7.3.2 离散型随机变量的方差
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计（ ）
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.设X，Y为随机变量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，则D（Y）＝（ ）
A.9 B.8
C.5 D.4
3.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3ξ＋5）＝（ ）
A.6 B.9
C.3 D.4
4.设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，1），则E（ξ），D（ξ）的值分别是（ ）
A.0和1 B.p和p2
C.p和1－p D.p和p（1－p）
5.甲、乙两台自动机床各生产同种标准的产品1 000件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断（ ）
表一
X 0 1 2 3
P 0.7 0 0.2 0.1
表二
Y 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
6.（多选）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的均值为2
D.取球次数ξ的方差为
7.已知随机变量X的分布列如下表所示，则a＝ ，D（X）＝ .
X 1 3 5
P 0.4 0.1 a
8.设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则＝ .
9.已知盒子中装有n（n＞1，n∈N*）个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则D（X）＝ .
X 0 1 2
P a b
10.已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
（1）求η的方差；
（2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）.
11.已知随机变量ξi，满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则（ ）
A.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
12.某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D（X）＝ .
13.开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所示（用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立）.
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
（1）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值；
（2）在（1）中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差D（X）与D（Y）的大小.
14.某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为ξ，则D（ξ）＝ .
15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润.
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（2）求η的分布列、期望和方差.
7.3.2 离散型随机变量的方差
1.B ∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
2.B 由题意，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝6－4＝2，故D（Y）＝D（2X－1）＝22D（X）＝8.
3.A 由题可得，E（ξ）＝×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）＝[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，D（3ξ＋5）＝32×D（ξ）＝6，故选A.
4.D 由题可得，P（ξ＝0）＝1－p，P（ξ＝1）＝p，E（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D（ξ）＝（1－p）2×p＋（0－p）2×（1－p）＝p（1－p），故选D.
5.B 由分布列可求甲的次品数的均值为E（X） ＝0×0.7＋1×0＋2×0.2＋3×0.1＝0.7，乙的次品数的均值为E（Y）＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7，D（X）＝（0－0.7）2×0.7＋（1－0.7）2×0＋（2－0.7）2×0.2＋（3－0.7）2×0.1＝1.21，D（Y）＝（0－0.7）2×0.6＋（1－0.7）2×0.2＋（2－0.7）2×0.1＋（3－0.7）2×0.1＝1.01，E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y），所以乙比甲质量好.
6.BD 设取球次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝×＝.对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P（ξ＝2）＝，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝＋＝，B选项正确；对于C选项，取球次数ξ的均值为E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝，C选项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D（ξ）＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，D选项正确.
7.0.5 3.56 解析：根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5，E（X）＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D（X）＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
8. 解析：易知X的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，且每种取值的概率都为，所以E（X）＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝，D（X）＝E（X2）－＝（1＋4＋9＋16＋25＋36）－（）2＝，所以＝.
9. 解析：由分布列可得a＋b＝ ，P（X＝1）＝＝，所以n＝2，又P（X＝0）＝＝＝a，所以b＝，进而可得E（X）＝＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2×＋（2－1）2b＝a＋b＝.
10.解：（1）∵E（η）＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D（η）＝（0－16）2×＋（10－16）2×＋（20－16）2×＋（50－16）2×＋（60－16）2×＝384.
（2）∵Y＝2η－E（η），
∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝1 536.
11.A 因为E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E（ξ2）.D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）（1－p1－p2）＜0，故选A.
12. 解析：由题意知X的可能取值有0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝×＋×＋×＋×＝.
13.解：（1）记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方案二中抽取到女生”为事件B，则P（A）＝＝，P（B）＝＝，
X的可能取值为0，1，2，
所以P（X＝0）＝（1－）×（1－）＝，
P（X＝1）＝（1－）×＋×（1－）＝，
P（X＝2）＝×＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
（2）依题意可得Y＝2－X，所以D（Y）＝D（2－X）＝（－1）2D（X）＝D（X），即D（Y）＝D（X）.
14.0.63 解析：ξ的可能取值为7，8，9，10，且P（ξ＝7）＝0.12＝0.01，P（ξ＝8）＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P（ξ＝9）＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P（ξ＝10）＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.所以ξ的分布列为
ξ 7 8 9 10
P 0.01 0.24 0.39 0.36
E（ξ）＝7×0.01＋8×0.24＋9×0.39＋10×0.36＝9.1，D（ξ）＝（7－9.1）2×0.01＋（8－9.1）2×0.24＋（9－9.1）2×0.39＋（10－9.1）2×0.36＝0.63.
15.解：（1）“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
P（）＝（1－0.2）3＝0.512，∴P（A）＝1－P（）＝1－0.512＝0.488.
（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率，
P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2，
P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6，
P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2，
故η的分布列为
η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴期望E（η）＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D（η）＝（200－300）2×0.2＋（300－300）2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000.
2 / 37.3.2 离散型随机变量的方差
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 数学抽象
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 数学建模、数学运算
3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差 数学运算
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
【问题】 （1）由E（X1）和E（X2）的值能比较两名工人的产品质量吗？
（2）试想利用什么指标可以比较加工质量？
知识点 离散型随机变量的方差
1.定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们称D（X）＝ ＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）.
2.标准差
称 为随机变量X的标准差，记为σ（X）.
3.方差的性质
（1）D（X＋b）＝ ；
（2）D（aX）＝ ；
（3）D（aX＋b）＝ .
提醒 对方差概念的再理解：①D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大，表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；②方差也可以用公式D（X）＝E（X2）－（E（X））2计算；③若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）（其中p为成功概率）.
【想一想】
随机变量的方差与样本方差有什么关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.（ ）
（2）若a是常数，则D（a）＝0.（ ）
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.（ ）
（4）若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D（X）＝0.25.（ ）
2.已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D（X）＝（ ）
A.0.7 B.0.61
C.－0.3 D.0
3.设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
题型一 求离散型随机变量的方差
【例1】 袋中有除颜色外其他都相同的6个小球，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差.
通性通法
求离散型随机变量X的方差的基本步骤
（1）理解X的意义，写出X的可能取值；
（2）写出X的分布列；
（3）由均值的定义求出E（X）；
（4）利用公式D（X）＝（xi－E（X））2pi求出D（X）.
【跟踪训练】
甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值和方差.
题型二 方差的性质的应用
【例2】 已知随机变量X的分布列如下表所示：
X －1 0 1
P a
（1）求X2的分布列；
（2）求X的方差；
（3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
通性通法
求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解.
【跟踪训练】
已知0＜a＜，0＜b＜，随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a b
若E（X）＝，则a＝ ，D（3X－1）＝ .
题型三 方差的简单应用
【例3】 为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队女子50米气步枪（三姿）队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.
通性通法
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高；
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定；
（3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论.
【跟踪训练】
甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
（1）求E（X）和E（Y）；
（2）求D（X）和D（Y），并比较两种品牌手表的性能.
1.下列说法中正确的是（ ）
A.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值
B.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平
C.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值
2.已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝（ ）
X 1 2 3
P
A. B.1
C. D.
3.已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为 .
4.编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E（ξ）和D（ξ）.
7.3.2 离散型随机变量的方差
【基础知识·重落实】
知识点
1.（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn （xi－E（X））2pi 2. 3.（1）D（X） （2）a2D（X）
（3）a2D（X）
想一想
提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.B E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D（X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61.
3.C 因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3，
则P（X＝5）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
故X的分布列为
X 5 4 3
P
E（X）＝5×＋4×＋3×＝4.
D（X）＝（5－4）2×＋（4－4）2×＋（3－4）2×＝.
跟踪训练
解：乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2.
则P（ξ＝0）＝×＝，
P（ξ＝1）＝×＋×＝，
P（ξ＝2）＝×＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝，
D（ξ）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝.
【例2】 解：（1）由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2 0 1
P
（2）由（1）知a＝，所以E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－.
故D（X）＝（－1＋）2×＋（0＋）2×＋（1＋）2×＝.
（3）由（2）知E（X）＝－，D（X）＝，
所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（－）＋3＝2，
D（Y）＝16D（X）＝11.
跟踪训练
5
解析：由题意可得解得因此，D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝，即D（3X－1）＝9D（X）＝5.
【例3】 解：（1）由离散型随机变量的分布的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
（2）E（ξ）＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E（η）＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D（ξ）＝（1－2.3）2×0.3＋（2－2.3）2×0.1＋（3－2.3）2×0.6＝0.81，
D（η）＝（1－2）2×0.3＋（2－2）2×0.4＋（3－2）2×0.3＝0.6.
由于E（ξ）＞E（η），说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D（ξ）＞D（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.
跟踪训练
解：（1）由已知可得，E（X）＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，
E（Y）＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0.
（2）由（1）知，E（X）＝0，E（Y）＝0，
所以D（X）＝（－1－0）2×0.1＋（0－0）2×0.8＋（1－0）2×0.1＝0.2.
D（Y）＝（－2－0）2×0.1＋（－1－0）2×0.2＋（0－0）2×0.4＋（1－0）2×0.2＋（2－0）2×0.1＝1.2.
所以E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定.
随堂检测
1.C E（X）反映了X取值的平均水平，D（X）反映了X取值的离散程度.
2.C 由题意得E（X）＝1×＋2×＋3×＝，所以D（X）＝×＋×＋×＝.故选C.
3. 解析：由题意可知D（10X）＝，即100D（X）＝，∴D（X）＝，∴＝.即X的标准差为.
4.解：ξ的所有可能取值为0，1，3，
则P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P
E（ξ）＝0×＋1×＋3×＝1，
D（ξ）＝×（0－1）2＋×（1－1）2＋×（3－1）2＝1.
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7.3.2
离散型随机变量的方差
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方
差及标准差的概念 数学抽象
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能
解决一些实际问题 数学建模、数学运算
3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用
公式求方差 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100
件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
【问题】 （1）由E（X1）和E（X2）的值能比较两名工人的产品
质量吗？
（2）试想利用什么指标可以比较加工质量？
知识点 离散型随机变量的方差
1. 定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们称D（X）＝
＝ 为随机变
量X的方差，有时也记为Var（X）.
（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…
＋（xn－E（X））2pn
（xi－E（X））2pi
2. 标准差
3. 方差的性质
（1）D（X＋b）＝ ；
（2）D（aX）＝ ；
（3）D（aX＋b）＝ .
D（X）
a2D（X）
a2D（X）
提醒 对方差概念的再理解：①D（X）表示随机变量X对E（X）
的平均偏离程度，D（X）越大，表明平均偏离程度越大，说明X的
取值越分散；②方差也可以用公式D（X）＝E（X2）－（E
（X））2计算；③若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）（其
中p为成功概率）.
【想一想】
随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差是
总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的
变化而变化的.对于
提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差
则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本，随
着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （ × ）
（2）若a是常数，则D（a）＝0. （ √ ）
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程
度. （ √ ）
（4）若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D
（X）＝0.25. （ √ ）
×
√
√
√
2. 已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D（X）＝（ ）
A. 0.7 B. 0.61
解析： E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D
（X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）
2×0.2＝0.61.
C. －0.3 D. 0
3. 设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求离散型随机变量的方差
【例1】 袋中有除颜色外其他都相同的6个小球，其中红球2个、
黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小
球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值
和方差.
解：由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3，
则P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ .
故X的分布列为
X 5 4 3
P
E（X）＝5× ＋4× ＋3× ＝4.
D（X）＝（5－4）2× ＋（4－4）2× ＋（3－4）2× ＝ .
通性通法
求离散型随机变量X的方差的基本步骤
（1）理解X的意义，写出X的可能取值；
（2）写出X的分布列；
（3）由均值的定义求出E（X）；
（4）利用公式D（X）＝ （xi－E（X））2pi求出D（X）.
【跟踪训练】
甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，
否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概
率分别为 ， .在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布
列、均值和方差.
解：乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2.
则P（ξ＝0）＝ × ＝ ，
P（ξ＝1）＝ × ＋ × ＝ ，
P（ξ＝2）＝ × ＝ .
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D（ξ）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＝ .
题型二 方差的性质的应用
【例2】 已知随机变量X的分布列如下表所示：
X －1 0 1
P a
（1）求X2的分布列；
解： 由分布列的性质，知 ＋ ＋a＝1，故a＝ ，从而X2
的分布列为
X2 0 1
P
（2）求X的方差；
解： 由（1）知a＝ ，所以E（X）＝－1× ＋0× ＋
1× ＝－ .
故D（X）＝（－1＋ ）2× ＋（0＋ ）2× ＋（1＋ ）2×
＝ .
（3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
解： 由（2）知E（X）＝－ ，D（X）＝ ，
所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（－ ）＋3＝2，
D（Y）＝16D（X）＝11.
通性通法
求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再
求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D
（X）求解.
【跟踪训练】
已知0＜a＜ ，0＜b＜ ，随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a b
若E（X）＝ ，则a＝ ，D（3X－1）＝ .
5
解析：由题意可得解得因此，D（X）＝
（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＝ ，即D（3X－1）
＝9D（X）＝5.
题型三 方差的简单应用
【例3】 为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运
动会），中国射击队女子50米气步枪（三姿）队甲、乙两名运动员展
开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的
分布列为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
解： 由离散型随机变量的分布的性质可知a＋0.1＋0.6＝
1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.
解： E（ξ）＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E（η）＝
1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D（ξ）＝（1－2.3）2×0.3＋（2－2.3）2×0.1＋（3－2.3）
2×0.6＝0.81，
D（η）＝（1－2）2×0.3＋（2－2）2×0.4＋（3－2）2×0.3
＝0.6.
由于E（ξ）＞E（η），说明在一次射击中，甲的平均得分比乙
高，但D（ξ）＞D（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此
甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.
通性通法
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值
的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁
的平均水平高；
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取
值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发
挥相对稳定；
（3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论.
【跟踪训练】
甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：
s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
（1）求E（X）和E（Y）；
解： 由已知可得，E（X）＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1
＝0，
E（Y）＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0.
（2）求D（X）和D（Y），并比较两种品牌手表的性能.
解： 由（1）知，E（X）＝0，E（Y）＝0，
所以D（X）＝（－1－0）2×0.1＋（0－0）2×0.8＋（1－0）
2×0.1＝0.2.
D（Y）＝（－2－0）2×0.1＋（－1－0）2×0.2＋（0－0）
2×0.4＋（1－0）2×0.2＋（2－0）2×0.1＝1.2.
所以E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时
更稳定.
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值
B. 离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平
C. 离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平
D. 离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值
解析： E（X）反映了X取值的平均水平，D（X）反映了X取
值的离散程度.
2. 已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝（ ）
X 1 2 3
P
B. 1
解析： 由题意得E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，所以D（X）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .故选C.
3. 已知随机变量X，且D（10X）＝ ，则X的标准差为 .
解析：由题意可知D（10X）＝ ，即100D（X）＝ ，∴D
（X）＝ ，∴ ＝ .即X的标准差为 .
4. 编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每
名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E
（ξ）和D（ξ）.
解：ξ的所有可能取值为0，1，3，则P（ξ＝0）＝ ＝ ，
P（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ .
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P
E（ξ）＝0× ＋1× ＋3× ＝1，
D（ξ）＝ ×（0－1）2＋ ×（1－1）2＋ ×（3－1）2＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本
均值相等，方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以
估计（ ）
A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析： ∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖
整齐.
2. 设X，Y为随机变量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，
则D（Y）＝（ ）
A. 9 B. 8
C. 5 D. 4
解析： 由题意，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝6－4＝
2，故D（Y）＝D（2X－1）＝22D（X）＝8.
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3. 已知随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝ ，k＝1，2，3，则D
（3ξ＋5）＝（ ）
A. 6 B. 9 C. 3 D. 4
解析： 由题可得，E（ξ）＝ ×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）
＝ [（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝ ，D（3ξ＋5）＝
32×D（ξ）＝6，故选A.
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4. 设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，
1），则E（ξ），D（ξ）的值分别是（ ）
A. 0和1 B. p和p2
C. p和1－p D. p和p（1－p）
解析： 由题可得，P（ξ＝0）＝1－p，P（ξ＝1）＝p，E
（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D（ξ）＝（1－p）2×p＋（0
－p）2×（1－p）＝p（1－p），故选D.
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5. 甲、乙两台自动机床各生产同种标准的产品1 000件，X表示甲机
床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中
的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表
二所示.据此判断（ ）
表一
X 0 1 2 3
P 0.7 0 0.2 0.1
表二
Y 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
A. 甲比乙质量好
B. 乙比甲质量好
C. 甲与乙质量相同
D. 无法判定
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解析： 由分布列可求甲的次品数的均值为E（X） ＝0×0.7＋
1×0＋2×0.2＋3×0.1＝0.7，乙的次品数的均值为E（Y）＝
0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7，D（X）＝（0－0.7）
2×0.7＋（1－0.7）2×0＋（2－0.7）2×0.2＋（3－0.7）2×0.1
＝1.21，D（Y）＝（0－0.7）2×0.6＋（1－0.7）2×0.2＋（2－
0.7）2×0.1＋（3－0.7）2×0.1＝1.01，E（X）＝E（Y），D
（X）＞D（Y），所以乙比甲质量好.
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6. （多选）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地
每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）
C. 取球次数ξ的均值为2
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解析： 设取球次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ
＝1）＝ ，P（ξ＝2）＝ × ＝ ，P（ξ＝3）＝ × ＝ .对
于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P（ξ＝2）＝ ，A选项错
误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率
为P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝ ＋ ＝ ，B选项正确；对于C选
项，取球次数ξ的均值为E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，C选
项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D（ξ）＝（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ ，D选项正确.
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7. 已知随机变量X的分布列如下表所示，则a＝ ，D（X）
＝ .
X 1 3 5
P 0.4 0.1 a
解析：根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝
0.5，E（X）＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D（X）＝2.22×0.4＋
0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
0.5
3.56
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8. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则 ＝ .
解析：易知X的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，且每种取值的
概率都为 ，所以E（X）＝ （1＋2＋3＋4＋5＋6）＝ ，D
（X）＝E（X2）－ ＝ （1＋4＋9＋16＋25＋36）－
（ ）2＝ ，所以 ＝ .
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9. 已知盒子中装有n（n＞1，n∈N*）个一等品和2个二等品，从中
任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示
取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则D（X）＝ .
X 0 1 2
P a B
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解析：由分布列可得a＋b＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，所以n＝
2，又P（X＝0）＝ ＝ ＝a，所以b＝ ，进而可得E（X）＝
＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2× ＋（2－1）2b
＝a＋b＝ .
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10. 已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
（1）求η的方差；
解： ∵E（η）＝0× ＋10× ＋20× ＋50× ＋
60× ＝16，
∴D（η）＝（0－16）2× ＋（10－16）2× ＋（20－16）
2× ＋（50－16）2× ＋（60－16）2× ＝384.
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（2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）.
解： ∵Y＝2η－E（η），
∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝
1 536.
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11. 已知随机变量ξi，满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i
＝1，2.若0＜p1＜p2＜ ，则（ ）
A. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
解析： 因为E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E
（ξ2）.D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），D
（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）（1－p1－p2）＜0，故选A.
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解析：由题意知X的可能取值有0，1，2，3，则P（X＝0）＝
＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P
（X＝3）＝ ＝ .故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3×
＝ ，D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）
2× ＋（3－ ）2× ＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝
.
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13. 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接
送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群
众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服
务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方
案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所
示（用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独
立）.
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
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（1）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，
设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值；
解： 记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方
案二中抽取到女生”为事件B，则P（A）＝ ＝ ，P
（B）＝ ＝ ，X的可能取值为0，1，2，
所以P（X＝0）＝（1－ ）×（1－ ）＝ ，
P（X＝1）＝（1－ ）× ＋ ×（1－ ）＝ ，
P（X＝2）＝ × ＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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（2）在（1）中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差
D（X）与D（Y）的大小.
解： 依题意可得Y＝2－X，所以D（Y）＝D（2－
X）＝（－1）2D（X）＝D（X），即D（Y）＝D
（X）.
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14. 某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成
绩，记为ξ，则D（ξ）＝ .
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解析：ξ的可能取值为7，8，9，10，且P（ξ＝7）＝0.12＝
0.01，P（ξ＝8）＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P（ξ＝9）＝
2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P（ξ＝10）＝
2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.所以ξ的
分布列为
ξ 7 8 9 10
P 0.01 0.24 0.39 0.36
E（ξ）＝7×0.01＋8×0.24＋9×0.39＋10×0.36＝9.1，D
（ξ）＝（7－9.1）2×0.01＋（8－9.1）2×0.24＋（9－9.1）
2×0.39＋（10－9.1）2×0.36＝0.63.
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15. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的
分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期
或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，
η表示经销一件该商品的利润.
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（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付
款”的概率P（A）；
解： “购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付
款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付
款”.
∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期
付款”，可知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采
用1期付款”，
P（ ）＝（1－0.2）3＝0.512，∴P（A）＝1－P（ ）
＝1－0.512＝0.488.
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（2）求η的分布列、期望和方差.
解： 根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可
能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率，
P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2，
P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6，
P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2，
故η的分布列为
η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴期望E（η）＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D（η）＝（200－300）2×0.2＋（300－300）
2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000.
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