第1课时 二项分布
1.在100件产品中有5件次品，采用有放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（ ）
A.X～B（100，0.05） B.X～B（10，0.05）
C.X～B（100，0.95） D.X～B（10，0.95）
2.打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为（ ）
A.×0.84×0.296 B.0.84
C.0.84×0.296 D.0.24×0.896
3.设随机变量X～B（2，p），若P（X≥1）＝，则p的值为（ ）
A. B. C. D.
4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记X为取得黑球次数，Y为取得白球次数，则（ ）
A.随机变量X的可能取值为0，1，2，3
B.随机变量Y的可能取值为0，1，2
C.随机变量X～B（3，）
D.随机变量Y～B（3，）
6.（多选）若随机变量X服从二项分布B，则（ ）
A.P（X＝1）＝P（X＝3）
B.P（X＝2）＝3P（X＝1）
C.P（X＝4）＝2P（X＝0）
D.P（X＝3）＝4P（X＝1）
7.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为 .
8.一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为 .
9.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 .
10.某气象站天气预报的准确率为80%，求：
（1）5次预报中恰有2次准确的概率（结果保留2位有效数字）；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率（结果保留2位有效数字）.
11.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到障碍物，最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）如果某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是（ ）
A.这5个家庭均有小汽车的概率为
B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
D.这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为
13.如图，一动点沿圆周在均匀分布的A，B，C三点之间移动，每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍，假设现在该点从A点出发，则移动三次之后到达B点的概率是 .
14.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是.
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列.
15.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则S4＝2的概率为 .
16.某单位6名员工借助互联网开展工作，每名员工上网的概率都是0.5（相互独立）.
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
第1课时 二项分布
1.B 有放回抽取，每次取到次品的概率都是0.05，相当于10次独立重复的伯努利实验，所以服从二项分布X～B（10，0.05）.故选B.
2.A 由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为×0.84×0.296.
3.A ∵X～B（2，p），∴P（X＝0）＝（1－p）2，∴P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）2＝，解得p＝.
4.A 该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮包括两天和三天出现大潮两种情况，有两天出现大潮的概率为×（）2×＝，有三天出现大潮的概率为×（）3＝，所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝.故选A.
5.AC 随机变量X，Y的可能取值都为0，1，2，3，A正确，B错误；根据二项分布的概念，X～B（3，），Y～B（3，），C正确，D错误.故选A、C.
6.BD 由题意，根据二项分布中概率的计算公式P（X＝k）＝·，k＝0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝·＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，因此P（X＝2）＝3P（X＝1），P（X＝3）＝4P（X＝1）.故选B、D.
7. 解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设申请A片区的房源记为事件A，则P（A）＝，所以恰有2人申请A片区的概率为××＝.
8.4 解析：由1－＞0.9，得＜0.1，∴n≥4.
9. 解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝＋＋＝.
10.解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，每次试验中事件发生的概率是0.8.
5次预报中恰有2次准确的概率是×0.82×0.23≈0.05.
（2）5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确，
根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得所求概率为1－×0.81×0.24－×0.80×0.25≈0.99.
11.C 小球每次遇到障碍物时，若有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落，则小球将落入A袋，所以P＝×（）×（1－）2＋×（）2×（1－）＝.
12.ACD 由题得小汽车的普及率为，这5个家庭均有小汽车的概率为＝，所以选项A结论成立；这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为×＝，所以选项B结论错误；这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，所以选项C结论成立；这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为×＋＝，所以选项D结论成立，故选A、C、D.
13. 解析：由题意可知，逆时针方向移动的概率为，顺时针方向移动的概率为，由A点出发，3次移动后到达B点，则3次移动中有2次逆时针，1次顺时针，所以概率P＝·（）2·＝.
14.解：（1）根据题意得，ξ服从二项分布ξ～B（5，），则P（ξ＝k）＝（）k·（）5－k，k＝0，1，…，5.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
（2）η的分布列为P（η＝k）＝P（前k个是绿灯，第k＋1个是红灯）＝（）k·，k＝0，1，2，3，4.
P（η＝5）＝P（5个均为绿灯）＝（）5.
故η的分布列为
η 0 1 2 3 4 5
P
15. 解析：S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝××＝.
16.解：（1）至少3人同时上网包括3人、4人、5人或6人同时上网，记“至少3人同时上网”为事件A，则P（A）＝（）3（）3＋（）4（）2＋（）5（）1＋（）6（）0＝.
（2）由（1）知至少3人同时上网的概率大于0.3，
记“至少4人同时上网”为事件B，其概率为P（B）＝（）4（）2＋（）5（）1＋（）6×（）0＝＞0.3，
记“至少5人同时上网”为事件C，其概率为P（C）＝（）5（）1＋（）6×（）0＝＜0.3.所以至少5人同时上网的概率小于0.3.
3 / 37.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念 数学抽象
2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
第1课时 二项分布
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环赛，甲、乙两班顺利进入最后的决赛.在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率为0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制.
【问题】 如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？
知识点一 n重伯努利试验
1.伯努利试验：只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验.
2.n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的 称为n重伯努利试验.
3.n重伯努利试验的共同特征
（1）同一个伯努利试验重复做 次；
（2）各次试验的结果相互 .
【想一想】
1.伯努利试验有几种结果？
2.在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？
知识点二 二项分布
1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～ .
2.二项分布的均值与方差
（1）均值：若X～B（n，p），则E（X）＝ ；
（2）方差：若X～B（n，p），则D（X）＝ .
提醒 二项分布的特点：①对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，即“成功”和“不成功”，而且有且只有一个发生；②重复性，试验在相同条件下独立重复地进行n次，且每一次试验“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变.
【想一想】
二项分布与两点分布有什么关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数.（ ）
（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果.（ ）
（3）进行n重伯努利试验，各次试验中事件A发生的概率可以不同.（ ）
（4）n重伯努利试验是有放回地抽样检验问题.（ ）
2.设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）＝（ ）
A. B.
C. D.
3.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ）
A. B.
C. D.
题型一 n重伯努利试验的判断
【例1】 判断下列试验是不是n重伯努利试验：
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
（3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.
通性通法
n重伯努利试验的判断依据
（1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行；
（2）每次试验相互独立，互不影响；
（3）每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生.
【跟踪训练】
下列事件是n重伯努利试验的是（ ）
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
题型二 n重伯努利试验的概率
【例2】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果需用分数作答）
（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
通性通法
求n重伯努利试验概率的步骤
（1）判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验；
（2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；
（3）计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
【跟踪训练】
已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.
（1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；
（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列.
题型三 二项分布及其应用
【例3】 一个盒子里有大小相同的3个红球和2个黑球，从盒子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分.
（1）若从盒子里一次随机取出3个球，求得2分的概率；
（2）若从盒子里每次取出一个球，看清颜色后放回，连续取3次，求得分ξ的分布列.
通性通法
解决二项分布及其应用问题的一般步骤
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析随机变量是否服从二项分布；
（3）若服从二项分布，则求出n和p的值；
（4）根据已知条件列出相关式子，并解决问题.
【跟踪训练】
某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.
1.若随机变量X～B，则P（X＝2）＝（ ）
A.×
B.×
C.××
D.××
2.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为（ ）
A.0.93 B.1－（1－0.9）3
C.×0.93×0.12 D.×0.13×0.92
3.在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4.袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数X的分布列.
第1课时 二项分布
【基础知识·重落实】
知识点一
1.两个 2.随机试验 3.（1）n （2）独立
想一想
1.提示：两种，事件发生与不发生.
2.提示：是，满足n重伯努利试验的特征.
知识点二
1.B（n，p） 2.（1）np （2）np（1－p）
想一想
提示：当n＝1时，二项分布就是两点分布.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）× （4）√
2.A X～B（6，），则P（X＝3）＝（）3·（1－）3＝.故选A.
3.D 根据独立重复试验的概率公式有P＝（）（）2＝.故选D.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验.
（2）某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.
（3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.
跟踪训练
D 选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验.
【例2】 解：（1）记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P（A1）＝1－P（）＝1－＝.
（2）记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P（A2）＝×＝，P（B2）＝××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P（A2B2）＝×＝.
跟踪训练
解：（1）该小组恰有两次失败的概率P＝·＝＝.
（2）由题意可知X的取值集合为{0，2，4}，
则P（X＝0）＝＝＝，
P（X＝2）＝·＋＝＝，
P（X＝4）＝＋＝＝.
故X的分布列为
X 0 2 4
P
【例3】 解：（1）记“一次随机取出3个球得2分”为事件A，它表示取出的球中有2个红球和1个黑球，则P（A）＝＝.
（2）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率均为，每次取到黑球的概率均为.
则ξ～B（3，），P（ξ＝k）＝（）k·（）3－k（k＝0，1，2，3），
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
跟踪训练
解：由题意可知X～B（3，），
所以P（X＝k）＝（）k·（）3－k，k＝0，1，2，3，
即P（X＝0）＝×（）0×（）3＝；
P（X＝1）＝××（）2＝；
P（X＝2）＝×（）2×＝；
P（X＝3）＝×（）3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随堂检测
1.D ∵随机变量X～B，∴P（X＝2）＝××.
2.C 5头猪中恰有3头被治愈的概率为×0.93×0.12.
3.A 设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－p0（1－p）4＝，所以1－p＝，p＝.
4.解：取到黑球个数X的可能取值为0，1，2，3.
又由于每次取到黑球的概率均为，
所以P（X＝0）＝（）0·（）3＝，
P（X＝1）＝（）·（）2＝，
P（X＝2）＝（）2·（）＝，
P（X＝3）＝（）3·（）0＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
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7.4.1 二项分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努
利试验的概念 数学抽象
2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单
的实际问题 数学建模、
数学运算
第1课时 二项分布
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环赛，甲、乙两
班顺利进入最后的决赛.在每一场比赛中，甲班取胜的概率为
0.6，乙班取胜的概率为0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可
以采用五局三胜制.
【问题】 如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更
有利？
知识点一 n重伯努利试验
1. 伯努利试验：只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验.
2. n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成
的 称为n重伯努利试验.
3. n重伯努利试验的共同特征
（1）同一个伯努利试验重复做 次；
（2）各次试验的结果相互 .
两个
随机试验
n
独立
【想一想】
1. 伯努利试验有几种结果？
提示：两种，事件发生与不发生.
2. 在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？
提示：是，满足n重伯努利试验的特征.
知识点二 二项分布
1. 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为
p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P
（X＝k）＝ pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二
项分布，记作X～ .
2. 二项分布的均值与方差
（1）均值：若X～B（n，p），则E（X）＝ ；
（2）方差：若X～B（n，p），则D（X）＝ .
B（n，p）
np
np（1－p）
提醒 二项分布的特点：①对立性，即一次试验中只有两个相互对立
的结果，即“成功”和“不成功”，而且有且只有一个发生；②重复
性，试验在相同条件下独立重复地进行n次，且每一次试验“成功”
的概率和“不成功”的概率都保持不变.
【想一想】
二项分布与两点分布有什么关系？
提示：当n＝1时，二项分布就是两点分布.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努
利试验中，关注的是事件A发生的次数. （ √ ）
（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果.
（ √ ）
（3）进行n重伯努利试验，各次试验中事件A发生的概率可以不
同. （ × ）
（4）n重伯努利试验是有放回地抽样检验问题. （ √ ）
√
√
×
√
2. 设随机变量X～B（6， ），则P（X＝3）＝（ ）
解析： X～B（6， ），则P（X＝3）＝ （ ）3·（1－ ）3
＝ .故选A.
3. 小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试3次，那么其中恰
有1次获得通过的概率是（ ）
解析： 根据独立重复试验的概率公式有P＝ （ ）（ ）2＝
.故选D.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 n重伯努利试验的判断
【例1】 判断下列试验是不是n重伯努利试验：
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
解： 由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯
努利试验.
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其
中6次击中；
解： 某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯
努利试验.
（3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个
球，恰好抽出4个白球.
解： 每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜
色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.
通性通法
n重伯努利试验的判断依据
（1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行；
（2）每次试验相互独立，互不影响；
（3）每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生.
【跟踪训练】
下列事件是n重伯努利试验的是（ ）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙
都没射中目标”
D. 在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
解析： 选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选
项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9
环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射
击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯
努利试验.
题型二 n重伯努利试验的概率
【例2】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，
假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果需用分数
作答）
（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
解： 记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由
题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P（A1）＝1－P
（ ）＝1－ ＝ .
（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的
概率.
解： 记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙
射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P（A2）＝
× ＝ ，P（B2）＝ × × ＝ ，由于甲、乙
射击相互独立，故P（A2B2）＝ × ＝ .
通性通法
求n重伯努利试验概率的步骤
（1）判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯
努利试验；
（2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；
（3）计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利
用互斥事件概率加法公式计算.
【跟踪训练】
已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所分三
个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次
试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，
如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.
（1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；
解： 该小组恰有两次失败的概率P＝ · ＝ ＝ .
（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对
值为X，求X的分布列.
解： 由题意可知X的取值集合为{0，2，4}，
则P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ · ＋ ＝ ＝ ，
P（X＝4）＝ ＋ ＝ ＝ .
故X的分布列为
X 0 2 4
P
题型三 二项分布及其应用
【例3】 一个盒子里有大小相同的3个红球和2个黑球，从盒子里随
机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取
到一个黑球得0分.
（1）若从盒子里一次随机取出3个球，求得2分的概率；
解： 记“一次随机取出3个球得2分”为事件A，它表示取
出的球中有2个红球和1个黑球，则P（A）＝ ＝ .
（2）若从盒子里每次取出一个球，看清颜色后放回，连续取3次，求
得分ξ的分布列.
解： 由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率均为 ，每次取
到黑球的概率均为 .
则ξ～B（3， ），P（ξ＝k）＝ （ ）k（ ）3－k（k＝0，
1，2，3），
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
通性通法
解决二项分布及其应用问题的一般步骤
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析随机变量是否服从二项分布；
（3）若服从二项分布，则求出n和p的值；
（4）根据已知条件列出相关式子，并解决问题.
【跟踪训练】
某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.
解：由题意可知X～B（3， ），
所以P（X＝k）＝ （ ）k·（ ）3－k，k＝0，1，2，3，
即P（X＝0）＝ ×（ ）0×（ ）3＝ ；
P（X＝1）＝ × ×（ ）2＝ ；
P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＝ ；P（X＝3）＝ ×（ ）3＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
1. 若随机变量X～B ，则P（X＝2）＝（ ）
解析： ∵随机变量X～B ，∴P（X＝2）＝ ×
× .
2. 一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪
中恰有3头被治愈的概率为（ ）
A. 0.93 B. 1－（1－0.9）3
解析： 5头猪中恰有3头被治愈的概率为 ×0.93×0.12.
3. 在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为 ，则事件A
在1次试验中发生的概率为（ ）
解析： 设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－
p0（1－p）4＝ ，所以1－p＝ ，p＝ .
4. 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回
时，取到黑球个数X的分布列.
解：取到黑球个数X的可能取值为0，1，2，3.
又由于每次取到黑球的概率均为 ，
所以P（X＝0）＝ （ ）0·（ ）3＝ ，
P（X＝1）＝ （ ）·（ ）2＝ ，
P（X＝2）＝ （ ）2·（ ）＝ ，
P（X＝3）＝ （ ）3·（ ）0＝ .故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在100件产品中有5件次品，采用有放回的方式从中任意抽取10件，
设X表示这10件产品中的次品数，则（ ）
A. X～B（100，0.05） B. X～B（10，0.05）
C. X～B（100，0.95） D. X～B（10，0.95）
解析： 有放回抽取，每次取到次品的概率都是0.05，相当于10
次独立重复的伯努利实验，所以服从二项分布X～B（10，
0.05）.故选B.
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2. 打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概
率为（ ）
B. 0.84
C. 0.84×0.296 D. 0.24×0.896
解析： 由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中
靶的概率为 ×0.84×0.296.
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3. 设随机变量X～B（2，p），若P（X≥1）＝ ，则p的值为
（ ）
解析： ∵X～B（2，p），∴P（X＝0）＝（1－p）2，∴P
（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）2＝ ，解得p＝ .
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4. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海
上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转有直接的关系，这是一
种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现
大潮的概率均为 ，则该地在该季节内的连续三天中，至少有两天
出现大潮的概率为（ ）
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解析： 该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮包
括两天和三天出现大潮两种情况，有两天出现大潮的概率为 ×
（ ）2× ＝ ，有三天出现大潮的概率为 ×（ ）3＝ ，所以
至少有两天出现大潮的概率为 ＋ ＝ .故选A.
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5. （多选）袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2
个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记X为取得黑球次数，Y
为取得白球次数，则（ ）
A. 随机变量X的可能取值为0，1，2，3
B. 随机变量Y的可能取值为0，1，2
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解析： 随机变量X，Y的可能取值都为0，1，2，3，A正确，
B错误；根据二项分布的概念，X～B（3， ），Y～B（3，
），C正确，D错误.故选A、C.
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6. （多选）若随机变量X服从二项分布B ，则（ ）
A. P（X＝1）＝P（X＝3）
B. P（X＝2）＝3P（X＝1）
C. P（X＝4）＝2P（X＝0）
D. P（X＝3）＝4P（X＝1）
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解析： 由题意，根据二项分布中概率的计算公式P（X＝k）
＝ ，k＝0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝
＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P
（X＝2）＝ · ＝ ，P（X＝3）＝
＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ，因此P（X＝2）
＝3P（X＝1），P（X＝3）＝4P（X＝1）.故选B、D.
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解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设
申请A片区的房源记为事件A，则P（A）＝ ，所以恰有2人申请
A片区的概率为 × × ＝ .
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8. 一个学生通过某种英语听力测试的概率是 ，他连续测试n次，要
保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为 .
解析：由1－ ＞0.9，得 ＜0.1，∴n≥4.
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9. 将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数
多的概率为 .
解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4
次、5次或6次，所求概率P＝ ＋ ＋ ＝ .
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10. 某气象站天气预报的准确率为80%，求：
（1）5次预报中恰有2次准确的概率（结果保留2位有效数字）；
解： 由题意知，本题是一个独立重复试验，每次试验
中事件发生的概率是0.8.
5次预报中恰有2次准确的概率是 ×0.82×0.23≈0.05.
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（2）5次预报中至少有2次准确的概率（结果保留2位有效数字）.
解： 5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中
只有1次准确和都不准确，
根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得所求概率
为1－ ×0.81×0.24－ ×0.80×0.25≈0.99.
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11. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小
球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到障碍物，最后落
入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落
的概率都是 ，则小球落入A袋中的概率为（ ）
解析： 小球每次遇到障碍物时，若有一次向左和两
次向右或两次向左和一次向右下落，则小球将落入A袋，所以P＝ ×（ ）×（1－ ）2＋ ×（ ）2×（1－ ）＝ .
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12. （多选）如果某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭
有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列
结论成立的是（ ）
C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
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解析： 由题得小汽车的普及率为 ，这5个家庭均有小汽车
的概率为 ＝ ，所以选项A结论成立；这5个家庭中，恰有
三个家庭拥有小汽车的概率为 × ＝ ，所以选项B
结论错误；这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，所以选项C
结论成立；这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽
车的概率为 × ＋ ＝ ，所以选项D结论成立，故
选A、C、D.
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13. 如图，一动点沿圆周在均匀分布的A，B，C三点之
间移动，每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时
针方向移动概率的两倍，假设现在该点从A点出发，
则移动三次之后到达B点的概率是 .
解析：由题意可知，逆时针方向移动的概率为 ，顺时针方向移
动的概率为 ，由A点出发，3次移动后到达B点，则3次移动中有
2次逆时针，1次顺时针，所以概率P＝ ·（ ）2· ＝ .
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14. 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假
设他在各交通岗遇到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是 .
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
解： 根据题意得，ξ服从二项分布ξ～B（5， ），则P（ξ＝k）＝ （ ）k·（ ）5－k，k＝0，1，…，5.ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
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（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口
数η的分布列.
解： η的分布列为P（η＝k）＝P（前k个是绿灯，第
k＋1个是红灯）＝（ ）k· ，k＝0，1，2，3，4.
P（η＝5）＝P（5个均为绿灯）＝（ ）5.
故η的分布列为
η 0 1 2 3 4 5
P
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15. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是 ，构造数列{an}，
使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an
（n∈N*），则S4＝2的概率为 .
解析：S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝
× × ＝ .
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16. 某单位6名员工借助互联网开展工作，每名员工上网的概率都是
0.5（相互独立）.
（1）求至少3人同时上网的概率；
解： 至少3人同时上网包括3人、4人、5人或6人同时上
网，记“至少3人同时上网”为事件A，则P（A）＝
（ ）3（ ）3＋ （ ）4（ ）2＋ （ ）5（ ）1＋
（ ）6（ ）0＝ .
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（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
解： 由（1）知至少3人同时上网的概率大于0.3，
记“至少4人同时上网”为事件B，其概率为P（B）＝
（ ）4（ ）2＋ （ ）5（ ）1＋ （ ）6×（ ）0＝
＞0.3，
记“至少5人同时上网”为事件C，其概率为P（C）＝
（ ）5（ ）1＋ （ ）6×（ ）0＝ ＜0.3.所以至少5人
同时上网的概率小于0.3.
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