培优课 成对数据统计分析中的综合问题
1.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据以往资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100，110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率），求T的均值.
2.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163
参考数据：＝86，＝112，xiyi＝82 743，＝62 680.
（1）建立y关于x的回归模型＝x＋，根据所给数据及回归模型，求y关于x的经验回归方程（精确到0.1，精确到1）；
（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
是否报废 是否保养 合计
保养 未保养
报废 20
未报废
合计 60 100
3.某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）.
第一 天 第二 天 第三 天 第四 天 第五 天 第六 天 第七 天
序号x 1 2 3 4 5 6 7
小明成功 次数（y） 16 20 20 25 30 36 a
小红成功 次数（z） 16 22 25 26 32 35 35
（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的经验回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值.
参考公式：经验回归方程＝x＋中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝－.
参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋32＋42＋52＋62＝91.
4.为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下数据.根据医学相关知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.
男性 ：5 7 9 8 18 19 21 23 27 29
25 32 34 35 37 38 41 42 47 54
女性： 13 14 21 25 25 28 31 32 34 35
38 40 43 47 48 49 52 55 56 57
（1）依据样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联；
（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
培优课 成对数据统计分析中的综合问题
1.解：（1）当X∈[100，130）时，
T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000.
当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
（2）由（1）知当且仅当120≤X≤150时利润T不少于57 000元.
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
（3）依题意可得T的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以E（T）＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
2.解：（1）由题意得＝＝＝≈1.6，
则＝112－1.6×86≈－26，
所以＝1.6x－26.
（2）零假设为H0：是否报废与保养无关，
由题意，报废推进器中保养过的共20×30%＝6台，未保养的推进器共20－6＝14台，
补全2×2列联表如下：
是否 报废 是否保养 合计
保养 未保养
报废 6 14 20
未报废 54 26 80
合计 60 40 100
则χ2＝＝＝9.375＞6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否报废与保养有关，
此推断错误的概率不大于0.01.
3.解：（1）因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种情况，
yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数，
又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，yi＋a≥zi，
即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得a≥44，
又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z，
所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44＋1＝12种情况，
所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为＝.
（2）由题设可知：xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582，
＝＝，＝＝，
所以＝＝，＝－＝－×＝11，
所以成功次数y关于序号x的经验回归方程为＝x＋11.
当x＝7时，＝×7＋11＝38，
估计小明第7天成功次数a的值为38.
4.解：（1）由题中数据可得2×2列联表为
性别 血液指标 合计
正常 偏高
男性 16 4 20
女性 12 8 20
合计 28 12 40
χ2＝≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联.
（2）由样本数据可知，男性此项血液指标正常的概率为，女性此项血液指标正常的概率为.抽取的人中此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0，1，2，3，4.
P（X＝0）＝（1－）2×（1－）2＝，
P（X＝1）＝××（1－）×（1－）2＋（1－）2×××（1－）＝，
P（X＝2）＝（）2×（1－）2＋××（1－）×××（1－）＋（1－）2×（）2＝，
P（X＝3）＝××（1－）×（）2＋（）2×××（1－）＝，P（X＝4）＝（）2×（）2＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，
因此此项血液指标为正常的人数X的数学期望为.
2 / 2 成对数据统计分析中的综合问题
题型一 回归分析与独立性检验交汇
【例1】 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）（i＝1，2，3，…，50）的散点图，并用直线x＝1 500与y＝100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8.
（1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”是否有关联？
PM2.5 平均浓度 汽车日流量 合计
汽车日流量 x＜1 500 汽车日流量 x≥1 500
PM2.5的平均 浓度y＜100
PM2.5的平均 浓度y≥100
合计
（2）经计算得经验回归方程为＝0.12x－73.36，且这50天的汽车日流量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.求样本相关系数r（若｜r｜≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性），并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
经验回归方程＝＋x，其中＝，样本相关系数r＝.
通性通法
此类题型只需遵循回归分析的步骤，运用独立性检验的原理，掌握好计算公式、表格的整理与读取即可.
【跟踪训练】
甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表：
零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
零件个数Y 甲 6 14 17 17 6
乙 m 8 8 8 22
由表中数据得Y关于X的经验回归方程为＝－171.7＋190X（1.01≤X≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01 cm.
（1）求m的值；
（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断加工零件的质量与甲、乙机床是否有关联？
题型二 回归分析与概率、统计交汇
【例2】 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210
现用＝＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该经验回归方程；（，用分数表示）
（2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值.
参考数据（其中ti＝）：
tiyi －7
1 750 0.37 0.55
通性通法
回归分析与概率、统计交汇问题的解题思路
（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率、均值、方差等；
（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
【跟踪训练】
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得＝80，＝9 000，（xi－）（yi－）＝800.
（1）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
题型三 独立性检验与概率、统计交汇
【例3】 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层随机抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请列出每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联？
通性通法
独立性检验与概率、统计交汇问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.
【跟踪训练】
各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2024年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）
参加“强基培训” 不参加“强基培训”
男生 25 35
女生 5 25
（1）根据表中数据并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？
（2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2024年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
培优课 成对数据统计分析中的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）2×2列联表如下：
PM2.5 平均浓度 汽车日流量 合 计
汽车日流量 x＜1 500 汽车日流量 x≥1 500
PM2.5的平均 浓度y＜100 16 8 24
PM2.5的平均 浓度y≥100 6 20 26
合计 22 28 50
零假设为H0：“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”无关，
因为χ2＝≈9.62＞6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”有关，此结论犯错的概率不大于0.01.
（2）因为经验回归方程为＝0.12x－73.36，所以＝＝0.12，
又因为＝252，
＝36，
所以r＝＝·＝0.12×＝0.84.
因为｜r｜＝0.84＞0.75，所以y与x有较强的相关性，
所以该经验回归方程有价值.
跟踪训练
解：（1）依题意，得＝1.03，＝，
由＝－171.7＋190X，得＝－171.7＋190×1.03，解得m＝14，
所以m的值为14.
（2）由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm，
所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为：
机床 机床加工零件质量 合计
合格零件数 不合格零件数
甲 48 12 60
乙 24 36 60
合计 72 48 120
零假设为H0：加工零件的质量与甲、乙机床无关，
根据以上数据得，χ2＝＝20＞6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为H0不成立，
所以可认为加工零件的质量与甲、乙机床有关，此结论犯错的概率不大于0.01.
【例2】 解：（1）因为＝＋，令ti＝，则＝＋t.
因为＝＝500，
所以＝＝＝＝，
所以＝－＝500－×0.37＝，
所以＝＋t，
所以所求经验回归方程为＝＋.
（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
P（X＝3）＝（）3＋（）3＝，
P（X＝4）＝（）2××＋（）2××＝，
P（X＝5）＝（）2×（）2×＋（）2×（）2×＝.
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5
P
E（X）＝3×＋4×＋5×＝.
跟踪训练
解：（1）样本（xi，yi）（i＝1，2，…， 20）的相关系数为
r＝＝＝≈0.94.
由于样本相关系数｜r｜∈[0.75，1]，则相关性很强，｜r｜的值越大，相关性越强.
故r＝0.94∈[0.75，1]，故相关性很强.
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
【例3】 解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据.
（2）由频率分布直方图得该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，
所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225位学生的每周平均体育运动时间超过4小时，75位学生的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210个是关于男生的，90个是关于女生的，且有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，所以每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表如下：
每周平均体育 运动时间 性别 合计
男生 女生
不超过4小时 45 30 75
超过4小时 165 60 225
合计 210 90 300
零假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关联.
结合2×2列联表可得χ2＝＝≈4.762＞3.841＝x0.05.
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.05.
跟踪训练
解：（1）零假设为H0：参加“强基培训”与性别无关联，
由题意，χ2＝＝5.625＞3.841＝x0.05，
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可推断H0不成立，
即认为参加“强基培训”与性别有关联.
（2）由题意知，考生参加“强基培训”的概率P＝＝，不参加“强基培训”的概率为，
结合题意知X的可能取值为0，1，2，3，则X～B（3，），
P（X＝0）＝（）3＝，
P（X＝1）＝××（）2＝，
P（X＝2）＝×（）2×＝，
P（X＝3）＝（）3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
由X～B（3，），得数学期望E（X）＝3×＝1.
3 / 3(共59张PPT)
培优课
成对数据统计分析中的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 回归分析与独立性检验交汇
【例1】 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监
测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平
均浓度y（单位：μg/m3）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于
（xi，yi）（i＝1，2，3，…，50）的散点图，并用直线x＝1 500与
y＝100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区
域的样本点的个数依次为6，20，16，8.
（1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检
验，分析“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量
不小于1 500辆”是否有关联？
PM2.5平均浓度 汽车日流量 合计
汽车日流量x＜1 500 汽车日流量
x≥1 500
PM2.5的平均浓度y＜100
PM2.5的平均浓度y≥100
合计
解： 2×2列联表如下：
PM2.5 平均浓度 汽车日流量 合计
汽车日流量x＜1 500 汽车日流量x≥1 500
PM2.5的平均 浓度y＜100 16 8 24
PM2.5的平均 浓度y≥100 6 20 26
合计 22 28 50
零假设为H0：“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日
流量不小于1 500辆”无关，
因为χ2＝ ≈9.62＞6.635＝x0.01，根据小概率
值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于
1 500辆”有关，此结论犯错的概率不大于0.01.
（2）经计算得经验回归方程为 ＝0.12x－73.36，且这50天的汽车
日流量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝
36.求样本相关系数r（若｜r｜≥0.75，则认为y与x有较强的
线性相关性），并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c
＋d.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
经验回归方程 ＝ ＋ x，其中 ＝ ，样本相
关系数r＝ .
解： 因为经验回归方程为 ＝0.12x－73.36，所以 ＝
＝0.12，又因为 ＝252， ＝36，
所以r＝ ＝ · ＝
0.12× ＝0.84.
因为｜r｜＝0.84＞0.75，所以y与x有较强的相关性，
所以该经验回归方程有价值.
通性通法
此类题型只需遵循回归分析的步骤，运用独立性检验的原理，掌
握好计算公式、表格的整理与读取即可.
【跟踪训练】
甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X
（单位：cm）及个数Y如下表：
零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
零件个数
Y 甲 6 14 17 17 6
乙 m 8 8 8 22
由表中数据得Y关于X的经验回归方程为 ＝－171.7＋190X
（1.01≤X≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01 cm.
（1）求m的值；
解： 依题意，得 ＝1.03， ＝ ，
由 ＝－171.7＋190X，得 ＝－171.7＋190×1.03，解得
m＝14，
所以m的值为14.
（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断加工零件的质量与
甲、乙机床是否有关联？
解： 由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm，
所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为：
机床 机床加工零件质量 合计
合格零件数 不合格零件数
甲 48 12 60
乙 24 36 60
合计 72 48 120
零假设为H0：加工零件的质量与甲、乙机床无关，
根据以上数据得，χ2＝ ＝20＞6.635＝
x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为H0不成立，
所以可认为加工零件的质量与甲、乙机床有关，此结论犯错的
概率不大于0.01.
题型二 回归分析与概率、统计交汇
【例2】 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据
9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每
一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不
重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级
组的比赛.
（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/
题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210
现用 ＝ ＋ 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该经
验回归方程；（ ， 用分数表示）
解： 因为 ＝ ＋ ，令ti＝ ，则 ＝ ＋ t.
因为 ＝ ＝500，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
所以 ＝ － ＝500－ ×0.37＝ ，
所以 ＝ ＋ t，
所以所求经验回归方程为 ＝ ＋ .
（2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，
先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比
赛.若小明每局获胜的概率为 ，且各局之间相互独立，设比赛
X局后结束，求随机变量X的分布列及均值.
参考数据（其中ti＝ ）：
tiyi －7
1 750 0.37 0.55
解： 随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
P（X＝3）＝（ ）3＋（ ）3＝ ，
P（X＝4）＝ （ ）2× × ＋ （ ）2× × ＝ ，
P（X＝5）＝ （ ）2×（ ）2× ＋ （ ）2×（ ）2×
＝ .
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5
P
E（X）＝3× ＋4× ＋5× ＝ .
通性通法
回归分析与概率、统计交汇问题的解题思路
（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：
①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率、均值、
方差等；
（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确
定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合
理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
【跟踪训练】
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增
加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分
成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调
查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表
示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量
（单位：只），并计算得 ＝80， ＝
9 000， （xi－ ）（yi－ ）＝800.
（1）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到
0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖
面积x（单位：公顷）的相关程度；
解： 样本（xi，yi）（i＝1，2，…， 20）的相关系数为
r＝ ＝ ＝ ≈0.94.
由于样本相关系数｜r｜∈[0.75，1]，则相关性很强，｜r｜的
值越大，相关性越强.
故r＝0.94∈[0.75，1]，故相关性很强.
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均
数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于
样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
解： 由题意得X的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有
12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝
，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
题型三 独立性检验与概率、统计交汇
【例3】 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500
人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层随机抽
样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单
位：小时）.
（1）应收集多少位女生的样本数据？
解： 300× ＝90，所以应收集90位女生的样本数据.
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率
分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，
2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计
该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
解：（2）由频率分布直方图得该校学生每周平均体育运动时间
超过4小时的频率为1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，
所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为
0.75.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小
时，请列出每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并依
据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为该校学生的每周
平均体育运动时间与性别有关联？
解：（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225位学
生的每周平均体育运动时间超过4小时，75位学生的每周平
均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210个是
关于男生的，90个是关于女生的，且有60位女生的每周平均
体育运动时间超过4小时，所以每周平均体育运动时间与性
别的2×2列联表如下：
每周平均体育运动时
间 性别 合计
男生 女生
不超过4小时 45 30 75
超过4小时 165 60 225
合计 210 90 300
零假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关联.
结合2×2列联表可得χ2＝ ＝ ≈4.762＞
3.841＝x0.05.
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即
认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联，此推断
犯错的概率不大于0.05.
通性通法
独立性检验与概率、统计交汇问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综
合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2
的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.
【跟踪训练】
各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们
热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2024年参加高考的90位考生
是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如
下表：（单位：人）
参加“强基培训” 不参加“强基培训”
男生 25 35
女生 5 25
（1）根据表中数据并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析参
加“强基培训”与性别是否有关联？
解：（1）零假设为H0：参加“强基培训”与性别无关联，
由题意，χ2＝ ＝5.625＞3.841＝x0.05，
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可推断H0不成立，
即认为参加“强基培训”与性别有关联.
（2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2024
年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培
训”的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.
附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
解： 由题意知，考生参加“强基培训”的概率P＝ ＝
，不参加“强基培训”的概率为 ，
结合题意知X的可能取值为0，1，2，3，则X～B（3， ），
P（X＝0）＝（ ）3＝ ，
P（X＝1）＝ × ×（ ）2＝ ，
P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＝ ，
P（X＝3）＝（ ）3＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
由X～B（3， ），得数学期望E（X）＝3× ＝1.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得
利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据以往资料，得到
销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下
一个销售季度购进了130 t该农产品.以X（单位：t，100≤X≤
150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
1
2
3
4
（1）将T表示为X的函数；
解： 当X∈[100，130）时，
T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000.
当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
1
2
3
4
（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
解： 由（1）知当且仅当120≤X≤150时利润T不少于
57 000元.
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个
销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
1
2
3
4
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的
各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点
值的概率（例如：若需求量X∈[100，110），则取X＝
105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频
率），求T的均值.
解： 依题意可得T的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以E（T）＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋
65 000×0.4＝59 400.
1
2
3
4
2. 由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航
天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推
进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离x
（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数
y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163
参考数据： ＝86， ＝112， xiyi＝82 743， ＝62 680.
1
2
3
4
（1）建立y关于x的回归模型 ＝ x＋ ，根据所给数据及回归模
型，求y关于x的经验回归方程（ 精确到0.1， 精确到1）；
解： 由题意得 ＝ ＝ ＝
≈1.6，
则 ＝112－1.6×86≈－26，
所以 ＝1.6x－26.
1
2
3
4
（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取
100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测
试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请
根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的
独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
是否报废 是否保养 合计
保养 未保养
报废 20
未报废
合计 60 100
1
2
3
4
解： 零假设为H0：是否报废与保养无关，
由题意，报废推进器中保养过的共20×30%＝6台，未保养的
推进器共20－6＝14台，
补全2×2列联表如下：
是否报废 是否保养 合计
保养 未保养
报废 6 14 20
未报废 54 26 80
合计 60 40 100
1
2
3
4
则χ2＝ ＝ ＝
9.375＞6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为是否报废与保养有关，
此推断错误的概率不大于0.01.
1
2
3
4
3. 某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举
行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，
小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人
在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的
成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示
小明、小红第i天的成功次数）.
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
序号x 1 2 3 4 5 6 7
小明成功 次数（y） 16 20 20 25 30 36 a
小红成功 次数（z） 16 22 25 26 32 35 35
1
2
3
4
（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的
概率；
解： 因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－
36＋1＝20种情况，
yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数，
又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时， yi＋
a≥ zi，
1
2
3
4
即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35
＋35，得a≥44，
又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z，
所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取
值共有55－44＋1＝12种情况，
所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概
率为 ＝ .
1
2
3
4
（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序
号x的经验回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值.
参考公式：经验回归方程 ＝ x＋ 中斜率与截距的最小二
乘估计公式分别为： ＝ ＝ ，
＝ － .
参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝
582；12＋22＋32＋42＋52＋62＝91.
1
2
3
4
解： 由题设可知： xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋
4×25＋5×30＋6×36＝582，
＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ， ＝ － ＝ － × ＝11，
所以成功次数y关于序号x的经验回归方程为 ＝ x＋11.
当x＝7时， ＝ ×7＋11＝38，
估计小明第7天成功次数a的值为38.
1
2
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4
4. 为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、
女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得
到了如下数据.根据医学相关知识，我们认为此项指标大于40为偏
高，反之即为正常.
男性 ：5 7 9 8 18 19 21 23 27 29
25 32 34 35 37 38 41 42 47 54
女性： 13 14 21 25 25 28 31 32 34 35
38 40 43 47 48 49 52 55 56 57
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2
3
4
（1）依据样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列
联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为
此项血液指标与性别有关联；
解： 由题中数据可得2×2列联表为
性别 血液指标 合计
正常 偏高
男性 16 4 20
女性 12 8 20
合计 28 12 40
χ2＝ ≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的
概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联.
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2
3
4
（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取
成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分
布列及数学期望.
附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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解： 由样本数据可知，男性此项血液指标正常的概率
为 ，女性此项血液指标正常的概率为 .抽取的人中此项血
液指标为正常的人数X的可能取值为0，1，2，3，4.
P（X＝0）＝（1－ ）2×（1－ ）2＝ ，
P（X＝1）＝ × ×（1－ ）×（1－ ）2＋（1－ ）2
× × ×（1－ ）＝ ，
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3
4
P（X＝2）＝（ ）2×（1－ ）2＋ × ×（1－ ）×
× ×（1－ ）＋（1－ ）2×（ ）2＝ ，
P（X＝3）＝ × ×（1－ ）×（ ）2＋（ ）2× ×
×（1－ ）＝ ，P（X＝4）＝（ ）2×（ ）2＝ .
所以随机变量X的分布列为
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X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4×
＝ ，
因此此项血液指标为正常的人数X的数学期望为 .
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谢 谢 观 看！
