模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.4×5×6×…×（n－1）×n＝（ ）
A. B.
C.n！－4！ D.
2.如图所示的4个散点图中，最不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ ）
3.（x＋）（x－2）5的展开式中x的系数是（ ）
A.－32 B.152
C.88 D.－272
4.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.6，则P（0＜ξ＜1）＝（ ）
A.0.4 B.0.3
C.0.2 D.0.1
5.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（ ）
A. B.
C. D.
6.某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关系y＝，可以设一个新的变量z＝，这样y与z之间就是线性关系.下列表格中的数据可以用非线性方程＝0.14x2＋进行拟合，
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
用线性回归的相关知识，可求得的值约为（ ）
A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68
8.如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前30项的和为（ ）
A.680 B.679 C.816 D.815
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A.事件A与B是互斥事件
B.事件A与B是对立事件
C.事件B与C是互斥事件
D.事件B与C相互独立
10.关于（－2x）5的展开式，下列结论正确的是（ ）
A.各二项式系数之和为32
B.各项系数之和为－1
C.存在常数项
D.x3的系数为80
11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字》中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P（A）和P（B），则以下结论正确的是（ ）
A.0＜p2＜＜p1＜1
B.当p1＋p2＝1时，P（A）＞P（B）
C. p1∈（0，1），使得对 p2∈（0，1），都有P（A）＞P（B）
D.当P（A）＝P（B）时，＋p1p2＋＞
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知X～B（5，），则P（≤X≤）＝ .
13.为美化校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有 种不同方案.
14.小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x，第二个球的号码是y，记ξ＝x＋2y，若公司规定ξ＝9，8，7时，分别为一、二、三等奖，奖金分别为1 000元，500元，200元，其余无奖.则小张玩游戏一次获得奖金的期望为 元.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知（2x＋）n的展开式中，所有二项式系数的和为32.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的系数为－1，求a的值.
16.（本小题满分15分）每年9月第三个公休日是全国科普日.某校为迎接2024年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数.
（1）求该选手恰好选中1道“智慧生活题”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望.
17.（本小题满分15分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元）、网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”.
网购人群 类别 性别 合计
男 女
网购迷 20
非网购迷 45
合计 100
附：χ2＝.
α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（本小题满分17分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2024年连续六个月（5～10月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋，并据此预测该公司2024年12月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？（用频率估计概率）
使用 寿命 材料 类型 1个月 2个月 3个月 4个月 合计
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100
参考数据：＝91，xiyi＝371.
19.（本小题满分17分）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.设（ξ，η）的一切可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记pij表示（ai，bj）在Ω中出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则（ξ，η）是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；
②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果用m，n表示）；
（2）P（ξ＝ai）称为二维离散型随机变量（ξ，η）关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P（ξ＝ai）＝pij.
模块综合检测
1.D 由题意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）×…×6×5×4＝.
2.A 根据题意，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的散点图中，点的分布必须比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.故选A.
3.C 因为（x－2）5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k（－2）k，所以（x＋）（x－2）5的展开式中x的系数是（－2）5＋3×·（－2）2＝88.
4.D 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P（ξ＜2）＝0.6，所以P（ξ≥2）＝P（ξ≤0）＝0.4，故P（0＜ξ＜1）＝P（0＜ξ＜2）＝×（1－0.4－0.4）＝0.1.
5.A 由题意知X＝0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝.所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝.故A正确.故选A.
6.C 记服用金花清感颗粒为事件A，服用连花清瘟胶囊为事件B，服用清开灵颗粒为事件C，感冒被治愈为事件D，依题意可得P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝，P（D｜A）＝，P（D｜B）＝，P（D｜C）＝，所以P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）＝×＋×＋×＝.故选C.
7.B 设z＝x2，则＝0.14z＋，则
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
则＝＝，＝＝5，则＝－0.14＝5－0.14×≈2.88.故选B.
8.D 根据“杨辉三角”，得1＋2＋3＋3＋6＋4＋10＋5＋…＝＋＋＋＋＋＋＋＋…，因此，此数列的前30项和为：S30＝＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＝＋＋＋＋…＋＝（＋）＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋－＝…＝－＝816－1＝815.故选D.
9.AB 对于A、B：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事件，也是对立事件，A、B正确；对于C：如果取出的球的数字为2，4，则事件B与事件C均发生，不互斥，C错误；对于D：P（B）＝1－＝，P（C）＝＝，P（BC）＝＝，则P（B）P（C）≠P（BC），即事件B与C不相互独立，D错误.故选A、B.
10.ABD （－2x）5的展开式的所有二项式系数的和为25＝32，故A中结论正确；令x＝1，可得各项的系数和为－1，故B中结论正确；展开式的通项为Tr＋1＝·（）5－r（－2x）r＝（－2）r··x2r－5，由2r－5＝0，得r＝，舍去，故不存在常数项，C中结论错误；由2r－5＝3，得r＝4，∴x3的系数为（－2）4＝80，故D中结论正确.
11.ABC 对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为p1（1－p1）2，只赢两盘的概率为（1－p1），则p1＜（1－p1），解得p1＞，故＜p1＜1.甲与丙对弈只赢一盘的概率为p2，只赢两盘的概率为（1－p2），则p2（1－p2），解得p2＜，故0＜p2＜，故0＜p2＜＜p1＜1，则A正确；对于B，由p1＋p2＝1得p1＝1－p2，则P（A）＝p2＝（1－p2）·，即P（A）＝P（B）·（－1），又0＜p2＜，所以－1＞1，所以P（A）＞P（B），故B正确；对于C， p1∈（0，1），使得对 p2∈（0，1），结合B分析，只满足p1＋p2＝1，都有P（A）＞P（B），故C正确；对于D，令P（A）＝P（B），则（1－p1）＝（1－p2），化简得－＝－，故（p1＋p2）（p1－p2）＝（p1－p2）·（＋p1p2＋），即p1＋p2＝＋p1p2＋，又因为0＜p2＜＜p1＜1，则＜p1＋p2＜，即＜＋p1p2＋＜，故D错误，故选A、B、C.
12. 解析：P（≤X≤）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝×（）2×（）3＋×（）3×（）2＝.
13.72 解析：如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案·＝24（种），②当4种不同颜色的花全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案·＝48（种），则不同的种植方案共有24＋48＝72（种）.
14. 解析：由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是，取一次球，取得号码是2的概率是，取一次球，取得号码是3的概率是，因为ξ＝x＋2y，ξ＝9，8，7，若ξ＝x＋2y＝7，则或故P（ξ＝7）＝×＋×＝；若ξ＝x＋2y＝8，则所以P（ξ＝8）＝×＝；当ξ＝x＋2y＝9，则所以P（ξ＝9）＝×＝，设奖金为X，则P（X＝0）＝1－－－＝.故X的分布列为
X 1 000 500 200 0
P
所以E（X）＝1 000×＋500×＋200×＋0×＝.
15.解：（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴2n＝32， ∴n＝5.
（2）二项式（2x＋）5展开式的通项公式为Tr＋1＝（2x）5－r（）r＝25－rarx5－2r，
令5－2r＝－5 r＝5，∴展开式中的系数为20a5，∴a5＝－1，解得a＝－1.
16.解：（1）设该选手恰好选中1道“智慧生活题”为事件A，则P（A）＝＝.
（2）易知ξ＝0，1，2，
则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故ξ的数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝1.
17.解：（1）依题意，因为0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＝0.35＜0.5，而0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×5＝0.65＞0.5，所以中位数位于[15，20）之间，所以中位数为15＋＝17.5.
（2）依题意，消费金额不少于20千元的频率为0.04×5＋0.03×5＝0.35，所以样本中网购迷人数为100×0.35＝35，
非网购迷的人数为100－35＝65.
所以补全2×2列联表如下：
网购人群 类别 性别 合计
男 女
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
合计 60 40 100
零假设为H0：网购迷与性别无关.
根据列联表可得χ2＝≈6.593＞5.024＝x0.025，依据小概率值α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为网购迷与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.025，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”.
18.解：（1）由折线图可知统计数据（x，y）共有6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）.
计算可得＝×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，
＝×（11＋13＋16＋15＋20＋21）＝16，
∴＝＝＝2，
＝－＝16－2×3.5＝9.
∴月利润y关于月份代码x的经验回归方程为＝2x＋9，
当x＝8时，＝2×8＋9＝25.
故预测甲公司2024年12月份的利润为25百万元.
（2）由题意知，A型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
∴A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35.
B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7.
∵＜，∴甲公司的负责人应该采购B型号的新型材料.
19.解：（1）①该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，0）.
②依题意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝m｜η＝n）·P（η＝n），
显然P（η＝n）＝（）n（）3－n，则P（ξ＝m｜η＝n）＝（）m（）3－n－m＝（）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝（）3－n·（）n·（）3－n＝＝.
（2）证明：由定义及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝pij.
2 / 5(共42张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 4×5×6×…×（n－1）×n＝（ ）
A. B.
C. n！－4！ D.
解析： 由题意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）
×…×6×5×4＝ .
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2. 如图所示的4个散点图中，最不适合用线性回归模型拟合其中两个
变量的是（ ）
解析： 根据题意，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的散点图中，点的分布必须比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.故选A.
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3. （x＋ ）（x－2）5的展开式中x的系数是（ ）
A. －32 B. 152
C. 88 D. －272
解析： 因为（x－2）5的展开式的通项为Tk＋1＝ x5－k（－
2）k，所以（x＋ ）（x－2）5的展开式中x的系数是（－2）5＋
3× ·（－2）2＝88.
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4. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.6，
则P（0＜ξ＜1）＝（ ）
A. 0.4 B. 0.3
C. 0.2 D. 0.1
解析： 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P（ξ＜2）＝
0.6，所以P（ξ≥2）＝P（ξ≤0）＝0.4，故P（0＜ξ＜1）＝ P
（0＜ξ＜2）＝ ×（1－0.4－0.4）＝0.1.
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5. 一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是
相等的.从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期
望是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意知X＝0，1，2，则P（X＝0）＝ ＝ ，P
（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ .所以E（X）＝
0× ＋1× ＋2× ＝ .故A正确.故选A.
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6. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清
瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别
为 ， ， ，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药
请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 记服用金花清感颗粒为事件A，服用连花清瘟胶囊为事
件B，服用清开灵颗粒为事件C，感冒被治愈为事件D，依题意可
得P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ＝ ，P（D｜
A）＝ ，P（D｜B）＝ ，P（D｜C）＝ ，所以P（D）＝P
（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜
C）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .故选C.
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7. 当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相
关化，比如反比例关系y＝ ，可以设一个新的变量z＝ ，这样y
与z之间就是线性关系.下列表格中的数据可以用非线性方程 ＝
0.14x2＋ 进行拟合，
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
用线性回归的相关知识，可求得 的值约为（ ）
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解析： 设z＝x2，则 ＝0.14z＋ ，则
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
则 ＝ ＝ ， ＝ ＝5，则 ＝
－0.14 ＝5－0.14× ≈2.88.故选B.
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8. 如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次
构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前30
项的和为（ ）
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解析： 根据“杨辉三角”，得1＋2＋3＋3＋6＋4＋10＋5＋…
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…，因此，此数列的
前30项和为：S30＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋
＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋
）＋…＋（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝（
＋ ）＋ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…
＋ － ＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝…＝ － ＝816
－1＝815.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随
机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件
B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字
之和为偶数”，则（ ）
A. 事件A与B是互斥事件 B. 事件A与B是对立事件
C. 事件B与C是互斥事件 D. 事件B与C相互独立
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解析： 对于A、B：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的
数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B
是互斥事件，也是对立事件，A、B正确；对于C：如果取出的球的
数字为2，4，则事件B与事件C均发生，不互斥，C错误；对于
D：P（B）＝1－ ＝ ，P（C）＝ ＝ ，P（BC）＝
＝ ，则P（B）P（C）≠P（BC），即事件B与C不相互独
立，D错误.故选A、B.
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10. 关于（ －2x）5的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 各二项式系数之和为32
B. 各项系数之和为－1
C. 存在常数项
D. x3的系数为80
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解析： （ －2x）5的展开式的所有二项式系数的和为25＝
32，故A中结论正确；令x＝1，可得各项的系数和为－1，故B中
结论正确；展开式的通项为Tr＋1＝ ·（ ）5－r（－2x）r＝（－
2）r· ·x2r－5，由2r－5＝0，得r＝ ，舍去，故不存在常数
项，C中结论错误；由2r－5＝3，得r＝4，∴x3的系数为（－2）
4 ＝80，故D中结论正确.
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11. 围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎
在《说文解字》中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时
特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p1，其中甲
只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘
赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若
各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的
概率分别是P（A）和P（B），则以下结论正确的是（ ）
A. 0＜p2＜ ＜p1＜1
B. 当p1＋p2＝1时，P（A）＞P（B）
C. p1∈（0，1），使得对 p2∈（0，1），都有P（A）＞P
（B）
D. 当P（A）＝P（B）时， ＋p1p2＋ ＞
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解析： 对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为
p1（1－p1）2，只赢两盘的概率为 （1－p1），则
p1 ＜ （1－p1），解得p1＞ ，故 ＜p1＜1.甲与
丙对弈只赢一盘的概率为 p2 ，只赢两盘的概率为
（1－p2），则 p2 （1－p2），解得p2
＜ ，故0＜p2＜ ，故0＜p2＜ ＜p1＜1，则A正确；对于B，由p1＋p2＝1得p1＝1－p2，则P（A）＝ p2＝ （1－p2）· ，即P（A）＝P（B）·（ －1），又0＜p2＜ ，所以 －1＞1，所以P（A）＞P（B），故B正确；对于C， p1∈（0，1），使得对 p2∈（0，1），结合B分析，只满足p1＋p2
＝1，都有P（A）＞P（B），故C正确；
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对于D，令P（A）＝P（B），则 （1－p1）＝ （1－p2），
化简得 － ＝ － ，故（p1＋p2）（p1－p2）＝（p1－p2）
（ ＋p1p2＋ ），即p1＋p2＝ ＋p1p2＋ ，又因为0＜p2＜ ＜
p1＜1，则 ＜p1＋p2＜ ，即 ＜ ＋p1p2＋ ＜ ，故D错误，故选
A、B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知X～B（5， ），则P（ ≤X≤ ）＝ .
解析：P（ ≤X≤ ）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ×（ ）
2×（ ）3＋ ×（ ）3×（ ）2＝ .
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13. 为美化校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班在如图所
示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域
颜色不同，则有 种不同方案.
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解析：如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，
分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花时，2，4同
色且3，5同色，共有种植方案 · ＝24（种），
②当4种不同颜色的花全选时，即2，4或3，5用同一
种颜色，共有种植方案 · ＝48（种），则不同
的种植方案共有24＋48＝72（种）.
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14. 小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六
个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有
号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的
号码是x，第二个球的号码是y，记ξ＝x＋2y，若公司规定ξ＝
9，8，7时，分别为一、二、三等奖，奖金分别为1 000元，500
元，200元，其余无奖.则小张玩游戏一次获得奖金的期望
为 元.
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解析：由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是 ，取一次
球，取得号码是2的概率是 ，取一次球，取得号码是3的概率是
，因为ξ＝x＋2y，ξ＝9，8，7，若ξ＝x＋2y＝7，则
或故P（ξ＝7）＝ × ＋ × ＝ ；若ξ＝x＋2y＝8，
则所以P（ξ＝8）＝ × ＝ ；当ξ＝x＋2y＝9，则
所以P（ξ＝9）＝ × ＝ ，设奖金为X，则P（X＝
0）＝1－ － － ＝ .故X的分布列为
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X 1 000 500 200 0
P
所以E（X）＝1 000× ＋500× ＋200× ＋0× ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知（2x＋ ）n的展开式中，所有二项式系
数的和为32.
（1）求n的值；
解： ∵所有二项式系数的和为32，
∴2n＝32， ∴n＝5.
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（2）若展开式中 的系数为－1，求a的值.
解： 二项式（2x＋ ）5展开式的通项公式为Tr＋1＝
（2x）5－r（ ）r＝ 25－rarx5－2r，
令5－2r＝－5 r＝5，∴展开式中 的系数为 20a5，
∴a5＝－1，解得a＝－1.
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16. （本小题满分15分）每年9月第三个公休日是全国科普日.某校为
迎接2024年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参
赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答
（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道
题中“智慧生活题”的个数.
（1）求该选手恰好选中1道“智慧生活题”的概率；
解： 设该选手恰好选中1道“智慧生活题”为事件A，
则P（A）＝ ＝ .
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（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望.
解： 易知ξ＝0，1，2，
则P（ξ＝0）＝ ＝ ，P（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝
2）＝ ＝ .
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故ξ的数学期望E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
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17. （本小题满分15分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消
费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费
金额（单位：千元）、网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经
统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，
5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]
分成6组，其频率分布直方图如图所示：
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（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
解： 依题意，因为0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＝0.35
＜0.5，而0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×5＝0.65＞
0.5，所以中位数位于[15，20）之间，所以中位数为15＋
＝17.5.
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（2）将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的
2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别
有关系”.
网购人群类别 性别 合计
男 女
网购迷 20
非网购迷 45
合计 100
附：χ2＝ .
α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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解： 依题意，消费金额不少于20千元的频率为0.04×5＋0.03×5＝0.35，所以样本中网购迷人数为100×0.35＝35，
非网购迷的人数为100－35＝65.
所以补全2×2列联表如下：
网购人群类别 性别 合计
男 女
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
合计 60 40 100
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零假设为H0：网购迷与性别无关.
根据列联表可得χ2＝ ≈6.593＞5.024＝
x0.025，依据小概率值α＝0.025的独立性检验，我们推断H0
不成立，即认为网购迷与性别有关，此推断犯错误的概率不
大于0.025，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性
别有关系”.
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18. （本小题满分17分）某市场研究人员为了了解产业园引进的
甲公司前期的经营状况，对该公司2024年连续六个月（5～10
月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线
图，如图所示.
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的经验回归方程 ＝ x＋ ，并据此预测该公司2024年12月份的利润；
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解： 由折线图可知统计数据（x，y）共有6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）.
计算可得 ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5， ＝ ×（11＋13＋16＋15＋20＋21）＝16，∴ ＝ ＝ ＝2，
＝ － ＝16－2×3.5＝9.
∴月利润y关于月份代码x的经验回归方程为 ＝2x＋9，
当x＝8时， ＝2×8＋9＝25.
故预测甲公司2024年12月份的利润为25百万元.
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（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？（用频率估计概率）
使用寿命 材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 合计
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100
参考数据： ＝91， xiyi＝371.
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解： 由题意知，A型号的新型材料可使用1个月，2个
月，3个月，4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
∴A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数 ＝
1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35.
B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概
率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数 ＝
1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7.
∵ ＜ ，∴甲公司的负责人应该采购B型号的新型材料.
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19. （本小题满分17分）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变
量，则称（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.
设（ξ，η）的一切可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记
pij表示（ai，bj）在Ω中出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝
bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子
中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为
η，则（ξ，η）是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；
②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果
用m，n表示）；
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解： ①该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，0）.
②依题意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝
m｜η＝n）·P（η＝n），
显然P（η＝n）＝ （ ）n（ ）3－n，则P（ξ＝m｜η＝
n）＝ （ ）m（ ）3－n－m＝ （ ）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝ （ ）3－n· （ ）n·（ ）
3－n＝ ＝ .
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（2）P（ξ＝ai）称为二维离散型随机变量（ξ，η）关于ξ的边缘
分布律或边际分布律，求证：P（ξ＝ai）＝ pij.
解： 证明：由定义及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝ P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝ P（ξ＝ai，η＝bj）＝ pij.
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