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第二十四章 相似三角形 单元综合复习卷
(时间:120分钟 满分:120分)
一、单选题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.如图,两条直线被三条平行线所截,AB=5,DE=6,EF=3,则AC的长为( )
A.2.5 B.4.5 C.6.5 D.7.5
2.如图,树在路灯的照射下形成投影,若树高,树影,树与路灯的水平距离,则路灯的高度是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=3,则下列结论:①=;②S△BCE=27;③S△ABE=12;④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )
A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②
4.如图,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,FE交AC于O点,交CB的延长线于G点,那么S△AOF:S△COG=( )
A.1:4 B.1:9 C.1:16 D.1:25
5.如图△ABC的边上有D,E,F三点,若,,,,,,则四边形ADEF与△ABC的面积之比为( )
A.1:3 B.1:4 C.2:5 D.3:8
6.若,则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图,在中,,将绕点逆时针方向旋转得到,当点落在边上时,的延长线恰好经过点,则的长为( )
A.1 B. C.-1+ D.
8.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC.若S△BDC:S△ADC=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为( )
A. B. C. D.
9.如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为( )
A.0.36 平方米 B.0. 81 平方米
C.2 平方米 D.3.24 平方米
10.如图中,,,,,为中点,若点为直线下方一点(在异侧),且与相似,则下列结论:
①若,与相交于,则点必为的重心;
②若,则的最大值为;
③若,,则的长为;
④若,则当时,取得最大值.其中正确的为
A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.在矩形中,,将其沿对角线折叠,顶点C的对应点为E(如图1),交于点F;再折叠,使点D落在F处,折痕交于点M,交于点N(如图2.则折痕的长为 .
12.如图,矩形ABCD中,AB=3 ,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是 .
13.如图,在中,,将绕点A逆时针旋转一定的角度得,且点D恰好落在边上,与交于点F.
(1)求 ;
(2)当时, .
14.如图, 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的,若 ,则 的周长与 的周长比是 .
15.△ABC中,AB=9cm,AC=6cm,D是AC上的一点,且AD=2cm,过点D作直线DE交AB于点E,使所得的三角形与原三角形相似,则AE= cm.
16.如图,在正方形中,,点是的中点,连接,将沿折叠至,连接,延长,交于点;,交于点,则 .
三、综合题(本大题有9个小题,每小题8分,共72分,要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,在平面直角坐标系内,已知点,点.动点从点开始,在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动,同时动点从点开始,在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动,设点移动的时间为.
(1)求出的长度;
(2)用含有的式子表示和;
(3)当为何值时,与相似?
18.如图,已知正方形ABCD,AB=6,点M为边CD上的动点,射线AM交BD于E交射线BC于F,过点C作CQ⊥CE,交AF于点Q.
(1)当点M是CD中点时,求BE长;
(2)求证:∠QCF=∠QFC;
(3)若 ,求证:△CMQ是等边三角形.
19.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于点F,设 =λ(λ>0).
(1)若λ=1,求证:CE=FE.
(2)若AB=3,AD=4,且D、B、F在同一直线上时,求λ的值.
20.在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连接OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连接DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连接EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
(1)如图1,当t=3时,求DF的长.
(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出的值.
(3)连接AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.
21.如图,已知在 中,AD是 的中线,∠DAC=∠B,点E在边AD上,CE=CD.
(1)求证: ;
(2)求证: .
22.在△ABC和△ADE中,点E在BC上,已知∠B=∠D,∠DAB=∠EAC.
(1)求证:△ABC∽△ADE;
(2)若AC∥DE,∠AEC=45°,求∠C的度数.
23.如图,AH是△ABC的高,D是边AB上一点,CD与AH交于点E.已知,.
(1)求;
(2)若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D,求的值.
24.已知线段a,b满足 ,且a+b=14,
(1)求a,b,c的值;
(2)若线段x是线段b,c的比例中项,求x的值.
25.已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,连接AC,将三角形ABC沿AC翻折,使B点落在E点处,连接EC,AE,AE交DC于F点.
(1)求DF的长.
(2)若将△CEF沿着射线CA方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度).当点F平移到线段AD上时,如图②,求出相应的m的值.
(3)如图③,将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a(0°<a<∠ECB),记旋转中的△CEF为△CE′F′,过E′作E′G⊥AD于G点,在旋转过程中,当△DCE′为等腰三角形时,求出线段E′G的长度.
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第二十四章 相似三角形 单元综合复习卷
(时间:120分钟 满分:120分)
一、单选题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.如图,两条直线被三条平行线所截,AB=5,DE=6,EF=3,则AC的长为( )
A.2.5 B.4.5 C.6.5 D.7.5
【答案】D
2.如图,树在路灯的照射下形成投影,若树高,树影,树与路灯的水平距离,则路灯的高度是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
3.如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=3,则下列结论:①=;②S△BCE=27;③S△ABE=12;④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )
A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②
【答案】D
【解析】【解答】解:∵在 ABCD中,AO=AC,
∵点E是OA的中点,
∴AE=CE,
∵ADBC,
∴△AFE∽△CBE,
∴=,
∵AD=BC,
∴AF=AD,
∴=;故①符合题意;
∵S△AEF=3,,
∴S△BCE=27;故②符合题意;
∵,
∴,
∴S△ABE=9,故③不符合题意;
∵BF不平行于CD,
∴△AEF与△ADC只有一个角相等,
∴△AEF与△ACD不一定相似,故④不符合题意,
故答案为:D.
【分析】利用平行四边形的性质,相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
4.如图,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,FE交AC于O点,交CB的延长线于G点,那么S△AOF:S△COG=( )
A.1:4 B.1:9 C.1:16 D.1:25
【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵E为AB的中点,F为AD的中点,
∴AE=BE,AF= AD= BC,
∵AD∥BC,
∴△AFE∽△BGE,
∴ ,
∵AE=BE,
∴AF=BG= BC,
∴
∵AD∥BC,
∴△AFO∽△CGO,
∴ ,
即S△AOF:S△COG=1:9,
故答案为:B
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC,AD∥BC,从而推出△AFE∽△BGE,可得,再证明△AFO∽△CGO,可得.
5.如图△ABC的边上有D,E,F三点,若,,,,,,则四边形ADEF与△ABC的面积之比为( )
A.1:3 B.1:4 C.2:5 D.3:8
【答案】D
【解析】【解答】解:∵BE=7,EF=4,FC=5;
∴BC=7+4+5=16
∵∠B=∠FAC,∠C=∠C;
∴△AFC∽△BAC
∴=
∴=BC×FC=16×5=80,解得AC=;
∴===
∵∠B=∠B,∠BDE=∠C;
∴△BED∽△BAC
∴====
∴=(16-5-5):16=3:8
故答案为:D.
【分析】根据有两对对应角相等的三角形相似,判定△AFC∽△BAC和△BED∽△BAC;根据三角形相似,对应两对边成比例,列代数式,可得AC的长;根据相似三角形的面积之比对应边之比的平方,可得三角形AFC和三角形BAC的面积之比,三角形BED和三角形BAC的面积之比,进而可得四边形ADEF和三角形ABC的面积之比.
6.若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∴
故答案为:A.
【分析】先根据题意得到,然后代入计算即可.
7.如图,在中,,将绕点逆时针方向旋转得到,当点落在边上时,的延长线恰好经过点,则的长为( )
A.1 B. C.-1+ D.
【答案】C
8.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC.若S△BDC:S△ADC=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【解答】解:∵,
∴BD∶AD=1∶3,
∴BD∶AB=1∶4
∵,
∴△BDE∽△BAC,
∴
∵DE∥AC,
∴△DEO∽△CAO,
∴S△DEO∶S△CAO=.
故答案为:D.
【分析】由同高三角形的面积之比就等于底之比可得BD∶AD=1∶3,则BD∶AB=1∶4,由平行于三角形一边的直线截其它两边,所截三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC,由相似三角形对应边成比例得进而根据平行于三角形一边的直线,解其它两边的延长线,所截三角形与原三角形相似得△DEO∽△CAO,进而根据相似三角形的面积之比等于底之比可得结论.
9.如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为( )
A.0.36 平方米 B.0. 81 平方米
C.2 平方米 D.3.24 平方米
【答案】B
【解析】【解答】解:构造如下图形,由题意可得:DE= 米,FG=1米,AG=3米,DE∥BC,AF和AG分别为△ADE和△ABC的高
∴△ADE∽△ABC
∴
即
解得:BC=
∴地面上阴影部分的面积为
故答案为:B.
【分析】先求其直径,二直径可通过构造相似三角形,由相似三角形性质求出。
10.如图中,,,,,为中点,若点为直线下方一点(在异侧),且与相似,则下列结论:
①若,与相交于,则点必为的重心;
②若,则的最大值为;
③若,,则的长为;
④若,则当时,取得最大值.其中正确的为
A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.在矩形中,,将其沿对角线折叠,顶点C的对应点为E(如图1),交于点F;再折叠,使点D落在F处,折痕交于点M,交于点N(如图2.则折痕的长为 .
【答案】
12.如图,矩形ABCD中,AB=3 ,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是 .
【答案】
【解析】【解答】如图,连接EC,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,BC=AD=12,DC=AB=3 ,
∵E为AD中点,
∴AE=DE= AD=6
由翻折知,△AEF≌△GEF,
∴AE=GE=6,∠AEF=∠GEF,∠EGF=∠EAF=90°=∠D,
∴GE=DE,
∴EC平分∠DCG,
∴∠DCE=∠GCE,
∵∠GEC=90°﹣∠GCE,∠DEC=90°﹣∠DCE,
∴∠GEC=∠DEC,
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC= ×180°=90°,
∴∠FEC=∠D=90°,
又∵∠DCE=∠GCE,
∴△FEC∽△EDC,
∴ ,
∵EC= ,
∴ ,
∴FE=2
故答案为:
【分析】由翻折知△AEF≌△GEF,进而证明△FEC∽△EDC,在利用三角形相似的性质可得到EF的长
13.如图,在中,,将绕点A逆时针旋转一定的角度得,且点D恰好落在边上,与交于点F.
(1)求 ;
(2)当时, .
【答案】(1)
(2)
【解析】【解答】(1)如图,过点A作于点G.
设,则.
由旋转的性质知,
∴.
在中,.
∵,∠B=∠B
∴.
∴,即,
得.
∵,
∴.
∴,
故答案为:
(2)如图,过A点作交于点M.
由(1)知.
∴.
∵,
∴,
∵,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴,
即,
解得,
故答案为:
【分析】(1)过点A作于点G,设,则.由旋转的性质知,利用勾股定理得出BC的值,证出,得出,代入计算即可;
(2)过A点作交于点M.由(1),由,得出,由平行线的性质得出,推出,代入求解即可。
14.如图, 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的,若 ,则 的周长与 的周长比是 .
【答案】2:3
【解析】【解答】解:由题意可得出,
∵ 的周长与 的周长比=
故答案为:2:3.
【分析】根据位似三角形的性质,可得出两个三角形的周长比等于位似比等于边长比求解即可.
15.△ABC中,AB=9cm,AC=6cm,D是AC上的一点,且AD=2cm,过点D作直线DE交AB于点E,使所得的三角形与原三角形相似,则AE= cm.
【答案】cm或3cm
16.如图,在正方形中,,点是的中点,连接,将沿折叠至,连接,延长,交于点;,交于点,则 .
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题,每小题8分,共72分,要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,在平面直角坐标系内,已知点,点.动点从点开始,在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动,同时动点从点开始,在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动,设点移动的时间为.
(1)求出的长度;
(2)用含有的式子表示和;
(3)当为何值时,与相似?
【答案】(1)
(2),
(3)或
18.如图,已知正方形ABCD,AB=6,点M为边CD上的动点,射线AM交BD于E交射线BC于F,过点C作CQ⊥CE,交AF于点Q.
(1)当点M是CD中点时,求BE长;
(2)求证:∠QCF=∠QFC;
(3)若 ,求证:△CMQ是等边三角形.
【答案】(1)解:已知正方形ABCD,AB=6,
∴BD= ,AB=DC
又∵AB∥DM
∴
又∵点M是DC中点,
∴
∴BE=2DE
∴BE= BD=
(2)证明:∵正方形ABCD
∴AD=CD,∠ADE=∠CDE
在△ADE和△CDE中,
∴△ADE≌△CDE,
∴∠DAE=∠DCE,
又∵CQ⊥CE,DC⊥CF,
∴∠DCE=∠QCF,
又∵AD∥BF,
∴∠DAE=∠CFQ,
∴∠QCF=∠QFC
(3)证明:由(2)可知,∠DCE=∠CFQ,
又∵∠MEC=∠CEF,
∴△ECM∽△EFC
∴ =
∴EC2=EM·EF,
由△ADE≌△CDE可知AE=EC,
∴AE2=EM·EF,
又∵
∴EM·EF=EF·FQ,即EM=FQ,
在Rt△MCF中,∠QCF=∠QFC,
可知Q是MF中点,MQ=FQ=CQ,
∴EM=FQ=MQ,即CM是Rt△ECQ斜边上的中线,
∴CM=MQ=CQ,
即△CMQ是等边三角形.
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理可得BD=,AB=DC,根据中点的概念可得,结合平行线分线段成比例的性质可得BE=2DE,则BE=BD,据此计算;
(2)根据正方形的性质可得AD=CD,∠ADE=∠CDE,证明△ADE≌△CDE,得到∠DAE=∠DCE,根据同角的余角相等可得∠DCE=∠QCF,由平行线的性质可得∠DAE=∠CFQ,据此可得结论;
(3)由(2)可知∠DCE=∠CFQ,证明△ECM∽△EFC,根据相似三角形的性质得EC2=EM·EF,根据全等三角形的性质得AE=EC,则AE2=EM·EF,结合已知条件得EM=FQ,由(2)知 ∠QCF=∠QFC ,则Q是MF中点,根据直角三角形斜边上中线的性质得MQ=FQ=CQ,推出CM是Rt△ECQ斜边上的中线,得到CM=MQ=CQ,据此证明.
19.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于点F,设 =λ(λ>0).
(1)若λ=1,求证:CE=FE.
(2)若AB=3,AD=4,且D、B、F在同一直线上时,求λ的值.
【答案】(1)证明:连接DE,
∵,
∴AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∵AD∥BC,
∴∠DEC=∠ADE,
∴∠AED=∠DEC
∵矩形ABCD,DF⊥AE,
∴∠C=∠DFE=90°
在△DEF和△DEC中,
∴△DEF≌△DEC(AAS),
∴CE=FE.
(2)解:如下图,
∵矩形ABCD,
∴∠BAD=90°,
∴,
∵DF⊥AE,
∴∠BAE+∠DAF=90°,∠DAF+∠ADB=90°
∴∠BAE=∠ADB,
∵∠ABE=∠BAD=90°,
∴△ABE∽△ADB,
∴即
解之:
∴.
【解析】【分析】(1)连接DE,利用等边对等角可证得∠ADE=∠AED ,利用平行线的性质可推出∠DEC=∠ADE,可证得∠AED=∠DEC,利用AAS证明△DFE≌△DEC,利用全等三角形的对应边相等,可证得结论.
(2)利用勾股定理求出BD的长,再利用余角的性质可证得∠BAE=∠ADB,由此证明△ABE∽△ADB,利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长;然后求出λ的值.
20.在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连接OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连接DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连接EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
(1)如图1,当t=3时,求DF的长.
(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出的值.
(3)连接AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.
【答案】(1)解:当t=3时,点E为AB的中点,
∵A(8,0),C(0,6),
∴OA=8,OC=6,
∵点D为OB的中点,
∴DE∥OA,DE=OA=4,
∵四边形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴DE⊥AB,
∴∠OAB=∠DEA=90°,
又∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°,
∴四边形DFAE是矩形,
∴DF=AE=3;
(2)解:的大小不变;
理由:如图2所示:作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
∵四边形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴四边形DMAN是矩形,
∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,
∴,,
∵点D为OB的中点,
∴M、N分别是OA、AB的中点,
∴DM=AB=3,DN=OA=4,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDM=∠EDN,
又∵∠DMF=∠DNE=90°,
∴△DMF∽△DNE,
∴.
(3)解:作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,
设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;
①当点E到达中点之前时,如图3所示,NE=3-t,
由△DMF∽△DNE得:MF=,
∴,
∵点G为EF的三等分点,
∴G(,),
设直线AD的解析式为y=kx+b,
把A(8,0),D(4,3)代入得:,
解得:,
∴直线AD的解析式为:,
把点G(,)代入得:;
②当点E越过中点之后,如图4所示,NE=t-3,
由△DMF∽△DNE得:MF=,
∴,
∵点G为EF的三等分点,
∴G(,),
把点G代入直线AD的解析式,
解得:;
【解析】【分析】(1)当t=3时,点E为AB的中点,点D为OB的中点,根据三角形中位线定理可得DE∥OA,DE=OA=4,再由四边形OABC是矩形,OA⊥AB,∠OAB=∠DEA=90°,可证四边形DFAE是矩形,得出DF=AE=3;
(2)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N, 证明四边形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA, 由平行线得出比例 ,, 由三角形中位线定理可得DM=AB=3,DN=OA=4, 证△DMF∽△DNE,;
(3)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;
①当点E到达中点之前时,NE=3-t,由△DMF∽△DNE得:MF=,,根据点G为EF的三等分点,
可得G(,),利用待定系数法求出直线AD的解析式为:,把点G(,)代入得:;
②当点E越过中点之后,NE=t-3,同理可得 。
21.如图,已知在 中,AD是 的中线,∠DAC=∠B,点E在边AD上,CE=CD.
(1)求证: ;
(2)求证: .
【答案】(1)证明:∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵CD=CE,
∴BD=CD=CE,
∴∠CDE=∠CED,
∵∠CDE=∠B+∠BAD,∠CED=∠DAC+∠ACE,∠DAC=∠B,
∴∠BAD=∠ACE
∵△ACE∽△BAD,
∴
∴ ;
(2)证明:∵△ACE∽△BAD,
∴ ,
∴BD CE=AE AD,
∴DC2=AD AE①.
∵∠DAC=∠B,∠ACD=∠ACB,
∴△ACD∽△BCA,
∴
∴AC2=BC·CD=2CD2②,
∴由①②可得, .
【解析】【分析】(1)由CE=CD=BD转化比例式,再证出△ACE∽△BAD即可;(2)由(1)中相似可得出,DC2=AD AE①,再证△ACD∽△BCA,得出AC2=BC·CD=2CD2②,结合①②即可得出结果.
22.在△ABC和△ADE中,点E在BC上,已知∠B=∠D,∠DAB=∠EAC.
(1)求证:△ABC∽△ADE;
(2)若AC∥DE,∠AEC=45°,求∠C的度数.
【答案】(1)证明:∵∠EAC=∠DAB,
∴∠BAC=∠DAE,
∵∠B=∠D,
∴△ABC∽△ADE
(2)解:∵AC∥DE,
∴∠AED=∠EAC,
∵△ABC∽△ADE,
∴∠AED=∠C,
∴∠EAC=∠C,
∵∠AEC=45°,
∴∠C=(180°-45°)÷2=67.5°,
∴∠C的度数为67.5°.
【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即证;
(2) 利用平行线的性质及相似三角形的性质可得∠EAC=∠AED=∠C, 根据三角形内角和定理即可求解.
23.如图,AH是△ABC的高,D是边AB上一点,CD与AH交于点E.已知,.
(1)求;
(2)若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D,求的值.
【答案】(1)解:过点D作DF⊥BC交BC于点F
∵,AH为△的高,
∴∠
∵∠
∴△
∴
∴
∵
∴
设,则
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠
∴△
∴
∴
∴
(2)解:以H为圆心,HB为半径作圆,如图,
∵
∴BC是⊙O的直径
∴∠
由(1)知,
∵
∴设
∴
∴
在中,
在中,
∴
∴
∵
∴
在中,
【解析】【分析】(1)做辅助线,得到三角形相似,再利用相似求比各线段的比例
(2)根据圆的性质可知∠BDC为90°,根据(1)的相似比,以及勾股定理得出线段长度关系比,求出cosB
24.已知线段a,b满足 ,且a+b=14,
(1)求a,b,c的值;
(2)若线段x是线段b,c的比例中项,求x的值.
【答案】(1)解:设 ,则a=3k,b=4k,c=5k,
∵a+b=14,
∴3k+4k=7k=14,
解得k=2,
∴a=6,b=8,c=10
(2)解:∵b=8,c=10,x是b,c的比例中项,
∴x2=8×10=80,
解得
【解析】【分析】(1)利用已知条件a=3k,b=4k,c=5k,根据a+b=14,可求出k的值,然后求出a,b,c的值.
(2)利用x是b,c的比例中项, 可得到x2=bc,代入可得到关于x的方程,解方程求出x的值.
25.已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,连接AC,将三角形ABC沿AC翻折,使B点落在E点处,连接EC,AE,AE交DC于F点.
(1)求DF的长.
(2)若将△CEF沿着射线CA方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度).当点F平移到线段AD上时,如图②,求出相应的m的值.
(3)如图③,将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a(0°<a<∠ECB),记旋转中的△CEF为△CE′F′,过E′作E′G⊥AD于G点,在旋转过程中,当△DCE′为等腰三角形时,求出线段E′G的长度.
【答案】(1)解:如图①,
四边形是矩形,AB=8,AD=6,
‖CD,,
由折叠可知∠1=∠2,
又‖CD,
∠1=∠3,
∠2=∠3,
AF=CF,
设AF=CF=x ,则DF=,
在中,,,DF=,
由勾股定理得:,
解得,
则DF=.
(2)解:设平移中的三角形为△,如图②所示:
由勾股定理得:,
由(1)知,
由平移性质可知,, ,
,
又,
,
,
,
解得,
.
(3)解:①当时,△DCE'为等腰三角形,
E'在DC的垂直平分线上,过E'作E'H⊥CD于点H,则四边形DGE'H为矩形,.
②当时,△DCE'为等腰三角形,
过E'作E'H⊥CD于点H,则四边形DGE'H为矩形,连接DE',
设,则,
由勾股定理得:,
综合可得:,
,解得,
.
【解析】【分析】(1)设AF=CF=x ,则DF=,利用勾股定理可得,求出x的值,再求出DF的长即可;
(2)先证出,可得,再将数据代入求出,最后求出即可;
(3)分类讨论: ①当时,△DCE'为等腰三角形,②当时,△DCE'为等腰三角形, 再分别画出图象并求解即可。
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