第七章 章末检测(七) 随机变量及其分布(课件 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第三册

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名称 第七章 章末检测(七) 随机变量及其分布(课件 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第三册
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文件大小 2.1MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-04 22:51:40

文档简介

章末检测(七) 随机变量及其分布
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知离散型随机变量X的分布列如下,则p=(  )
X 1 2 3 4
P p
A. B.
C. D.
2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<1)=0.1,则P(3≤X≤5)=(  )
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,…,10.又设随机变量Y=2X-1,则P(Y<6)=(  )
A.0.3 B.0.5
C.0.1 D.0.2
4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为偶数},B={两次的点数之和为8},则P(B|A)=(  )
A. B.
C. D.
5.学校要从10名候选人中选2名组成学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则E(X)=(  )
A. B.
C. D.
6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(  )
A.()5 B.()5
C.()5 D.()5
7.某人投篮命中的概率为0.6,则投篮14次,最有可能命中的次数为(  )
A.7 B.8
C.7或8 D.8或9
8.泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布,当n很大且p很小时,二项分布近似于泊松分布,其中λ=np,即X~B(n,p),P(X=i)=(n∈N).现已知某种元件的次品率为0.01,抽检100个该种元件,则次品率小于3%的概率约为(参考数据:=0.367 879…)(  )
A.99% B.97%
C.92% D.74%
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列随机变量中属于离散型随机变量的是(  )
A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B.测量一个年级所有学生的体重,在60 kg~70 kg之间的体重记为X
C.测量全校所有同学的身高,在170 cm~175 cm之间的人数记为X
D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
10.随机变量X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P(X≥t)=0.5,随机变量Y~B(t,p),0<p<1,若E(X)=E(Y),则(  )
A.t=4         B.p=
C.P(2≤Y≤3)= D.D(2Y)=2
11.有n(n∈N*,n≥10)个编号分别为1,2,3,…,n的盒子,1号盒子中有2个白球和1个黑球,其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子;再从2号盒子任取一球放入3号盒子;…;以此类推,记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai(i=1,2,3,…,n),则(  )
A.P(A1A2)= B.P(A1|A2)=
C.P(A1+A2)= D.P(A10)=
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中横线上)
12.从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,设X表示直至抽到中奖彩票时的次数,则P(X=4)=    .
13.已知随机事件A,B,P(A)=,P(B)=,P(A|B)=,则P(B|A)=    .
14.假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p(0<p<1),且各引擎是否有故障是独立的,如有至少50%的引擎能正常运行,飞机就可成功飞行,若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全,则p的取值范围是    .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部,其中男生4人,女生2人,从中任选3人参加义务劳动.
(1)求男生甲和女生乙至少一人被选中的概率;
(2)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(A)和P(A|B).
16.(本小题满分15分)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.
17.(本小题满分15分)已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的,每包牛肉干的质量M(单位:g)服从正态分布N(250,σ2),且P(M<248)=0.1.
(1)若从该公司销售的牛肉干中随机选取3包,求这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率;
(2)若从该公司销售的牛肉干中随机选取K(K为正整数)包,记质量在248 g~252 g内的包数为X,且D(X)>320,求K的最小值.
18.(本小题满分17分)某市电视台举办纪念红军长征胜利知识问答活动,宣传长征精神,首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.
公园 甲 乙 丙 丁
获得签名人数 45 60 30 15
然后在各公园签名的人中按分层随机抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题,从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品.
(1)求此活动中各公园幸运之星的人数;
(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为,求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率;
(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对,而另外2个问题答不对,记小李答对的问题数为X,求X的分布列.
19.(本小题满分17分)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X,定义其累积分布函数为F(x)=P(X≤x).已知某系统由一个电源和并联的A,B,C三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立.
(1)已知电源电压X(单位:V)服从正态分布N(40,4),且X的累积分布函数为F(x),求F(44)-F(38);
(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T(单位:天)表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为G(t)=
①设t1>t2>0,证明:P(T>t1|T>t2)=P(T>t1-t2);
②若第n天元件A发生故障,求第n+1天系统正常运行的概率.
附:若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Y-μ|<σ)=0.682 7,P(|Y-μ|<2σ)=0.954 5,P(|Y-μ|<3σ)=0.997 3.
章末检测(七) 随机变量及其分布
1.C 由+++p=1得,p=.故选C.
2.D 因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),所以正态曲线关于直线x=3对称,又P(X<1)=0.1,所以P(X>5)=0.1,则P(3≤X≤5)===0.4.
3.A 由Y=2X-1<6,得X<3.5,∴P(Y<6)=P(X<3.5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3.
4.C 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,样本点共有6×6=36个,其中事件A有3×3=9个样本点,事件AB有(2,6),(4,4),(6,2),共3个样本点,所以P(B|A)===.故选C.
5.D 由题意得随机变量X服从超几何分布,且N=10,M=4,n=2,则E(X)===.
6.B 依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=×()2×(1-)3=()5.
7.D 投篮命中次数X~B(14,0.6),P(X=k)=·0.6k·0.414-k,设最有可能命中m次,则 8≤m≤9,∵m∈Z,∴m=8或m=9.∴最有可能命中8或9次.故选D.
8.C 依题意, n=100,p=0.01,泊松分布可作为二项分布的近似,此时λ=100×0.01=1,则P(X=k)=e-1,于
[WT][WT]
是P(X=0)=e-1=,P(X=1)=e-1=,P(X=2)=e-1=,所以次品率小于3%的概率约为P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++≈92%.故选C.
9.AC 电话1小时内使用的次数是可以列举的,是离散型随机变量,选项A正确;体重无法一一列举,选项B不正确;人数可以列举,选项C正确;数轴上的点有无数个,点的位置是连续型随机变量,选项D不正确.故选A、C.
10.AC 因为X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P(X≥t)=0.5,所以t=4,故A正确;因为E(X)=2,所以E(Y)=E(X)=2.因为Y~B(4,p),所以E(Y)=4p=2,所以p=,故B错误;因为Y~B(4,),所以P(2≤Y≤3)=()4+()4=,故C正确;因为D(Y)=4××(1-)=1,所以D(2Y)=4D(Y)=4,故D错误.故选A、C.
11.BC 对A,P(A1A2)=×=,所以A错误;对B,P(A2)=×+×=,故P(A1|A2)==,所以B正确;对C,P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=+-=,所以C正确;对D,由题意P(An)=P(An-1)+[1-P(An-1)],所以P(An)-=[P(An-1)-],P(A1)=,P(A1)-=-=,所以P(An)-=×()n-1=×()n,所以P(An)=·(1+),则P(A10)=·(1+),所以D错误.故选B、C.
12. 解析:P(X=4)=×××=.
13. 解析:由条件概率可得P(A|B)== P(AB)=×=,所以P(B|A)===.
14.(,1) 解析:由已知可得,飞机引擎正常运行的个数X~B(n,p),所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1=p2(1-p)2+p3(1-p)+p4=3p4-8p3+6p2.2引擎飞机正常飞行的概率为P2=p(1-p)+p2=-p2+2p.所以P1-P2=3p4-8p3+6p2-(-p2+2p)=p(p-1)2(3p-2).因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全,所以P1-P2>0,即p(p-1)2(3p-2)>0.因为0<p<1,所以<p<1.
15.解:(1)从6人中任选3人,选法共有=20(种),
其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为=.
故男生甲和女生乙至少一人被选中的概率为1-=.
(2)由题知,P(A)==.又P(B)=P(A)=,P(AB)==,所以P(A|B)==.
16.解:(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=()3+×()3×=,
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,
则P(X=2)=()2=,
P(X=3)=()3+××()2=,
P(X=4)=×()2××1=.
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E(X)=2×+3×+4×=.
17.解:(1)由题意知每包牛肉干的质量M(单位:g)服从正态分布N(250,σ2),且P(M<248)=0.1,所以P(M≥248)=1-0.1=0.9,则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为×0.92×0.1=0.243.
(2)因为P(M<248)=0.1,所以P(248<M<252)=(0.5-0.1)×2=0.8,
依题意可得X~B(K,0.8),所以D(X)=K×0.8×(1-0.8)=0.16K,
因为D(X)>320,所以0.16K>320,K>2 000,
又K为正整数,所以K的最小值为2 001.
18.解:(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为×10=3,×10=4,×10=2,×10=1.
(2)根据题意,乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为=,
所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为=.
(3)由题意,知X的所有可能取值为2,3,4,服从超几何分布,P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
19.解:(1)由题设得P(38<X<42)=0.682 7,P(36<X<44)=0.954 5,
所以F(44)-F(38)=P(X≤44)-P(X≤38)=
P(40≤X≤44)+P(38≤X≤40)
=×(0.682 7+0.954 5)=0.818 6.
(2)①证明:由题设得:
P(T>t1|T>t2)=======,
P(T>t1-t2)=1-P(T≤t1-t2)=1-G(t1-t2)=,
所以P(T>t1|T>t2)=P(T>t1-t2).
②由①得P(T>n+1|T>n)=P(T>1)=1-P(T≤1)=1-G(1)=,
所以第n+1天元件B,C正常工作的概率均为.
为使第n+1天系统仍正常工作,元件B,C必须至少有一个正常工作,
因此所求概率为1-(1-)2=.
3 / 3(共37张PPT)
章末检测(七)随机变量及其分布
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知离散型随机变量X的分布列如下,则p=(  )
X 1 2 3 4
P p
解析: 由 + + +p=1得,p= .故选C.
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2. 已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<1)=0.1,
则P(3≤X≤5)=(  )
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
解析:  因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),所以正态曲
线关于直线x=3对称,又P(X<1)=0.1,所以P(X>5)=
0.1,则P(3≤X≤5)= = =0.4.
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3. 设随机变量X等可能地取值1,2,3,…,10.又设随机变量Y=2X
-1,则P(Y<6)=(  )
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.1 D. 0.2
解析:  由Y=2X-1<6,得X<3.5,∴P(Y<6)=P(X
<3.5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3.
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4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为偶数},B
={两次的点数之和为8},则P(B|A)=(  )
解析:  抛掷一枚质地均匀的骰子两次,样本点共有6×6=36
个,其中事件A有3×3=9个样本点,事件AB有(2,6),(4,
4),(6,2),共3个样本点,所以P(B|A)= =
= .故选C.
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5. 学校要从10名候选人中选2名组成学生会,其中高二(1)班有4名
候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高
二(1)班的候选人的人数,则E(X)=(  )
解析:  由题意得随机变量X服从超几何分布,且N=10,M=
4,n=2,则E(X)= = = .
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6. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单
位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是
.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(  )
解析:  依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3
次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P= ×( )
2×(1- )3= ( )5.
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7. 某人投篮命中的概率为0.6,则投篮14次,最有可能命中的次数为
(  )
A. 7 B. 8
C. 7或8 D. 8或9
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解析:  投篮命中次数X~B(14,0.6),P(X=k)=
·0.6k·0.414-k,设最有可能命中m次,则

8≤m≤9,
∵m∈Z,∴m=8或m=9.∴最有可能命中8或9次.故选D.
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8. 泊松分布的概率分布列为P(X=k)= e-λ(k=0,1,
2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.若随机
变量X服从二项分布,当n很大且p很小时,二项分布近似于泊松
分布,其中λ=np,即X~B(n,p),P(X=i)=
(n∈N).现已知某种元件的次品率为0.01,抽检100
个该种元件,则次品率小于3%的概率约为(参考数据: =0.367
879…)(  )
A. 99% B. 97%
C. 92% D. 74%
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解析: 依题意, n=100,p=0.01,泊松分布可作为二项分布
的近似,此时λ=100×0.01=1,则P(X=k)= e-1,于是P
(X=0)= e-1= ,P(X=1)= e-1= ,P(X=2)=
e-1= ,所以次品率小于3%的概率约为P=P(X=0)+P(X
=1)+P(X=2)= + + ≈92%.故选C.
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二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给
出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选
对的得部分分,有选错的得0分)
9. 下列随机变量中属于离散型随机变量的是(  )
A. 某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B. 测量一个年级所有学生的体重,在60 kg~70 kg之间的体重记为X
C. 测量全校所有同学的身高,在170 cm~175 cm之间的人数记为X
D. 一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
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解析: 电话1小时内使用的次数是可以列举的,是离散型随机
变量,选项A正确;体重无法一一列举,选项B不正确;人数可以
列举,选项C正确;数轴上的点有无数个,点的位置是连续型随机
变量,选项D不正确.故选A、C.
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10. 随机变量X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P(X≥t)=
0.5,随机变量Y~B(t,p),0<p<1,若E(X)=E
(Y),则(  )
A. t=4
D. D(2Y)=2
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解析:  因为X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P
(X≥t)=0.5,所以t=4,故A正确;因为E(X)=2,所以
E(Y)=E(X)=2.因为Y~B(4,p),所以E(Y)=4p
=2,所以p= ,故B错误;因为Y~B(4, ),所以P
(2≤Y≤3)= ( )4+ ( )4= ,故C正确;因为D
(Y)=4× ×(1- )=1,所以D(2Y)=4D(Y)=4,
故D错误.故选A、C.
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11. 有n(n∈N*,n≥10)个编号分别为1,2,3,…,n的盒子,1
号盒子中有2个白球和1个黑球,其余盒子中均有1个白球和1个黑
球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子;再从2号盒子任取一球放
入3号盒子;…;以此类推,记“从i号盒子取出的球是白球”为
事件Ai(i=1,2,3,…,n),则(  )
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解析:  对A,P(A1A2)= × = ,所以A错误;对B,P
(A2)= × + × = ,故P(A1|A2)= = ,
所以B正确;对C,P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P
(A1A2)= + - = ,所以C正确;对D,由题意P(An)= P(An-1)+ [1-P(An-1)],所以P(An)- = [P(An-1)- ],P(A1)= ,P(A1)- = - = ,所以P(An)- = ×( )n-1= ×( )n,所以P(An)= ·(1+ ),则P(A10)= ·(1+ ),所以D错误.故选B、C.
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解析:P(X=4)= × × × = .
 
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13. 已知随机事件A,B,P(A)= ,P(B)= ,P(A|B)
= ,则P(B|A)=    .
解析:由条件概率可得P(A|B)= = P(AB)=
× = ,所以P(B|A)= = = .
 
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( ,1) 
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解析:由已知可得,飞机引擎正常运行的个数X~B(n,p),
所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1= p2(1-p)2+ p3(1
-p)+ p4=3p4-8p3+6p2.2引擎飞机正常飞行的概率为P2=
p(1-p)+ p2=-p2+2p.所以P1-P2=3p4-8p3+6p2-
(-p2+2p)=p(p-1)2(3p-2).因为4引擎飞机比2引擎
飞机更为安全,所以P1-P2>0,即p(p-1)2(3p-2)>0.
因为0<p<1,所以 <p<1.
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四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分13分)某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干
部,其中男生4人,女生2人,从中任选3人参加义务劳动.
(1)求男生甲和女生乙至少一人被选中的概率;
解: 从6人中任选3人,选法共有 =20(种),
其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为 = .
故男生甲和女生乙至少一人被选中的概率为1- = .
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(2)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件
B,求P(A)和P(A|B).
解: 由题知,P(A)= = .又P(B)=P(A)
= ,P(AB)= = ,所以P(A|B)= =
.
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16. (本小题满分15分)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1
分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的
胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为 ,乙获胜
的概率为 ,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,
乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
解: 设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=( )3+ ×( )3× = ,
故甲获得这次比赛胜利的概率为 .
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(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布
列及均值.
解: 依题意,X的取值可能为2,3,4,
则P(X=2)=( )2= ,
P(X=3)=( )3+ × ×( )2= ,
P(X=4)= ×( )2× ×1= .
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E(X)=2× +3× +4× = .
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17. (本小题满分15分)已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售
的,每包牛肉干的质量M(单位:g)服从正态分布N(250,
σ2),且P(M<248)=0.1.
(1)若从该公司销售的牛肉干中随机选取3包,求这3包中恰有2
包质量不小于248 g的概率;
解: 由题意知每包牛肉干的质量M(单位:g)服从
正态分布N(250,σ2),且P(M<248)=0.1,所以P
(M≥248)=1-0.1=0.9,则这3包中恰有2包质量不小
于248 g的概率为 ×0.92×0.1=0.243.
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(2)若从该公司销售的牛肉干中随机选取K(K为正整数)包,
记质量在248 g~252 g内的包数为X,且D(X)>320,求
K的最小值.
解: 因为P(M<248)=0.1,所以P(248<M<
252)=(0.5-0.1)×2=0.8,
依题意可得X~B(K,0.8),所以D(X)=K×0.8×
(1-0.8)=0.16K,
因为D(X)>320,所以0.16K>320,K>2 000,
又K为正整数,所以K的最小值为2 001.
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18. (本小题满分17分)某市电视台举办纪念红军长征胜利知识问答
活动,宣传长征精神,首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进
行支持签名活动.
公园 甲 乙 丙 丁
获得签名人数 45 60 30 15
然后在各公园签名的人中按分层随机抽样的方式抽取10名幸运之
星回答问题,从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之
星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品.
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(1)求此活动中各公园幸运之星的人数;
解: 甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为
×10=3, ×10=4, ×10=2, ×10=1.
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(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 ,
求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率;
解: 根据题意,乙公园中每位幸运之星获得纪念品的
概率为 = ,
所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为
= .
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(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对,而另外2个问题答不
对,记小李答对的问题数为X,求X的分布列.
解: 由题意,知X的所有可能取值为2,3,4,服从超
几何分布,P(X=2)= = ,
P(X=3)= = ,P(X=4)= = .
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
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19. (本小题满分17分)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随
机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X,定义其累
积分布函数为F(x)=P(X≤x).已知某系统由一个电源和并
联的A,B,C三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少
一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工
作相互独立.
(1)已知电源电压X(单位:V)服从正态分布N(40,4),
且X的累积分布函数为F(x),求F(44)-F(38);
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解: 由题设得P(38<X<42)=0.682 7,P(36<
X<44)=0.954 5,
所以F(44)-F(38)=P(X≤44)-P(X≤38)=P
(40≤X≤44)+P(38≤X≤40)
= ×(0.682 7+0.954 5)=0.818 6.
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(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或
等待时间.已知随机变量T(单位:天)表示某高稳定性元
件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为G
(t)=
①设t1>t2>0,证明:P(T>t1|T>t2)=P(T>t1-
t2);
②若第n天元件A发生故障,求第n+1天系统正常运行的
概率.
附:若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Y
-μ|<σ)=0.682 7,P(|Y-μ|<2σ)=0.954 5,
P(|Y-μ|<3σ)=0.997 3.
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解: ①证明:由题设得:
P(T>t1|T>t2)= = =
= = = = ,
P(T>t1-t2)=1-P(T≤t1-t2)=1-G(t1-t2)=

所以P(T>t1|T>t2)=P(T>t1-t2).
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②由①得P(T>n+1|T>n)=P(T>1)=1-P
(T≤1)=1-G(1)= ,
所以第n+1天元件B,C正常工作的概率均为 .
为使第n+1天系统仍正常工作,元件B,C必须至少有一个
正常工作,
因此所求概率为1-(1- )2= .
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谢 谢 观 看!