7.1.2 全概率公式
1.据美国的一份资料报道,在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%,在人群中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.4%,则不吸烟患肺癌的概率为( )
A.0.025% B.0.032%
C.0.048% D.0.02%
2.已知事件A,B满足P(A)=,P(B|A)=,P(|)=,则P(B)=( )
A. B.
C. D.
3.设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表,从中先后取出两份,则先取到的一份为女生报名表的概率为( )
A. B.
C. D.
4.一道考题有4个答案,要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为,而在乱猜时,4个答案都有机会被他选择,如果他答对了,则他确实知道正确答案的概率是( )
A. B.
C. D.
5.(多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列等式中成立的有( )
A.P(A|B)=
B.P(AB)=P(A)P(B|A)
C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
D.P(A|B)=
6.(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球,其中4个红球,2个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球,摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球,摸到红球”,事件B表示“第2次摸球,摸到红球”,则下列结论正确的是( )
A.P(A)= B.P(B)=
C.P(B|A)= D.P(B|)=
7.有两箱同一种产品,第一箱内装50件,其中10件优质品,第二箱内装30件,其中18件优质品,现在随意地打开一箱,然后从箱中随意取出一件,则取到的是优质品的概率是 .
8.某车企为了更好地设计开发新车型,统计了近期购车的车主性别与购车种类(新能源车或者燃油车)的情况,其中新能源车占销售量的74%,男性占近期购车车主总数的60%,女性购车车主有80%购买了新能源车,根据以上信息,则男性购车时,选择购买新能源车的概率是 .
9.某厂的产品中96%是合格品.现有一验收方法,把合格品判为“合格品”的概率为0.98,把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.当用此验收方法判一产品为“合格品”时,则此产品为合格品的概率为 .
10.李老师7:00出发去参加8:00开始的教学会.根据以往的经验,他骑自行车迟到的概率是0.05,乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行车,发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故障的概率是0.01,试计算李老师迟到的概率.
11.某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱,但不知丢失哪1箱.现从剩下9箱中任意打开2箱,结果都是英语书,则丢失的1箱也是英语书的概率为( )
A. B.
C. D.
12.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,则该支股票将上涨的概率为 .
13.在通讯渠道中,可传送字符AAAA,BBBB,CCCC三者之一,假定传送这三者的概率分别为0.3,0.4,0.3,由于通道噪声的干扰,正确接收到被传送字母的概率为0.6,而接收到其它两个字母的概率均为0.2,假定前后字母是否被歪曲互不影响,则接收到的是ABBB的概率为 .
14.设甲箱中有3个白球和2个黑球,乙箱中有1个白球和2个黑球,从甲箱中任意取两球放入乙箱,然后再从乙箱中任意取出两球,试求:
(1)从乙箱中取出的两球是白球的概率;
(2)在乙箱中取出的两球是白球的条件下,从甲箱中取出的两球是白球的概率.
15.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过:小孩第一次喊“狼来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化,假设小孩是诚实的,则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1;小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否,所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知某个小孩说谎了,那么他是诚实的小孩的概率是( )
A. B.
C. D.
16.某种仪器由三个部件组装而成,假设各部件质量互不影响,且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.已知若三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;若有一个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.2;若有两个部件不是优质品,则组装后的仪器的不合格率为0.6;若三个部件都不是优质品,则组装后的仪器的不合格率为0.9.
(1)求仪器的不合格率;
(2)若已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大.
7.1.2 全概率公式
1.A 设不吸烟患肺癌的概率为x,则0.2×0.004+0.8x=0.001,解得x=0.000 25=0.025%.故选A.
2.C 由题意可得:P()=1-P(A)=,P(B|)=1-P(|)=,所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=.故选C.
3.D 设A=“先取到的是女生报名表”,Bi=“取到第i个地区的报名表”,i=1,2,3,∴P(A)=P(Bi)·P(A|Bi)=×+×+×=.
4.B 设A=“考生答对”,B=“考生知道正确答案”,由全概率公式得,P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×1+×=.又由贝叶斯公式得,P(B|A)===.故选B.
5.BCD 由条件概率的计算公式知A错误;由乘法公式知B正确;由全概率公式知C正确;P(B)·P(A|B)=P(AB),P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),故D正确.故选B、C、D.
6.AD P(A)==,A正确;P(B|A)===,P(B|)===.由全概率公式可知,P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.所以B、C错误,D正确.
7. 解析:设A=“取到的是优质品”,Bi=“打开的是第i箱”(i=1,2),则P(B1)=P(B2)=,P(A|B1)==,P(A|B2)==,利用全概率公式,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=.
8.70% 解析:设男性中有x%购买了新能源车,则x%×60%+40%×80%=74%,解得x=70,所以男性购车时,选择购买新能源车的概率是70%.
9.0.997 9 解析:设“一产品经验收判为合格品”为事件A,“一产品为合格品”为事件B.由题知P(B)=0.96,P(A|B)=0.98,P()=0.04,P(A|)=0.05.由贝叶斯公式得P(B|A)==≈0.997 9.故一产品经验收判为“合格品”时,此产品为合格品的概率约为0.997 9.
10.解:用B表示李老师迟到,用A表示自行车有故障,则P(B|A)是乘出租车迟到的概率,P(B|)是骑自行车迟到的概率.
根据题意P(A)=0.01,P(B|)=0.05,P(B|A)=0.50.
因为A,互斥,所以AB,B互斥.
利用概率的可加性得到P(B)=P(AB∪B)=P(AB)+P(B).
因为P(A)>0,P()>0,再由概率的乘法公式可知,李老师迟到的概率是P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.01×0.50+(1-0.01)×0.05=0.054 5.
11.B 用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”,用Bk表示“丢失的1箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=.P(B1|A)===.故选B.
12.64% 解析:设A=“利率下调”,=“利率不变”,B=“股票价格上涨”.依题意知P(A)=60%,P()=40%,P(B|A)=80%,P(B|)=40%,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=60%×80%+40%×40%=64%.
13.0.019 2 解析:设H1表示传送字符AAAA,H2表示传送字符BBBB,H3表示传送字符CCCC,G表示接收到ABBB.由题设知,P(H1)=0.3,P(H2)=0.4,P(H3)=0.3,从而有P(G|H1)=0.6×0.2×0.2×0.2=0.004 8,P(G|H2)=0.2×0.6×0.6×0.6=0.043 2,P(G|H3)=0.2×0.2×0.2×0.2=0.001 6,根据全概率公式得P(G)=P(Hi)P(G|Hi)=0.3×0.004 8+0.4×0.043 2+0.3×0.001 6=0.019 2.
14.解:(1)因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能:取得两白球,取得一黑球和一白球,取得两黑球,分别用A1,A2,A3表示,则A1,A2,A3即为所求的一个完备事件组.设B表示从乙箱中取出的两球是白球,则有
P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,
P(B|A1)==,P(B|A2)==,P(B|A3)=0,
由全概率公式得到
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×+×+×0=.
(2)P(A1|B)===.
15.D 设事件A表示“小孩诚实”,事件B表示“小孩说谎”,则P(B|A)=0.1,P(B|)=0.5,P(A)=0.9,P()=0.1,则P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.1=0.09,P(B)=P()P(B|)=0.1×0.5=0.05,故P(B)=P(AB)+P(B)=0.14,故P(A|B)===.故选D.
16.解:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器上有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3,显然A0,A1,A2,A3构成一个完备事件组,
P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,
P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,
P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,
P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,
P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.
(1)应用全概率公式,有:P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.140 2.
(2)应用贝叶斯公式,有:P(A0|B)=0,
P(A1|B)==,
P(A2|B)==,
P(A3|B)==.
从计算结果可知,一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.
3 / 37.1.2 全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型,理解全概率公式,并会利用全概率公式计算概率 数学抽象、数学运算
2.了解贝叶斯公式,并会简单应用 数学抽象、数学运算
有三个罐子,1号装有2个红球1个黑球,2号装有3个红球1个黑球,3号装有2个红球2个黑球.某人从中随机取一罐,再从中任意取出一球.
【问题】 如何求取得红球的概率?
知识点一 全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)= .称为全概率公式.
提醒 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式:P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
知识点二 *贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.
提醒 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率P(B|A)=乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
贝叶斯公式
P(Ai|B)=,i=1,2,…,n
【想一想】
贝叶斯公式的几何意义是什么?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)全概率公式中,A1,A2,…,An不一定是一组两两互斥的事件.( )
(2)使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间.( )
(3)设A,B为任意两个随机事件,则BA与B是互斥的.( )
(4)贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下,探求各原因发生的可能性大小.( )
2.已知事件A,B,且P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=( )
A. B.
C. D.
3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为 .
题型一 两个事件的全概率公式
【例1】 某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
通性通法
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分:将样本空间拆分成对立的两部分如A1,A2(或A与);
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率;
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
【跟踪训练】
1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,求从2号箱取出的球是红球的概率.
题型二 多个事件的全概率问题
【例2】 在A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感,假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2,现从这三个地区中任意选取一个人.
(1)求这个人患流感的概率;
(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.
【母题探究】
(变设问)如果此人绝对不是来自地区C,求此人患流感的概率.
通性通法
“化整为零”求多个事件的全概率问题
(1)如图,P(B)=P(Ai)P(B|Ai);
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
【跟踪训练】
设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
A.0.08 B.0.1
C.0.15 D.0.2
题型三 *贝叶斯公式
【例3】 甲盒装有1个白球2个黑球,乙盒装有3个白球2个黑球,丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒,出现1,2或3点选甲盒,4,5点选乙盒,6点选丙盒,在选出的盒里随机摸出一个球,经过秘密选盒摸球后,宣布摸得一个白球,求此球来自乙盒的概率.
通性通法
应用贝叶斯公式求概率的步骤
(1)根据题目问题,事件B是由多个原因引起,这多个原因为A1,A2,…,An,且A1,A2,…,An是样本空间Ω的一个划分;
(2)利用全概率公式求出P(B);
(3)代入贝叶斯公式求得概率.
【跟踪训练】
8支枪中有5支已经校准过,3支未校准,一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8,用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3,现从8支枪中任取一支射击,结果中靶,则所选用的枪是校准过的概率为( )
A. B.
C. D.
1.在3张彩票中有2张有奖,甲、乙两人先后从中各任取一张,则乙中奖的概率为( )
A. B.
C. D.
2.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为( )
A.0.21 B.0.06
C.0.94 D.0.95
3.已知事件A,B,且P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)= .
4.甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,则该球是白球的概率为 .
7.1.2 全概率公式
【基础知识·重落实】
知识点一
P(Ai)P(B|Ai)
想一想
提示:如图所示,B是由A和两个原因引起的结果,P(A|B)表示原因A在结果B中的比重.
自我诊断
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.C P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选C.
3.0.8 解析:设B表示一辆汽车中途停车修理,A1表示该车是货车,A2表示该车是客车,则B=A1B∪A2B,由贝叶斯公式有P(A1|B)===0.8.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:如果用A1,A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件,B表示是女生的事件,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B Ω,
由题意可知,P(A1)=,P(A2)=,
且P(B|A1)=,P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
跟踪训练
解:设A=“从2号箱取出的球是红球”,B=“从1号箱取出的球是红球”.
则P(B)==,P()=1-P(B)=.
P(A|B)==,P(A|)==.
由全概率公式可得P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=.
【例2】 解:(1)设此人来自A,B,C三个地区分别为事件A,B,C,事件D为这个人患流感,
所以P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2,
P(D|A)=0.06,P(D|B)=0.05,P(D|C)=0.04,
因此P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
=0.3×0.06+0.5×0.05+0.2×0.04=0.051.
(2)P(A|D)====.
母题探究
解:因为此人绝对不是来自地区C,所以此人来自地区A、B,所以P(A)=,P(B)=,
P(D|A)=0.06,P(D|B)=0.05,
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)=×0.06+×0.05=.
跟踪训练
A 设A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=0.08.
【例3】 解:设A1={摸出的球来自甲盒},
A2={摸出的球来自乙盒},
A3={摸出的球来自丙盒},
B={摸得白球},
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=.
于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P(A2|B)=
==.
跟踪训练
B 设事件A表示“射击时中靶”,事件B1表示“使用的枪校准过”,事件B2表示“使用的枪未校准”,则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=0.8,P(A|B2)=0.3.根据全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×0.8+×0.3=,所以由贝叶斯公式得P(B1|A)===.故选B.
随堂检测
1.B 设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B,则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=.
2.D 令B=取到的零件为合格品,Ai=零件为第i台机床的产品,i=1,2.由全概率公式得:P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×0.96+×0.93=0.95.故选D.
3. 解析:因为P(A)=,所以P()=.由全概率公式得,P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×==.
4. 解析:设A=“从乙袋中取出的是白球”,Bi=“从甲袋中取出的2球恰有i个白球”,i=0,1,2.由全概率公式得P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)=·+·+·=.
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7.1.2 全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型,理解全概率公式,并会利
用全概率公式计算概率 数学抽象、数学运算
2.了解贝叶斯公式,并会简单应用 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
有三个罐子,1号装有2个红球1个黑球,2号装有3个红球1个黑
球,3号装有2个红球2个黑球.某人从中随机取一罐,再从中任意取出
一球.
【问题】 如何求取得红球的概率?
知识点一 全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,
A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意
的事件B Ω,有P(B)= .称为全概
率公式.
P(Ai)P(B|Ai)
提醒 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式:P(B)=P
(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P
(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
知识点二 *贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)
>0,有P(Ai|B)= = ,
i=1,2,…,n.
P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式
P(B)= P(Ai)P(B|Ai)
贝叶斯公式
P(Ai|B)= ,i=1,2,…,n
提醒 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率P(B|A)= 乘法公式
【想一想】
贝叶斯公式的几何意义是什么?
提示:如图所示,B是由A和 两个原因引起的结
果,P(A|B)表示原因A在结果B中的比重.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)全概率公式中,A1,A2,…,An不一定是一组两两互斥的事
件. ( × )
(2)使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空
间. ( √ )
(3)设A,B为任意两个随机事件,则BA与B 是互斥的.
( √ )
(4)贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下,探求各原因发生的
可能性大小. ( √ )
×
√
√
√
2. 已知事件A,B,且P(A)= ,P(B|A)= ,P(B| )
= ,则P(B)=( )
解析: P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B|
)= × + × = .故选C.
3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修
理的概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该
汽车是货车的概率为 .
解析:设B表示一辆汽车中途停车修理,A1表示该车是货车,A2表
示该车是客车,则B=A1B∪A2B,由贝叶斯公式有P(A1|B)
= = =0.8.
0.8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两个事件的全概率公式
【例1】 某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社
区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲
班中女生占 ,乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行民意调查
的同学恰好是女生的概率.
解:如果用A1,A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的
事件,B表示是女生的事件,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,
B Ω,
由题意可知,P(A1)= ,P(A2)= ,
且P(B|A1)= ,P(B|A2)= .
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P
(B|A2)= × + × = .
通性通法
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分:将样本空间拆分成对立的两部分如A1,A2(或A与
);
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率;
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P
(A2)P(B|A2).
【跟踪训练】
1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随
机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,求
从2号箱取出的球是红球的概率.
解:设A=“从2号箱取出的球是红球”,B=“从1号箱取出的球是
红球”.
则P(B)= = ,P( )=1-P(B)= .
P(A|B)= = ,P(A| )= = .
由全概率公式可得P(A)=P(A|B)P(B)+P(A| )P
( )= × + × = .
题型二 多个事件的全概率问题
【例2】 在A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有
6%,5%,4%的人患了流感,假设这三个地区的人口数的比为
3∶5∶2,现从这三个地区中任意选取一个人.
(1)求这个人患流感的概率;
解: 设此人来自A,B,C三个地区分别为事件A,B,
C,事件D为这个人患流感,
所以P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2,
P(D|A)=0.06,P(D|B)=0.05,P(D|C)=
0.04,
因此P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+
P(C)P(D|C)
=0.3×0.06+0.5×0.05+0.2×0.04=0.051.
(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.
解: P(A|D)= = =
= .
【母题探究】
(变设问)如果此人绝对不是来自地区C,求此人患流感的概率.
解:因为此人绝对不是来自地区C,所以此人来自地区A、B,所以
P(A)= ,P(B)= ,
P(D|A)=0.06,P(D|B)=0.05,
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)= ×0.06
+ ×0.05= .
通性通法
“化整为零”求多个事件的全概率问题
(1)如图,P(B)= P(Ai)P(B|Ai);
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),
事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已
知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
【跟踪训练】
设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、
2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光
片的次品率依次为 , , ,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中
任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
A. 0.08 B. 0.1
C. 0.15 D. 0.2
解析: 设A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙
厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,则P(A1)= ,P
(A2)= ,P(A3)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)=
,P(B|A3)= ,由全概率公式得P(B)=P(A1)P
(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)= ×
+ × + × =0.08.
题型三 *贝叶斯公式
【例3】 甲盒装有1个白球2个黑球,乙盒装有3个白球2个黑球,丙
盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒,出现1,2或3点选甲
盒,4,5点选乙盒,6点选丙盒,在选出的盒里随机摸出一个球,经
过秘密选盒摸球后,宣布摸得一个白球,求此球来自乙盒的概率.
解:设A1={摸出的球来自甲盒},
A2={摸出的球来自乙盒},
A3={摸出的球来自丙盒},
B={摸得白球},
则P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,
P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= .
于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P(A2|B)=
= = .
通性通法
应用贝叶斯公式求概率的步骤
(1)根据题目问题,事件B是由多个原因引起,这多个原因为A1,
A2,…,An,且A1,A2,…,An是样本空间Ω的一个划分;
(2)利用全概率公式求出P(B);
(3)代入贝叶斯公式求得概率.
【跟踪训练】
8支枪中有5支已经校准过,3支未校准,一名射手用校准过的枪射
击时,中靶的概率为0.8,用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3,
现从8支枪中任取一支射击,结果中靶,则所选用的枪是校准过的概
率为( )
解析: 设事件A表示“射击时中靶”,事件B1表示“使用的枪校
准过”,事件B2表示“使用的枪未校准”,则P(B1)= ,P
(B2)= ,P(A|B1)=0.8,P(A|B2)=0.3.根据全概率公
式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=
×0.8+ ×0.3= ,所以由贝叶斯公式得P(B1|A)=
= = .故选B.
1. 在3张彩票中有2张有奖,甲、乙两人先后从中各任取一张,则乙中
奖的概率为( )
解析: 设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B,则P(B)=P
(B|A)P(A)+P(B| )P( )= × + × = .
2. 两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品
率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台
加工零件的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为( )
A. 0.21 B. 0.06
C. 0.94 D. 0.95
解析: 令B=取到的零件为合格品,Ai=零件为第i台机床的
产品,i=1,2.由全概率公式得:P(B)=P(A1)P(B|
A1)+P(A2)P(B|A2)= ×0.96+ ×0.93=0.95.故选D.
3. 已知事件A,B,且P(A)= ,P(B|A)= ,P(B| )
= ,则P(B)= .
解析:因为P(A)= ,所以P( )= .由全概率公式得,P
(B)=P(B|A)P(A)+P(B| )P( )= × +
× = = .
解析:设A=“从乙袋中取出的是白球”,Bi=“从甲袋中取出的
2球恰有i个白球”,i=0,1,2.由全概率公式得P(A)=P
(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|
B2)= · + · + · = .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 据美国的一份资料报道,在美国总的来说患肺癌的概率约为
0.1%,在人群中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.4%,
则不吸烟患肺癌的概率为( )
A. 0.025% B. 0.032%
C. 0.048% D. 0.02%
解析: 设不吸烟患肺癌的概率为x,则0.2×0.004+0.8x=
0.001,解得x=0.000 25=0.025%.故选A.
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2. 已知事件A,B满足P(A)= ,P(B|A)= ,P( |
)= ,则P(B)=( )
解析: 由题意可得:P( )=1-P(A)= ,P(B| )
=1-P( | )= ,所以P(B)=P(B|A)P(A)+P
(B| )P( )= × + × = .故选C.
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3. 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生
报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表,从中
先后取出两份,则先取到的一份为女生报名表的概率为( )
解析: 设A=“先取到的是女生报名表”,Bi=“取到第i个
地区的报名表”,i=1,2,3,∴P(A)= P(Bi)·P
(A|Bi)= × + × + × = .
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4. 一道考题有4个答案,要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某
考生知道正确答案的概率为 ,而在乱猜时,4个答案都有机会被
他选择,如果他答对了,则他确实知道正确答案的概率是( )
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解析: 设A=“考生答对”,B=“考生知道正确答案”,由
全概率公式得,P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P
(A| )= ×1+ × = .又由贝叶斯公式得,P(B|A)
= = = .故选B.
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5. (多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列等式中成立
的有( )
B. P(AB)=P(A)P(B|A)
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解析: 由条件概率的计算公式知A错误;由乘法公式知B正
确;由全概率公式知C正确;P(B)·P(A|B)=P(AB),
P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| ),故D正
确.故选B、C、D.
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6. (多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球,其中4个红球,2
个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球,摸出的球不放回.设事
件A表示“第1次摸球,摸到红球”,事件B表示“第2次摸球,摸
到红球”,则下列结论正确的是( )
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解析: P(A)= = ,A正确;P(B|A)=
= = ,P(B| )= = = .由全概率公式可
知,P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )=
× + × = .所以B、C错误,D正确.
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解析:设A=“取到的是优质品”,Bi=“打开的是第i箱”(i=
1,2),则P(B1)=P(B2)= ,P(A|B1)= = ,P
(A|B2)= = ,利用全概率公式,P(A)=P(B1)P
(A|B1)+P(B2)P(A|B2)= .
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8. 某车企为了更好地设计开发新车型,统计了近期购车的车主性别与
购车种类(新能源车或者燃油车)的情况,其中新能源车占销售量
的74%,男性占近期购车车主总数的60%,女性购车车主有80%购
买了新能源车,根据以上信息,则男性购车时,选择购买新能源车
的概率是 .
解析:设男性中有x%购买了新能源车,则x%×60%+40%×80%
=74%,解得x=70,所以男性购车时,选择购买新能源车的概率
是70%.
70%
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9. 某厂的产品中96%是合格品.现有一验收方法,把合格品判为“合
格品”的概率为0.98,把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.
当用此验收方法判一产品为“合格品”时,则此产品为合格品的概
率为 .
0.997 9
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解析:设“一产品经验收判为合格品”为事件A,“一产品为合格
品”为事件B. 由题知P(B)=0.96,P(A|B)=0.98,P
( )=0.04,P(A| )=0.05.由贝叶斯公式得P(B|A)
= = ≈0.997
9.故一产品经验收判为“合格品”时,此产品为合格品的概率约为
0.997 9.
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10. 李老师7:00出发去参加8:00开始的教学会.根据以往的经验,他
骑自行车迟到的概率是0.05,乘出租车迟到的概率是0.50.他出发
时首选自行车,发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故
障的概率是0.01,试计算李老师迟到的概率.
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解:用B表示李老师迟到,用A表示自行车有故障,则P(B|A)是乘出租车迟到的概率,P(B| )是骑自行车迟到的概率.
根据题意P(A)=0.01,P(B| )=0.05,P(B|A)=
0.50.
因为A, 互斥,所以AB, B互斥.
利用概率的可加性得到P(B)=P(AB∪ B)=P(AB)+P
( B).
因为P(A)>0,P( )>0,再由概率的乘法公式可知,李老师
迟到的概率是P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )
=0.01×0.50+(1-0.01)×0.05=0.054 5.
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11. 某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、
2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱,但不知丢失哪1
箱.现从剩下9箱中任意打开2箱,结果都是英语书,则丢失的1箱
也是英语书的概率为( )
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解析: 用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”,用Bk表示
“丢失的1箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文
书”.由全概率公式得P(A)= P(Bk)P(A|Bk)=
× + × + × = .P(B1|A)=
= = .故选B.
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12. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析
影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估
计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人
们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为
80%,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,则该
支股票将上涨的概率为 .
64%
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解析:设A=“利率下调”, =“利率不变”,B=“股票价
格上涨”.依题意知P(A)=60%,P( )=40%,P(B|
A)=80%,P(B| )=40%,则P(B)=P(A)P(B|
A)+P( )P(B| )=60%×80%+40%×40%=64%.
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13. 在通讯渠道中,可传送字符AAAA,BBBB,CCCC三者之一,假
定传送这三者的概率分别为0.3,0.4,0.3,由于通道噪声的干
扰,正确接收到被传送字母的概率为0.6,而接收到其它两个字母
的概率均为0.2,假定前后字母是否被歪曲互不影响,则接收到的
是ABBB的概率为 .
0.019 2
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解析:设H1表示传送字符AAAA,H2表示传送字符BBBB,H3表
示传送字符CCCC,G表示接收到ABBB. 由题设知,P(H1)=
0.3,P(H2)=0.4,P(H3)=0.3,从而有P(G|H1)=
0.6×0.2×0.2×0.2=0.004 8,P(G|H2)=
0.2×0.6×0.6×0.6=0.043 2,P(G|H3)=
0.2×0.2×0.2×0.2=0.001 6,根据全概率公式得P(G)=
P(Hi)P(G|Hi)=0.3×0.004 8+0.4×0.043 2+
0.3×0.001 6=0.019 2.
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14. 设甲箱中有3个白球和2个黑球,乙箱中有1个白球和2个黑
球,从甲箱中任意取两球放入乙箱,然后再从乙箱中任意取出
两球,试求:
(1)从乙箱中取出的两球是白球的概率;
解: 因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能:取得两白球,取得一黑球和一白球,取得两黑球,分别用A1,A2,A3表示,则A1,A2,A3即为所求的一个完备事件组.设B表示从乙箱中取出的两球是白球,则有
P(A1)= = ,P(A2)= = ,P(A3)= = ,
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P(B|A1)= = ,P(B|A2)= = ,P(B|A3)=0,
由全概率公式得到P(B)= P(Ai)P(B|Ai)= × +
× + ×0= .
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(2)在乙箱中取出的两球是白球的条件下,从甲箱中取出的两球
是白球的概率.
解: P(A1|B)= = = .
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15. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过:小孩第一次喊“狼
来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来
了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来
了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一
变化,假设小孩是诚实的,则他出于某种特殊的原因说谎的概率
为0.1;小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道
这个小孩诚实与否,所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是
0.9.已知某个小孩说谎了,那么他是诚实的小孩的概率是( )
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解析: 设事件A表示“小孩诚实”,事件B表示“小孩说
谎”,则P(B|A)=0.1,P(B| )=0.5,P(A)=
0.9,P( )=0.1,则P(AB)=P(A)P(B|A)=
0.9×0.1=0.09,P( B)=P( )P(B| )=0.1×0.5
=0.05,故P(B)=P(AB)+P( B)=0.14,故P(A|
B)= = = .故选D.
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16. 某种仪器由三个部件组装而成,假设各部件质量互不影响,且它
们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.已知若三个部件都是优质
品,则组装后的仪器一定合格;若有一个部件不是优质品,则组
装后的仪器不合格率为0.2;若有两个部件不是优质品,则组装后
的仪器的不合格率为0.6;若三个部件都不是优质品,则组装后的
仪器的不合格率为0.9.
(1)求仪器的不合格率;
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解:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器上有i个部件
不是优质品”,i=0,1,2,3,显然A0,A1,A2,A3构成
一个完备事件组,
P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=
0.6,P(B|A3)=0.9,
P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,
P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+
0.8×0.7×0.1=0.398,P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,
P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.
(1)应用全概率公式,有:P(B)= P(Ai)P
(B|Ai)=0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+
0.006×0.9=0.140 2.
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(2)若已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概
率最大.
解:应用贝叶斯公式,有:P(A0|B)=0,
P(A1|B)= = ,
P(A2|B)= = ,
P(A3|B)= = .
从计算结果可知,一台不合格的仪器中有一个部件不是优质
品的概率最大.
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谢 谢 观 看!