第2课时 非线性回归模型及回归分析
1.一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模型的残差平方和的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的是（ ）
A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④
2.已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，则y的值大约为（ ）
A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04
3.如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝＋c（x＞0），令t＝，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（ ）
A.（0.01，0.02） B.（50，100）
C.（0.02，0.04） D.（100，200）
4.（多选）某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A.相关系数r变小
B.决定系数R2变大
C.残差平方和变大
D.解释变量x与预报变量y的相关性变强
5.（多选）某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得经验回归方程＝x＋14.4，则以下说法正确的是（ ）
A.样本相关系数r＞0
B.＝－0.32
C.若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg
D.第四个样本点对应的残差为－0.4
6.某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
已知y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出5万元时，残差为 .
7.在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了 的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的 ，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多.
8.共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①y＝bx＋a；②y＝b＋a分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：
日期x（天） 1 2 3 4 5
用户y（人） 13 22 45 55 68
模型①的残差值 －1.1 －2.8 －1.2 －1.9 0.4
模型②的残差值 0.3 －5.4 －3.2 －1.6 3.8
（1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
（2）求出（1）中所选模型的经验回归方程.
（参考数据：＝55，xiyi＝752）
9.已知指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－x，则二次函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞） B.（，＋∞）
C.（，＋∞） D.（1，＋∞）
10.（多选）某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如下表所示.
广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程为＝2.27x＋，R2≈0.96，以下说法正确的是（ ）
A.第三个样本点对应的残差＝－1
B.在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中
C.该模型拟合效果较好
D.用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为20万元时的销售量
11.随着互联网的发展，“美团单车”“哈啰出行”等共享单车服务在我国各城市迅猛发展.为掌握共享单车在某地区的发展情况，某调查机构从该地区抽取了4个城市，分别收集和分析了共享单车的A，B两项指标数xi，yi（i＝1，2，3，4），数据如表所示.由表可得y关于x的经验回归方程为＝4x2＋a，则此经验回归模型中A指标数x＝2的残差为（ ）
A指标数x 1 2 3 4
B指标数y 6 12 35 63
A.0 B.－1 C.－2 D.－3
12.某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2014年到2023年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图.
该果园为了预测2024年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个经验回归模型.
模型①：由最小二乘法可求得y关于x的经验回归方程为＝2.50x－2.50；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线y＝bln x＋a的附近，令t＝ln x，则y＝b·t＋a，且有ti＝22.00，yi＝230，tiyi＝569.00，＝50.92.
（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程；
（2）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.
回归模型 模型① 模型②
经验回归方程 ＝2.50x－2.50 ＝ln x＋
（yi－）2 102.28 36.19
附：＝＝，＝－，
R2＝1－.
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 5≈1.609 4.
第2课时 非线性回归模型及回归分析
1.C 残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最小，所以C正确.故选C.
2.C 令t＝ln x，则＝bt＋0.24.由题意得，＝4.2，＝3，由经验回归直线过样本的中心点，有b＝，所以＝ln x＋0.24，将x＝e10代入得≈6.81.故选C.
3.D 根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25）可得：所以所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D.
4.BD 根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D.
5.BCD 对于A、B，由题表中的数据，得＝＝20，＝＝8，将，代入＝x＋14.4得＝－0.32，所以A选项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C选项说法正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D选项说法正确.故选B、C、D.
6.10 解析：当x＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，表格中对应y＝60，于是残差为60－50＝10.
7.85% 15% 解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
8.解：（1）应该选择模型①.
模型①的残差值的绝对值之和为1.1＋2.8＋1.2＋1.9＋0.4＝7.4，
模型②的残差值的绝对值之和为0.3＋5.4＋3.2＋1.6＋3.8＝14.3，
∵7.4＜14.3，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①.
（2）由题可知：＝＝3，＝＝40.6，
xiyi＝752，＝55.
∴＝＝＝＝14.3，
＝－＝40.6－14.3×3＝－2.3.
∴y关于x的经验回归方程为＝14.3x－2.3.
9.C ∵y＝aebx，∴两边取对数，作线性变化得ln y＝ln（aebx）＝ln a＋ln ebx＝ln a＋bx，由于指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－x，则u＝ln y ，ln a＝1，b＝－1，即a＝e，所以二次函数y＝x2＋bx＋a即y＝x2－x＋e，抛物线开口向上，对称轴为x＝ ，则函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（，＋∞），故选C.
10.AC 对于A项：由题意得＝＝4，＝＝8，代入＝2.27x＋，得＝－1.08，故＝2.27x－1.08，所以＝7－（2.27×4.0－1.08）＝－1，故A项正确；对于B、C项：由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故C项正确；故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B项错误；对于D项：由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该经验回归方程预测广告费用为20万元时的销售量不一定准确，故D项错误.故选A、C.
11.D 因为＝4x2＋a是非线性的，所以当将其看作y关于x2的函数时，即为线性方程，则＝7.5，＝29，所以29＝4×7.5＋a，得a＝－1，所以＝4x2－1.将x＝2代入方程可得＝15，则12－15＝－3，所以残差为－3.故选D.
12.解：（1）由ti＝22.00，yi＝230，
得＝2.2，＝23，
所以＝
＝＝25，
＝－＝23－25×2.2＝－32.
所以模型②中，y关于x的经验回归方程为＝25ln x－32.
（2）由表中的数据，有102.28＞36.19，
则1－＜1－，
所以模型①的R2小于模型②的R2，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；
当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为＝25ln 20－32＝25（2ln 2＋ln 5）－32≈25（2×0.693 1＋1.609 4）－32＝42.89（万元）.
2 / 3第2课时 非线性回归模型及回归分析
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近.
【问题】 你能求出这个函数模型吗？
知识点一 非线性回归方程
1.非线性回归分析的思想
研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系.
2.非线性经验回归方程
当回归方程不是形如＝x＋（，∈R）时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程.
知识点二 残差分析
1.残差及残差图
（1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回归方程得到的称为 ， 减去 所得的差称为残差；
（2）作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为残差图.
2.残差分析
是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为 .
知识点三 对模型刻画数据效果的分析
1.残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地集中在以 ，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度 .
2.残差平方和法：残差平方和 越小，模型的拟合效果越好.
3.决定系数R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越 ，模型的拟合效果越好，R2越 ，模型的拟合效果越差.
【想一想】
利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好.（ ）
（2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好.（ ）
（3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.（ ）
2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
则回归模型拟合效果最好的是（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
3.某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（ ）
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bln x
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bx2
题型一 求非线性经验回归方程
【例1】 某地区不同身高x（单位：cm）的未成年男性的体重平均值y（单位：kg）如下表：
身高x（cm） 60 70 80 90 100
体重y（kg） 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02
身高x（cm） 110 120 130 140
体重y（kg） 17.50 20.92 26.86 31.11
已知ln y与x之间存在很强的线性相关性.
（1）据此建立y关于x的经验回归方程；（系数保留两位小数）
（2）若体重超过相同身高的男性的体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，则这个地区一名身高为150 cm，体重为47 kg的男性的体重是否正常？
参考数据：（xiln yi）≈2 522，ln yi≈24.02，e3.67≈39.25.
通性通法
非线性经验回归方程的求法
【跟踪训练】
1.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方程，则需做变换t＝（ ）
A.x2 B.（x＋a）2
C.（x＋）2 D.以上都不对
2.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为 .
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
题型二 残差与残差分析
【例2】 （1）对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（ ）
（2）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方程为＝2x＋，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（ ）
A.r＝s B.s＝2r
C.s＝－2r＋3 D.s＝2r＋1
通性通法
1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高.
2.残差是随机误差的估计值，＝yi－.
【跟踪训练】
已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第 个.
题型三 残差平方和与决定系数R2
【例3】 已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
（1）求y关于x的经验回归方程；
（2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
（参考公式及数据：＝，＝－，＝1 660，xiyi＝620，（yi－）2＝53.2）
通性通法
刻画回归效果的三种方法
（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适；
（2）残差平方和法：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好；
（3）决定系数法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好.
【跟踪训练】
假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法计算得经验回归方程＝0.29x＋34.7.
（1）计算各组残差，并计算残差平方和；
（2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏.
1.某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
已知y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为（ ）
A.10万元 B.14万元 C.23万元 D.24万元
2.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围.令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为 .
3.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：℃）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据及相应散点图，并对数据做初步处理，如下表：
（xi－）（yi－） （xi－）（wi－）
73.5 3.85 －95 －2.24
表中：wi＝ln（yi－25），＝wi.
假如该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为＝·cx＋25，请求出此经验回归方程.
附：（1）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－；
（2）参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7.
第2课时 非线性回归模型及回归分析
【基础知识·重落实】
知识点二
1.（1）观测值 预测值 观测值 预测值
2.残差 残差分析
知识点三
1.横轴为对称轴的水平带状区域内 越高
2.（）2 3.大 小
想一想
提示：不一定.只是真实值的一个预测值.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√
2.A 决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.
3.B 由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由已知可得＝100，
＝100×（62＋72＋…＋142）＝96 000，
∴－9＝96 000－90 000＝6 000.
又（xiln yi）≈2 522，＝≈2.67，
∴≈≈0.02，
＝2.67－0.02×100＝0.67，
∴ln ＝0.02x＋0.67，
∴经验回归方程为＝e0.02x＋0.67.
（2）当x＝150时，＝e3.67≈39.25，而39.25×1.2＝47.1＞47，
∴该名男性的体重是正常的.
跟踪训练
1.C y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a≠0），可令t＝（x＋）2，则y＝at＋为y关于t的经验回归方程.
2.e7.5 解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－0.5，列表如下：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
z 1 3 4 6
＝＝2.5，＝＝3.5 ，代入＝b－0.5得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5.
【例2】 （1）A （2）C 解析：（1）用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.
（2）样本点（r，1）的残差为1－2r－，样本点（1，s）的残差为s－－2，依题意得1－2r－＝s－－2，故s＝－2r＋3.
跟踪训练
6 解析：原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大.
【例3】 解：（1）＝×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1.
（2）列出残差表为
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以（yi－）2＝0.3，且（yi－）2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好.
跟踪训练
解：（1）由＝xi＋，
可以算得＝yi－.
分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624，
所以残差平方和为（）2≈8.43.
（2）（yi－）2＝50.18，
故R2＝1－≈1－≈0.832.
所以回归模型的拟合效果较好.
随堂检测
1.A 当x＝5时，销售额的预测值为＝5×6.5＋17.5＝50，残差为60－50＝10万元.故选A.
2.＝e0.25x－2.58 解析：因为＝0.25x－2.58，z＝ln y，所以＝e0.25x－2.58.
3.解：由y＝d·cx＋25，得y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln（y－25）＝ln d＋xln c，
令w＝ln（y－25），则w＝ln d＋xln c，
＝xi＝＝3，＝（－3）2＋（－2）2＋（－1）2＋12＋22＋32＝28，
结合表中数据，
得ln c＝＝＝－0.08，
结合参考数据可得c＝e－0.08≈0.92，由ln d＝－ln c＝3.85－3×（－0.08）＝4.09，得d＝e4.09≈60，
所以茶水温度y关于时间x的经验回归方程为＝60×0.92x＋25.
4 / 5(共69张PPT)
第2课时
非线性回归模型及回归分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据
如下表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度
y/cm 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这
些散点不在一条直线附近.
【问题】 你能求出这个函数模型吗？
知识点一 非线性回归方程
1. 非线性回归分析的思想
研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如
果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有
线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之
间的关系.
2. 非线性经验回归方程
当回归方程不是形如 ＝ x＋ （ ， ∈R）时，称之为非线性
经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分
布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回
归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程.
知识点二 残差分析
1. 残差及残差图
（1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通
过经验回归方程得到的 称为 ， 减
去 所得的差称为残差；
（2）作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变
量的观测值等，这样作出的图形称为残差图.
观测值
预测值
观测值
预测值
2. 残差分析
是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型
刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方
面工作称为 .
残差
残差分析
知识点三 对模型刻画数据效果的分析
1. 残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地集中在以
，则说明经验回归方程较好地刻画了两
个变量的关系，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精
度 .
2. 残差平方和法：残差平方和 越小，模型的拟合效果
越好.
横轴为
对称轴的水平带状区域内
越高
（ ）2
3. 决定系数R2法：可以用R2＝1－ 来比较两个模型的拟
合效果，R2越 ，模型的拟合效果越好，R2越 ，模型
的拟合效果越差.
大
小
【想一想】
利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？
提示：不一定.只是真实值的一个预测值.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好.
（ √ ）
（2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好. （ × ）
（3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.
（ √ ）
√
×
√
2. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选
择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
则回归模型拟合效果最好的是（ ）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
解析： 决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.
3. 某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单
位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点
图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（ ）
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bln x
C. y＝a＋bex D. y＝a＋bx2
解析： 由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效
果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不
符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合
要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，
不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又
有下降，不符合要求.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求非线性经验回归方程
【例1】 某地区不同身高x（单位：cm）的未成年男性的体重平均
值y（单位：kg）如下表：
身高x（cm） 60 70 80 90 100
体重y（kg） 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02
身高x（cm） 110 120 130 140
体重y（kg） 17.50 20.92 26.86 31.11
已知ln y与x之间存在很强的线性相关性.
（1）据此建立y关于x的经验回归方程；（系数保留两位小数）
解： 由已知可得 ＝100，
＝100×（62＋72＋…＋142）＝96 000，
∴ －9 ＝96 000－90 000＝6 000.
又 （xiln yi）≈2 522， ＝ ≈2.67，
∴ ≈ ≈0.02，
＝2.67－0.02×100＝0.67，∴ln ＝0.02x＋0.67，
∴经验回归方程为 ＝e0.02x＋0.67.
（2）若体重超过相同身高的男性的体重平均值的1.2倍为偏胖，低于
0.8倍为偏瘦，则这个地区一名身高为150 cm，体重为47 kg的男
性的体重是否正常？
参考数据： （xiln yi）≈2 522， ln yi≈24.02，e3.67≈39.25.
解： 当x＝150时， ＝e3.67≈39.25，而39.25×1.2＝47.1
＞47，
∴该名男性的体重是正常的.
通性通法
非线性经验回归方程的求法
【跟踪训练】
1. 若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回
归方程，则需做变换t＝（ ）
A. x2 B. （x＋a）2
C. （x＋ ）2 D. 以上都不对
解析： y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋ （a≠0），可
令t＝（x＋ ）2，则y＝at＋ 为y关于t的经验回归方程.
2. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx
－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如
下表所示，x＝5时，预测y值为 .
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
e7.5
解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z
＝bx－0.5，列表如下：
x 1 2 3 4
y e e3 ey4 e6
z 1 3 4 6
＝ ＝2.5， ＝ ＝3.5 ，代入 ＝b －0.5得3.5＝
b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5
时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5.
题型二 残差与残差分析
【例2】 （1）对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的
回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（ A ）
A
解析： 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.
（2）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回
归方程为 ＝2x＋ ，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相
同，则有（ C ）
A. r＝s B. s＝2r
C. s＝－2r＋3 D. s＝2r＋1
解析：样本点（r，1）的残差为1－2r－ ，样本点（1，s）的
残差为s－ －2，依题意得1－2r－ ＝s－ －2，故s＝－2r
＋3.
C
通性通法
1. 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合
适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回
归方程的预报精度越高.
2. 残差是随机误差的估计值， ＝yi－ .
【跟踪训练】
已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的
是从左到右第 个.
解析：原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即
偏离平衡位置过大.
6
题型三 残差平方和与决定系数R2
【例3】 已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：
件）之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
（1）求y关于x的经验回归方程；
解： ＝ ×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝ ×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
所以 ＝ ＝ ＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是 ＝－1.15x＋28.1.
（2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
（参考公式及数据： ＝ ， ＝ － ， ＝1
660， xiyi＝620， （yi－ ）2＝53.2）
解： 列出残差表为
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以 （yi－ ）2＝0.3，且 （yi－ ）2＝53.2，
R2＝1－ ≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好.
通性通法
刻画回归效果的三种方法
（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用
的模型比较合适；
（2）残差平方和法：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效
果越好；
（3）决定系数法：R2＝1－ 越接近1，表明模型的拟合效
果越好.
【跟踪训练】
假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5
组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法计算得经验回归方程 ＝0.29x＋34.7.
（1）计算各组残差，并计算残差平方和；
解： 由 ＝ xi＋ ，
可以算得 ＝yi－ .
分别为 ＝0.35， ＝0.718， ＝－0.5， ＝－2.214，
＝1.624，
所以残差平方和为 （ ）2≈8.43.
（2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏.
解： （yi－ ）2＝50.18，
故R2＝1－ ≈1－ ≈0.832.
所以回归模型的拟合效果较好.
1. 某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万
元）的数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
已知y关于x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，则当广告支出费
用为5万元时，残差为（ ）
A. 10万元 B. 14万元
C. 23万元 D. 24万元
解析： 当x＝5时，销售额的预测值为 ＝5×6.5＋17.5＝50，
残差为60－50＝10万元.故选A.
2. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一
条指数曲线y＝ebx＋a的周围.令z＝ln y，求得经验回归方程为 ＝
0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为
.
解析：因为 ＝0.25x－2.58，z＝ln y，所以 ＝e0.25x－2.58.
＝e0.25x－
2.58
3. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型
和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：
℃）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在
25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化
的7组数据及相应散点图，并对数据做初步处理，如下表：
（xi－ ）（yi－ ） （xi－ ）
（wi－ ）
73.5 3.85 －95 －2.24
表中：wi＝ln（yi－25）， ＝ wi.
假如该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为 ＝ ·cx＋25，请
求出此经验回归方程.
附：（1）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，
yn），其经验回归直线 ＝ ＋ x的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ＝ ， ＝ － ；
（2）参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln
2≈0.7.
解：由y＝d·cx＋25，得y－25＝d·cx，两边取自然对数，得
ln（y－25）＝ln d＋xln c，
令w＝ln（y－25），则w＝ln d＋xln c，
＝ xi＝ ＝3， ＝（－3）2
＋（－2）2＋（－1）2＋12＋22＋32＝28，
结合表中数据，得ln c＝ ＝ ＝－0.08，
结合参考数据可得c＝e－0.08≈0.92，由ln d＝ － ln c＝3.85
－3×（－0.08）＝4.09，得d＝e4.09≈60，
所以茶水温度y关于时间x的经验回归方程为 ＝60×0.92x
＋25.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四
种模型的残差平方和 的值分别是1.23，0.80，
0.12，1.36.则拟合效果最好的是（ ）
A. 模型① B. 模型②
C. 模型③ D. 模型④
解析：C 残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方
和最小，所以C正确.故选C.
2. 已知变量y关于变量x的经验回归方程为 ＝bln x＋0.24，其一组
数据如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，则y的值大约为（ ）
A. 4.94 B. 5.74
C. 6.81 D. 8.04
解析： 令t＝ln x，则 ＝bt＋0.24.由题意得， ＝4.2， ＝
3，由经验回归直线过样本的中心点，有b＝ ，所以 ＝ ln x＋
0.24，将x＝e10代入得 ≈6.81.故选C.
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3. 如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝ ＋c（x＞0），
令t＝ ，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），
则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围
是（ ）
A. （0.01，0.02） B. （50，100）
C. （0.02，0.04） D. （100，200）
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解析： 根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回
归直线过点（2，5），（12，25）可得：所以
所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1
＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜ ＜0.01，所以100＜
x＜200，故选D.
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4. （多选）某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去
掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A. 相关系数r变小
B. 决定系数R2变大
C. 残差平方和变大
D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析： 根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线
性相关性加强，且为正相关，相关系数r变大，则A错，D对；去
掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故
选B、D.
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5. （多选）某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：
kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得经验回归方程 ＝ x＋14.4，则以下说法正
确的是（ ）
A. 样本相关系数r＞0
B. ＝－0.32
C. 若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg
D. 第四个样本点对应的残差为－0.4
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解析： 对于A、B，由题表中的数据，得 ＝
＝20， ＝ ＝8，将 ， 代入 ＝ x＋14.4得 ＝－
0.32，所以A选项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代
入 ＝－0.32x＋14.4，得 ＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，
所以C选项说法正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－
＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D选项说法正确.故选
B、C、D.
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6. 某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万
元）的数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
已知y与x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，则当广告支出5万元
时，残差为 .
解析：当x＝5时， ＝6.5×5＋17.5＝50，表格中对应y＝60，于
是残差为60－50＝10.
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7. 在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，
则表明气温解释了 的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献
了剩余的 ，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的
效应大得多.
解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，
而随机误差贡献了剩余的15%.
85%
15%
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8. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某
站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①y＝bx＋a；
②y＝b ＋a分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差
值及一些统计量的值：
日期x（天） 1 2 3 4 5
用户y（人） 13 22 45 55 68
模型①的残差值 －1.1 －2.8 －1.2 －1.9 0.4
模型②的残差值 0.3 －5.4 －3.2 －1.6 3.8
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（1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残
差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说
明理由；
解： 应该选择模型①.
模型①的残差值的绝对值之和为1.1＋2.8＋1.2＋1.9＋0.4＝
7.4，
模型②的残差值的绝对值之和为0.3＋5.4＋3.2＋1.6＋3.8＝
14.3，
∵7.4＜14.3，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①.
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（2）求出（1）中所选模型的经验回归方程.
（参考数据： ＝55， xiyi＝752）
解： 由题可知： ＝ ＝3， ＝
＝40.6， xiyi＝752， ＝55.
∴ ＝ ＝ ＝ ＝14.3，
＝ － ＝40.6－14.3×3＝－2.3.
∴y关于x的经验回归方程为 ＝14.3x－2.3.
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9. 已知指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1
－x，则二次函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（ ）
A. （0，＋∞） B. （ ，＋∞）
C. （ ，＋∞） D. （1，＋∞）
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解析： ∵y＝aebx，∴两边取对数，作线性变化得ln y＝ln
（aebx）＝ln a＋ln ebx＝ln a＋bx，由于指数曲线y＝aebx进行线
性变换后得到的经验回归方程为u＝1－x，则u＝ln y ，ln a＝1，b
＝－1，即a＝e，所以二次函数y＝x2＋bx＋a即y＝x2－x＋e，抛
物线开口向上，对称轴为x＝ ，则函数y＝x2＋bx＋a的单调递增
区间为（ ，＋∞），故选C.
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10. （多选）某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y
（单位：万件）之间的对应数据如下表所示.
广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程为 ＝2.27x＋ ，R2≈0.96，
以下说法正确的是（ ）
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A. 第三个样本点对应的残差 ＝－1
B. 在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的
带状区域中
C. 该模型拟合效果较好
D. 用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为20万元时的销售
量
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解析： 对于A项：由题意得 ＝ ＝4， ＝
＝8，代入 ＝2.27x＋ ，得 ＝－1.08，故
＝2.27x－1.08，所以 ＝7－（2.27×4.0－1.08）＝－1，故
A项正确；对于B、C项：由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的
效果比较好，故C项正确；故对应的残差图中残差点应该比较均
匀地分布在水平的带状区域中，故B项错误；对于D项：由于样本
的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用20万元远大
于表格中广告费用值，故用该经验回归方程预测广告费用为20万
元时的销售量不一定准确，故D项错误.故选A、C.
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11. 随着互联网的发展，“美团单车”“哈啰出行”等共享单车服务
在我国各城市迅猛发展.为掌握共享单车在某地区的发展情况，某
调查机构从该地区抽取了4个城市，分别收集和分析了共享单车
的A，B两项指标数xi，yi（i＝1，2，3，4），数据如表所示.由
表可得y关于x的经验回归方程为 ＝4x2＋a，则此经验回归模型
中A指标数x＝2的残差为（ ）
A指标数x 1 2 3 4
B指标数y 6 12 35 63
A. 0 B. －1 C. －2 D. －3
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解析： 因为 ＝4x2＋a是非线性的，所以当将其看作y关于x2
的函数时，即为线性方程，则 ＝7.5， ＝29，所以29＝
4×7.5＋a，得a＝－1，所以 ＝4x2－1.将x＝2代入方程可得
＝15，则12－15＝－3，所以残差为－3.故选D.
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12. 某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每
年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.
如图是2014年到2023年，该果园每年的投资金额x（单位：万
元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图.
该果园为了预测2024年投资金额为20万元时的年利润增量，建立
了y关于x的两个经验回归模型.
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模型①：由最小二乘法可求得y关于x的经验回归方程为 ＝
2.50x－2.50；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线y＝
bln x＋a的附近，令t＝ln x，则y＝b·t＋a，且有 ti＝22.00，
yi＝230， tiyi＝569.00， ＝50.92.
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（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程；
解： 由 ti＝22.00， yi＝230，
得 ＝2.2， ＝23，
所以 ＝ ＝ ＝25，
＝ － ＝23－25×2.2＝－32.
所以模型②中，y关于x的经验回归方程为 ＝25ln x－32.
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（2）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并
选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元
时的年利润增量（结果保留两位小数）.
回归模型 模型① 模型②
经验回归方程 ＝2.50x－2.50 ＝ ln x＋
（yi－ ）2 102.28 36.19
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附： ＝ ＝ ， ＝ － ，
R2＝1－ .
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 5≈1.609 4.
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解： 由表中的数据，有102.28＞36.19，
则1－ ＜1－ ，
所以模型①的R2小于模型②的R2，说明回归模型②刻画的
拟合效果更好；
当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为 ＝25ln 20－
32＝25（2ln 2＋ln 5）－32≈25（2×0.693 1＋1.609 4）－
32＝42.89（万元）.
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