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二次函数和反比例函数 单元质量检测卷
(时间:120分钟 满分:120分)
一、单选题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.小敏在一次投掷实心球的训练中,掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数,则小敏此次成绩为( )
A. B. C. D.
2.反比例函数的图象经过点,则下列说法错误的是( )
A. B.函数图象分布在第二、四象限
C.当时,y随x的增大而增大 D.当时,y随x的增大而减小
3.正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(1,2),则另一个交点的坐标为( )
A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2)
4.若点,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线不经过第二象限,与轴交于,两点,其顶点.这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为,若四边形是正方形,则的值为( )
A. B. C. D.或
6.在同一直角坐标系中,函数与的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.若点 , , 都在反比例函数 的图象上,则 , , 的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.函数y= 与y=kx2﹣k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.若函数的图象如图所示,则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ).
A. B.
C. D.
10.如图,抛物线与轴交于、两点(在的左侧),与轴交于点,点是抛物线上位于轴上方的一点,连接、,分别以、为边向外部作正方形、,连接、.点从点运动到点的过程中,与的面积之和( )
A.先增大后减小,最大面积为8 B.先减小后增大,最小面积为6
C.始终不变,面积为6 D.始终不变,面积为8
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.二次函数与轴的交点坐标 .
12.设函数 与 的图象的交点坐标为 ,则 值是 .
13.若 是二次函数,则m的值是 .
14.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数的图象与边交于点D,与边交于点F,与交于点E,,若四边形的面积为10,则k的值是 .
15.已知抛物线与轴没有交点,则的取值范围是 .
16.如图,在平面角坐标系中,矩形的对角线的中点与坐标原点重合,点E是x轴上一点,连接.若平分,反比例函数的图象经过上的两点A,F,且的面积为18,则k的值为 .
三、综合题(本大题有9个小题,每小题8分,共72分,要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.教师办公室有一台可以自动加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后,接通电源,则自动开始加热.每分钟水温上升10℃,待加热到100℃时,饮水机自动停止加热,水温开始下降.在水温开始下降的过程中,水温y(℃)和通电时间x( )成反比例关系.直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温均为20℃,接通电源后,水温y(℃)和通电时间x( )之间的关系如图所示,回答下列问题:
(1)分别求出当 和 时,y和x之间的函数关系式;
(2)求出图中a的值;
(3)李老师这天7:30将饮水机电源打开,若他想在8:10上课前喝到不低于40℃的开水,则他需要在通电多长时间内接水?
18.为响应党中央乡村振兴号召,某村党支部带领果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场,有机生态水果产量呈逐年上升,去年这种水果的产量是亩产约1000千克.
(1)预计明年这种水果产量将达到亩产1210千克,求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少?
(2)某水果店专营这种水果,并以每千克30元的批发价从果农处购进这种水果.调查发现,若每千克的平均销售价为45元,则每天可售出200千克,若每千克的平均销售价每降低1元,每天可多卖出40千克,设水果店一天的利润为w元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?(利润计算时,其它费用忽略不计)
19.疫情期间,某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩,规定试销期间销售单价不低于成本价,且获利不得高于30%,经试销发现,销售量y(万盒)与销售单价x(元)之同的函数图象如图.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围:
(2)求当销售单价为多少时,销售利润最大,最大利润为多少万元?
20.小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各40盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元)
(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;
(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
21.如图,点O是坐标原点,△OBA∽△DOC,边OA、OC都在x轴的正半轴上.已知点B的坐标为(12,16),∠BAO=∠OCD=90°,OD=10,反比例函数的图象经过点D,交AB边于点E.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)求BE的长.
22.小明新买了一盏亮度可调节的台灯(如图1所示),他发现调节的原理是当电压一定时,通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗,台灯的电流(单位:)与电阻R(单位:)满足反比例函数关系,其图象如图2所示.
(1)求I关于R的函数解析式;
(2)当时,求I的值.
23.已知反比例函数 的图象经过点 ,点 与点 关于原点 对称, 轴于点 , 轴于点
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)求 的面积.
24.某工厂加工成本为30元/千克的产品,以不低于成本价销售该产品,经市场调查发现:该产品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)将该产品的销售单价定为多少元时,工厂每天销售这种产品获得的利润最大?最大利润是多少元?
25.公司经销的一种产品,按要求必须在15天内完成销售任务.已知该产品的销售价为62元件,推销员小李第x天的销售数量为y件,y与x满足如下关系:
(1)小李第几天销售的产品数量为70件?
(2)设第x天销售的产品成本为m元件,m与x的函数图象如图,小李第x天销售的利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出第几天时利润最大,最大利润是多少?
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二次函数和反比例函数 单元质量检测卷
(时间:120分钟 满分:120分)
一、单选题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.小敏在一次投掷实心球的训练中,掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数,则小敏此次成绩为( )
A. B. C. D.
【答案】C
2.反比例函数的图象经过点,则下列说法错误的是( )
A. B.函数图象分布在第二、四象限
C.当时,y随x的增大而增大 D.当时,y随x的增大而减小
【答案】D
3.正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(1,2),则另一个交点的坐标为( )
A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2)
【答案】A
【解析】【解答】解:∵反比例函数是中心对称图形,正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称,
∵一个交点的坐标为(1,2),
∴它的另一个交点的坐标是( 1, 2),
故答案为:A.
【分析】根据反比例函数图象的对称性可得:正比例函数与反比例函数图象的两个交点关于原点对称,据此不难得到另一个交点的坐标.
4.若点,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
5.已知抛物线不经过第二象限,与轴交于,两点,其顶点.这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为,若四边形是正方形,则的值为( )
A. B. C. D.或
【答案】B
6.在同一直角坐标系中,函数与的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【解答】解:由函数经过点(1,0) ,则排除A、C;
B、由一次函数经过一三象限,则-k>0,∴k<0,
由图象位于一三象限,则k>0,矛盾,故不符合题意;
D、由一次函数经过一三象限,则-k>0,∴k<0,
由图象位于二四象限,则k<0,一致,故符合题意;
故答案为:D.
【分析】根据一次函数与反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可.
7.若点 , , 都在反比例函数 的图象上,则 , , 的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解: 点 , , 都在反比例函数 的图象上,
而
故答案为:A.
【分析】将各点的横坐标代入求出纵坐标,排列出顺序即可
8.函数y= 与y=kx2﹣k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【解答】解:①当k>0,则﹣k<0,双曲线在二、四象限,抛物线开口向上,顶点在y轴负半轴上;
②k<0时,则﹣k>0,双曲线在一、三象限,抛物线开口向下,顶点在y轴正半轴上;
故答案为:B符合题意;
故答案为:B.
【分析】y=(k≠0),当k>0时,图象过一、三象限;当k<0时,图象过二、四象限;
y=ax2+b(a≠0),当a>0,图象开口向上;当a<0,图象开口向下,据此一一判断得出答案.
9.若函数的图象如图所示,则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ).
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【解答】解:由图象可知:抛物线的开口向上,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴a、b异号,
∴b<0,
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴c>0;
在一次函数y=ax+b中,a>0,b<0,
∴图象经过一三四象限;
在反比例函数 中,c>0,
∴图象的两支分布在一三象限,
综上只有B选项符合题意.
故答案为:B.
【分析】观察图象:由拋物线开口向上,可得到a>0 ;由对称轴在y轴的右侧,可得到a,b异号,则 b<0 ;由拋物线与y轴的交点在x轴的上方,可得到c>0 ;一次函数y=ax+b(a≠0),当a>0,b>0时,图象过一、二、三象限;当a>0,b<0时,图象过一、三、四象限;当a>0,b=0时,图象过一、三象限;当a<0,b>0时,图象过一、二、四象限;当a<0,b<0时,图象过二、三、四象限,当a<0,b=0时,图象过二、四象限;反比例函数中,当k>0时,图象的两支分布在一三象限,当k<0时,图象的两支分布在二四象限,据此判断可得答案.
10.如图,抛物线与轴交于、两点(在的左侧),与轴交于点,点是抛物线上位于轴上方的一点,连接、,分别以、为边向外部作正方形、,连接、.点从点运动到点的过程中,与的面积之和( )
A.先增大后减小,最大面积为8 B.先减小后增大,最小面积为6
C.始终不变,面积为6 D.始终不变,面积为8
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.二次函数与轴的交点坐标 .
【答案】
12.设函数 与 的图象的交点坐标为 ,则 值是 .
【答案】 或
【解析】【解答】解:∵函数 与y=-3x﹣9的图象的交点坐标为(a,b),
∴
化简得:a(-3a﹣9)=3,即
解得: 或 ,
当 时,
∴
当 时,
∴
故答案为: 或 .
【分析】把点的坐标分别代入两函数解析式,联立方程解出a,b即可得出答案.
13.若 是二次函数,则m的值是 .
【答案】3
【解析】【解答】解:由题意,得
m2-2m-1=2且m+1≠0,解得m=3,
故答案为:3.
【分析】根据形如“y=ax2(a≠0)”的函数就是二次函数可得答案.
14.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数的图象与边交于点D,与边交于点F,与交于点E,,若四边形的面积为10,则k的值是 .
【答案】8
15.已知抛物线与轴没有交点,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】解:∵抛物线与轴没有交点,
∴△<0,即,
解得:,
故答案为:.
【分析】将二次函数与x轴的交点个数问题转换为一元二次方程根的判别式问题,再列出不等式求解即可.
16.如图,在平面角坐标系中,矩形的对角线的中点与坐标原点重合,点E是x轴上一点,连接.若平分,反比例函数的图象经过上的两点A,F,且的面积为18,则k的值为 .
【答案】12
三、综合题(本大题有9个小题,每小题8分,共72分,要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.教师办公室有一台可以自动加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后,接通电源,则自动开始加热.每分钟水温上升10℃,待加热到100℃时,饮水机自动停止加热,水温开始下降.在水温开始下降的过程中,水温y(℃)和通电时间x( )成反比例关系.直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温均为20℃,接通电源后,水温y(℃)和通电时间x( )之间的关系如图所示,回答下列问题:
(1)分别求出当 和 时,y和x之间的函数关系式;
(2)求出图中a的值;
(3)李老师这天7:30将饮水机电源打开,若他想在8:10上课前喝到不低于40℃的开水,则他需要在通电多长时间内接水?
【答案】(1)解:当 时,设y和x之间的函数关系式为: ( ),
将 , 分别代入 中,
则 ,解得 ,
∴当 时,一次函数解析式为 ;
当 时,设y和x之间的函数关系式为: ( ),
将 代入 ,解得 .
∴当 时,反比例函数的解析式为 .
(2)解:将 代入 ,得 ,即 .
(3)解:对于 ,当 时, ,
所以,要想喝到不低于40℃的开水,x需满足 .(即在通电8~20 内(包括端点)接水可喝到不低于40℃的开水.)
【解析】【分析】(1)直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案;
(2)利用(1)中所求解析式,当 时,得出答案;
(3)当 时,代入反比例函数解析式,结合水温的变化得出答案.
18.为响应党中央乡村振兴号召,某村党支部带领果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场,有机生态水果产量呈逐年上升,去年这种水果的产量是亩产约1000千克.
(1)预计明年这种水果产量将达到亩产1210千克,求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少?
(2)某水果店专营这种水果,并以每千克30元的批发价从果农处购进这种水果.调查发现,若每千克的平均销售价为45元,则每天可售出200千克,若每千克的平均销售价每降低1元,每天可多卖出40千克,设水果店一天的利润为w元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?(利润计算时,其它费用忽略不计)
【答案】(1)解:设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x,由题意得:
,
解得:(舍),
答:平均每年的增长率为10%;
(2)解:设每千克的平均销售价为m元,由题意得:
∵,
∴当时,w取最大值为4000,
答:当每千克平均销售价为40元时,一天的利润最大,最大利润是4000元.
【解析】【分析】(1)此题是一道平均增长率的问题, 根据公式a(1+x)n=p,其中a是平均增长开始的量,x是增长率,n是增长次数,P是增长结束达到的量,根据公式列出方程,列直接开平方法求解并检验即可;
(2) 设每千克的平均销售价为m元 ,则每千克水果的利润为(m-30)元,每天的销售量为[200+40(45-m)]千克,根据每千克的利润×每天的销售数量=总利润建立出w与m的函数关系式,进而根据所得函数的性质求解即可.
19.疫情期间,某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩,规定试销期间销售单价不低于成本价,且获利不得高于30%,经试销发现,销售量y(万盒)与销售单价x(元)之同的函数图象如图.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围:
(2)求当销售单价为多少时,销售利润最大,最大利润为多少万元?
【答案】(1)解:由题意得:,
解得:.
故y与x之间的函数关系式为:y=x+120,
∵成本为每盒60元的口罩,销售单价不低于成本单价,且获利不得高于30%,
∴,
∴60≤x≤78;
(2)解:设销售利润为w(万元),
w=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∵抛物线开口向下,
∴当x<90时,w随x的增大而增大,
而60≤x≤78,
故当x=78时,w=(78-60)×(120-78)=756.
答:当销售价定为78元/件时,商家可以获得最大利润,最大利润是756元.
【解析】【分析】(1)设y=kx+b,将(63,57)、(70,50)代入求出k、b的值,进而可得y与x的函数关系式,根据销售单价不低于成本单价,且获利不得高于30%可得销售单价的最大值为60×(1+30%)=78,据此解答;
(2)设销售利润为w万元,根据利润=(售价-成本)×销售量可得w与x的关系式,然后根据二次函数的性质进行解答.
20.小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各40盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元)
(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;
(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
【答案】(1)解:W1=(40+x)(160﹣2x)=﹣2x2+80x+6400,即W1=﹣2x2+80x+6400,
W2=19[80﹣(40+x)]=﹣19x+760;
(2)解:W总=W1+W2=(﹣2x2+80x+6400)+(﹣19x+760)=﹣2x2+61x+7160
∵a=﹣2<0,x= = =15.25,且x是整数,
∴当x=15或16时,W总最大 ,
当x=15时,W总=﹣2×152+61×15+7160=7625(元),
当x=16时,W总=﹣2×162+61×16+7160=7624(元),
∵7625>7624
∴当x=15时,W总最大=7625(元)
答:当x=15时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是7625元.
【解析】【分析】(1)根据“盆景的总利润=盆景的数量×每盆盆景的利润及花卉的总利润=花卉的数量×每盆花卉的利润”可得函数解析式;(2)根据总利润=盆景的总利润+花卉的总利润列出函数关系式,再利用二次函数的性质求解可得.
21.如图,点O是坐标原点,△OBA∽△DOC,边OA、OC都在x轴的正半轴上.已知点B的坐标为(12,16),∠BAO=∠OCD=90°,OD=10,反比例函数的图象经过点D,交AB边于点E.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)求BE的长.
【答案】(1)解: ,
.
, ,
.
在 中, ,
,
不妨令 ,
,
,
解得:
, .
.
点 在函数 的图象上,
.
.
(2)解: 是 图象与 的交点,
.
【解析】【分析】(1)利用相似三角形的性质,勾股定理和待定系数法求解即可;
(2)根据题意先求出AE=4,再计算求解即可。
22.小明新买了一盏亮度可调节的台灯(如图1所示),他发现调节的原理是当电压一定时,通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗,台灯的电流(单位:)与电阻R(单位:)满足反比例函数关系,其图象如图2所示.
(1)求I关于R的函数解析式;
(2)当时,求I的值.
【答案】(1)
(2)
23.已知反比例函数 的图象经过点 ,点 与点 关于原点 对称, 轴于点 , 轴于点
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)求 的面积.
【答案】(1)解:将B点坐标代入函数解析式,得 =2,解得k=6,
反比例函数的解析式为y=
(2)解:由B(3,2),点B与点C关于原点O对称,得C(﹣3,﹣2).
由BA⊥x轴于点A,CD⊥x轴于点D,得A(3,0),D(﹣3,0).
S△ACD= AD CD= [3﹣(﹣3)]×|﹣2|=6.
【解析】【分析】(1)由题意把点B的坐标代入解析式可得关于k的方程,解方程即可求解;
(2)根据关于原点对称的点的横纵坐标都变为原来的相反数可求得点C的坐标,结合题意易求得点D的坐标,则AD的长可求解,于是根据S△ACD=可求解。
24.某工厂加工成本为30元/千克的产品,以不低于成本价销售该产品,经市场调查发现:该产品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)将该产品的销售单价定为多少元时,工厂每天销售这种产品获得的利润最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)解:设y与x之间的函数关系式为 ,
将 , 代入得 ,
解得: ,
∴y与x之间的函数关系式为 ;
(2)解:设销售这种产品每天获利w元,
由题意得, ,
∵ ,
∴当 时,w最大, .
答:产品的销售单价定为44元时,每天销售这种产品获得的利润最大,最大利润是9800元.
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式即可;
(2)设销售这种产品每天获利w元,根据题意列出函数解析式,再利用二次函数的性质求解即可。
25.公司经销的一种产品,按要求必须在15天内完成销售任务.已知该产品的销售价为62元件,推销员小李第x天的销售数量为y件,y与x满足如下关系:
(1)小李第几天销售的产品数量为70件?
(2)设第x天销售的产品成本为m元件,m与x的函数图象如图,小李第x天销售的利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出第几天时利润最大,最大利润是多少?
【答案】(1)解:若 ,得 ,不符合题意;
则 ,解得 .
答:小李第12天销售的产品数量为70件
(2)解:由函数图象可知:
当 , ,
当 时,设 ,
将 代入,得
,解得 , .
当 时, ,
随x的增大而增大, 当 时,w最大为880;
当 时, ,
当 时,w最大为810.
, 当 时,w取得最大值为880元.
【解析】【分析】(1)根据题意,列方程求解即可;
(2)将点的坐标 代入 ,求出m和x之间的函数关系式,再根据利润公式求解即可。
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