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二次函数与反比例函数 单元知识巩固卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点A在双曲线上，轴于B，，则k的值为（ ）
A．不能确定 B．3 C．18 D．6
2．抛物线的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
3．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数
B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或
D．当该函数为二次函数时，
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＞0，②2a+b=0，③b2﹣4ac＜0，④4a+2b+c＞0.其中正确的是（ ）
A．①③ B．只有② C．②④ D．③④
5．已知点（2，-1）在反比例函数(k≠0)的图象上，那么这个函数图象一定经过点( )
A．（-2，-1） B．（-2，1） C．（-1，-2） D．（2，1）
6．已知直线经过第一、三、四象限，则抛物线可能是下列中的（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，两次平移后得到的抛物线表达式为（ ）
A．y=3(x-1)2=1 B．y=3(x+1)2-1
C． D．
8．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(-3，y3)在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y310．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点已知点的坐标为，点为轴上任意一点如果，那么点的坐标为( )
A． B．
C．或 D．或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴只有一个交点，那么b＝ ．
12．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
13．如图所示的四个二次函数图象分别对应①y=ax2②y=bx2③y=cx2④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系为 (用“>“连接)
14．已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3，0)和(4，0)，则这个二次函数的解析式是
15．如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于 ．
16．当，二次函数函数值的取值范围是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产台电子产品的成本（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为元，材料成本（单位：元）与成正比例，人工成本（单位：元）与的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：
（单位：台）
（单位：元）
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若某月平均每台电子产品的成本元，求这个月共生产电子产品多少台？
（3）若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为（单位：元），且有（、均为常数），已知当台时，为元，且此时销售利润（单位：元）有最大值，求、的值（提示：销售利润＝销售收入－成本费用）
18．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．
（1）用含有的代数式表示月销售量；
（2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
19．某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．
（1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x-1的图像与反比例函数的图像相交于点A（-1，a），B（b，1）
（1）求反比例函数的表达式：
（2）连接OA、OB，求QAB的面积.
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围．
22．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m，过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB=0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为y=a（x-1）2+0.45，且当x=2时，y=0.25。
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y=- （x-p）（x-3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m，下沿E在×轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为D的坐标为 .
②球拍到桌边的距离CE的最大值是 ，CE的最小值是 .
23．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为．
（1）写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
24．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量千克与销售价元/千克（x为整数）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求关于的函数关系式；
（2）应怎样确定销售价，使该苹果的每天销售利润最大 最大利润是多少
25．如图，抛物线y＝﹣ x2+2x+3与直线l交于A，B两点，点A是对称轴与x轴的交点．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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二次函数与反比例函数 单元知识巩固卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点A在双曲线上，轴于B，，则k的值为（ ）
A．不能确定 B．3 C．18 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴
函数图象经过一、三象限
．
故答案为：D.
【分析】 根据反比例函数的几何意义，根据△AOB的面积，直接求解即可
2．抛物线的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口方向向下
故答案为：A.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中，当a＞0时图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，据此判断即可得出答案.
3．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数
B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或
D．当该函数为二次函数时，
【答案】C
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＞0，②2a+b=0，③b2﹣4ac＜0，④4a+2b+c＞0.其中正确的是（ ）
A．①③ B．只有② C．②④ D．③④
【答案】B
【解析】【解答】解：根据函数图象，可得：①a>0，b<0，c>0， 故abc<0，错误；②因为，所以 2a+b=0，正确；③因为二次函数与坐标轴有两个交点，所以b2﹣4ac>0，错误；④当x=2时，y= 4a+2b+c ，无法根据已知图像得到当x=2时函数值y的正负，错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，开口向上，a>0，开口向下，a<0；b的符号看对称轴的与y轴的左右位置关系，结合a的符号来判断，与a的符号关系是“左同右异”； b2﹣4ac >0时，二次函数图象与x轴有两个不同的交点，b2﹣4ac=0时，二次函数图象与x轴有一个交点，b2﹣4ac<0时，二次函数图象与x轴没有交点；当x=2时，y= 4a+2b+c ，可观察x=2时对应的函数值的大小.
5．已知点（2，-1）在反比例函数(k≠0)的图象上，那么这个函数图象一定经过点( )
A．（-2，-1） B．（-2，1） C．（-1，-2） D．（2，1）
【答案】B
6．已知直线经过第一、三、四象限，则抛物线可能是下列中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：直线经过第一、三、四象限，
抛物线 开口向上，对称轴在y轴的右侧，且经过原点，
结合选项中的图像可知B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先根据直线的图像所经过的象限确定a、b的符号，再结合a、b的符号判断抛物线的开口、对称轴，以及必经过的点即可判断.
7．将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，两次平移后得到的抛物线表达式为（ ）
A．y=3(x-1)2=1 B．y=3(x+1)2-1
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： y=3x2， 先向左平移1个单位得 y=3(x+1)2，再向上平移1个单位得y=3(x+1)2+1.
故答案为：C.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k， 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
8．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据题意，
每天销售数量
每件的利润应为售价-成本，即（x-50）元
故
故答案为：D
【分析】分析题意，每天的利润应为每件利润和每天销售数量的乘积，分别写出每件利润和每天销售数量的表达式，对比4个选项，D符合题意。
9．若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(-3，y3)在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3【答案】C
【解析】【解答】解：有反比例函数的解析式可得，
y1=-6，y2=3，y3=-2
∴y1＜y3＜y2
故答案为：C.
【分析】根据题意，由反比例函数的解析式，求出三个点的纵坐标，进行比较得到答案即可。
10．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点已知点的坐标为，点为轴上任意一点如果，那么点的坐标为( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
把点A（1，3）代入y=（k＞0）得，3=，
∴k=3，
∴反比例函数为y=，
设直线AB为y=ax+b，
代入点D（-1，0），A（1，3）得
，
解得，
∴直线AB为y=x+，
解，得或，
∴B（-2，-），
∵S△ABC=9，
∴S△ACD+S△BCD=CD （3+）=9，
∴CD=4，
∵点D（-1，0），点C在x轴上，
∴点C的横坐标为-1+4=3或-1-4=-5，
∴点C的坐标为（-5，0）或（3，0）．
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后将两函数解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD=S△ABC=9，求得CD的长度，根据点D的坐标，进而即可求得点C的坐标.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴只有一个交点，那么b＝ ．
【答案】±2
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴y＝0时，方程y＝x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根．
∴△＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0．
解得，b＝±2，
故答案是：±2．
【分析】先求出y＝0时，方程y＝x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，再利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
12．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤1且m≠0
【解析】【解答】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，
∴m≠0，
由题意可知：△≥0，
∴4﹣4m≥0，
∴m≤1
∴m≤1且m≠0
故答案为m≤1且m≠0．
【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围.
13．如图所示的四个二次函数图象分别对应①y=ax2②y=bx2③y=cx2④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系为 (用“>“连接)
【答案】a>b>d>c
【解析】【解答】解： 作直线x=1，
则直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
∴a＞b＞d＞c．
故答案为：a＞b＞d＞c．
【分析】 设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小，即可求解．
14．已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3，0)和(4，0)，则这个二次函数的解析式是
【答案】y=x2-7x+12
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=x2+bx+c经过点(3，0)和(4，0)
a=1
设函数解析式为y=（x-3）（x-4）= x2-7x+12
故答案为：y=x2-7x+12
【分析】由题意可知，此二次函数的a=1，而(3，0)和(4，0) 是抛物线与x轴的两交点坐标，因此设函数解析式为交点式，再将函数解析式化为一般形式。
15．如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长BA与y轴交于点C，
根据反比例函数k的几何意义可得：
，，所以.
故答案为：．
【分析】延长BA与y轴交于点C，根据反比例函数k的几何意义可得，则，即可求出答案.
16．当，二次函数函数值的取值范围是 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产台电子产品的成本（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为元，材料成本（单位：元）与成正比例，人工成本（单位：元）与的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：
（单位：台）
（单位：元）
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若某月平均每台电子产品的成本元，求这个月共生产电子产品多少台？
（3）若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为（单位：元），且有（、均为常数），已知当台时，为元，且此时销售利润（单位：元）有最大值，求、的值（提示：销售利润＝销售收入－成本费用）
【答案】（1）
（2）或
（3），
18．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．
（1）用含有的代数式表示月销售量；
（2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
【答案】（1）
（2）该品牌头盔的实际售价应定为元个
19．某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．
（1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程
【答案】（1）与之间的函数表达式为
（2）该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x-1的图像与反比例函数的图像相交于点A（-1，a），B（b，1）
（1）求反比例函数的表达式：
（2）连接OA、OB，求QAB的面积.
【答案】（1）解：∵一次函数y=x－1经过点 A（-1，a），B（b，1） ，
∴a=-1－1=﹣2，b=1+1=2.
∴A（-1，﹣2），B（2，1） .
∵ 经过A（-1，﹣2），
∴，
∴m=2，
∴反比例函数的表示为.
（2）解：连接OA，OB，如图所示：
∵一次函数y=x－1与y轴的交点坐标为（0，﹣1）
∴
【解析】【分析】（1）把点A，B的坐标代入一次函数，可求出a和b的值，得到点A的坐标，再代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，利用割补法即可求得△OAB的面积.
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）解：把x=1代入一次函数解析式中得．
∴一次函数图象和反比例函数图象的交点是．
把代入反比例函数解析式中得．
∴m=6．
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：．
【解析】【解答】解：(2)∵当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，
∴当x＜﹣3时，反比例函数y=的最小值大于一次函数的最大值．
∴把x=-3代入反比例函数解析式中得，把x=-3代入一次函数中得．
∴当x＜﹣3时，反比例函数的取值范围是大于-2，且小于0，一次函数的取值范围是大于．
∴．
∴．
【分析】（1）根据一次函数图象上点坐标的特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得出答案。
22．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m，过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB=0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为y=a（x-1）2+0.45，且当x=2时，y=0.25。
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y=- （x-p）（x-3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m，下沿E在×轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为D的坐标为 .
②球拍到桌边的距离CE的最大值是 ，CE的最小值是 .
【答案】（1）解：把x＝2，y＝0.25代入y＝a（x 1）2＋0.45，
可得：（2 1）2a＋0.45＝0.25，
解得：a＝ ，
∴y＝ (x 1)2＋0.45.
（2）解：由题意得，，
，
当时，.
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为.
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为0.268m.
（3）（2.5，0）；0.73；0.45
【解析】【解答】解：（3）①当y＝0时，即0＝ 0.2x2＋0.4x＋0.25，
解得：x1＝2.5，x2＝ 0.5，
∴D（2.5，0），
故答案为：（2.5，0）；
②由①可得：乒乓球反弹后沿抛物线L'的关系式为：y＝-（x 2.5）（x-3.5），
当y＝0时，即-（x-2.5）（x-3.5）＝0，
∴x1＝2.5，x2＝3.5．
∴OM＝3.5m.
∴CE＝3.5-2.74-0.03＝0.73（m），
如图，当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
在Rt△EFM中，∠FEM＝60°，EF＝0.16m，
∴EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，
当y＝0.08时，即-0.5（x-2.5）（x-3.5）＝0.08，
解得：x1＝2.7（E在BC上舍去），x2＝3.3，
即CM＝3.3m，
∴CE＝3.3-2.74-0.03-0.08＝0.45（m）．
故答案为：0.73，0.45．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用线段的和差求出OG的长，再将x=1.4代入解析式求出y值，再列出算式求出乒乓球到球网顶端H的距离为即可；
（3）①将y=0代入解析式求出x的值，可得点D的坐标；
②将y=0代入解析式求出x的值，可得OM的长，再求出CE的长即可；当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，先求出EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，再将其代入解析式求出x的值，可得CM的长，最后求出CE的长即可.
23．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为．
（1）写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）
（2）当时，面积有最大值为．
24．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量千克与销售价元/千克（x为整数）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求关于的函数关系式；
（2）应怎样确定销售价，使该苹果的每天销售利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设关于的函数关系式，
根据题意，得图象过点和，则，
解得：，
∴关于的函数关系式为；
（2）解：设每天的销售利润为p，
根据题意题意，得，
，
∴当时，，
∴当销售单价为22.5元/千克时，苹果的每天销售利润最大，最大利润是312.5元．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）设每天的销售利润为p，根据每天利润每千克的利润×销售量，据此列出关于x的表达式，然后将表达式转化为顶点式，直接利用二次函数的最值知识进行求解即可.
（1）解：设，图象过点和，则
，
解得：，
关于的函数关系式为；
（2）解：设每天的利润为p，由题意得：
，
，
有最大值，
当时，．
答：当销售单价为22.5元千克时，苹果的每天销售利润最大，最大利润是312.5元．
25．如图，抛物线y＝﹣ x2+2x+3与直线l交于A，B两点，点A是对称轴与x轴的交点．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴函数的对称轴为： ，
∴点A的坐标为（3，0）；
令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为（0，3）；
设直线AB的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为
（2）解：连接PO，
BO=3，AO=3，
设P（n， t2+2t+3），
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP-S△ABO，
∵S△BPO= ，S△APO= n2+3n+ ，S△ABO= ，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP-S△ABO= n2+ n= （n ）2+ ，
∴当x= 时，S△ABP的最大值为 ；
（3）解：存在，设D点的坐标为（t， t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG=t-3，CG=6 （ t2+2t+3）= t2 2t+3，
∴∠ACD=30°，
∴2DG=DC，
在Rt△CGD中，
CG= DG，
∴ （t 3）= t2-2t+3，
∴t=3+3 或t=3（舍）
∴D（3+3 ， 3），
∴AG=3，GD=3 ，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD= ，
∴AD=AC=6，∠CAD=120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD= ∠CAD=60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2=OA2+QO2=9+m2，
∴AQ2=AC2，
∴9+m2=36，
∴m=3 或m= 3 ，
综上所述：Q点坐标为（0，3 ）或（0， 3 ）．
【解析】【分析】（1）由二次函数的性质，求出对称轴，即可得到点A的坐标，令 ，即可求出点B的坐标，然以后求出直线l的解析式；
（2）连接PO，则△ABP的面积等于四边形AOBP的面积减去△AOB的面积，结合二次函数的性质，即可求出答案；
（3）设D点的坐标为（t， t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG=t-3，CG=6 （ t2+2t+3）= t2-2t+3，在Rt△CGD中，CG= DG，求出D（3+3 ， 3），所以AG=3，GD=3 ，连接AD，在Rt△ADG中，AD=AC=6，∠CAD=120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD= ∠CAD=60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2=36，求出m=3 或m= 3 ，即可求Q．
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