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第十八章 相似形 单元检测培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若，且面积比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线 // // ，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
3．如图，在中，，在内依次作，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形 中， ，对角线 、 交于点 有以下四个结论其中始终正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图， 分别是 边 上的点， ，若 ，则 的长是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，且b是a，c的比例中项，则等于（ ）
A．1∶3 B．1∶2 C．2：3 D．2∶1
8．如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点 ， ， ， 到支点 的距离满足 ，且 ．现在只要测得卡钳外端 ， 两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径 的大小。这种测量原理用到了（ ）
A．图形的旋转 B．图形的平移
C．图形的轴对称 D．图形的相似
10．如图，在正方形中，对角线，交于点，是边的中点，连接，，分别交，于点，，过点作交的延长线于点.下列结论：①；②；③若的面积为8，则正方形的面积为36；④.其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，，那么 ．
12．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为 米.
13．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．当△ACP∽△PDB时，∠APB＝ °．
14．如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ．
15．如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是
16．如图，在正方形中，，点N，M分别在上，且，，P为对角线上一点．当时， ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若CD＝9，tan∠ABE＝ ，求⊙O的半径．
18．如图，在中，，，点是边上的一点，且，联结，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求的面积．
19．已知：如图，在中，
（1）求证
（2）如果，求的长．
20．已知：如图，点 、 在 边 上，点 在边 上，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求 与 的周长比．
21．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．
22．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，CB＝5，动点M从C点开始沿CB运动，动点N从B点开始沿BA运动，同时出发，两点均以1个单位/秒的速度匀速运动（当M运动到B点即同时停止），运动时间为t秒．
（1）AN＝ ；CM＝ ．（用含t的代数式表示）
（2）连接CN，AM交于点P．
①当t为何值时，△CPM和△APN的面积相等？请说明理由．
②当t＝3时，试求∠APN的度数．
23．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝8，求AC的长．
24．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6.点D在边AB上，AD=4.5.△ABC的角平分线AE交CD于点F.
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求 的值.
25．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC.
（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.
①如图，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝1.2，直接写出k的值.
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第十八章 相似形 单元检测培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若，且面积比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．如图，直线 // // ，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ // // ，
∴ ，
∵AB=6，BC=9，EF=6，
∴ ，
∴DE=4
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
3．如图，在中，，在内依次作，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，，
∽，
．
．
．
∽，
．
，
．
，，
∽．
．
．
∽，
．
，
．
，，
∽．
．
．
故答案为：C.
【分析】易证△BCD∽△ABC、△CDE∽△BDC、△DEF∽△CDE，然后根据相似三角形的性质进行计算.
4．如图，在四边形 中， ，对角线 、 交于点 有以下四个结论其中始终正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，①符合题意；
∵∠ADO不一定等于∠BCO，∴△AOD与△ACB不一定相似，②不符合题意；
∴ ，③符合题意；
∵△ABD与△ABC等高同底，
∴ ，
∵ ，
∴ ，④符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可．
5．如图， 分别是 边 上的点， ，若 ，则 的长是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
故答案为：C．
【分析】根据题意证明三角形ADE∽三角形ACB，根据相似三角形的性质得到线段之间的对应关系，得到AE的长度即可。
6．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7．若，且b是a，c的比例中项，则等于（ ）
A．1∶3 B．1∶2 C．2：3 D．2∶1
【答案】B
8．如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于，
，
在中，，
∵铁夹的剖面图是轴对称图形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的性质得比例式可得关于AH的方程，解方程求出AH的值，然后轴对称的性质得AB=2AH计算即可求解．
9．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点 ， ， ， 到支点 的距离满足 ，且 ．现在只要测得卡钳外端 ， 两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径 的大小。这种测量原理用到了（ ）
A．图形的旋转 B．图形的平移
C．图形的轴对称 D．图形的相似
【答案】D
【解析】【解答】如图，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴只要测得卡钳外端 ， 两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径 的大小，
∴这种测量原理用到了图形的相似，
故答案为：D．
【分析】由已知条件，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，即可求解出容器的内径 的大小．
10．如图，在正方形中，对角线，交于点，是边的中点，连接，，分别交，于点，，过点作交的延长线于点.下列结论：①；②；③若的面积为8，则正方形的面积为36；④.其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，，那么 ．
【答案】30
12．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为 米.
【答案】4.8
【解析】【解答】解：设高度为h，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形： ，
得：h＝4.8米，
故答案为：4.8.
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
13．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．当△ACP∽△PDB时，∠APB＝ °．
【答案】120
【解析】【解答】解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A＝∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝60°，
∴∠PCD＝∠A+∠APC＝60°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∴∠APB＝∠APC+∠CPD+∠BPD＝120°．
故答案为120．
【分析】先求出∠PCD＝∠CPD＝60°，再求出∠APC+∠BPD＝60°，最后计算求解即可。
14．如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为 或，
故答案为： 或．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再利用相似三角形的判定方法和性质分析求解即可.
15．如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是
【答案】8
【解析】【解答】解：如图所示，连接DE，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】连接DE，先证明△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，再利用相似三角形的性质可得，，再结合，可求出，最后利用计算即可。
16．如图，在正方形中，，点N，M分别在上，且，，P为对角线上一点．当时， ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若CD＝9，tan∠ABE＝ ，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OB，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°，
∴∠ABE+∠OBA＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠ABE+∠OAB＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠OAB+∠ADB＝90°，
∴∠ABE＝∠ADB，
∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，
∴∠EAB＝∠C，
∵∠E＝∠DBC，
∴∠ABE＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠BDC，
即DB平分∠ADC；
（2）解：∵tan∠ABE＝ ，
∴设AB＝x，则BD＝2x，
AD＝ ＝ x，
∵∠E＝∠E，∠ABE＝∠BDE，
∴△AEB∽△BED，
∴BE2＝AE DE，且 ＝ ＝ ，
设AE＝a，则BE＝2a，
∴4a2＝a（a+ x），
∴a＝ x，
∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，
∴△AEB∽△CBD，
∴ ，
∴ ＝ ，
解得＝3 ，
∴AD＝ x＝15，
∴OA＝ ．
【解析】【分析】（1）连接 ，证明 ，可得 ，则 ；（2）证明 ， ，则 ，可求出 ，则答案可求出．
18．如图，在中，，，点是边上的一点，且，联结，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
设，，
∵，
在中，由勾股定理得
，
∴．
∴，，
∵，
∴△CAD∽△CEB，．
∴，
∵，
∴，．
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用勾股定理先求出CD=15，再利用相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可。
19．已知：如图，在中，
（1）求证
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AFE=∠ADC，
∴EF∥CD；
（2）解：∵△AEF∽△ACD，，
∴ ，
∵ ，
∴AF=12，
∴DF=AD-AF=3．
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质可得，再结合∠A=∠A，可得△AEF∽△ACD，得到∠AFE=∠ADC，即可证明EF//CD；
（2）根据△AEF∽△ACD，，可得，再结合AD=15即可得到AF的长，最后利用DF=AD-AF计算即可。
20．已知：如图，点 、 在 边 上，点 在边 上，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求 与 的周长比．
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
，
又∵
∴
∴
（2）解：由（1）得 ，∴
∵
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ，最后利用相似三角形的性质求解即可；
（2）先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
21．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．
【答案】米
22．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，CB＝5，动点M从C点开始沿CB运动，动点N从B点开始沿BA运动，同时出发，两点均以1个单位/秒的速度匀速运动（当M运动到B点即同时停止），运动时间为t秒．
（1）AN＝ ；CM＝ ．（用含t的代数式表示）
（2）连接CN，AM交于点P．
①当t为何值时，△CPM和△APN的面积相等？请说明理由．
②当t＝3时，试求∠APN的度数．
【答案】（1）8﹣t；t
（2）解：①若△CPM和△APN的面积相等 ∴S△CPM+S四边形BMPN＝S△APN+S四边形BMPN，
∴S△ABM＝S△BNC，
∴ ， ∴8×（5﹣t）＝5t
∴t＝
∴当t＝ 时，△CPM和△APN的面积相等；
②如图，过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，过点A作AE⊥CN，交CN的延长线于点E，连接BP，
∵PG⊥AB，PF⊥BC，∠B＝90°，
∴四边形PGBF是矩形，
∴PF＝BG，
∵t＝3，
∴CM＝3＝BN， ∴BM＝2，AN＝5，
∵S△ABM＝S△ABP+S△BPM，
∴
∴16＝8PG+2PF①
∵S△BCN＝S△BCP+S△BPN，
∴ ×5×3＝
∴15＝3PG+5PF②
由①②组成方程组解得：PG＝ ，PF＝ ，
∴BG＝
∴NG＝BN﹣BG＝3﹣ ＝
在Rt△PGN中，PN＝ ＝ ，
在Rt△BCN中，CN＝ ＝
∵∠B＝∠E＝90°，∠ANE＝∠BNC
∴△ANE∽△CNB
∴∴
∴AE＝ ，NE＝
∵PE＝EN+PN
∴PE＝ + ＝
∴AE＝PE，且AE⊥PE
∴∠APN＝45°
【解析】【解答】解：（1）∵M，N两点均以1个单位/秒的速度匀速运动，
∴CM＝BN＝t，
∴AN＝8﹣t，
故答案为：8﹣t，t；
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，可用含t的代数式表示BN，CM的长，即可用含t的代数式表示AN的长；（2）①由题意可得S△ABM＝S△BNC，根据三角形面积公式可求t的值；②过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，过点A作AE⊥CN，交CN的延长线于点E，连接BP，可证四边形PGBF是矩形，可得PF＝BG，根据三角形的面积公式，可得方程组，求出PG，PF的长，根据勾股定理可求PN的长，通过证△ANE∽△CNB，可求AE，NE的长，即可求∠APN的度数．
23．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝8，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AD=2， AB=8，
∴，
∴AC= 4．
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
24．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6.点D在边AB上，AD=4.5.△ABC的角平分线AE交CD于点F.
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求 的值.
【答案】（1）证明：∵AB=8，AC=6，AD=4.5，
∴ .
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B.
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF=BAE，
∴△ACF∽△BAE，
∴
【解析】【分析】（1）首先根据线段的长度得出 ，又 ∠CAD=∠BAC， 从而根据有两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出 △ACD∽△ABC ；
（2）根据系数三角形对应角相等得出 ∠ACD=∠B ，根据角平分线的定义得出 ∠CAF=BAE， 从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出 △ACF∽△BAE， 根据相似三角形对应边成比例得出.
25．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC.
（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.
①如图，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝1.2，直接写出k的值.
【答案】（1）解：∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠D＝∠BAC＝90°，
（2）解：①四边形AGDH为正方形，
证明：如图1，
延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B＝∠E，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠EMC，
∴∠B＝∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵ ∠GDH ＝90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∵GH⊥AD，
∴四边形AGDH为正方形；
②k＝
【解析】【解答】解：（2）②由①可知，四边形AGDH一定是矩形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
理由：如图2，
点D在内部时延长GD交BC于N，过N作NM⊥AC于M，
∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，
如图3，
点D在BC上，延长PA，交BC于点Q，
∵EF∥BC，QP⊥EF，
∴QP⊥BC，
∴PQ是EF，BC之间的距离，
∴D到EF的距离为PQ的长，
在△ABC中， AB×AC＝ BC×AQ
∴AQ＝2.4，
PQ=1.2+2.4=3.6
∵△DEF∽△ABC，
∴k＝ .
【分析】（1）由已知条件可得AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，然后利用相似三角形的性质进行解答；
（2）①延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，由相似三角形的性质可得∠B＝∠E，根据平行线的性质可得∠E＝∠EMC，推出∠B＝∠EMC，得到AB∥DE，同理：DF∥AC，推出四边形AGDH为平行四边形，然后结合∠D＝90°，GH⊥AD可推出四边形AGDH为正方形；
②由①可知：四边形AGDH一定是矩形，当点D在BC边上时，面积才有可能最大，点D在BC上，延长PA，交BC于点Q，则D到EF的距离为PQ的长，根据三角形的面积公式求出AQ，进而求出PQ，据此可得k的值.
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