7.4.2 超几何分布
1.一个袋子中装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（ ）
A. B.
C.1－ D.
3.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P（X＝2）＝（ ）
A. B.
C. D.
4.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（ ）
A.2本 B.3本
C.4本 D.5本
5.（多选）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的最小号码
C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D.X表示取出的黑球个数
6.（多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是（ ）
A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为
B.答对1道题的概率为
C.答对2道题的概率为
D.合格的概率为
7.某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则恰有2人会说日语的概率为 .
8.有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X＋1）＝ .
9.某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P（X＞0）＝，则该社团的人数为 .
10.从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的均值和方差.
11.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.（多选）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校数，则下列说法中正确的是（ ）
A.X的可能取值为0，1，2，3
B.P（X＝0）＝
C.E（X）＝
D.D（X）＝
13.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为 .
14.新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难.为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验， 张老师所教的80名学生参加一次数学测试，成绩都在[50，100]内，按区间分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.
（1）求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和均值.
15.一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n（n∈N）件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，则使X＝1的概率取得最大值时，n＝ .
16.在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球为红球.
（1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E（ξ）.
7.4.2 超几何分布
1.A 随机变量X服从N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，所以P（X＝3）＝＝.
2.D 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋.
3.C 设袋中白球个数为x，由题意得1－＝，解得x＝5.X服从超几何分布，其中P（X＝2）＝＝.
4.C 设语文课本有n（n≥2）本，则数学课本有（7－n）本，则从中任取2本，2本都是语文课本的概率是＝.所以n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3（舍去），所以n＝4.
5.CD 选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即A、B错；选项C、D符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即C、D正确.故选C、D.
6.CD 对于A，答对0道题的概率为P0＝＝，答对3道题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确.
7. 解析：恰有2人会说日语的概率为＝.
8. 解析：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）＝＝.所以E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝.
9.7 解析：设该社团的人数为n，∴P（X＝0）＝＝.∵P（X＝0）＝1－P（X＞0）＝，∴＝， 即（11n－18）（n－7）＝0，又∵n∈N*，解得n＝7.
10.解：（1）由题知ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
（2）由（1）可得E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝，
D（ξ）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝.
11.A 由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A.
12.ACD 由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），则P（X＝0）＝＝，故B错误；E（X）＝＝，故C正确；D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，故D正确.
13. 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，因此，所求概率为P＝＝.
14.解：（1）80名学生的平均成绩为（55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005）×10＝73.5.
（2）根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为（0.025＋0.005）×10＝0.3，
则非优秀学员对应的频率为1－0.3＝0.7，
所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3＝3（人），非优秀学生10×0.7＝7（人）.
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
15.33 解析：由题意可得P（X＝1）＝＝＝，1≤n≤98，且n∈N，记函数f（x）＝x（x－99）（x－100），1≤x≤98， 则由f'（x）＝3x2－398x＋9 900＝0，解得x1＝≈33.17，x2＝≈99.50（舍去），所以当1≤x＜x1，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x1≤x≤98，f'（x）＜0，f（x）单调递减.因为f（33）－f（34）＝33×66×67－34×65×66＝66＞0，所以当n＝33时，X＝1的概率取得最大值.
16.解：（1）设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P（A）＝，所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝×（）2×＝.
（2）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则
P（B）＝
＝＝，
整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4，
所以红球的个数为10－3－4＝3.
（3）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，
P（ξ＝5）＝＝，
P（ξ＝6）＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
所以E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
3 / 37.4.2 超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值 数学抽象
2.能用超几何分布解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个.
【问题】 如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？
知识点 超几何分布
1.超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
提醒 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型.
2.超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E（X）＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）超几何分布是不放回抽样.（ ）
（2）超几何分布的总体只有两类个体.（ ）
（3）超几何分布与二项分布的均值相同.（ ）
（4）超几何分布与二项分布没有任何联系.（ ）
2.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是（ ）
A. B.
C. D.
3.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选m个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布.若m＝3时，随机变量X的取值为 ；若m＝8时，随机变量X的取值的最大值为 .
题型一 超几何分布的辨析
【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由：
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
（4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列.
通性通法
判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法
（1）总体是否分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
【跟踪训练】
（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X
D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
题型二 超几何分布的概率
【例2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列.
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列.
2.（变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
通性通法
求超几何分布的概率的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式P（X＝k）＝计算出随机变量取某一个值k时的概率.
【跟踪训练】
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率.
题型三 超几何分布的分布列、均值
【例3】 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值.
通性通法
解决超几何分布问题的三个关键点
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不要机械地记忆；
（2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k值的概率P（X＝k），从而求出X的分布列；
（3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直接利用E（X）＝求解.
【跟踪训练】
端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个.
（1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
（2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值.
1.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.（多选）下列关于超几何分布的说法正确的是（ ）
A.超几何分布的模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以只有一类物品
C.超几何分布中的参数是N，M，n
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，对应的概率为.
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的均值.
二项分布与超几何分布的辨析
1.建立模型
袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则：
摸球方式 X的分布 E（X） D（X）
放回摸球 二项分布 B（n，p） np np（1－p）
不放回 摸球 参数为N，n，M 的超几何分布 np np（1－p）
2.区别与联系
区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是 “有放回”抽取（独立重复），超几何分布是“不放回”抽取
联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布
【例】 2024年新春伊始，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p（0＜p＜1），且猜中每道谜语与否互不影响.
（1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
（2）若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围.
方法总结
二项分布和超几何分布两类概率模型的区别关键是“有放回抽样”与“不放回抽样”.
【迁移应用】
甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）求甲正确完成面试题目数的分布列、均值与方差；
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
7.4.2 超几何分布
【基础知识·重落实】
知识点
1. 2.np
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2.B 取出的红球服从超几何分布，故P＝＝.
3.0，1，2，3 7 解析：根据超几何分布的概念，若m＝3时，随机变量X的取值为：0，1，2，3；若m＝8时，随机变量X的取值为：0，1，2，…，7，故X的取值的最大值为7.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
跟踪训练
ABD 依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
【例2】 解：由题意知X＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
母题探究
1.解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为
η 0 1
P
2.解：由题意知X＝0，1，2，3.
法一 P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
法二 根据X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－）3－k（）k求出各式概率，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
跟踪训练
解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＋＝.
【例3】 解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.
（2）依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或E（X）＝＝）.
跟踪训练
解：（1）依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为＝.
（2）X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
随堂检测
1.D 若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.取到10个球中恰有6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝（注意袋中球的个数为80＋20＝100）.
2.ACD 由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M（M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P（X＝k）＝（k≤r，r是n和M中较小的一个），所以B错误，C、D正确.
3.3 解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”.
4.解：由题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝k）＝，k＝0，1，2.
X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝1.
拓视野 二项分布与超几何分布的辨析
【例】 解：（1）设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为2，3，4.有P（X＝2）＝＝＝，P（X＝3）＝＝＝，P（X＝4）＝＝＝，
故小张猜中谜语道数的分布列为
X 2 3 4
P
设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B（4，p），Y的取值分别为0，1，2，3，4，
有P（Y＝0）＝（1－p）4，
P（Y＝1）＝（1－p）3p＝4p（1－p）3，
P（Y＝2）＝（1－p）2p2＝6p2（1－p）2，
P（Y＝3）＝（1－p）p3＝4p3（1－p），
P（Y＝4）＝p4.
故小王猜中谜语道数的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P （1－p）4 4p（1－p）3 6p2（1－p）2 4p3（1－p） p4
（2）由（1）可知E（X）＝2×＋3×＋4×＝3，E（Y）＝4p，
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3＞4p，可得0＜p＜.
故p的取值范围为（0，）.
迁移应用
解：（1）设X为甲正确完成面试题目的数量，
由题意可得X服从超几何分布，且N＝6，M＝4，n＝3，
∴P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝2.
D（X）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝.
（2）设学生乙答对的题目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
由题意知Y～B（3，），
因此E（Y）＝3×＝2，
D（Y）＝np（1－p）＝3××＝，
又E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大.
1 / 3(共74张PPT)
7.4.2 超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值 数学抽象
2.能用超几何分布解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑
选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲
能答对6个.
【问题】 如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的
个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？
知识点 超几何分布
1. 超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中
随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，
则X的分布列为P（X＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋
2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n
－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式
的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
提醒 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③
实质是古典概型.
2. 超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的
N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝ ，则
p是N件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，则E
（X）＝ .
np
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）超几何分布是不放回抽样. （ √ ）
（2）超几何分布的总体只有两类个体. （ √ ）
（3）超几何分布与二项分布的均值相同. （ √ ）
（4）超几何分布与二项分布没有任何联系. （ × ）
√
√
√
×
2. 袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个
都是红球的概率是（ ）
解析： 取出的红球服从超几何分布，故P＝ ＝ .
3. 在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选
m个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布.若m
＝3时，随机变量X的取值为 ；若m＝8时，随机变
量X的取值的最大值为 .
解析：根据超几何分布的概念，若m＝3时，随机变量X的取值
为：0，1，2，3；若m＝8时，随机变量X的取值为：0，1，
2，…，7，故X的取值的最大值为7.
0，1，2，3
7
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 超几何分布的辨析
【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由：
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的
分布列；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实
验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红
色的球的个数记为X，求X的分布列；
（4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活
动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列.
解： （3） （4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
通性通法
判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法
（1）总体是否分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
【跟踪训练】
（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记
取到的次品数为X
B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电
中甲型彩电的台数
C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的
次数为随机变量X
D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
解析： 依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
题型二 超几何分布的概率
【例2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有
3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为
1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，
求随机变量X的分布列.
解：由题意知X＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求
随机变量η的分布列.
解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝ ＝ ，
所以η的分布列为
η 0 1
P
2. （变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地
抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
解：由题意知X＝0，1，2，3.
法一 P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
法二 根据X～B（3， ），由P（X＝k）＝ （1－ ）3－k（ ）
k求出各式概率，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
通性通法
求超几何分布的概率的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式P（X＝k）＝ 计算出随
机变量取某一个值k时的概率.
【跟踪训练】
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从
中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求至少有2
名男生参加数学竞赛的概率.
解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n
＝4，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
P（X＝4）＝ ＝ ，
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝ ＋ ＋
＝ .
题型三 超几何分布的分布列、均值
【例3】 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学
中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不
相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进
行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
解： 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件
A，则P（A）＝ ＝ .
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 .
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列
及均值.
解： 依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝
10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P
（X＝k）＝ ，k＝0，1，2，3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3×
＝ （或E（X）＝ ＝ ）.
通性通法
解决超几何分布问题的三个关键点
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的
范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不要机
械地记忆；
（2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取
不同k值的概率P（X＝k），从而求出X的分布列；
（3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直
接利用E（X）＝ 求解.
【跟踪训练】
端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2
个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个.
（1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
解： 依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为
＝ .
（2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值.
解： X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝
2）＝ ＝ ，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
1. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有
6个红球的概率为（ ）
解析： 若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从
参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.取到10个球中恰有
6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝ （注意袋中球的个数为80
＋20＝100）.
2. （多选）下列关于超几何分布的说法正确的是（ ）
A. 超几何分布的模型是不放回抽样
B. 超几何分布的总体里可以只有一类物品
C. 超几何分布中的参数是N，M，n
D. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
解析： 由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放
回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物
品，其中一类有M（M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）
件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取
值为k时的概率为P（X＝k）＝ （k≤r，r是n和M中较
小的一个），所以B错误，C、D正确.
3. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加
竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，
对应的概率为 .
解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的 可以看
出“从5名三好学生中选取了3名”.
3
4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示
所选3人中女生的人数，求X的均值.
解：由题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝k）＝ ，k＝0，1，2.
X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
二项分布与超几何分布的辨析
1. 建立模型
袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，
令p＝ ，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则：
摸球方式 X的分布 E（X） D（X）
放回摸球 二项分布 B（n，p） np np（1－p）
不放回 摸球 参数为N，n，
M 的超几何分布 np
2. 区别与联系
区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要；
（2）二项分布是 “有放回”抽取（独立重复），超几何分
布是“不放回”抽取
联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很
小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布
【例】 2024年新春伊始，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛
活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜
中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p（0＜p＜1），
且猜中每道谜语与否互不影响.
（1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
解： 设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为2，3，4.有P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ＝ ，
故小张猜中谜语道数的分布列为
X 2 3 4
P
设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～
B（4，p），Y的取值分别为0，1，2，3，4，
有P（Y＝0）＝（1－p）4，
P（Y＝1）＝ （1－p）3p＝4p（1－p）3，
P（Y＝2）＝ （1－p）2p2＝6p2（1－p）2，
P（Y＝3）＝ （1－p）p3＝4p3（1－p），
P（Y＝4）＝p4.
故小王猜中谜语道数的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P （1－p）4 4p（1－p）3 6p2（1－p）2 4p3（1－p） p4
（2）若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取
值范围.
解： 由（1）可知E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＝3，E
（Y）＝4p，
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3＞
4p，可得0＜p＜ .
故p的取值范围为（0， ）.
方法总结
二项分布和超几何分布两类概率模型的区别关键是“有放回抽
样”与“不放回抽样”.
【迁移应用】
甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备
选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.
已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应
聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.
（1）求甲正确完成面试题目数的分布列、均值与方差；
解： 设X为甲正确完成面试题目的数量，
由题意可得X服从超几何分布，且N＝6，M＝4，n＝3，
∴P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2.
D（X）＝（1－2）2× ＋（2－2）2× ＋（3－2）2× ＝ .
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
解： 设学生乙答对的题目数为Y，则Y的所有可能取值为
0，1，2，3，
由题意知Y～B（3， ），
因此E（Y）＝3× ＝2，
D（Y）＝np（1－p）＝3× × ＝ ，
又E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 一个袋子中装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则
含有3个黑球的概率为（ ）
解析： 随机变量X服从N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，
所以P（X＝3）＝ ＝ .
2. 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是
A的概率为（ ）
解析： 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）
＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝ ＋ .
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3. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个
球，至少得到1个白球的概率是 .从袋中任意摸出3个球，记得到
白球的个数为X，则P（X＝2）＝（ ）
解析： 设袋中白球个数为x，由题意得1－ ＝ ，解得x＝
5.X服从超几何分布，其中P（X＝2）＝ ＝ .
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4. 现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取
2本，至多有1本语文课本的概率是 ，则语文课本有（ ）
A. 2本 B. 3本
C. 4本 D. 5本
解析： 设语文课本有n（n≥2）本，则数学课本有（7－n）
本，则从中任取2本，2本都是语文课本的概率是 ＝ .所以n2
－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3（舍去），所以n＝4.
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5. （多选）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，
6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个
球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A. X表示取出的最大号码
B. X表示取出的最小号码
C. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D. X表示取出的黑球个数
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解析： 选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分
布的数学模型计算概率，即A、B错；选项C、D符合超几何分布的
定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数
学模型计算概率，即C、D正确.故选C、D.
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6. （多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的
5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2
道题才算合格，则下列说法正确的是（ ）
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解析： 对于A，答对0道题的概率为P0＝ ＝ ，答对3道
题的概率为P3＝ ＝ ，故A错误；对于B，答对1道题的概率
为P1＝ ＝ ，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝
＝ ，故C正确；对于D，合格的概率为P＝ ＋ ＝
，故D正确.
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解析：恰有2人会说日语的概率为 ＝ .
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8. 有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的
个数，则E（2X＋1）＝ .
解析：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）＝ ＝ .所以E
（2X＋1）＝2E（X）＋1＝ .
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9. 某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、足球都会的有2人，
从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，
若P（X＞0）＝ ，则该社团的人数为 .
7
解析：设该社团的人数为n，∴P（X＝0）＝ ＝
.∵P（X＝0）＝1－P（X＞0）＝ ，
∴ ＝ ， 即（11n－18）（n－7）＝0，又
∵n∈N*，解得n＝7.
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10. 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ
表示所选3人中男生的人数.
（1）求ξ的分布列；
解： 由题知ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ＝0）＝ ＝ ，P（ξ＝1）＝ ＝ ，
P（ξ＝2）＝ ＝ ，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
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（2）求ξ的均值和方差.
解： 由（1）可得E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D（ξ）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＝ .
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11. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文
化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在
前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，
黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个
阴数的概率为（ ）
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解析： 由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，
6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 ＝
；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为 ＝ ，故这3个
数中至多有1个阴数的概率为P＝ ＋ ＝ .故选A.
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12. （多选）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某
市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会
项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分
同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，
记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校
数，则下列说法中正确的是（ ）
A. X的可能取值为0，1，2，3
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解析： 由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正
确；分析可得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝
（k＝0，1，2，3），则P（X＝0）＝ ＝ ，故B错
误；E（X）＝ ＝ ，故C正确；D（X）＝（0－ ）2× ＋
（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ ，
故D正确.
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13. 把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，
作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形
中钝角三角形的个数X不少于2的概率为 .
解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，
D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，
B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角
形，一共能组成三角形的个数为 ＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，因此，所求概率为P＝ ＝ .
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14. 新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生
想得高分比较困难.为了调动学生学习数学
的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对
自己的教学方法进行改革，经过一学期的教
学实验， 张老师所教的80名学生参加一次数
学测试，成绩都在[50，100]内，按区间分
组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，
100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定不低于80分（百
分制）为优秀.
（1）求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值
作代表）；
解： 80名学生的平均成绩为（55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005）×10＝73.5.
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（2）按优秀与非优秀用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10
名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀
学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和均值.
解： 根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为（0.025＋0.005）×10＝0.3，则非优秀学员对应的频率为1－0.3＝0.7，所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3＝3（人），非优秀学生10×0.7＝7（人）.
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则X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
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15. 一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n
（n∈N）件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，
则使X＝1的概率取得最大值时，n＝ .
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解析：由题意可得P（X＝1）＝ ＝ ＝
，1≤n≤98，且n∈N，记函数f（x）＝x（x
－99）（x－100），1≤x≤98， 则由f'（x）＝3x2－398x＋9
900＝0，解得x1＝ ≈33.17，x2＝ ≈99.50（舍
去），所以当1≤x＜x1，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当
x1≤x≤98，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
因为f（33）－f（34）＝33×66×67－34×65×66＝66＞0，所以当n
＝33时，X＝1的概率取得最大值.
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16. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n
（2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球为红球.
（1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三
次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
解： 设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P
（A）＝ ，所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝
×（ ）2× ＝ .
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（2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是 ，
求红球的个数；
解： 设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事
件B，则
P（B）＝
＝ ＝ ，
整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4，
所以红球的个数为10－3－4＝3.
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（3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1
分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出
的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望
E（ξ）.
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解：（3）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P（ξ＝2）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ ，
P（ξ＝4）＝ ＝ ，P（ξ＝5）＝ ＝ ，
P（ξ＝6）＝ ＝ ，
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
所以E（ξ）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ .
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