
发光的方法有（ ）
A. 4种 B. 5种
C. 6种 D. 7种
解析： 要想通电，则需满足电路通畅，则并联电路中，至少有
一个键闭合，利用分步乘法计数原理，可得共有2×3＝6种方法.故
选C.
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2. 在（a＋b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝
（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故 ＋1
＝4，即n＝6.
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3. 用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大
排成一个数列，这个数列的项数为（ ）
A. 24 B. 46
C. 48 D. 120
解析： 完成这件事需要分三步：第一步：确定百位数，有6种
方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数，
有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120（个）三位
数，所以这个数列的项数为120.故选D.
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4. 若 ＝18 ，则m＝（ ）
A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
解析： 由 ＝m（m－1）（m－2）（m－3）＝
18· ，且m≥4，m∈N*，得m－3＝3，m＝6.
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5. 从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组
合方法种数为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有 种方法；
第二步，从6名女选手中选出2名且与已选好的男选手配对，有
种.故有 种.
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6. 在（x2＋3x＋2）5的展开式中x的系数为（ ）
A. 140 B. 240
C. 360 D. 800
解析： 由（x2＋3x＋2）5＝（x＋1）5（x＋2）5，知（x＋1）
5的展开式中x的系数为 ，常数项为1，（x＋2）5的展开式中x
的系数为 ·24，常数项为25.因此原式中x的系数为 ·25＋ ·24
＝240.
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7. 对任意的实数x，x6＝a0＋a1（x－2）1＋a2（x－2）2＋…＋a6
（x－2）6，则a2＝（ ）
A. 60 B. 120
C. 240 D. 480
解析： ∵x6＝[（x－2）＋2]6＝ （x－2）6＋ （x－2）
5·2＋ （x－2）4·22＋ （x－2）3·23＋ （x－2）2·24＋
（x－2）1·25＋ ·26，∴a2＝ ·24＝240.故选C.
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8. 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，
则称a，b对于模m同余，记作a≡b（modm），比如：35≡25
（mod10）.已知：n＝ － 10＋ 102－ 103＋…＋
1010，满足n≡p（mod7），则p可以是（ ）
A. 26 B. 31
C. 32 D. 37
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解析： 因为n＝ － 10＋ 102－ 103＋…＋ 1010
＝（1－10）10＝（7＋2）10，而n＝（7＋2）10＝ ·710＋ ·79·2
＋…＋ ·7·29＋ ·210，因此n除以7的余数为 ·210＝1 024除
以7的余数2，而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题
意，37除以7的余数为2，即D满足.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列问题属于排列问题的是（ ）
A. 从10人中选2人分别去种树和扫地
B. 从10人中选2人去扫地
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算
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解析： 对于A，从10人中选2人分别去种树和扫地，选出的2
人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10人中选2人去扫地，
与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组
成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6，
7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一
样，是排列问题.
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10. 带有编号1，2，3，4，5的五个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 · 种放法
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有 · 种不同的放法
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解析： 五个球投入4个不同的盒子里共有45种放法，A选项
对，若要放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 · 种放
法，B选项错，D选项对，将其中的4个球投入4个盒子里的一个
（另一个球不投入），共有 · 种放法，C选项对，故选A、
C、D.
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11. 二项式（x－ ）8的展开式中x2的系数是－7，则下列选项正确的
是（ ）
A. a＝
B. 展开式中含x6项的系数是－4
C. 展开式中含x－1项
D. 展开式中常数项为40
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解析： 二项式（x－ ）8的展开式的通项公式为Tr＋1＝
x8－r（－ ）r＝（－a）r x8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所
以展开式中x2的系数（－a）3 ＝－7，解得a＝ ，故A正
确；二项式（x－ ）8即为（x－ ）8，展开式的通项公式为Tr
＋1＝ x8－2r.令8－2r＝6，解得r＝1，所以展开式中含
x6项的系数是－ ＝－4，故B正确；令8－2r＝－1，解得r
＝ ，不为整数，故展开式中不含x－1项，故C错误；令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式中常数项为（－ ）4 ＝ ，故D错误.故选A、B.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 若 ＝ （n∈N*），则n＝ .
解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得
n＝－4（舍去）或n＝4.
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13. 第33届夏季奥运会预计于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举
办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5
个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担竞赛项目与表演项
目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地承办，
且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A，B，C三个场地承
办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法
有 种.
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解析：首先电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地举办，
且各自承办其中一项有 ＝2种安排；再次5个表演项目分别
由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项
目，则有 ＋ ＝150种，故总数为2×150＝300种
不同的安排方法.
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14. 已知（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋
a50x50，其中a0，a1，a2，…，a50∈R，若ak＜0，k∈{0，1，
2，…，50}，则实数k的最大值为 .
解析：因为（1＋2 024x）50的展开式中xk的系数为 ·2 024k，
（2 024－x）50的展开式中xk的系数为 2 02450－k（－1）k，所
以（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50的展开式中xk的系数为 2
024k＋ 2 02450－k（－1）k＝ 2 024k[1＋2 02450－2k·（－1）
k]，k＝0，1，2，…，50.要使ak＜0，则k为奇数，且2 02450－2k
＞1，所以50－2k＞0，则k＜25，则k的最大值为23.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知（ － ）n的展开式中，第4项和第9
项的二项式系数相等.
（1）求n；
解： 由第4项和第9项的二项式系数相等可得 ＝
，解得n＝11.
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（2）求展开式中含x的项的系数.
解： 由（1）知，展开式的第r＋1项为Tr＋1＝
（ ）11－r（－ ）r＝（－2）r ，令 ＝1，
得r＝3，此时T3＋1＝（－2）3 x＝－1 320x.所以展开式
中含x的项的系数为－1 320.
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16. （本小题满分15分）有2名男生和3名女生排队，按下列要求各有
多少种排法，依题意列式作答：
（1）若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
解： 先将3名女生进行排列，有 ＝6种情况，再将2
名男生插空，有 ＝12种情况，故2名男同学不相邻，共有
6×12＝72种排法.
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（2）若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.
解： 先将两名男生进行排列，有 ＝2种情况，再选
出1名女生放在男同学中间，有 ＝3种情况，将两名男同
学和这名女同学看成一个整体和剩余的2名女同学进行全排
列，共有 ＝6种情况，故若2名男同学中间必须有1人，共
有2×3×6＝36种排法.
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17. （本小题满分15分）在（3x－2y）20的展开式中，求：
（1）二项式系数最大的项；
解： 二项式（3x－2y）20的展开式有21项，展开式的
通项为Tk＋1＝ （3x）20－k（－2y）k，
其二项式系数最大的项为第11项，T11＝ ·（3x）10·（－
2y）10＝ ·610·x10y10.
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（2）系数绝对值最大的项.
解： 设系数绝对值最大的项是第k＋1（k∈N*）项，
则
即解得7 ≤k≤8 ，
所以k＝8，系数绝对值最大的项为T9＝ ·312·28·x12·y8.
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18. （本小题满分17分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定
按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地
铁票价如下表：
乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票价（元） 3 5 7
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘
坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是
相同的.
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（1）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多
少种？
解： 若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁
站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7
站，共有 ＝24（种），
故甲、乙下地铁的方案共有24种.
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（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有
多少种？
解： 若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有 ＝15（种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：
①甲P4站下，乙下地铁方式有 种；②甲P5站下，乙下地铁方式有 种；③甲P6站下，乙只能从P7下地铁，共有1种方式，共有 ＋ ＋1＝6（种），
依据分类加法计数原理，得15＋6＝21（种），故甲比乙先下地铁的方案共有21种.
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19. （本小题满分17分）已知f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2
＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*）.
（1）当n＝3时，求f（x）的展开式中含x3项的系数；
解： 当n＝3时，f（x）＝（1＋x）4＋2（1＋x）5＋3
（1＋x）6，
∴f（x）的展开式中含x3项的系数为 ＋2 ＋3 ＝84.
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（2）证明：f（x）的展开式中含xn项的系数为（n＋1） ；
解： 证明：∵f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2
＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*），
故f（x）的展开式中含xn项的系数为 ＋2 ＋3
＋…＋n ＝ ＋2 ＋3 ＋…＋n .
∵k ＝k ＝
＝（n＋1） ＝（n＋1） ，
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（3）定义： ai＝a1＋a2＋…＋an，化简： （i＋1） .
解： （i＋1） ＝2 ＋3 ＋…＋n ＋（n
＋1） ， ①
（i＋1） ＝（n＋1） ＋n ＋…＋3 ＋
2 ， ②
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在①②中分别添加 ，则得1＋ （i＋1） ＝ ＋2
＋3 ＋…＋n ＋（n＋1） ， ③
1＋ （i＋1） ＝（n＋1） ＋n ＋…＋3 ＋
2 ＋ ， ④
③＋④得2（1＋ （i＋1） ）＝（n＋2）（ ＋ ＋
＋…＋ ＋ ）＝（n＋2）2n，
∴ （i＋1） ＝（n＋2）2n－1－1.
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