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实数和二次根式 单元全优突破卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若式子在实数范围内有意义，则可取值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个
A． B． C． D．
3．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．估算 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和0之间
C．0和1之间 D．1和2之间
5．估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
6．下列计算正确的是（ ）
A． 30 B． 4
C． 9 D． 5+4=9
7．已知，以下对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≠5 C．a≥2且a≠5 D．a>2且a≠5
10．设表示最接近x的整数（，为整数），则（ ）
A．132 B．146 C．164 D．176
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．化简： ．
12．若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
13．在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．
14．计算：
15．若最简二次根式 与 能合并，则m＝ ．
16．求值： ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵.
∴.
∴，即.
∴，
∴.
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化： ；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
18．把下列各数分别填在它所在的集合里：
， ，2004， ， ， ， ， 36% ，0，6.2
（1）正数集合{ }
（2）负数集合{ }
（3）分数集合{ }
（4）非负整数集合{ }
19．求下列各式中的x．
（1）4x2＝81；
（2）（x+3）3＝﹣27．
20．已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
21．把下列各数：，，，，
（1）分别在数轴上表示出来：
（2）将上述的有理数填入图中相应的圈内.
22．实践与探索
（1）填空： ； ．
（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ；当 时， ．
（3）利用你总结的规律计算： ，其中x的取值范围在数轴上表示为 ．
23．
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，.
24．如图，点O为原点，A，B为数轴上两点，AB=15，且OA：OB=2
（1）A，B对应的数分别为 ， ．
（2）点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B相距1个单位长度？
（3）点AB以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2PB﹣mOP为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
25．阅读下面文字：
我们知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上小明的表示法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：由“平方与开平方互为逆运算”可知：＜＜，即，∴的整数部分是2，小数部分是．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分是a，整数部分是b，求的值；
（3）已知，其中x是整数，且，求．
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实数和二次根式 单元全优突破卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若式子在实数范围内有意义，则可取值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：依题意：
解得： 且
C选项的1满足该范围，其他选项不满足
故答案为：C
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得x-1≥0且x-2≠0，求出x的范围，进而进行判断.
2．根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】A
3．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．估算 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和0之间
C．0和1之间 D．1和2之间
【答案】D
【解析】【解答】解： = = ，
∵1.4＜ ＜1.5，
∴4.2＜ ＜4.5，
∴-4.5＜ ＜-4.2，
∴6-4.5＜ ＜6-4.2，
∴1.5＜ ＜1.8
∴ 的值在1和2之间，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的乘法法则先计算，再估算的大小，最后可得的范围，再根据不等式的性质可得结果.
5．估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】C
6．下列计算正确的是（ ）
A． 30 B． 4
C． 9 D． 5+4=9
【答案】C
【解析】【解答】解：A． 30，故此选项不符合题意；
B． 2 ，故此选项不符合题意；
C． 9，故此选项符合题意；
D． ，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的乘除和性质逐项判定即可。
7．已知，以下对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
8．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据数轴可得，－2＜a＜－1，2＜b＜3，
∴，ab＜0，，a b＜0，即A符合题意，
故答案为：A．
【分析】结合数轴，再利用特殊值法逐项判断即可。
9．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≠5 C．a≥2且a≠5 D．a>2且a≠5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
∴a≥2且a≠5.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出，求出a的取值范围，即可得出答案.
10．设表示最接近x的整数（，为整数），则（ ）
A．132 B．146 C．164 D．176
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．化简： ．
【答案】
12．若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：因为 有意义
所以 >0
所以
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义、分式有意义的条件，判断得到x的取值范围即可。
13．在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．
【答案】
14．计算：
【答案】
【解析】【解答】解：
= .
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质以及算术平方根的概念可得：原式=，据此计算.
15．若最简二次根式 与 能合并，则m＝ ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 能合并．
∴3m+7=5m+3，解得m=2．
故填2．
【分析】先求出3m+7=5m+3，再解方程即可。
16．求值： ．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】先推导公式，然后利用公式计算即可．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵.
∴.
∴，即.
∴，
∴.
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化： ；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）解：由（1）的启示可得：
（3）解：，
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）给分子、分母同时乘以( - )，然后结合平方差公式化简即可；
（2）根据分母有理化可将原式变形为 ，据此计算；
（3）对a化简可得a= +2，则a-2= ，结合完全平方公式可得a2-4a的值，待求式可变形为3(a2-4a)+6，据此计算.
18．把下列各数分别填在它所在的集合里：
， ，2004， ， ， ， ， 36% ，0，6.2
（1）正数集合{ }
（2）负数集合{ }
（3）分数集合{ }
（4）非负整数集合{ }
【答案】（1）2004，-(-4)， ，6.2
（2）-5， ， ， ，-36%
（3） ， ，-36%，6.2
（4）2004，-(-4)，0
【解析】【解答】解：（1）正数集合 ， ， ，6.2， ；
（2）负数集合 ， ， ， ， ；
（3）分数集合 ， ， ， ；
（4）非负整数集合 2004， ， ；
故答案为： ， ， ，6.2；
， ， ， ， ；
， ， ， ；
2004， ， .
【分析】根据正数是大于0的数，可得正数集合，根据负数是小于0的数，可得负数集合，根据整数是分母为1的数，可得整数集合，去掉其中的负数可得非负整数集合，根据分数是分母不为1 的数，可得分数集合.
19．求下列各式中的x．
（1）4x2＝81；
（2）（x+3）3＝﹣27．
【答案】（1）解：4x2＝81，
，
，
x；
（2）解：（x+3）3＝﹣27，
x+3，
x+3＝﹣3，
x＝﹣3﹣3，
x＝﹣6．
【解析】【分析】（1）利用平方根的计算方法求解即可；
（2）利用立方根的计算方法求解即可。
20．已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
【答案】（1）解：由于y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，
所以有y=23=8，2x-y= =4，
解得x=6．
（2）解：当x=6，y=8，x2+y2=100，
∴x2+y2的平方根为士 =±10.
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的性质，正数的算术平方根是正数，可得到2x-y=4；利用y的立方根是2，可求出y的值，然后解方程求出x的值.
（2）将x，y代入代入代数式可求出x2+y2的值，再利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可求出出x2+y2的平方根.
21．把下列各数：，，，，
（1）分别在数轴上表示出来：
（2）将上述的有理数填入图中相应的圈内.
【答案】（1）解：，
∴，，，，在数轴上表示为：
（2）解：如图所示：
【解析】【分析】（1）先化简 ， ，再利用数轴上特点描出各数即可；
（2）根据正数、负数及正数的定义进行分类即可.
22．实践与探索
（1）填空： ； ．
（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ；当 时， ．
（3）利用你总结的规律计算： ，其中x的取值范围在数轴上表示为 ．
【答案】（1）3；5
（2）a；-a
（3）解：由数轴可得x的取值范围为 ，
∴x-2＞0、x-4＜0，
∴
=2．
【解析】【解答】解：（1） 3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时 a；当a＜0时， -a；
故答案为：a，-a；
【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用二次根式的性质化简即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可。
23．
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，.
【答案】（1）解：原式，
（2）解：原式，
；
当，时，
原式.
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、立方根及二次根式的性质分别化简，然后计算乘除法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，进而将x、y的值代入化简结果计算即可.
24．如图，点O为原点，A，B为数轴上两点，AB=15，且OA：OB=2
（1）A，B对应的数分别为 ， ．
（2）点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B相距1个单位长度？
（3）点AB以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2PB﹣mOP为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）-10；5
（2）解：设经过x秒后A，B相距1个单位长度
∵|15﹣（2+5）t|=1
∴t1=2，t2=
当经过2秒或 后A，B相距1个单位长度．
（3）解：设经过t秒，则AP=4t﹣（﹣10+2t）=2t+10，PB=5+5t﹣4t=5+t，OP=4t
∴3AP+2BP﹣mOP=6t+30+2t+10﹣m×4t=8t﹣4mt+40
∴当m=2时，3AP+2BP﹣mOP为定值，定值为40．
【解析】【解答】解：（1）∵AB=15，OA：OB=2
∴AO=10，BO=5
∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5
【分析】（1）根据题意求出OA、OB的长，根据数轴的性质解答即可；
（2）分点A在点B的左侧、点A在点B的右侧两种情况，列方程解答即可；
（3）根据题意列出关系式，根据定值的确定方法求出m即可。
25．阅读下面文字：
我们知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上小明的表示法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：由“平方与开平方互为逆运算”可知：＜＜，即，∴的整数部分是2，小数部分是．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分是a，整数部分是b，求的值；
（3）已知，其中x是整数，且，求．
【答案】（1）3；-3
（2）解：∵＜＜，＜＜，
∴2＜＜3，6＜＜7，
∴a=-2，b=6，
∴；
（3）解：∵1＜＜2，
∴11＜＜12，
∴x=11，y=，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵＜
＜
，
∴3＜
＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是
-3，
故答案为：3，
-3；
【分析】（1）由
＜
＜
可得3＜
＜4，从而得解；
（2）由于2＜
＜3，6＜
＜7，可得a=
-2，b=6，然后代入计算即可；
（3） 由1＜＜2， 可得11＜
＜12，从而求出x、y的值，再代入计算即可.
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