第2课时 条件概率的性质及应用
1.若B，C是互斥事件且P（B｜A）＝，P（C｜A）＝，则P（B∪C｜A）＝（ ）
A. B.
C. D.
2.设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P（B｜A）＝0.3，则P（A｜B）＝（ ）
A.0.24 B.0.375
C.0.4 D.0.5
3.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么他两次均击中9环的概率为（ ）
A.0.24 B.0.36
C.0.48 D.0.75
4.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A.事件A发生的概率
B.事件B发生的概率
C.事件B不发生条件下事件A发生的概率
D.事件A，B同时发生的概率
5. （多选）已知事件A，B满足P（A）＝，P（B｜A）＝，P（｜）＝，则（ ）
A.P（AB）＝ B.P（｜A）＝
C.P（B｜）＝ D.P（B）＝
6.（多选）已知事件A，B满足P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，则下列选项正确的是（ ）
A.若B A，则P（AB）＝0.4
B.若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.7
C.若A与B相互独立，则P（AB）＝0.4
D.若P（B｜A）＝0.3，则A与B相互独立
7.已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，且合格率是95%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 .
8.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件B＝“甲和乙选择的景点不同”，则P（｜A）＝ .
9.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝ .
10.某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；
（2）甲没中奖而且乙中奖的概率.
11.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）若，分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论正确的是（ ）
A.P（B｜A）＋P（B｜）＝1B.P（｜B）P（B）＝P（B｜）P（）
C.P（A｜B）＋P（｜B）＝P（B）D.若P（A｜B）＝P（A），则P（B｜A）＝P（B）
13.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过，能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀成绩的概率为 .
14.抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.
（1）向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？
（2）向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？
15.近年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，r，其中r≥3），约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余r－1个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r－1个外卖店取单.设事件Ak表示“第k次取单恰好是从1号店取单（k∈N*）”，P（Ak）是事件Ak发生的概率，显然P（A1）＝1，P（A2）＝0，则P（A3）＝ ，P（）与P（Ak）的关系式为 .
16.从装有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，6.
（1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
（2）记P（A1A2A3）表示A1，A2，A3同时发生的概率，P（A3｜A1A2）表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.
①证明：P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）；
②求P（A3）.
第2课时 条件概率的性质及应用
1.D 因为B，C是互斥事件，所以P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝.
2.B 由P（A）＝0.5，P（B｜A）＝0.3，得P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝0.15，所以P（A｜B）＝＝＝0.375.
3.C 设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，则由题意得P（A）＝0.6，P（B｜A）＝0.8，所以他两次均击中9环的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.6×0.8＝0.48.
4.A 由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为：P（A｜B）P（B）＋[1－P（B）]·P（A｜）＝P（AB）＋P（）P（A｜）＝P（AB）＋P（A）＝P（A）.故选A.
5.ACD 对于A选项，P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝，所以A选项正确；对于B选项，P（｜A）＝1－P（B｜A）＝，所以B选项错误；对于C选项，P（B｜）＝1－P（｜）＝，所以C选项正确；对于D选项，P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B｜），P（B）＝＋×＝，所以D选项正确.故选A、C、D.
6.BD 对于A，因为P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，B A，所以P（AB）＝P（B）＝0.3，故A错误；对于B，因为A与B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.7，B正确；对于C，因为A与B相互独立，所以P（AB）＝0.4×0.3＝0.12，故C错误；对于D，因为P（B｜A）＝0.3，即＝0.3，所以P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.12，又因为P（B）P（A）＝0.12，所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以A与B相互独立，故D正确.故选B、D.
7.0.665 解析：记事件A＝“甲厂产品”，事件B＝“合格产品”，则P（A）＝0.7，P（B｜A）＝0.95.所以P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝0.7×0.95＝0.665.
8. 解析：由题意知，因为n（A）＝·＋1＝7，n（AB）＝6，所以P（｜A）＝1－P（B｜A）＝1－＝1－＝.
9. 解析：∵P（A）＝，P（B｜A）＝，∴P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝，∵P（B｜）＝，∴P（B）＝P（）P（B｜），∴P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B｜），即P（B）－＝（1－）×，解得P（B）＝.
10.解：（1）设A：甲中奖，B：乙中奖，则P（A）＝＝.
因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P（B｜A）＝.
根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为
P（BA）＝P（A）P（B｜A）＝×＝.
（2）因为P（A）＋P（）＝1，所以P（）＝.
因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P（B｜）＝.
根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为
P（B）＝P（）P（B｜）＝×＝.
11.D 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥.又P（A）＝＝，P（AB）＝＝，P（AC）＝＝，故P（D｜A）＝P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝＋＝.
12.BD 对于A，因为P（B｜A）＋P（｜A）＝＋＝＝＝1，但P（B｜）与P（｜A）不一定相等，故P（B｜A）＋P（B｜）不一定等于1，A错；对于B，因为P（｜B）P（B）＝P（B），P（B｜）·P（）＝P（B），所以P（｜B）P（B）＝P（B｜）P（），B对；对于C，P（A｜B）＋P（｜B）＝＋＝＝1，C错；对于D，因为P（A｜B）＝＝P（A），所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A，B相互独立，故P（B｜A）＝＝P（B），D对.故选B、D.
13. 解析：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.由古典概型的概率公式及加法公式可知P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋＝，又P（AD）＝P（A），P（BD）＝P（B），所以P（E｜D）＝P（A∪B｜D）＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝＋＝＋＝.故所求的概率为.
14.解：（1）记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”，则P（B）＝＝，P（AB）＝＝，
所以P（A｜B）＝＝.
（2）记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”.
因为P（N）＝＝，P（M4N）＝＝，P（M6N）＝＝，
所以P（M｜N）＝P（M4∪M6｜N）＝P（M4｜N）＋P（M6｜N）＝＋＝＋＝.
15. P（Ak＋1）＝[1－P（Ak）] 解析：根据题意，事件A3表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，因此P（A3）＝P（A3）＝P（）·P（A3｜）＝[1－P（A2）]＝；同理P（Ak＋1）＝P（Ak＋1）＝P（）P（Ak＋1｜）＝[1－P（Ak）]·P（Ak＋1｜）＝[1－P（Ak）].
16.解：（1）P（A2｜）＝＝＝，所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率为.
（2）①证明：因为P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2），
又因为P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1），
所以P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2），
即P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）.
②P（A3）＝P（A1A2A3）＋P（A2A3）＋P（A1A3）＋P（A3）
＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）＋P（）P（A2｜）P（A3｜A2）＋P（A1）P（｜A1）P（A3｜A1）＋P（）P（｜）P（A3｜）
＝××＋××＋××＋××＝＝.
2 / 2第2课时 条件概率的性质及应用
新课程标准解读 核心素养
1.掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实际问题 数学抽象、数学运算
2.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥（对立）事件的条件概率 数学抽象、数学运算
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”.
【问题】 （1）事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？
（2）P（AB）、P（B｜A）与P（B）、P（A）有什么关系？
知识点一 概率的乘法公式
对任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）＝ .
提醒 （1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB）中，样本空间为所有事件的总和；（2）当P（B｜A）＝P（B）时，事件A与事件B是相互独立事件.
知识点二 条件概率的性质
设P（A）＞0，则
（1）P（Ω｜A）＝ ；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝ ；
（3）设和B互为对立事件，则P（｜A）＝ .
提醒 （1）A与B互斥，即A，B不同时发生，则P（AB）＝0，故P（B｜A）＝0；（2）互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）P（B｜A）＜P（AB）.（ ）
（2）对任意两个事件A与B，必有P（AB）＝P（A）·P（B｜A）.（ ）
（3）P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）.（ ）
2.已知P（A）＝0.3，P（B｜A）＝0.6，且事件A与B相互独立，则P（AB）＝ .
3.某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 .
题型一 概率的乘法公式
【例1】 （1）某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）
A. B.
C. D.
（2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则该产品的一等品率是 .
通性通法
应用乘法公式求概率的一般步骤
概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直接计算P（AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率：
（1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0；
（2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或P（B）、P（A｜B）；
（3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝P（B）P（A｜B）求解.
【跟踪训练】
1.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 .
题型二 条件概率性质的应用
【例2】 在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
通性通法
应用条件概率的性质解题的方法
在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若B与C互斥，那么P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A），此公式可推广到多个事件互斥的情况.
【跟踪训练】
1.设A，B是两个随机事件，已知0＜P（A）＜1，P（B）＞0且P（B｜A）＝P（B｜），则下列结论中一定成立的是（ ）
A.P（A｜B）＝P（｜B）
B.P（A｜B）≠P（｜B）
C.P（AB）＝P（A）P（B）
D.P（AB）≠P（A）P（B）
2.某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为 .
题型三 与条件概率公式有关的证明问题
【例3】 当0＜P（A）＜1时，求证：P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜）＝P（B）.
通性通法
利用事件A与事件B相互独立的定义P（AB）＝P（A）P（B）及条件概率的性质进行转化变形、推理论证，这里要注意互斥事件、对立事件及相互独立事件的区别.
【跟踪训练】
已知与的比值为R.证明：R＝·.
1.已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A｜B）＝（ ）
A.0.24 B.0.8
C.0.3 D.0.16
2.某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为（ ）
A.99.02% B.98.02%
C.1.98% D.0.98%
3.已知事件A和B是互斥事件，P（C）＝，P（BC）＝，P（A∪B｜C）＝，则P（A｜C）＝ .
提示：完成课后作业 第七章 7.1 7.1.1 第2课时
7.1.2 全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率 数学抽象、数学运算
2.了解贝叶斯公式，并会简单应用 数学抽象、数学运算
有三个罐子，1号装有2个红球1个黑球，2号装有3个红球1个黑球，3号装有2个红球2个黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球.
【问题】 如何求取得红球的概率？
知识点一 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P（B）＝ .称为全概率公式.
提醒 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）P（B｜An）.
知识点二 *贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝＝，i＝1，2，…，n.
提醒 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率P（B｜A）＝乘法公式
P（AB）＝P（A）P（B｜A）
全概率公式
P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）
贝叶斯公式
P（Ai｜B）＝，i＝1，2，…，n
【想一想】
贝叶斯公式的几何意义是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）全概率公式中，A1，A2，…，An不一定是一组两两互斥的事件.（ ）
（2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间.（ ）
（3）设A，B为任意两个随机事件，则BA与B是互斥的.（ ）
（4）贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下，探求各原因发生的可能性大小.（ ）
2.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝（ ）
A. B.
C. D.
3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为 .
题型一 两个事件的全概率公式
【例1】 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
通性通法
两个事件的全概率问题求解策略
（1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与）；
（2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
（3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）.
【跟踪训练】
1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，求从2号箱取出的球是红球的概率.
题型二 多个事件的全概率问题
【例2】 在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
【母题探究】
（变设问）如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率.
通性通法
“化整为零”求多个事件的全概率问题
（1）如图，P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）；
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
【跟踪训练】
设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A.0.08 B.0.1
C.0.15 D.0.2
题型三 *贝叶斯公式
【例3】 甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率.
通性通法
应用贝叶斯公式求概率的步骤
（1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分；
（2）利用全概率公式求出P（B）；
（3）代入贝叶斯公式求得概率.
【跟踪训练】
8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（ ）
A. B.
C. D.
1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（ ）
A.0.21 B.0.06
C.0.94 D.0.95
3.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝ .
4.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 .
第2课时 条件概率的性质及应用
【基础知识·重落实】
知识点一
P（A）P（B｜A）
知识点二
（1）1 （2）P（B｜A）＋P（C｜A）
（3）1－P（B｜A）
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.0.18 解析：由概率的乘法公式可得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝0.3×0.6＝0.18.
3.0.72 解析：记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P（B｜A）＝.∴P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝0.9×0.8＝0.72.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）72%
解析：（1）记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝，P（B｜A）＝，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝.故选A.
（2）记A：合格品， 记B：一等品，由于B A，则P（B）＝P（AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P（B｜A）＝75%，故P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝96%×75%＝0.72，即一等品率为72%.
跟踪训练
1.B 设“每年七月份刮台风”为事件A，“每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P（A）＝，P（B｜A）＝，由概率的乘法公式得P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝.故选B.
2. 解析：没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝，P（G1R2）＝P（G1）P（R2｜G1）＝×＝，∴没有取到黄球的概率为P＝＋＝.
【例2】 解：法一 设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝，P（AB）＝＝，P（AC）＝＝.
∴P（B｜A）＝＝＝，P（C｜A）＝＝＝.
∴P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝.
∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为.
法二 ∵n（A）＝1×＝9，
n（B∪C｜A）＝＋＝5，
∴P（B∪C｜A）＝＝.
∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为.
跟踪训练
1.C 因为P（B｜A）＝P（B｜），由条件概率公式可得＝，即P（AB）[1－P（A）]＝P（A）P（B）＝P（A）[P（B）－P（AB）]，所以P（AB）＝P（A）P（B），故选C.
2. 解析：设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”，则P（A）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，所以P（B｜A）＝＝，P（C｜A）＝＝，故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝.
【例3】 证明：①必要性：
若P（B｜A）＝P（B），则＝P（B），
即P（AB）＝P（A）P（B）.
又因为B＝B＋AB，所以P（B）＝P（B）＋P（AB），
所以P（B｜）＝＝＝＝＝P（B）.
②充分性：
若P（B｜）＝P（B），则＝P（B），
即P（B）＝P（）P（B），
由P（B）＝P（B）＋P（AB），得P（B）＝P（B）－P（AB），
故P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B），
所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以P（A）P（B｜A）＝P（A）P（B），P（A）≠0，
所以P（B｜A）＝P（B）.
由①②可知，P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜）＝P（B）.
跟踪训练
证明：因为R＝·＝···＝·，
所以R＝···，
所以R＝·.
随堂检测
1.B 因为事件A，B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以P（A｜B）＝＝P（A）＝0.8.
2.C 设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮疹”，则P（A）＝2%，P（B｜A）＝99%，所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝2%×99%＝1.98%.故选C.
3. 解析：由题意知，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C）＝，P（B｜C）＝＝＝，则P（A｜C）＝P（A∪B｜C）－P（B｜C）＝－＝.
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第2课时
条件概率的性质及应用
新课程标准解读 核心素养
1.掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实
际问题 数学抽象、数学运算
2.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥
（对立）事件的条件概率 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地
抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖
券”.
【问题】 （1）事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？
（2）P（AB）、P（B｜A）与P（B）、P（A）有什么关系？
知识点一 概率的乘法公式
对任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）＝
.
提醒 （1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB）
中，样本空间为所有事件的总和；（2）当P（B｜A）＝P（B）
时，事件A与事件B是相互独立事件.
P（A）P
（B｜A）
知识点二 条件概率的性质
设P（A）＞0，则
（1）P（Ω｜A）＝ ；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝
；
1
P（B｜
A）＋P（C｜A）
（3）设 和B互为对立事件，则P（ ｜A）＝
.
提醒 （1）A与B互斥，即A，B不同时发生，则P（AB）＝
0，故P（B｜A）＝0；（2）互斥事件的条件概率公式可以将
复杂事件分解为简单事件的概率和.
1－P（B｜
A）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）P（B｜A）＜P（AB）. （ × ）
（2）对任意两个事件A与B，必有P（AB）＝P（A）·P（B｜
A）. （ × ）
（3）P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）.
（ × ）
×
×
×
2. 已知P（A）＝0.3，P（B｜A）＝0.6，且事件A与B相互独立，
则P（AB）＝ .
解析：由概率的乘法公式可得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝
0.3×0.6＝0.18.
0.18
3. 某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水
稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种
子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率
为 .
解析：记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”
为事件B，P（B｜A）＝ .∴P（AB）＝P（B｜A）P
（A）＝0.9×0.8＝0.72.
0.72
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 概率的乘法公式
【例1】 （1）某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试
拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ A ）
A. B.
C. D.
解析： 记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝ × ＝ .故选A.
A
（2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则
该产品的一等品率是 .
解析： 记A：合格品， 记B：一等品，由于B A，则P
（B）＝P（AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P
（B｜A）＝75%，故P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜
A）＝96%×75%＝0.72，即一等品率为72%.
72%
通性通法
应用乘法公式求概率的一般步骤
概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直
接计算P（AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率：
（1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0；
（2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或
P（B）、P（A｜B）；
（3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝
P（B）P（A｜B）求解.
【跟踪训练】
1. 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为 ，在刮台风的
条件下，下大雨的概率为 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨
的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 设“每年七月份刮台风”为事件A，“每年七月份下大
雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.
由题得P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，由概率的乘法公式得P
（AB）＝P（B｜A）P（A）＝ × ＝ .故选B.
2. 盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个
黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为
止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 .
解析：没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到
绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表
示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝ ，P
（G1R2）＝P（G1）P（R2｜G1）＝ × ＝ ，∴没有取到黄球
的概率为P＝ ＋ ＝ .
题型二 条件概率性质的应用
【例2】 在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，设有1个
红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个
球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
解：法一 设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为
黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝
，P（AB）＝ ＝ ，P（AC）＝ ＝ .
∴P（B｜A）＝ ＝ ＝ ，P（C｜A）＝ ＝ ＝ .
∴P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ .
∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为 .
法二 ∵n（A）＝1× ＝9，
n（B∪C｜A）＝ ＋ ＝5，
∴P（B∪C｜A）＝ ＝ .
∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为 .
通性通法
应用条件概率的性质解题的方法
在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可
将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若
B与C互斥，那么P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A），
此公式可推广到多个事件互斥的情况.
【跟踪训练】
1. 设A，B是两个随机事件，已知0＜P（A）＜1，P（B）＞0且P
（B｜A）＝P（B｜ ），则下列结论中一定成立的是（ ）
A. P（A｜B）＝P（ ｜B）
B. P（A｜B）≠P（ ｜B）
C. P（AB）＝P（A）P（B）
D. P（AB）≠P（A）P（B）
解析： 因为P（B｜A）＝P（B｜ ），由条件概率公式可得
＝ ，即P（AB）[1－P（A）]＝P（A）P（
B）＝P（A）[P（B）－P（AB）]，所以P（AB）＝P（A）
P（B），故选C.
2. 某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他
在周六晚上或周五晚上值班的概率为 .
解析：设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值
班”，事件C为“周六晚上值班”，则P（A）＝ ，P（AB）
＝ ，P（AC）＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ，P
（C｜A）＝ ＝ ，故他在周六晚上或周五晚上值班的概
率为P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝ .
题型三 与条件概率公式有关的证明问题
【例3】 当0＜P（A）＜1时，求证：P（B｜A）＝P（B）的充
要条件是P（B｜ ）＝P（B）.
证明：①必要性：
若P（B｜A）＝P（B），则 ＝P（B），
即P（AB）＝P（A）P（B）.
又因为B＝ B＋AB，所以P（B）＝P（ B）＋P（AB），
所以P（B｜ ）＝ ＝ ＝
＝ ＝P（B）.
②充分性：
若P（B｜ ）＝P（B），则 ＝P（B），
即P（ B）＝P（ ）P（B），
由P（B）＝P（ B）＋P（AB），得P（ B）＝P（B）－P
（AB），
故P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B），
所以P（AB）＝P（A）P（ B ），
所以P（A）P（B｜A）＝P（A）P（B），P（A）≠0，
所以P（B｜A）＝P（B）.
由①②可知，P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜ ）＝P
（B）.
通性通法
利用事件A与事件B相互独立的定义P（AB）＝P（A）P
（B）及条件概率的性质进行转化变形、推理论证，这里要注意互斥
事件、对立事件及相互独立事件的区别.
【跟踪训练】
已知 与 的比值为R. 证明：R＝
· .
证明：因为R＝ · ＝
· · · ＝ · ，
所以R＝ · · · ，
所以R＝ · .
1. 已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P
（A｜B）＝（ ）
A. 0.24 B. 0.8 C. 0.3 D. 0.16
解析： 因为事件A，B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P
（B），所以P（A｜B）＝ ＝P（A）＝0.8.
2. 某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹
的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为
（ ）
A. 99.02% B. 98.02%
C. 1.98% D. 0.98%
解析： 设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周
产生皮疹”，则P（A）＝2%，P（B｜A）＝99%，所以某人食
用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P（AB）＝P（A）P
（B｜A）＝2%×99%＝1.98%.故选C.
3. 已知事件A和B是互斥事件，P（C）＝ ，P（BC）＝ ，P
（A∪B｜C）＝ ，则P（A｜C）＝ .
解析：由题意知，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C）
＝ ，P（B｜C）＝ ＝ ＝ ，则P（A｜C）＝P
（A∪B｜C）－P（B｜C）＝ － ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 若B，C是互斥事件且P（B｜A）＝ ，P（C｜A）＝ ，则P
（B∪C｜A）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为B，C是互斥事件，所以P（B∪C｜A）＝P
（B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ .
2. 设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P
（B｜A）＝0.3，则P（A｜B）＝（ ）
A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5
解析： 由P（A）＝0.5，P（B｜A）＝0.3，得P（AB）＝
P（B｜A）P（A）＝0.15，所以P（A｜B）＝ ＝
＝0.375.
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3. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为
0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.
那么他两次均击中9环的概率为（ ）
A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.75
解析： 设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次
击中9环”为事件B，则由题意得P（A）＝0.6，P（B｜A）＝
0.8，所以他两次均击中9环的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜
A）＝0.6×0.8＝0.48.
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4. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本
空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示
的涂色部分的面积表示（ ）
A. 事件A发生的概率
B. 事件B发生的概率
C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率
D. 事件A，B同时发生的概率
解析： 由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为：P（A｜
B）P（B）＋[1－P（B）]P（A｜ ）＝P（AB）＋P（ ）
P（A｜ ）＝P（AB）＋P（A ）＝P（A）.故选A.
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5. （多选）已知事件A，B满足P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P
（ ｜ ）＝ ，则（ ）
A. P（AB）＝ B. P（ ｜A）＝
C. P（B｜ ）＝ D. P（B）＝
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解析： 对于A选项，P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝
，所以A选项正确；对于B选项，P（ ｜A）＝1－P（B｜A）
＝ ，所以B选项错误；对于C选项，P（B｜ ）＝1－P（ ｜
）＝ ，所以C选项正确；对于D选项，P（B）－P（AB）＝[1
－P（A）]P（B｜ ），P（B）＝ ＋ × ＝ ，所以D选项
正确.故选A、C、D.
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6. （多选）已知事件A，B满足P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，则
下列选项正确的是（ ）
A. 若B A，则P（AB）＝0.4
B. 若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.7
C. 若A与B相互独立，则P（AB）＝0.4
D. 若P（B｜A）＝0.3，则A与B相互独立
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解析： 对于A，因为P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，
B A，所以P（AB）＝P（B）＝0.3，故A错误；对于B，因为
A与B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.7，B正
确；对于C，因为A与B相互独立，所以P（AB）＝0.4×0.3＝
0.12，故C错误；对于D，因为P（B｜A）＝0.3，即 ＝
0.3，所以P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.12，又因为P
（B）P（A）＝0.12，所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以
A与B相互独立，故D正确.故选B、D.
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7. 已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，且合格率是95%，则
从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 .
解析：记事件A＝“甲厂产品”，事件B＝“合格产品”，则P
（A）＝0.7，P（B｜A）＝0.95.所以P（AB）＝P（A）P
（B｜A）＝0.7×0.95＝0.665.
0.665
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8. 有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两
位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明
月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝
“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件B＝“甲和乙选择的景点不
同”，则P（ ｜A）＝ .
解析：由题意知，因为n（A）＝ · ＋1＝7，n（AB）＝6，
所以P（ ｜A）＝1－P（B｜A）＝1－ ＝1－ ＝ .
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9. 已知事件A，B，且P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（B｜ ）
＝ ，则P（B）＝ .
解析：∵P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，∴P（AB）＝P（A）
P（B｜A）＝ × ＝ ，∵P（B｜ ）＝ ，∴P（ B）＝P
（ ）P（B｜ ），∴P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P
（B｜ ），即P（B）－ ＝（1－ ）× ，解得P（B）＝ .
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10. 某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖
券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲
抽完之后乙再抽，求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；
解： 设A：甲中奖，B：乙中奖，则P（A）＝ ＝ .
因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖
券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为
P（B｜A）＝ .
根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为
P（BA）＝P（A）P（B｜A）＝ × ＝ .
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（2）甲没中奖而且乙中奖的概率.
解： 因为P（A）＋P（ ）＝1，所以P（ ）＝ .
因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49
张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概
率为P（B｜ ）＝ .
根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为
P（B ）＝P（ ）P（B｜ ）＝ × ＝ .
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11. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随
机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或
黑色的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是
红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色
或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥.又P（A）＝
＝ ，P（AB）＝ ＝ ，P（AC）＝ ＝ ，故P（D｜
A）＝P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝
＋ ＝ ＋ ＝ .
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12. （多选）若 ， 分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞
0，P（B）＞0，则下列结论正确的是（ ）
A. P（B｜A）＋P（B｜ ）＝1
B. P（ ｜B）P（B）＝P（B｜ ）P（ ）
C. P（A｜B）＋P（ ｜B）＝P（B）
D. 若P（A｜B）＝P（A），则P（B｜A）＝P（B）
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解析： 对于A，因为P（B｜A）＋P（ ｜A）＝
＋ ＝ ＝ ＝1，但P（B｜ ）与
P（ ｜A）不一定相等，故P（B｜A）＋P（B｜ ）不一定
等于1，A错；对于B，因为P（ ｜B）P（B）＝P（ B），
P（B｜ ）P（ ）＝P（ B），所以P（ ｜B）P（B）＝
P（B｜ ）P（ ），B对；
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对于C，P（A｜B）＋P（ ｜B）＝ ＋ ＝
＝1，C错；对于D，因为P（A｜B）＝ ＝P（A），所以P
（AB）＝P（A）P（B），所以事件A，B相互独立，故P（B｜A）
＝ ＝P（B），D对.故选B、D.
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13. 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中
的4道题即可通过，能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答
对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得
优秀成绩的概率为 .
解析：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答
对了其中5道题，而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4
道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通
过”，事件E为“该考生获得优秀”，则A，B，C两两互斥，
且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
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由古典概型的概率公式及加法公式可知P（D）＝P（A∪B∪C）
＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝ ＋ ＋ ＝ ，又P
（AD）＝P（A），P（BD）＝P（B），所以P（E｜D）＝P
（A∪B｜D）＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝ ＋ ＝
＋ ＝ .故所求的概率为 .
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14. 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.
（1）向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是
多少？
解： 记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个
是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事
件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是
2”，则P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，
所以P（A｜B）＝ ＝ .
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（2）向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是
多少？
解： 记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为
i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝
M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子
向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点
数不相同，且向上的点数之和为i”.
因为P（N）＝ ＝ ，P（M4N）＝ ＝ ，P（M6N）
＝ ＝ ，所以P（M｜N）＝P（M4∪M6｜N）＝P（M4｜N）＋P（M6｜N）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
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15. 近年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小
巷成为一道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店
取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为
1，2，…，r，其中r≥3），约定：每天他首先从1号外卖店取
单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余r－1个外卖店
中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推.假设从第2次取
单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r－1个外卖店取单.
设事件Ak表示“第k次取单恰好是从1号店取单（k∈N*）”，P
（Ak）是事件Ak发生的概率，显然P（A1）＝1，P（A2）＝0，
则P（A3）＝ ，P（ ）与P（Ak）的关系式为
.
P
（Ak＋1）＝[1－P（Ak）]
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解析：根据题意，事件A3表示“第3次取单恰好是从1号店取
单”，因此P（A3）＝P（ A3）＝P（ ）·P（A3｜ ）＝
[1－P（A2）] ＝ ；同理P（Ak＋1）＝P（ Ak＋1）＝P
（ ）P（Ak＋1｜ ）＝[1－P（Ak）]·P（Ak＋1｜ ）＝[1
－P（Ak）] .
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16. 从装有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球
不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，6.
（1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
解： P（A2｜ ）＝ ＝ ＝ ，所以第一
次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率为 .
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①证明：P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜
A1A2）；
②求P（A3）.
解： ①证明：因为P（A1A2A3）＝P（A1A2）P
（A3｜A1A2），
又因为P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1），
所以P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）＝P（A1）
P（A2｜A1）P（A3｜A1A2），
即P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）.
（2）记P（A1A2A3）表示A1，A2，A3同时发生的概率，P
（A3｜A1A2）表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.
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②P（A3）＝P（A1A2A3）＋P（ A2A3）＋P（A1
A3）＋P（ A3）
＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）＋P（ ）P
（A2｜ ）P（A3｜ A2）＋P（A1）P（ ｜A1）P
（A3｜A1 ）＋P（ ）P（ ｜ ）P（A3｜ ）
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ＝ .
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