7.3.1 离散型随机变量的均值
1.已知随机变量X满足P（X＝1）＝0.3，P（X＝0）＝0.7，则E（X）＝（ ）
A.0.3 B.0.7
C.0.21 D.1
2.设随机变量X的概率分布如表所示，且E（X）＝2.5，则a－b＝（ ）
X 1 2 3 4
P a b
A. B.
C. D.
3.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（ ）
A. B.
C.2 D.
4.一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A.39元 B.37元
C.20元 D.元
5.（多选）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 q 0.3 0.4
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有（ ）
A.q＝0.3 B.q＝0.2
C.E（X）＝3 D.E（Y）＝5
6.（多选）设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是（ ）
A.p∈ B.E（X）最大值为
C.p∈ D.E（X）最大值为
7.已知E（Y）＝6，Y＝4X－2，则E（X）＝ .
8.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益为 元.
9.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是 .
10.一盒中有9个正品零件和3个次品零件，安装机器时从这批零件中随机抽取，若取出的是次品则不放回，求在第一次取到正品之前已取出的次品数X的分布列和均值.
11.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的均值是（ ）
A. B. C.1 D.
12.（多选）已知随机变量X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P a b
记“函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，则（ ）
A.P（A）＝ B.E（X）＝
C.E（X）＝－2a D.E（X2）＝
13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金 元.
14.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达智能门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需时间.
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的数学期望（均值）.
15.（多选）已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P p1 p2 p3
其中p1＋p3＝6p1p3，则下列选项正确的是（ ）
A.0≤p2≤ B.0≤p2≤
C.－≤E（ξ）≤ D.－≤E（ξ）≤
16.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 6 8 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）设每销售一件该商品获利1 000元，某天销售该商品获利情况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利；
日获利（元） 0 1 000 2 000 3 000
频率
（2）求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.
7.3.1 离散型随机变量的均值
1.A 根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以E（X）＝0.3.
2.C 由题意得，
解得∴a－b＝.故选C.
3.D 依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以E（X）＝2×＋3×＝.
4.B 设这台机器获利ξ元，易知随机变量ξ的分布列如下，∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），故选B.
ξ 50 30 －20
P 0.6 0.3 0.1
5.BD 由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝5.故选B、D.
6.AB 由表可得从而得p∈［0，］，期望值E（X）＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E（X）最大值＝.
7.2 解析：∵Y＝4X－2，E（Y）＝4E（X）－2，∴4E（X）－2＝6，即E（X）＝2.
8.2 200 解析：出海的期望效益为5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝3 000－800＝2 200（元）.
9.1.24 解析：由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的数学期望E（X）＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24.
10.解：随机变量X的可能取值为0，1，2，3.
{X＝0}表示“第一次取到正品”，则P（X＝0）＝＝；
{X＝1}表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，则P（X＝1）＝＝，
同理，可求得P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
因此随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值为E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
11.D ∵＝××，∴t＝3（t＝－3舍去）.记ξ的所有可能取值为0，1，2，其分布列如下，∴E（ξ）＝＋2×＝.
ξ 0 1 2
P
12.ACD 因为函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数，所以π＝＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P（A）＝a＋b＝1－＝，E（X）＝（－1）×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，随机变量X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝，P（X2＝1）＝a＋b＝，所以E（X2）＝0×＋1×＝.故选A、C、D.
13.100 解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况：①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，∴甲赢的概率为＋＋＝，∴E（X）＝800×＋0×＝700（元），则乙应得奖金800－700＝100（元）.
14.解：（1）ξ的可能取值为1，3，4，6.
P（ξ＝1）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝6）＝，
所以ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
（2）E（ξ）＝1×＋3×＋4×＋6×＝（小时）.
15.AC 因为p1＋p3＝6p1p3，所以＋＝6，p1＋p3＝（p1＋p3）（＋）＝（1＋1＋＋）≥（2＋2）＝，当且仅当＝，即p3＝p1＝时取等号，所以≤p3＋p1≤1，0≤p2≤，故A正确，B不正确；又E（ξ）＝－1×p1＋0×p2＋1×p3＝p3－p1，（E（ξ））2＝（p3－p1）2＝（p3＋p1）2－4p1p3＝（p3＋p1）2－（p1＋p3），（E（ξ））2∈［0，］，E（ξ）∈［－，］，故C正确，D不正确.故选A、C.
16.解：（1）设日销售量为随机变量X，X＝0，1，2，3.
由题意知，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
补充表格如下：
日获利（元） 0 1 000 2 000 3 000
频率
所以试销期间日平均获利为0＋1 000×＋2 000×＋3 000×＝1 850（元）.
（2）由题意知，第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率P＝P（X＝0）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＋＝.
3 / 37.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质 数学抽象
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值 数学运算
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 数学建模、数据分析
设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.
【问题】 （1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？
（2）X取上述值时对应的概率分别是多少？
（3）试想每个西瓜的平均重量该如何求？
知识点一 离散型随机变量的均值
1.定义：若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E（X）＝ ＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.
2.意义：均值E（X）刻画的是X取值的“中心位置”，反映了随机变量取值的 .
3.性质：若X是离散型随机变量，则
（1）E（X＋b）＝ ；
（2）E（aX）＝ ；
（3）E（aX＋b）＝ .
提醒 （1）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变量X可能取值关于取值概率的加权平均数，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平；（2）由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位.
【想一想】
离散型随机变量的均值和样本的平均值相同吗？
知识点二 两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量X的均值E（X）是个变量，其随X的变化而变化.（ ）
（2）随机变量的均值E（X）反映了X取值的平均水平.（ ）
（3）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.（ ）
（4）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝P（X＝1）.（ ）
2.已知随机变量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E（X）＝（ ）
A.2 B.2.4 C.3.6 D.不确定
3.设E（X）＝5，则E（2X＋10）＝ .
题型一 求离散型随机变量的均值
【例1】 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值.
通性通法
求随机变量X的均值的方法和步骤
（1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
（2）求出X取每个值的概率P（X＝k）；
（3）写出X的分布列；
（4）利用均值的定义求E（X）.
【跟踪训练】
袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值.
题型二 离散型随机变量的均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E（Y）＝ .
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，若Y＝2X－3，求E（Y）.
2.（变设问）本例条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，求a的值.
通性通法
求随机变量Y＝aX＋b的均值
（1）先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E（Y）；
（2）利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，则m＝（ ）
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B.
C. D.
题型三 离散型随机变量均值的实际应用
【例3】 在有奖摸彩中，一期（发行10 000张彩票为一期）有200张奖金是5元的，20张奖金是25元的，5张奖金是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
通性通法
实际问题中均值的含义
对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布列，然后按定义计算出随机变量的均值，均值反映了随机变量取值的平均水平，刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质.
【跟踪训练】
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为X.
（1）求X的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即X的均值）.
1.随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E（X）＝（ ）
X 0 1
P a
A. B.
C. D.
2.设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E（η）＝（ ）
A. B.
C. D.
3.甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 .
提示：完成课后作业 第七章 7.3 7.3.1
7.3.2 离散型随机变量的方差
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 数学抽象
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 数学建模、数学运算
3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差 数学运算
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
【问题】 （1）由E（X1）和E（X2）的值能比较两名工人的产品质量吗？
（2）试想利用什么指标可以比较加工质量？
知识点 离散型随机变量的方差
1.定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们称D（X）＝ ＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）.
2.标准差
称 为随机变量X的标准差，记为σ（X）.
3.方差的性质
（1）D（X＋b）＝ ；
（2）D（aX）＝ ；
（3）D（aX＋b）＝ .
提醒 对方差概念的再理解：①D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大，表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；②方差也可以用公式D（X）＝E（X2）－（E（X））2计算；③若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）（其中p为成功概率）.
【想一想】
随机变量的方差与样本方差有什么关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.（ ）
（2）若a是常数，则D（a）＝0.（ ）
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.（ ）
（4）若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D（X）＝0.25.（ ）
2.已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D（X）＝（ ）
A.0.7 B.0.61
C.－0.3 D.0
3.设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
题型一 求离散型随机变量的方差
【例1】 袋中有除颜色外其他都相同的6个小球，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差.
通性通法
求离散型随机变量X的方差的基本步骤
（1）理解X的意义，写出X的可能取值；
（2）写出X的分布列；
（3）由均值的定义求出E（X）；
（4）利用公式D（X）＝（xi－E（X））2pi求出D（X）.
【跟踪训练】
甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值和方差.
题型二 方差的性质的应用
【例2】 已知随机变量X的分布列如下表所示：
X －1 0 1
P a
（1）求X2的分布列；
（2）求X的方差；
（3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
通性通法
求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解.
【跟踪训练】
已知0＜a＜，0＜b＜，随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a b
若E（X）＝，则a＝ ，D（3X－1）＝ .
题型三 方差的简单应用
【例3】 为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队女子50米气步枪（三姿）队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.
通性通法
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高；
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定；
（3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论.
【跟踪训练】
甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
（1）求E（X）和E（Y）；
（2）求D（X）和D（Y），并比较两种品牌手表的性能.
1.下列说法中正确的是（ ）
A.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值
B.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平
C.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值
2.已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝（ ）
X 1 2 3
P
A. B.1
C. D.
3.已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为 .
4.编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E（ξ）和D（ξ）.
7.3.1 离散型随机变量的均值
【基础知识·重落实】
知识点一
1.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 2.平均水平
3.（1）E（X）＋b （2）aE（X） （3）aE（X）＋b
想一想
提示：不相同.离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化.
知识点二
p
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.C 依题意和分布列的性质得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E（X）＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6.
3.20 解析：E（2X＋10）＝2×E（X）＋10＝20.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题意得，X可能的取值为1，2，3，4，5，则P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝×＝，
P（X＝3）＝××＝，
P（X＝4）＝×××＝，
P（X＝5）＝××××1＝，
故X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
由离散型随机变量均值的定义知E（X）＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.
跟踪训练
解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝6）＝＝，
P（X＝7）＝＝，
P（X＝8）＝＝，
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
∴E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
【例2】 解析：由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，所以E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×＝.
母题探究
1.解：由公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b及E（X）＝－得，E（Y）＝E（2X－3）＝2E（X）－3＝2×－3＝－.
2.解：因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15.
跟踪训练
A 因为η＝12ξ＋7，则E（η）＝12E（ξ）＋7，即E（η）＝12×（1×＋2×m＋3×n＋4×）＋7＝34.所以2m＋3n＝①.又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝②.由①②可解得m＝.
【例3】 解：设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25，100.
由题意P（X＝0）＝＝，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝25）＝＝，
P（X＝100）＝＝.
因此随机变量X的分布列为
X 0 5 25 100
P
所以E（X）＝0×＋5×＋25×＋100×＝0.2（元），
所以一张彩票的合理价格是0.2元.
跟踪训练
解：（1）X的所有可能取值有6，2，1，－2，
P（X＝6）＝＝0.63，P（X＝2）＝＝0.25，
P（X＝1）＝＝0.1，P（X＝－2）＝＝0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
（2）E（X）＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）×0.02＝4.34（万元）.
随堂检测
1.A 由题意知＋a＝1，所以a＝，E（X）＝0×＋1×a＝a＝.
2.D E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E（η）＝E（2ξ＋5）＝2E（ξ）＋5＝2×＋5＝.
3.乙 解析：E（X）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E（Y）＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E（Y）＜E（X）.∴乙技术好.
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7.3.1
离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的
意义和性质 数学抽象
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值 数学运算
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的
实际问题 数学建模、
数据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3
个，重7 kg的有5个.
【问题】 （1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜
的重量，试想X可以取哪些值？
（2）X取上述值时对应的概率分别是多少？
（3）试想每个西瓜的平均重量该如何求？
知识点一 离散型随机变量的均值
1. 定义：若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E（X）＝ ＝ xipi为随机变量X的
均值或数学期望.
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
2. 意义：均值E（X）刻画的是X取值的“中心位置”，反映了随机
变量取值的 .
3. 性质：若X是离散型随机变量，则
（1）E（X＋b）＝ ；
（2）E（aX）＝ ；
（3）E（aX＋b）＝ .
平均水平
E（X）＋b
aE（X）
aE（X）＋b
提醒 （1）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变
量X可能取值关于取值概率的加权平均数，是随机变量X本身固有的
一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水
平；（2）由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变
量有相同的单位.
【想一想】
离散型随机变量的均值和样本的平均值相同吗？
提示：不相同.离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本
的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化.
知识点二 两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝ .
p
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量X的均值E（X）是个变量，其随X的变化而变化.
（ × ）
（2）随机变量的均值E（X）反映了X取值的平均水平. （ √ ）
（3）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.
（ √ ）
（4）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝P（X＝1）.
（ √ ）
×
√
√
√
2. 已知随机变量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E（X）＝（ ）
A. 2 B. 2.4
解析： 依题意和分布列的性质得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解
得m＝0.5，所以E（X）＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝
3.6.
C. 3.6 D. 不确定
3. 设E（X）＝5，则E（2X＋10）＝ .
解析：E（2X＋10）＝2×E（X）＋10＝20.
20
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求离散型随机变量的均值
【例1】 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1
个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球
则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值.
解：由题意得，X可能的取值为1，2，3，4，5，则P（X＝1）＝ ，
P（X＝2）＝ × ＝ ，
P（X＝3）＝ × × ＝ ，
P（X＝4）＝ × × × ＝ ，
P（X＝5）＝ × × × ×1＝ ，
故X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
由离散型随机变量均值的定义知E（X）＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）
＝3.
通性通法
求随机变量X的均值的方法和步骤
（1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
（2）求出X取每个值的概率P（X＝k）；
（3）写出X的分布列；
（4）利用均值的定义求E（X）.
【跟踪训练】
袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个
红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值.
解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2
黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8，
P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝6）＝ ＝ ，
P（X＝7）＝ ＝ ，
P（X＝8）＝ ＝ ，
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
∴E（X）＝5× ＋6× ＋7× ＋8× ＝ .
题型二 离散型随机变量的均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E（Y）＝ .
解析：由随机变量分布列的性质，得 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得m
＝ ，所以E（X）＝（－2）× ＋（－1）× ＋0× ＋1× ＋
2× ＝－ .由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×
＝ .
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，若Y＝2X－3，求E（Y）.
解：由公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b及E（X）＝－ 得，E
（Y）＝E（2X－3）＝2E（X）－3＝2× －3＝－ .
2. （变设问）本例条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且
E（ξ）＝－ ，求a的值.
解：因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－ a＋3＝－
，所以a＝15.
通性通法
求随机变量Y＝aX＋b的均值
（1）先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E
（Y）；
（2）利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取
值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列
如下表，则m＝（ ）
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B.
C. D.
解析： 因为η＝12ξ＋7，则E（η）＝12E（ξ）＋7，即E（η）＝
12×（1× ＋2×m＋3×n＋4× ）＋7＝34.所以2m＋3n＝ ①.
又 ＋m＋n＋ ＝1，所以m＋n＝ ②.由①②可解得m＝ .
题型三 离散型随机变量均值的实际应用
【例3】 在有奖摸彩中，一期（发行10 000张彩票为一期）有200张
奖金是5元的，20张奖金是25元的，5张奖金是100元的.在不考虑获利
的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
解：设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，
5，25，100.
由题意P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝5）＝ ＝ ，
P（X＝25）＝ ＝ ，
P（X＝100）＝ ＝ .
因此随机变量X的分布列为
X 0 5 25 100
P
所以E（X）＝0× ＋5× ＋25× ＋100× ＝0.2（元），
所以一张彩票的合理价格是0.2元.
通性通法
实际问题中均值的含义
对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问
题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布列，
然后按定义计算出随机变量的均值，均值反映了随机变量取值的平均
水平，刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完
全决定随机变量的性质.
【跟踪训练】
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二
等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得
的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产
品的利润（单位：万元）为X.
（1）求X的分布列；
解： X的所有可能取值有6，2，1，－2，
P（X＝6）＝ ＝0.63，P（X＝2）＝ ＝0.25，
P（X＝1）＝ ＝0.1，P（X＝－2）＝ ＝0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
（2）求1件产品的平均利润（即X的均值）.
解： E（X）＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）
×0.02＝4.34（万元）.
1. 随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E（X）＝
（ ）
X 0 1
P a
A. B.
C. D.
解析： 由题意知 ＋a＝1，所以a＝ ，E（X）＝0× ＋
1×a＝a＝ .
2. 设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E（η）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ，E（η）＝E
（2ξ＋5）＝2E（ξ）＋5＝2× ＋5＝ .
3. 甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，
Y，其分布列分别为：
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的
是 .
解析：E（X）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E（Y）
＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E（Y）＜E（X）.∴乙技
术好.
乙
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知随机变量X满足P（X＝1）＝0.3，P（X＝0）＝0.7，则E
（X）＝（ ）
A. 0.3 B. 0.7
C. 0.21 D. 1
解析： 根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以E
（X）＝0.3.
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2. 设随机变量X的概率分布如表所示，且E（X）＝2.5，则a－b＝
（ ）
X 1 2 3 4
P a b
A. B.
C. D.
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解析： 由题意得，解得
∴a－b＝ .故选C.
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3. 口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中
任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（ ）
A. B. C. 2 D.
解析： 依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝
3）＝ ＝ ，所以E（X）＝2× ＋3× ＝ .
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4. 一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙
等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲
等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每
生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A. 39元 B. 37元
C. 20元 D. 元
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解析： 设这台机器获利ξ元，易知随机变量ξ的分布列如下，
∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），
故选B.
ξ 50 30 －20
P 0.6 0.3 0.1
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5. （多选）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 q 0.3 0.4
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有
（ ）
A. q＝0.3 B. q＝0.2
C. E（X）＝3 D. E（Y）＝5
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解析： 由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）
＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X
＋1）＝2E（X）＋1＝5.故选B、D.
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6. （多选）设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是（ ）
A. p∈ B. E（X）最大值为
C. p∈ D. E（X）最大值为
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解析： 由表可得从而得p∈［0， ］，期望
值E（X）＝0× ＋1·p＋2× ＝p＋1，当且仅当p＝
时，E（X）最大值＝ .
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7. 已知E（Y）＝6，Y＝4X－2，则E（X）＝ .
解析：∵Y＝4X－2，E（Y）＝4E（X）－2，∴4E（X）－2＝
6，即E（X）＝2.
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8. 某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损
失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为
0.6，则出海的期望效益为 元.
解析：出海的期望效益为5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝
3 000－800＝2 200（元）.
2 200
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9. 射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目
标的概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望
是 .
解析：由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）
＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝
0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的数学期
望E（X）＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24.
1.24
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解：随机变量X的可能取值为0，1，2，3.
{X＝0}表示“第一次取到正品”，则P（X＝0）＝ ＝ ；
{X＝1}表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，则P（X＝
1）＝ ＝ ，
同理，可求得P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
因此随机变量X的分布列为
10. 一盒中有9个正品零件和3个次品零件，安装机器时从这批零件中
随机抽取，若取出的是次品则不放回，求在第一次取到正品之前
已取出的次品数X的分布列和均值.
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X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值为E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋
3× ＝ ＝ .
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11. 甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为 ，乙、丙打中
的概率均为 （0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是 ，设ξ
表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的均值是（ ）
A. B.
C. 1 D.
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解析： ∵ ＝ × × ，∴t＝3（t＝－3舍去）.记ξ的所有
可能取值为0，1，2，其分布列如下，∴E（ξ）＝ ＋2× ＝
.
ξ 0 1 2
P
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12. （多选）已知随机变量X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P a b
记“函数f（x）＝3 sin π（x∈R）是偶函数”为事件A，则
（ ）
A. P（A）＝ B. E（X）＝
C. E（X）＝ －2a D. E（X2）＝
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解析： 因为函数f（x）＝3 sin π（x∈R）是偶函数，
所以 π＝ ＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－
1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P（A）＝a＋b＝1－
＝ ，E（X）＝（－1）×a＋0× ＋1×b＝b－a＝ －2a，随
机变量X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝ ，P（X2＝1）＝a
＋b＝ ，所以E（X2）＝0× ＋1× ＝ .故选A、C、D.
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13. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为 ，现采
用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲
胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖
金 元.
100
解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛
有3种情况：①胜第3局，甲赢的概率为 ，②输第3局，胜第4
局，甲赢的概率为 × ＝ ，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概
率为 × × ＝ ，∴甲赢的概率为 ＋ ＋ ＝ ，∴E（X）＝
800× ＋0× ＝700（元），则乙应得奖金800－700＝100（元）.
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14. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首
次到达智能门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是
1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分
别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机
打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫
所需时间.
（1）求ξ的分布列；
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解： ξ的可能取值为1，3，4，6.
P（ξ＝1）＝ ，P（ξ＝3）＝ ，P（ξ＝4）＝ ，
P（ξ＝6）＝ ，所以ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
（2）求ξ的数学期望（均值）.
解： E（ξ）＝1× ＋3× ＋4× ＋6× ＝ （小时）.
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15. （多选）已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P p1 p2 p3
其中p1＋p3＝6p1p3，则下列选项正确的是（ ）
A. 0≤p2≤ B. 0≤p2≤
C. － ≤E（ξ）≤ D. － ≤E（ξ）≤
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解析： 因为p1＋p3＝6p1p3，所以 ＋ ＝6，p1＋p3＝
（p1＋p3）（ ＋ ）＝ （1＋1＋ ＋ ）≥ （2＋2 ）＝ ，当且仅当 ＝ ，即p3＝p1＝ 时取等号，所以 ≤p3＋p1≤1，0≤p2≤ ，故A正确，B不正确；又E（ξ）＝－1×p1＋0×p2＋1×p3＝p3－p1，（E（ξ））2＝（p3－p1）2＝（p3＋p1）2－4p1p3＝（p3＋p1）2－ （p1＋p3），（E（ξ））2∈［0， ］，E（ξ）∈［－ ， ］，故C正确，D不正确.故选A、C.
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16. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量
（件） 0 1 2 3
频数 1 6 8 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天
开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货
少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
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（1）设每销售一件该商品获利1 000元，某天销售该商品获利情
况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利；
日获利（元） 0 1 000 2 000 3 000
频率
解： 设日销售量为随机变量X，X＝0，1，2，3.
由题意知，P（X＝0）＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P
（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
补充表格如下：
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日获利
（元） 0 1 000 2 000 3 000
频率
所以试销期间日平均获利为0＋1 000× ＋2 000× ＋3 000× ＝1 850（元）.
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（2）求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.
解： 由题意知，第二天开始营业时该商品的件数为3件
的概率P＝P（X＝0）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ＋
＋ ＝ .
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